圆的方程(1)（教师版）
【教学目标】：
1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；
2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；
3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．
【课前问题导引】
1. 在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？
2.要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？
【课上新知讲授】
1．圆的标准方程的推导过程：
2． 圆的标准方程：（1）. 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程：222()()(0)x a y b r r -+-=>.
（2）. 圆心在原点(0,0)，半径为r 时，圆的方程则为：222(0)x y r r +=>；
（3）. 单位圆：圆心在原点且半径为１的圆,其方程为：221x y +=．
注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径．
3． 点在圆内、圆上、圆外的等价条件
例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：
(1)22(2)(3)7x y -+-=； (2)22(5)(4)18x y +++= (3)22(1)3x y ++=
(4)22144x y += （5）22(4)4x y -+=
【解】（如下表）
点评：本题考察了对圆的标准方程的认识，根据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径．
例2：（1）写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M -，(5,1)N --是否在这个圆上； （2）求圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程． 分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程．
解;(1)∵圆心为(2,3)A -，半径长为5，∴该圆的标准方程为：22(2)(3)25x y -++=． 把点(5,7)M -代入方程的左边，2222(52)(73)3425-+-+=+=＝右边,即点(5,7)M -的坐标适合方程，
∴点(5,7)M -是这个圆上的点；
把点(5,1)N --的坐标代入方程的左边，22(52)(13)134525--+-+=+≠．即点(5,1)N --坐标不适合圆的方程，
(2)法一：∵圆C 的经过坐标原点，∴圆C 的半径为：22(20)(30)r =-+--222313=+=，
因此所求的圆的方程为：22(2)((3))13x y -+--=，即22(2)(3)13x y -++=．
法二：∵圆心为(2,3)C -，∴设圆的方程为222(2)(1)x y r -++=，
∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即222(02)(01)r -++=，所以213r =，
∴所求圆的标准方程为：22(2)(3)13x y -++=．
点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法．
例3：(1)求以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的圆的方程；
(2)已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，求以线段PQ 为直径的圆的方程．
分析：（1）已知与圆心坐标和该圆与x 轴相切即可求出半径．（2）根据PQ 为直径可以得到相应的圆心与半径．
解：(1)∵圆与x 轴相切∴该圆的半径即为圆心(1,2)A 到x 轴的距离2；
所以圆的标准方程为：22(1)(2)4x y -+-=．
（2）∵PQ 为直径，∴PQ 的中点M 为该圆的圆心即(5,6)M ，
又因为22||(64)(39)436PQ =-+-=+210=，所以||102
PQ r ==， ∴圆的标准方程为：22(5)(6)10x y -+-=．
点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用．
例4：已知隧道的截面是半径为4m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m ，高为3.5m 的货车能不能驶入这个隧道？
分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出
半圆的方程，对应求出当3x =时的值，比较得出结论．
解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径
AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示，
那么半圆的方程为：2216(0)x y y +=≥
将3x =代入得2163793 3.5y =-=<=<，
即离中心线3m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道． 点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．
思考：假设货车的最大的宽度为am ，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？
解：将x a =代入得y =m ．
【课上当堂练习】
课本P8、习题1~6
补充：1．圆C ：9)2()3(22=++-y x 的圆心坐标和半径分别为__________；__________．
2．圆心为)43(- ，且与直线0543=--y x 相切的圆的标准方程为 ． 3．以)24(- ，为圆心且过点)21( ，的圆的标准方程为 ．
4．若点)11( -，在圆25)2()(22=++-y a x 外，则实数a 的取值范围是 ． 5．求过点)012( ，P 且与y 轴切于原点的圆的标准方程．
【课时小结】
圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程．
【板书设计】
【教学反思】
【补充练习】
一 基础题
1.写出下列各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径为6； （2）经过点(6,3)P ，圆心为(2,2)C -． 解：（1）2236x y +=； （2）22(2)(2)41x y -++=．
2．求以点(1,5)C --为圆心，并且和y 轴相切的圆的方程．
解：由题意：半径1r =，所以圆的方程为：22(1)(5)1x y +++=．
3. 圆的内接正方形相对的两个顶点为(5,6)A ，(3,4)C -，求该圆的方程．
解：由题意可得AC 为直径，所以AC 的中点M 为该圆的圆心即(4,1)M
又因为||AC ===||2
AC r ==， ∴圆的标准方程为：22(4)(1)26x y -+-=．
4．求过两点(0,4)A ，(4,6)B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程．
解：设圆心坐标为(,)a b ，圆半径为r ，则圆方程为222()()x a y b r -+-=，
∵圆心在直线220x y --=上，∴220a b --= ①
又∵圆过两点(0,4)A ，(4,6)B ，∴222(0)(4)a b r -+-= ②
且222(4)(6)a b r -+-= ③ 由①、②、③得：4,1,5a b r ===，
∴圆方程为22(4)(1)25x y -+-=．
思维点拔：
由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程．在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识．
二、提高题（由于本节内容为A 级考点，故不做深挖）