龙贝格积分实验报告 Prepared on 24 November 2020
二、R o m b e r g 积分法
1.变步长Romberg 积分法的原理
复化求积方法对于提高精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要事先估计出部长。若步长过大，则精度难于保证；若步长过小，则计算量又不会太大。而用复化公式的截断误差来估计步长，其结果是步长往往过小，而且''()f x 和(4)()f x 在区间[,]a b 上的上界M 的估计是较为困难的。在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半（也就是把步长二等分），直到达到某种精度为止，这种方法就是Romberg 积分法的思想。
在步长的逐步分半过程中，要解决两个问题：
1. 在计算出N T 后，如何计算2N T ,即导出2N T 和N T 之间的递推公式；
2. 在计算出N T 后，如何估计其误差，即算法的终止的准则是什么。
首先推导梯形值的递推公式，在计算N T 时，需要计算1N +个点处的函数值在计算出N T 后，在计算2N T 时，需将每个子区间再做二等分，共新增N 个节点。为了避免重复计算，计算2N T 时，将已计算的1N +个点的数值保留下来，只计算新增N 个节点处的值。为此，把2N T 表示成两部分之和，即
由此得到梯形值递推公式 因此
由复化梯形公式的截断误差有
若''()f x 变化不大时，即''''12()()f f ηη≈，则有
式（2）表明，用2N T 作为定积分I 的近似值，其误差大致为21
()3
N N T T -，因此其
终止条件为
其中ε是预先给定的精度。
积分公式
将上述方法不断推广下去，可以得到一个求积分的序列，而且这个序列很快收敛到所求的定积分。记
(0)N N T T =，将区间N 等分的梯形值。(1)N N T S =，将区间N 等分的Simpson (2)N N T C =，将区间N 等分的Cotes 。(3)N N T R =，将区间N 等分的Romberg 。
由其可构造一个序列(){}k N T ，次序列称为Romberg 序列，并满足如下递推关系： 以上递推公式就是Romberg 积分递推公式。
积分程序
1. 置1N =，精度要求ε，1h b a =-；
2. 计算(0)1[()()]2
b a
T f a f b -=+； 3. 置22
N N
h h =，并计算(0)
(0)211((21))222N N N k b a b a T T f a k N N =--=++-∑； 4. 置,2,1;M N N N K ===
5. 计算(1)(1)
2441
k k k k M M
M
k T T T ---=-；
6. 若 1M =，则转（7）；否则置2
M
M =
，1k k =+转（5）； 7. 若()(1)11k k T T ε--≤，则停止计算（输出()1k T ），否则转（3）。
积分法的应用
function [T,n] = romb(f,a,b,eps) double R ;
if nargin<4,eps=1e-8; end
h=b-a;R(1,1)=(h/2)*(feval(f,a)+feval(f,b));
n=1;J=0;err=1;
while (err>eps)
J=J+1;h=h/2;S=0;
for i=1:n
h*(2*
i-1);
S=S+
feval(
f,x); end
R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*S;
for k=1:J
R(J+1,k+1)=(4^k*R(J+1,k)-R(J,k))/(4^k-1);
end
err=abs(R(J+1,J+1)-R(J+1,J));
n=2*n;
end
R;
T=R(J+1,J+1)
End
其中输入项：f为被积函数，ab为积分区间的端点值，ep为积分精度；输出项：T是逐次积分表值，n是迭代次数，R是最后积分值。
程序调用
可以将被积分函数编成函数文件，也可以直接使用内联函数来表示被积分函数，示例如下:
>>f=inline('1/(1+x.^2)','x');
>> [T,n,R]=romb(f,2,9,1e-9)
运行后得出其迭代次数，最终积分结果以及龙贝格积分矩阵如表2-1所示，
迭代次数N=64，最终的积分值R=.
表2-1 龙贝格积分矩阵
3.课本例题求解
1 当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=32，迭代结果R=
表2-2 式1对应的龙贝格积分矩阵
2 当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=32，迭代结果R=.
表2-3 式2对应的龙贝格积分矩阵
3对于积分1
ln(1)
x dx x +?
，由于积分下限0为其奇点，理论上无法进行数值积分，本题中近似取下限为1*10-9来进行计算。当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=16，迭代结果R=.
表2-4 式3对应的龙贝格积分矩阵
4.对于积分2
sin()
x dx x π
?
，同样积分下限0为积分函数的奇点，理论上无法进行数值积分运算，本题中仍取积分下限近似为1*10-9进行计算。当迭代精度ep=1e-9的条件下，迭代次数N=16，迭代结果R=.
表2-5 式4对应的龙贝格积分矩阵
实验课程：数值计算方法专业：数学与应用数学班级：08070141 学号：37 姓名：汪鹏飞 中北大学理学院
实验1 赛德尔迭代法 【实验目的】 熟悉用塞德尔迭代法解线性方程组 【实验内容】 1.了解MATLAB 语言的用法 2.用塞德尔迭代法解下列线性方程组 1234123412341234 54 1012581034 x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-??-+--=?? --+-=??---+=? 【实验所使用的仪器设备与软件平台】 计算机，MATLAB7.0 【实验方法与步骤】 1.先找出系数矩阵A ，将前面没有算过的x j 分别和矩阵的(,)A i j 相乘,然后将累加的和赋值给sum ，即(),j s u m s u m A i j x =+?.算 出()/(,) i i x b sum A i i =-,依次循环,算出所有的i x 。 2.若i x 前后两次之差的绝对值小于所给的误差限ε，则输出i x .否则重复以上过程，直到满足误差条件为止. 【实验结果】 (A 是系数矩阵，b 是右边向量，x 是迭代初值，ep 是误差限) function y=seidel(A,b,x,ep) n=length(b); er=1; k=0; while er>=ep
k=k+1; for i=[1:1:n] q=x(i); sum=0; for j=[1:1:n] if j~=i sum=sum+A(i,j)*x(j); end end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); er=abs(q-x(i)); end end fprintf('迭代次数k=%d\n',k) disp(x') 【结果分析与讨论】 >> A=[5 -1 -1 -1;-1 10 -1 -1;-1 -1 5 -1;-1 -1 -1 10]; b=[-4 12 8 34]; seidel(A,b,[0 0 0 0],1e-3) 迭代次数k=6 0.99897849430002 1.99958456867649 2.99953139743435 3.99980944604109
实验三 数值积分与数值微分 【实验内容】 选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，Romberg 算法高斯算法计算 （1） )5343916.1(sin 44102≈-=? I dx x I （2） )9460831.0,1)0((sin 10≈==?I f dx x x I （3） dx x e I x ?+=1024 ;（4） dx x x I ?++=1021)1ln( 【实验前的预备知识】 1、 深刻认识数值积分法的意义； 2、 明确数值积分精度与步长的关系； 3、 根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。 4、 比较各种积分方法复杂度及收敛速度。 【实验方法或步骤】 1、 编制数值积分算法的程序； 2、 分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果； 3、 分别取不同步长n a b h /)(-=，试比较计算结果（如20,10=n 等）； 4、 给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长。 程序： 复合梯形公式求函数f 在区间【a ，b 】上的定积分代码 function [I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-4;
end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1; h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 x=a+h*i; x1=x+h; I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2;step=n; 用该方法计算)5343916.1(sin 44 102≈-=?I dx x I 的程序为 [q,s]=CombineTraprl('sqrt(4-(sinx)^2)',0,0.25,1.5343916) 得结果为q =0.4986 s =3即结果为0.4986积分区间为3个 辛普森公式求函数f 在区间【a ，b 】上的定积分代码 function [I,step]=IntSimpson(f,a,b,type,eps) %type 分别为1，2，3时分别为辛普森公式，3/8公式，复合辛普森 if(type==3&&nargin==4) eps=1.0e-4; end I=0; switch type case 1, I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2)+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 2, I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(2*a+b)/3)+... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+2*b)/3)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 3, n=2; h=(b-a)/2;
数字电路综合实验报告 简易智能密码锁 一、实验课题及任务要求 设计并实现一个数字密码锁，密码锁有四位数字密码和一个确认开锁按键，密码输入正确，密码锁打开，密码输入错误进行警示。 基本要求： 1、密码设置：通过键盘进行4 位数字密码设定输入,在数码管上显示所输入数字。通过密码设置确定键（BTN 键）进行锁定。 2、开锁：在闭锁状态下，可以输入密码开锁，且每输入一位密码，在数码管上显示“-”，提示已输入密码的位数。输入四位核对密码后，按“开锁”键，若密码正确则系统开锁，若密码错误系统仍然处于闭锁状态，并用蜂鸣器或led 闪烁报警。 3、在开锁状态下，可以通过密码复位键（BTN 键）来清除密码，恢复初始密码“0000”。闭锁状态下不能清除密码。 4、用点阵显示开锁和闭锁状态。 提高要求： 1、输入密码数字由右向左依次显示，即：每输入一数字显示在最右边的数码管上,同时将先前输入的所有数字向左移动一位。 2、密码锁的密码位数（4~6 位）可调。
3、自拟其它功能。 二、系统设计 2.1系统总体框图 2.2逻辑流程图
2.3MDS图 2.4分块说明 程序主要分为6个模块：键盘模块，数码管模块，点阵模块，报警模块，防抖模块，控制模块。以下进行详细介绍。 1.键盘模块 本模块主要完成是4×4键盘扫描，然后获取其键值，并对其进行编码，从而进行按键的识别，并将相应的按键值进行显示。 键盘扫描的实现过程如下：对于4×4键盘，通常连接为4行、4列，因此要识别按键，只需要知道是哪一行和哪一列即可，为了完成这一识别过程，我们的思想是，首先固定输出高电平，在读入输出的行值时，通常高电平会被低电平拉低，当当前位置为高电平“1”时，没有按键按下，否则，如果读入的4行有一位为低电平，那么对应的该行肯定有一个按键按下，这样便可以获取到按键的行值。同理，获取列值也是如此，先输出4列为高电平，然后在输出4行为低电平，再读入列值，如果其中有哪一位为低电平，那么肯定对应的那一列有按键按下。由此可确定按键位置。
数值分析 实 验 报 告 专业：信息与计算科学 班级： 10***班 学号： 1008060**** 姓名： ******
实验目的： 用龙贝格积分算法进行积分计算。 算法要求： 龙贝格积分利用外推方法，提高了计算精度，加快了收敛速度。 1--4R R R R 1-j 1-j 1-k 1-j k 1-j k j k ，，，，+= ，k=2，3，… 对每一个k ，j 从2做到k ，一直做到|R R 1-k 1-k k k -，，| 小于给定控制精 度时停止计算。 其中： T R h k 1k =，（复化梯形求积公式），2h 1-k k a -b = 程序代码： #include
while(t!=n) { t*=2; ++i; } return i; } float t(int n) { float g,h,q=0; if(1==n) { h = (float)fabs(b-a); q = (f(a)+f(b))*h/2; } else { float x = a; g = 0; h = (float)fabs(b-a)*2/n; x = x+h/2; while(x 实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m); ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n 很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法 数据分析实验报告 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 第一次试验报告 习题1.3 1建立数据集，定义变量并输入数据并保存。 2数据的描述，包括求均值、方差、中位数等统计量。 分析—描述统计—频率，选择如下： 输出： 统计量 全国居民 农村居民 城镇居民 N 有效 22 22 22 缺失 均值 1116.82 747.86 2336.41 中值 727.50 530.50 1499.50 方差 1031026.918 399673.838 4536136.444 百分位数 25 304.25 239.75 596.25 50 727.50 530.50 1499.50 75 1893.50 1197.00 4136.75 3画直方图，茎叶图，QQ 图。（全国居民） 分析—描述统计—探索，选择如下： 输出： 全国居民 Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 5.00 0 . 56788 数据分析实验报告 【最新资料，WORD 文档，可编辑修改】 2.00 1 . 03 1.00 1 . 7 1.00 2 . 3 3.00 2 . 689 1.00 3 . 1 Stem width: 1000 Each leaf: 1 case(s) 分析—描述统计—QQ图，选择如下： 输出： 习题1.1 4数据正态性的检验：K—S检验，W检验数据： 取显着性水平为0.05 分析—描述统计—探索，选择如下：（1）K—S检验 结果：p=0.735 大于0.05 接受原假设，即数据来自正太总体。 （2 ）W 检验 结果：在Shapiro-Wilk 检验结果972.00 w ，p=0.174大于0.05 接受原假设，即数据来自正太总体。 习题1.5 5 多维正态数据的统计量 数据： (此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩： 数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #include 数值分析实验报告 实验四数值积分 一、用复合辛普森和龙贝格算法计算： 复合辛普森主函数xps： function xps(a,b,eps) n=0;Sd=0; S=(f(a)+f(b))*(b-a)/2; while abs(Sd-S)>eps Sd=S; n=n+1; h=(b-a)/n; for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end S1=f(x(1))+f(x(n+1)); S2=0; S3=0; for i=2:n S2=S2+f(x(i)); end S2=2*S2; for i=1:n S3=S3+f((x(i)+x(i+1))/2); end S3=4*S3; S=(S1+S2+S3)*h/6; end fprintf('%.15f\n',S); 龙贝格主函数romberg2： function romberg2 (a,b,eps) %a,b为区间，eps为精度 Rd=0; R=(b-a)/2*(f(a)+f(b)); N=0; while abs(Rd-R)>eps Rd=R; N=N+1; for k=1:2 if k==1 n=N*2; else; n=N; end h=(b-a)/n; for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end C=0; for i=1:n C1=7*f(x(i))+32*f(x(i)+1/4*h)+12*f(x(i)+2/4*h)+32*f(x(i)+3/4*h)+7*f(x(i+1)); C=C+C1*h/90; end if k==1 R=C*64/63; else R=R-C/63; end end end fprintf('结果为：%.15f',R); 1、建立被积函数文件f.m function y=f(x) y=exp(-x^2); 2、调用xps.m、romberg2.m求定积分. >> xps(0,0.5,0.0000001) 0.461281071728228 >>romberg2 (0,0.5,0.0000001) 结果为： 0.461281006413932 北京邮电大学 数字电路与逻辑设计实验 实验报告 实验名称：QuartusII原理图输入 法设计与实现 学院：北京邮电大学 班级： 姓名： 学号： 一．实验名称和实验任务要求 实验名称：QuartusII原理图输入法设计与实现 实验目的：⑴熟悉用QuartusII原理图输入法进行电路设计和仿真。 ⑵掌握QuartusII图形模块单元的生成与调用； ⑶熟悉实验板的使用。 实验任务要求：⑴掌握QuartusII的基础上，利用QuartusII用逻辑 门设计实现一个半加器，生成新的半加器图像模 块。 ⑵用实验内容（1）中生成的半加器模块以及逻辑门 实现一个全加器，仿真验证其功能，并能下载到实 验板上进行测试，要求用拨码开关设定输入信号， 发光二级管显示输出信号。 ⑶用3线—8线译码器（74L138）和逻辑门实现要求 的函数：CBA F+ C + =,仿真验证其 + B C B A A A B C 功能，，并能下载到实验板上进行测试，要求用拨 码开关设定输入信号，发光二级管显示输出信号。二．设计思路和过程 半加器的设计实现过程：⑴半加器的应有两个输入值，两个输出值。 a表示加数，b表示被加数，s表示半加和， co表示向高位的进位。 ⑵由数字电路与逻辑设计理论知识可知 b a s ⊕=;b a co ?= 选择两个逻辑门：异或门和与门。a,b 为异 或门和与门的输入，S 为异或门的输出，C 为与门的输出。 (3)利用QuartusII 仿真实现其逻辑功能， 并生成新的半加器图形模块单元。 (4)下载到电路板，并检验是否正确。 全加器的设计实现过程：⑴全加器可以由两个半加器和一个或门构 成。全加器有三个输入值a,b,ci ，两个输 出值s,co ：a 为被加数，b 为加数，ci 为低 位向高位的进位。 ⑵全加器的逻辑表达式为： c b a s ⊕⊕= b a ci b a co ?+?⊕=)( ⑶利用全加器的逻辑表达式和半加器的逻 辑功能，实现全加器。 用3线—8线译码器（74L138）和逻辑门设计实现函数 CBA A B C A B C A B C F +++= 设计实现过程：⑴利用QuartusII 选择译码器（74L138）的图形模块 实验三 龙贝格方法 【实验类型】 验证性 【实验学时】 2学时 【实验内容】 1.理解龙贝格方法的基本思路 2.用龙贝格方法设计算法，编程求解一个数值积分的问题。 【实验前的预备知识】 1．计算机基础知识2．熟悉编程基本思想3．熟悉常见数学函数； 【实验方法或步骤】 龙贝格方法的基本思路龙贝格方法是在积分区间逐次二分的过程中，通过 对梯形之值进行加速处理，从而获得高精度的积分值。 1． 龙贝格方法的算法 步骤1 准备初值()f a 和()f b ，用梯形计算公式计算出积分近似值 ()()12b a T f a f b -=+??? ? 步骤2 按区间逐次分半计算梯形公式的积分近似值令 2i b a h -=，0,1,2,...i =计算12102122n n n i i h T T f x -+=??=+ ??? ∑，2i n = 步骤3 按下面的公式积分梯形公式：()223n n n n T T S T -=+ 辛普生公式：()2215n n n n S S C S -=+ 龙贝格公式：()2263n n n n C C R C -=+ 步骤4 精度控制 当2n n R R ε-<，（ε为精度）时，终止计算，并取2n R 为近似值否则将步长折 半，转步骤2。 [实验程序] #include 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。 Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0; %%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f); 数值分析上机实验报告 《数值分析》上机实验报告 1.用Newton 法求方程 X 7-X 4+14=0 在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）。 1.1 理论依据： 设函数在有限区间[a ，b]上二阶导数存在，且满足条件 {}α?上的惟一解在区间平方收敛于方程所生的迭代序列 迭代过程由则对任意初始近似值达到的一个中使是其中上不变号 在区间],[0)(3,2,1,0,) (') ()(],,[x |))(),((|,|,)(||)(|.4;0)(.3],[)(.20 )()(.110......b a x f x k x f x f x x x Newton b a b f a f mir b a c x f a b c f x f b a x f b f x f k k k k k k ==- ==∈≤-≠>+ 令 )9.1()9.1(0)8(4233642)(0)16(71127)(0)9.1(,0)1.0(,1428)(3 2 2 5 333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f 故以1.9为起点 ?? ?? ? ='- =+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 如此一次一次的迭代，逼近x 的真实根。当前后两个的差<=ε时，就认为求出了近似的根。本程序用Newton 法求代数方程(最高次数不大于10)在（a,b ）区间的根。 1.2 C语言程序原代码： #include Romberg龙贝格算法实验报告 2017-08-09 课程实验报告 课程名称： 专业班级： CS1306班学号： U201314967 姓名：段沛云指导教师：报 告日期： 计算机科学与技术学院 目录 1 实验目的 (1) 2 实验原理 (1) 3 算法设计与流程框图 (2) 4 源程序 (4) 5 程序运行 (7) 6 结果分析 (7) 7 实验体会 (7) 1 实验目的 掌握Romberg公式的用法，适用范围及精度，熟悉Romberg算法的流程，并能够设计算法计算积分 31 得到结果并输出。 1x 2 实验原理 2.1 取k=0,h=b-a,求T0= 数)。 2.2 求梯形值T0( b-a ),即按递推公式（4.1）计算T0。 k 2 h [f(a)+f(b)]，令1→k,(k记区间[a，b]的二分次2 2.3 求加速值，按公式(4.12)逐个求出T表的第k行其余各元素Tj(k-j) (j=1,2,….k)。 2.4 若|Tk+1-Tk| n-1 11T2n=[Tn+hn∑f(xi+)] 22i=0 1 Sn=T2n+(T2n-Tn) 31 Cn=S2n+(S2n-Sn) 151 Rn=C2n+(C2n-Cn) 63 3 算法设计与流程框图 算法设计：(先假定所求积分二分最大次数次数为20) 3.1 先求T[k][0] 3.2 再由公式T (k)m 4m(k+1)1)=mTm-1-mTm(k-1(k=1,2,) 求T[i][j] 4-14-1 3.3 在求出的同时比较T[k][k]与T[k-1][k-1]的大小，如果二者之差的绝对 值小于1e-5，就停止求T[k][k]；此时的k就是所求的二分次数，而此时的T[k][k]就是最终的结果 3.4 打印出所有的T[i][j]；程序流程图 实验一、误差分析 一、实验目的 1．通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2．通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念； 3．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 二．实验原理 误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。 三．实验内容 对20,,2,1,0 =n ，计算定积分 ?+=10 5dx x x y n n . 算法1：利用递推公式 151--=n n y n y , 20,,2,1 =n , 取 ?≈-=+=1 00182322.05ln 6ln 51dx x y . 算法2：利用递推公式 n n y n y 51511-= - 1,,19,20 =n . 注意到 ???=≤+≤=10 10202010201051515611261dx x dx x x dx x , 取 008730.0)12611051(20120≈+≈y .: 四.实验程序及运行结果 程序一： t=log(6)-log(5); n=1; y(1)=t; for k=2:1:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y y =0.0884 y =0.0581 y =0.0431 y =0.0346 y =0.0271 y =0.0313 y =-0.0134 y =0.1920 y =-0.8487 y =4.3436 y =-21.6268 y =108.2176 y =-541.0110 y =2.7051e+003 y =-1.3526e+004 y =6.7628e+004 y =-3.3814e+005 y =1.6907e+006 y =-8.4535e+006 y =4.2267e+007 程序2： y=zeros(20,1); n=1; y1=(1/105+1/126)/2;y(20)=y1; for k=20:-1:2 y(k-1)=1/(5*k)-(1/5)*y(k); n=n+1; end 运行结果：y = 0.0884 0.0580 0.0431 0.0343 0.0285 0.0212 0.0188 0.0169 实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 北京邮电大学电路实验报告-(小彩灯) 电子电路综合实验报告课题名称：基于运算放大器的彩灯显示电路的设计与实现 姓名：班级：学号： 一、摘要： 运用运算放大器设计一个彩灯显示电路，通过迟滞电压比较器和反向积分器构成方波—三角波发生器，三角波送入比较器与一系列直流电平比较，比较器输出端会分别输出高电平和低电平，从而顺序点亮或熄灭接在比较器输出端的发光管。 关键字： 模拟电路，高低电平，运算放大器，振荡，比较 二、设计任务要求： 利用运算放大器LM324设计一个彩灯显示电路，让排成一排的5个红色发光二极管(R1～R5)重复地依次点亮再依次熄灭（全灭→R1→R1R2→R1R2R3→R1R2R3R4→R1R2R3R4R5→R1R2R3R4→R1R2R3→R1R2→R1→全灭），同时让排成一排的6个绿色发光二极管（G1～G6）单光 三角波振荡电路可以采用如图2-28所示电路，这是一种常见的由集成运算放大器构成的方波和三角波发生器电路，图2-28中运放A1接成迟滞电压比较器，A2接成反相输入式积分器，积分器的输入电压取自迟滞电压比较器的输出，迟滞电压比较器的输入信号来自积分器的输出。假设迟滞电压比较器输出U o1初始值为高电平，该高电平经过积分器在U o2端得到线性下降的输出信号，此线性下降的信号又反馈至迟滞电压比较器的输入端，当其下降至比较器的下门限电压U th-时，比较器的输出发生跳变，由高电平跳变为低电平，该低电平经过积分器在U o2端得到线性上升的输出信号，此线性上升的信号又反馈至迟 滞电压比较器的输入端，当其上升至比较器的上门限电压U th+时，比较器的输出发生跳变，由低电平跳变为高电平，此后，不断重复上述过程，从而在迟滞电压比较器的输出端U o1得到方波信号，在反向积分器的输出端U o2得到三角波信号。假设稳压管反向击穿时的稳定电压为U Z，正向导通电压为U D，由理论分析可知，该电路方波和三角波的输出幅度分别为： 式（5）中R P2为电位器R P动头2端对地电阻，R P1为电位器1端对地的电阻。 由上述各式可知，该电路输出方波的幅度由稳压管的稳压值和正向导通电压决定，三角波的输 出幅度决定于稳压管的稳压值和正向导通电压以及反馈比R1/R f，而振荡频率与稳压管的稳压值和正向导通电压无关，因此，通过调换具有不同稳压值和正向 导通电压的稳压管可以成比例地改变方波和三角波的幅度而不改变振荡频率。 电位器的滑动比R P2/R P1和积分器的积分时间常数R2C的改变只影响振荡频率而 不影响振荡幅度，而反馈比R1/R f的改变会使振荡频率和振荡幅度同时发生变化。因此，一般用改变积分时间常数的方法进行频段的转换，用调节电位器滑动头 的位置来进行频段内的频率调节。 序言 数值分析是计算数学的范畴，有时也称它为计算数学、计算方法、数值方法等，其研究对象是各种数学问题的数值方法的设计、分析及其有关的数学理论和具体实现的一门学科，它是一个数学分支。是科学与工程计算（科学计算）的理论支持。许多科学与工程实际问题（核武器的研制、导弹的发射、气象预报）的解决都离不开科学计算。目前，试验、理论、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。 数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。现在面向数值分析问题的计算机软件有：C,C++,MATLAB,Python,Fortran等。 MATLAB是matrix laboratory的英文缩写，它是由美国Mathwork公司于1967年推出的适合用于不同规格计算机和各种操纵系统的数学软件包，现已发展成为一种功能强大的计算机语言，特别适合用于科学和工程计算。目前，MATLAB应用非常广泛，主要用于算法开发、数据可视化、数值计算和数据分析等，除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 本实验报告使用了MATLAB软件。对不动点迭代，函数逼近（lagrange插值，三次样条插值，最小二乘拟合），追赶法求解矩阵的解，4RungeKutta方法求解，欧拉法及改进欧拉法等算法做了简单的计算模拟实践。并比较了各种算法的优劣性，得到了对数值分析这们学科良好的理解，对以后的科研数值分析能力有了极大的提高。 目录 序言 (1) 问题一非线性方程数值解法 (3) 1.1 计算题目 (3) 1.2 迭代法分析 (3) 1.3计算结果分析及结论 (4) 问题二追赶法解三对角矩阵 (5) 2.1 问题 (5) 2.2 问题分析（追赶法） (6) 2.3 计算结果 (7) 问题三函数拟合 (7) 3.1 计算题目 (7) 3.2 题目分析 (7) 3.3 结果比较 (12) 问题四欧拉法解微分方程 (14) 4.1 计算题目 (14) 4.2.1 方程的准确解 (14) 4.2.2 Euler方法求解 (14) 4.2.3改进欧拉方法 (16) 问题五四阶龙格-库塔计算常微分方程初值问题 (17) 5.1 计算题目 (17) 5.2 四阶龙格-库塔方法分析 (18) 5.3 程序流程图 (18) 5.4 标准四阶Runge-Kutta法Matlab实现 (19) 5.5 计算结果及比较 (20) 问题六舍入误差观察 (22) 6.1 计算题目 (22) 6.2 计算结果 (22) 6.3 结论 (23) 7 总结 (24) 附录 电子电路综合设计实验报告 实验1 函数信号发生器的设计与实现 姓名：------ 学号：---------- 班内序号：-- 一. 实验名称： 函数信号发生器的设计与调试 二.实验摘要： 采用运放组成的积分电路产生方波-三角波，可得到比较理想的方波和三角波。根据所需振荡频率的高低和对方波前后沿陡度的要求以及对所需方波、三角波的幅度可以确定合适的运放以及稳压管的型号、所需电阻的大小和电容的值。三角波-正弦波的转换是利用差分放大器来完成的，选取合适的滑动变阻器来调节三角波的幅度以及电路的对称性。同时利用隔直电容、滤波电容来改善输出正弦波的波形。 关键词： 方波三角波正弦波频率可调 三、设计任务要求 1．基本要求： （1）输出频率能在1-10KHz范围内连续可调，无明显失真； （2）方波输出电压Uopp=12V,上升、下降沿小于10us,占空比可调范围30%-70%； （3）三角波Uopp=8V; （4）正弦波Uopp错误！未找到引用源。1V. （5）设计该电路的电源电路（不要求实际搭建） 2.提高要求： （1）正弦波、三角波和方波输出波形的峰峰值Uopp均可在1V-10V内连续可调。 （2）三种输出波形的输出端口的输出阻抗小于100Ω。 （3）三种波形从同一端口输出，并能够显示当前输出信号的种类、大小和频率 （4）用CPLD设计DDS信号源 （5）其他函数信号发生器的设计方案 四、设计思路以及总体结构框图 本课题中函数发生器结构组成如下所示：由比较器和积分器组成方波—三角波产生电 路，比较器输出的方波经积分器得到三角波，三角波到正弦波的变换电路主要由差分放大器来完成。差分放大器具有工作点稳定，输入阻抗高，抗干扰能力较强等优点。特别是作为直流放大器时，可以有效地抑制零点漂移，因此可将频率很低的三角波变换成正弦波。波形变换的原理是利用差分放大器传输特性曲线的非线性。 图4-1 函数信号发生器的总体框图 五.分块电路和总体电路的设计 （1）方波——三角波产生电路 图5-1 方波-三角波产生电路数值分析实验报告1
数据分析实验报告
数值计算实验报告
数值积分实验报告
北京邮电大学数字电路实验报告
数值分析龙贝格实验报告
(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告
数值分析上机实验报告
Romberg龙贝格算法实验报告.
数值分析实验报告
数值分析实验报告1
北京邮电大学电路实验报告-(小彩灯)
数值分析2016上机实验报告
北邮-电子电路综合设计实验(函数信号发生器)报告
相关主题
文本预览