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第二章有理数 (3)
§2.1 正数和负数 (3)
1. 相反意义的量 (3)
2. 正数与负数 (4)
练习 (4)
3. 有理数 (5)
练习 (6)
习题2.1 (7)
阅读材料－－中国人最早使用负数 (8)
§2.2 数轴 (8)
1. 数轴 (8)
练习 (9)
2.在数轴上比较数的大小 (10)
练习 (11)
习题2.2 (11)
§2.3 相反数 (13)
练习 (14)
习题2.3 (15)
§2.4 绝对值 (16)
练习 (17)
习题2.4 (18)
§2.5 有理数的大小比较 (19)
练习 (21)
习题 2.5 (22)
§2.6 有理数的加法 (22)
1. 有理数加法法则 (22)
练习 (25)
2. 有理数加法的运算律 (26)
练习 (27)
习题 2.6 (28)
§2.7 有理数的减法 (29)
练习 (31)
习题 2.7 (31)
§2.8 有理数的加减混合运算 (33)
1. 加减法统一成加法 (33)
练习 (33)
2. 加法运算律在加减混合运算中的应用 (34)
练习 (34)
习题 2.8 (35)
§2.9 有理数的乘法 (36)
1.有理数的乘法法则 (36)
练习 (37)
2．有理数乘法的运算律 (38)
练习 (39)
练习 (41)
习题2.9 (41)
§2.10 有理数的除法 (43)
练习 (45)
习题2.10 (46)
§2.11 有理数的乘方 (47)
练习 (48)
习题2. 11 (49)
§2.12 科学计数法 (49)
练习 (50)
习题2.12 (50)
阅读材料－－光年和纳米 (50)
§2.13 有理数的混合运算 (51)
练习 (53)
练习 (54)
习题2. 13 (55)
§2.14 近似数和有效数字 (56)
练习 (57)
习题 2.14 (58)
读一读 (58)
§2.15 用计算器进行数的简单运算 (59)
练习 (62)
习题 2. 15 (63)
小结 (63)
复习题 (64)
第二章有理数
在上面的天气预报电视屏幕上，我们看到，这一天上海的最低温度是-5℃，读作负5℃，表示零下5℃。这里，出现了一种新数——负数.
我们将会看到，除了表示温度以外，还有许多量需要用负数来表示.有了负数，数的家族引进了新的成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用.
本章将与你一起认识负数，把数的范围扩充到有理数，并研究有理数的大小比较和运算.
§2.1 正数和负数
我们知道，为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数1，2，3，...; 为了表示“没有”，引入了数0；有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数(小数)表示. 总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.
1. 相反意义的量
在日常生活中，常会遇到这样的一些量：
例1 汽车向东行驶3公里和向西行驶2公里；
例2 温度是零上10℃和零下5℃；
例3 收入500元和支出237元;
例4 水位升高5.5米和下降3.6米等等.
这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反意义的量，向东和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反的意义.
这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点?
你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗?
2. 正数与负数
对于相反意义的量, 只用原来的那些数很难区分量的相反意义. 例如,零上5℃用5表示, 那么零下5℃就不能仍用同一个数5来表示.
想一想
怎样表示具有相反意义的量呢?能否从天气预报的电视屏幕上出现的标记中，得到一些启发呢?
在天气预报的电视屏幕上我们发现，零下5℃可以用-5℃来表示. 一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示.
就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃用 -5℃来表示.
在例1中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶3公里记作3公里，向西2公里应记作-2公里.
在例3中，如果规定收入为正，收入500元记作500元，支出237元应记作什么?
在例4中，如果升高5.5米记作5.5米,下降3.6米记作什么? 在这些讨论中，出现了哪些新数?
为了表示具有相反意义的量, 我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数, 这是一种新数,
叫做负数(negative number). 过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数(positive number). 正数前面有时也可放上一个"+"号, 如5可以写成+5, +5和5是一样的. 注意: 0既不是正数,也不是负数.
练习
1.将你所举出的具有相反意义的量用
正数或负数来表示.
2.在中国地形图上，在珠穆朗玛峰和吐
鲁番盆地处都标有表明它们的高度的数，如图所示.这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8848和-155表示的实际意义。海平面的高度用什么数表示?
3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?
+6；-21；54；0；
7
22；-3.14；0.001；-999
4.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什么?
3. 有理数
想一想
引进了负数以后，我们学过的数有哪些?
引进了负数以后，我们学过的数就有： 正整数，如1，2，3，...; 零: 0;
负整数, 如-1,-2,-3,...; 正分数, 如31
,
7
22,4.5(即2
14
);
负分数, 如-
2
1,7
22-,-0.3(即10
3-),5
3-
....
正整数、零和负整数统称整数(integers)，正分数和负分数统称分数(fractions).整数和分数统称有理数(rational numbers).
有如下分类表：
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集(set of numbers).所有的有理数组成的 数集叫做有理数集.类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等.
例5 把下列各数填入表示它所在的数集的
圈子里： -18, 7
22 , 3.1416, 0, 2001, 5
3-
, -0.142857, 95%
正整数负整数
正整数负整数
整数集有理数集
练习
1. 请说出两个正整数, 两个负整数, 两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗?
2. 有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数? 如有,这样的数有几个?
3. 下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个数既在正数集合内, 又在整数集合内.这三个数应填在哪里? 你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗?
正数集整数集
习题2.1
1. 下列各数,哪些是整数,哪些是分数? 哪些是正数,哪些是负数?
1， -0.10，85
，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.1
2.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：
3
1-, 0.618, -3.14, 260, -2001,
7
6, 3
.0 -, -5%
整数集 分数集
负数集 有理数集
3.下面的大括号表示一些数的集合,把第1、2两题中的各数填入相应的大括号里:
正整数集:{ } 负整数集:{ }
正分数集:{ } 负分数集:{ }
4 观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数，你能说出第100个数、第2000个数、第2001个数是什么吗?
(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ， ，......；
(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ， ，......； (3)-1,2
1
,-3
1
,4
1
,5
1-
,6
1,7
1
-, , , ,......
阅读材料－－中国人最早使用负数
——《九章算术》和我国古代的“正负术”
《九章算术》是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前一世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、勾股等九章，其中所包含的数学成就是十分丰富的。 引进和使用负数是《九章算术》的一项突出的贡献。在《九章算术》的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，就需要引进负数《九章算术》在方程章中提出了如下的“正负术”： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。” 这实际上就是正负术的加减运算法则。“同名”、“异名”分别指同号、异号；“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减。前四句说的是正负数和零的减法法则，后四句说的是正负数和零的加法法则。用符号表示，设a ＞b ＞0，这八句话可以表示为： (±a)－(±b)＝±(a －b)； (±a)－(μb)＝±(a ＋b)； 0 a ＝－a ； 0－(－a)＝＋a ；
(±a)＋(μb)＝±(a －b),(±b)＋(μa)＝μ(a －b)； (±a)＋(±b)＝±(a －b)； 0＋a ＝＋a ；
0＋(－a)＝－a 。
不难看出，所有这些是与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的。
《九章算术》以后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。
在国外，负数的出现和使用要比我国迟好几百年，直到七世纪时印度数学家才开始使用负数。而在欧洲，直到十六世纪韦达的著
作还拒绝使用负数。
§2.2 数轴
1. 数轴
我们在小学学习数学时，就能用直线上依次排列的点来表示自然数，它帮助我们认识了自然数的大小关系.
想一想
能不能用直线上的点表示正数、零和负数?从温度计上能否得到一点启发?
温度计上有刻度，可以方便地读出温度的度数，并且可以区分出是零上还是零下。 与温度计相仿，我们可以在一条直线上规定一个正方向，就可以用这条直线上的点表示正数、零和负数. (图2-2-1) 体做法如下：
画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示０.规定直线 图2-2-1上从原点向右为正方向,画上箭头,那么相反方向为负方向. 再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…(图2-2-2).
图2-2-2
概括
象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 . 在数轴上画出表示有理数的点，可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一个方向，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度.
例1. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
4，-2，-4.5，31
1 ，0 .
解 如图2-2-3所示
图2-2-3
练习
1.下列各图表示数轴是否正确?为什么?
⑴
⑵
⑶
⑷
2.指出数轴上点A 、B 、C 、D 分别表示什么数.
3.画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
-1.8,0,-3.5,
3
10,2
16
再按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排成一行.
2.在数轴上比较数的大小
观察
画数轴时，我们从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上数1，2，3，….所以，在数轴正方向，越右边的点表示的数越大.
根据数轴的画法，在数轴负方向，我们也有：越左边的点表示的数越小，就象温度计上刻度-2℃的温度低于-1℃，-3℃的温度低于-2℃，…一样.
概括
我们发现，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
根据有理数在数轴上表示的相对位置，在应用中我们也常说：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.
例2 将有理数3，0，6
5
1，-4按从小到大顺序排列，用“＜”号
连接起来.
解 正数65
1＜3，由正、负数大小比较法则，得
-4＜0＜6
5
1＜3 .
例3 比较下列各数的大小：
-1.3，0.3，-3，-5 .
解 将这些数分别在数轴上表示出来(图2-2-4)：
图2-2-4
所以 -5＜-3＜-1.3＜0.3
练习
1.判断下列各式是否正确:
⑴ 2.9＞-3.1； ⑵ 0＜-14；
⑶ -10＞-9； ⑷ -5.4＜-4.5
2.用“＜”号或“＞”号填空：
⑴ 3.6 2.5； ⑵ -3 0；
⑶ -16 -1.6； ⑷ +1 -10；
⑸ -2.1 +2.1； ⑹ -9 -7
习题2.2
1. 指出数轴上A 、B 、C 、D 各点所表示的数：
2. 分别画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
⑴ -2.1，-3，0.5，2
14
；
⑵ -50，250，0，-400 .
3. 指出在数轴上表示下列各数的点分别位于原点的哪边，与原点距离多少个单位长度：
-3，4.2，-1，
2
1 .
4. 一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度.
可以看出，终点表示数-2.
请同学参照上图，完成填空：
已知A 、 B 是数轴上的点.
(1)如果点A 表示 数-3，将A 向右移动7个单位长度，那么终点表示数 ；
(2)如果点A 表示数3， 将A 向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示数 ；
(3)如果将点B 向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0，那么点B 所表示的数是 .
5. 比较下列每对数的大小：
(1)-8，-6； (2)-5, 0.1； (34
1-
,0； (4)-4.2；-5.1；
(5) 3
2
,
2
3 ； (6) 5
1+
,0 ；
6. 画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从小到大顺序排列，用“<”连接起来：
(1)1，-2，3，-4； (2) 3
1
，0 ，-3 ，0.2.
7. 下表是某年一月份我国几个城市的平均气温，将各城市按平均气温从高到低的顺序排列.
8. 下列各数是否存在?有的话把他们找出来： (1) 最小的正整数； (2) 最小的负整数； (3) 最大的负整数； (4) 最小的整数.
§2.3 相反数
观察
以下两对数中，各有什么共同特点? -6 和 6 ， 1.5 和 -1,5 .
很明显，每对数中的两个数都只有符号不同.
图2-3-1
想一想
在数轴上，表示每对数的点有什么相同?有什么不同?
在数轴上(图2-3-1)，-6和6位于原点两旁，且与原点的距离相等，也就是说，它们对于原点的位置只有方向不同。1.5 和 -1.5也是这样.
概括
象这样只有符号不同的两个数称互为相反数 (opposite number).如2
1
1 和-2
1
1 互为相反数.即2
1
1是-2
1
1 的相反数. -2
11
是2
1
1 的相反数.
在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.
我们还规定：0的相反数是0. 是否还有相反数等于本身的数? 例1 分别写出下列各数的相反数： 5，-7，-21
3 ，+11.2.
解: 5的相反数是-5.
-7的相反数是7.
-2
1
3的相反数是2
1
3.
+11.2的相反数是-11.2.
我们通常把在一个数前面添上“-”号，表示这个数的相反数.例如 -(-4)=4, -(+5.5)=-5.5，- 0 = 0.
同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身.
例如 +(-4)=-4，+(+12)=12，+ 0 = 0.
例2 化简下列各数：
(1)-(+10)； (2)+(-0.15)；
(3)+(+3)； (4)-(-20).
解 (1)-(+10)=-10.
(2)+(-0.15)=-0.15.
(3)+(+3)=+3 = 3.
(4)-(-20)=20. 练习
1. 填空：
(1)2.5的相反数是 ； (2) 是-100的相反数；
(3) 5
1
5-是 的相反数；
(4) 的相反数是-1.1； (5)8.2和 互为相反数.
2. 化简下列各数：
(1) -(+0.78)； (2)+(+51
9)；
(2) (3)-(-3 .14)； (4)+(-10.1).
3. 判断下列语句是否正确，为什么?
(1) 符号相反的两个数叫做互为相反数；
(2)互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数；
(3)相反数和我们以前学过的倒数是一样的.
习题2.3
1. 分别写出下列各数的相反数：
-2.5，1，0，21
3，-(+10).
2. 画出数轴，在数轴上表示下列各数及它们的相反数： 41
4，-2，0，-3.75.
3. 化简下列各数：
(1)-(-16)； (2)-(+25)；
(3)+(-12)； (4)+(+2.1)；
(5)-(+33)； (6)+(-0)；
(7) ()[]3+--； (8) ()[]5.1+-+.
4. 回答下列问题：
(1) 什么数的相反数大于本身?
(2) 什么数的相反数等于本身?
(3) 什么数的相反数小于本身?
§2.4 绝对值
观察
在一些量的计算中，有时并不注重其方向.例如为了计算汽车行驶所耗汽油，起主要作用的是汽车行驶的路程而不是行驶的方向.
在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度，与位于原点何方无关.
我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值( absolute value ).记作|a|
例如，在数轴上表示数-6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以-6和6的绝对值都是6，记作|-6|=|6|=6.同样可知|-4|=4，|+1.7|=1.7.
试一试：
你能从中发现什么规律? (1)|+2|= ，
5
1= ，|+8.2|= ；
(2)|0|= ；
(3)|-3|= ，|-0.2|= ，|-8.2|= .
概括
由绝对值的意义，我们可以知道：
1. 一个正数的绝对值是它本身；
2. 0的绝对值是0；
3. 一个负数的绝对值是它的相反数.
由此可以看出，不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或
0(通常也称非负数).
即对任意有理数a ，总有
|a|≥0.
这是一条重要的性质.
例1 求下列各数的绝对值：
2
17
-,
10
1,-4.75,10.5
解
2
17
-=2
1
7
10
1+
=
10
1
|-4.75|=4.75
|10.5|=10.5.
例2 化简：
(1)??
?
??+
-21;
(2)3
11
--
解
(1) 2
1
21211
=-
=??? ??+- ;
(2) 3
11
3
11
-=--
练习
1. 求下列各数的绝对值：
-5，4.5，-0.5，+1，0.
2. 填空：
(1)-3的符号是 ，绝对值是 ；
(2)符号是“+”号，绝对是7的数是 ；
(3)10.5的符号是 ，绝对值是 ；
(4)绝对值是5.1，符号是“-”号的数是 .
3. 回答下列问题：
(1) 绝对值是12的数有几个?是什么?
(2) 绝对值是0的数有几个?是什么?
(3) 有没有绝对值是-3的数?为什么?
习题2.4
1. 在数轴上表示下列各数，并分别写出它们的绝对值：
2
11
-，5，0，-2，4.2
2. 化简：
(1)3
2-
-; (2)14
-+
;
(3)??
? ?
?+-213
;
(4))5.6(--.
3. 计算：
(1)56-++; (2) 1.23.3---;
(3) 3
11
5.4+?-;
(4) 3
22
11
-
÷.
4. 下列判断是否正确?为什么?
(1) 有理数的绝对值一定是正数；
(2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
(3) 如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身；
(4) 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.
§2.5 有理数的大小比较
联想
我们已经知道，在数轴上表示的两个有理数，左边的数总比右边的数小.而两个负数在数轴上表示，左边的数与原点的距离较大，也就是绝对值较大.
我们发现：两个负数，绝对值大的反而小. 这样，比较两个负数的大小，只要比较它们的绝对值的大小就可以了。
例如，比较两个负数4
3-
和3
2-
的大小：
① 先分别求出它们的绝对值：
4
3-=
4
3=
12
9
② 比较绝对值的大小： 因为
12
812
9>
所以
3
243>
③ 得出结论：
3
243-
>-
归纳
联系到2.2节的结论，我们可以得到有理数大小比较的一般法则：
(1) 负数小于0，0小于正数，负数小于正数；
(2) 两个正数，应用已有的方法比较；
(3) 两个负数，绝对值大的反而小.
例1 比较下列各对数的大小： （1） －1与－0.01; （2） 2--与0 （3） －0.3与3
1-
（4） ??
? ?
?--91与10
1-
-
解 (1)这是两个负数比较大小，
因为|-1|=1， |-0.01|=0.01，
且 1>0.01，
所以 -1< -0.01 .
(2) 化简 -|-2|=-2，
因为负数小于0，
所以-|-2| < 0 .
(3) 这是两个负数比较大小，
因为|-0.3|=0.3，?
==
-
3.03
13
1
且 0.3 < ?
3.0，
所以31
3.0->-
(4) 分别化简两数，得
第二十一章一元二次方程 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容． 方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”． 本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题． 【本章重点】
一元二次方程的解法及应用． 【本章难点】 1．一元二次方程根与系数的关系的应用． 2．利用一元二次方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程． 2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型． 21.1一元二次方程1课时 21.2解一元二次方程4课时 21.3实际问题与一元二次方程1课时
21.1一元二次方程 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解一元二次方程及相关概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式． 3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 【过程与方法】 从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念． 【情感态度与价值观】 通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养． 二、重难点目标 【教学重点】 1．一元二次方程的概念及其一般形式． 2．判断一个数是不是一元二次方程的解． 【教学难点】 能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
初中数学北师大版八年级上册第二章7二次根式练习题 一、选择题 1. 小明的作业本上有以下四题：①√16a 4=4a 2；②√5a ×√10a =5√2a ；③√18= 3√2；④√3a ?√2a =√a.做错的题是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. 若√4n m+n 与√27m +9n 化成最简二次根式是可以合并的，则m 、n 的值可以是( ) A. m =0，n =2 B. m =1，n =1 C. m =0，n =2或m =1，n =1 D. m =2，n =0 3. 在算式(?√33)?(?√33)的“?”中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是 ( ) A. 加号 B. 减号 C. 乘号 D. 除号 4. 等式√x x?3=√x √x?3成立的条件是( ) A. x ≥0且x ≠3 B. x ≠3 C. x ≥0 D. x >3 5. 如果等式(√?x)2=x 成立，那么x 为( ) A. x ?0 B. x =0 C. x <0 D. x ≥0 6. 对于二次根式√x 2+9，以下说法不正确的是( ) A. 它是一个正数 B. 是一个无理数 C. 是最简二次根式 D. 它的最小值是3 7. 下列各式中能与√1 27合并的二次根式是( ) A. √23 B. √18 C. √12 D. √1 9
8.一个长方体的体积是√48cm3，长是√6cm，宽是√2cm，则高是() A. 4cm B. 12√3cm C. 2cm D. 2√3cm 9.下列化简正确的是() A. √12=4√3 B. √(?5)2=?5 C. √1 3=√3 3 D. √8?√2=√6 10.若√x?1?√1?x=(x+y)2,则x?y的值为() A. ?1 B. 1 C. 2 D. 3 11.1 2x√4x+6x√x 9 ?4x√x的值一定是() A. 正数 B. 非正数 C. 非负数 D. 负数 12.要使二次根式√x?3有意义，则x的取值范围是() A. x≠3 B. x>3 C. x≤3 D. x≥3 二、填空题 13.若y=√1?x+√x?1?2，则(x+y)2003=______． 14.已知n是正整数，√72n是整数，则n的最小值是______． 15.若根式√x?2020有意义，则______． 16.若m=√n2?4+√4?n2?1 n?2 ，则mn2的值为______． 17.(2?√5)2的算术平方根是______． 三、解答题 18.计算： (1)1 2√6×4√12÷2 3 √2； (2)√2?√5+√20?√8．
学生姓名性别年级八年级（下）学科数学 授课教师上课时间年月日第（）次课课时：课时 教学课题第二十章数据的分析 教学目标 1．进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的统计意义； 2．会计算加权平均数，理解“权”的意义，能选择适当的统计量表示数据的集中趋势； 3．会计算极差和方差，理解它们的统计意义，会用它们表示数据的波动情况； 4．能用计算器的统计功能进行统计计算，进一步体会计算器的优越性； 5．会用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差，进一步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想； 6．从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度。教学重点 与难点 统计中常用的平均数有算数平均数（简单算数平均数和加权算数平均数）、调和平均数、几何平均数 等。根据《标准》的要求，本章着重研究了加权平均数。 教学过程 第二十章数据的分析 一、知识结构 二、考点呈现 考点一、平均数的计算 例1 某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从七年级的200名同学中任选出十名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表： 节水量（单位：吨）0．5 1 1．5 2 同学数（人） 2 3 4 1 请你估计这200名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（） A．180吨 B．200吨 C．240吨 D．360吨 解析：选出的10名同学家庭平均节约用水量为x=（0.5×2+1×3+1.5×4+2×1）÷10=1.2，根据样本平均数可以估计总体平均数为1.2吨，所以估计这200名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 1.2×200=240（吨），故选C. 点评:平均数是用来衡量一组数据的一般水平，本题首先计算样本平均数，再用样本平均数可以估计总体平
第二章 勾股定理与平方根 基础知识复习 【知识点 1】 平方根概念： 算术平方根： 〖跟踪训练〗1.求下列各数的平方根和算术平方根（先表示，再化简） 36 42 10-2 16 0.64 2．求下列各式中x 的值． 0252 =-x 81)1(42 =+x 6442 =x 0982 2 =-x 【知识点 2】 一个正数 ， 一个负数 , 0 〖跟踪训练〗 计算： 9 144144 49? 494 8116- 416 1 3+- 【知识点 3】立方根概念： 〖跟踪训练〗 1．求各数的立方根（先表示，再化简） 125 3-3 （-8） 2 - 64 2.计算 ⑴ 327102- （2）3271-- （3）3364 1 8-? 3.求下列各式的x. ⑴x 3 -216=0 ⑵8x 3 +1=0 ⑶(x+5)3 =64 【知识点 4】 无理数概念： 常见无理数有： 〖跟踪训练〗1．在实数3 1，3 8-，3.14，π，2-，39，3.1415926,中属于有理数有 个； 属于无理数的有 ． 2．下列说法正确的是（ ）. A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数 C.无理数是无限小数 D.无理数是开方开不尽的数 【知识点 5】 实数概念及分类 实数： 〖跟踪训练〗1．与数轴上的点一一对应的数是 。 2. 数轴上表示6-的点到原点的距离是 。点M 在数轴上与原点相距 5个单位,则点M 表示的为 。 3. 3 22 7.251249 270.317 π --- 1.23223222322223... 有理数集合：｛ …｝无理数集合：｛ …｝ 正实数集合：｛ …｝负实数集合：｛ …｝ 4．在数轴上画出表示5-和10的点。 【知识点 5】 在实数范围内，无理数与有理数意义相同 〖跟踪训练〗1．21-的相反数是 ；绝对值是 ． 2. 比较大小： 3 2 35 4 3 37- 8- 3. 3 18 - 的倒数是 ，绝对值是 ，相反数是 。 16的算术平方根为 。 【知识点 6】 近似数与有效数字 有效数字 。 1．用四舍五入法求30449的近似值，要求保留三个有效数字，结果是（ ） A.3.045×10 4 B.30400 C3.05×104 D3.04×10 4 2.近似数0.406精确到 ，有 个有效数字。 3.5.47×105 精确到 位，有 个有效数字。 4.近似数1.69万精确到 位，有 个有效数字，有效数字是 ． 5.小明的体重约为51.51千克，如果精确到10千克，其结果为 千克；如果精确到1千克，其结果为 千克；如果精确到0.1千克，其结果为 千克． 练习巩固 1．有下列四个说法：①1的算术平方根是1，② 81的立方根是±2 1 ，③-27没有立方根，④互为相反数的两数的立方根互为相反数，其中正确的是（ ）A .①② B .①③ C .①④ D .②④ 2．我国最厂长的河流长江的全长约为6300千米，用科学记数法表示为（ ）. A.63×102 千米 A.6.3×102 千米 C.6.3×103 千米 D.6.3×104 千米 3. 如图，以数轴的单位长线段为边作一正方形，以数轴的原点为圆心， 正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ， 则点A 表示的数是（ ）. A.2 1 1 B.1.4 C.3 D. 2 4.49的平方根是 ，36的算术平方根是 ，8-的立方根是 。 5. 3 164 - 的倒数是 , 3的倒数的相反数是 。
人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点
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第二十一章 一元二次方程 21.1一元二次方程 1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。形如：()2 00ax bx c a ++=≠ 例1．关于x 的方程(m －4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程. 【答案】≠4，=4 【解析】 试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果. 由题意得当m≠4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程. 考点：一元二次方程，一元一次方程 点评：熟练掌握各种方程的基本特征是学好数学的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般. 例2．关于x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________. 【答案】m ≠-1且m ≠2 【解析】 试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。 由题意得m2-m-2≠0，解得m ≠-1且m ≠2. 考点：本题考查的是一元二次方程成立的条件 点评：解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），尤其注意a≠0. 2、a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 例1．一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是 （ ） A ．3，-6，1 B ．3，6，1
第二章单元测试题 一、选择题 1.小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米) 2.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm 3.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 4.已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 5.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ C ） 7 24 25 207 15 2024 25 7 25 20 24 25 7 202415 (A) (B) (C) (D) 6.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm 2 ,则斜边长为（ ）. （A ） 80cm (B)30cm (C)90cm (D120cm. F 第4题图
7.如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形)(b a >，余下的部分拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式。则这个等式是（ ） （A ）))((22b a b a b a +-=- (B)2222)(b ab a b a ++=+ (C) 2222)(b ab a b a +-=- (D)222))(2(b ab a b a b a -+=-+ 8.△ABC 中的三边分别是m 2 -1，2m ，m 2 +1（m>1），那么（ ） A ．△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2 +1． B ．△ABC 是直角三角形，且斜边长为2m ． C ．△ABC 是直角三角形，但斜边长由m 的大小而定． D ．△ABC 不是直角三角形． 二、填空题 9.已知直角三角形斜边长为12㎝，周长为30㎝，则此三角形的面积为__ __。 10.2 10-的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 11.已知点P 是边长为4的正方形ABCD 的AD 边上一点，AP=1，BE ⊥PC 于E ，则BE=____ __。 12.如图，一架长2.5m 的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B?离墙脚O?的距离是0.7m ，当梯子的顶部A 向下滑0.4m 到A ′时， ′O=2m,求得B ′O=1.5.)
第二十一章综合测试 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.将方程2324664x x x x +-+=+（）化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（ ） A .3-，6- B .3，6 C .3，6- D .3，2- 2.方程2353x x x -=-（）（） 的根是（ ） A .52x = B .3x = C .13x =，22x = D .12x =-，23x =- 3.（2014·广东）关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A .9 4m ＞ B .9 4m ＜ C .94m = D .9 4 m -＜ 4.若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中的0a b c ++=，则该方程必有一根为（ ） A .0 B .1 C .1- D .1± 5.下列方程没有实数根的是（ ） A .2423x x +=（） B .2510x x --=（） C .2100x x -= D .2924160x x -+= 6.若1x ，2x 是一元二次方程210160x x ++=的两根，则12x x +的值是（ ） A .10- B .10 C .16- D .16 7.经计算整式1x +与4x -的积为234x x --，则一元二次方程2340x x --=的根为（ ） A .11x =-，24x =- B .11x =-，24x = C .11x =，24x = D .11x =，24x =- 8.近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低.为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金.企业退休职工李师傅2011年月退休金为1 500元，2013年达到2 160元.设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x ，可列方程为（ ） A .22 0161 1 500x -=（） B .21 5001 2 160x +=（） C .21 50012160x -=（） D .21 500 1 5001 1 5001 2 160x x ++++=（）（） 二、填空题（每小题5分，共15分） 9.已知关于x 的方程220x x k ++=的一个根是1-，则k =_________. 10.若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________. 11.若|1|0b -=，且关于x 的一元二次方程20kx ax b ++=有实数根，则k 的取值范围是
七年级第二章第一节有理数 课型：新授课 教学目标： 1.理解正负数的概念，会判断一个数是正数还是负数.(重点) 2.会用正负数表示具有相反意义的量；有理数的分类及其分类的标准．(难点) 3.培养学生树立分类讨论的思想． 教法和学法指导：本节应用“启迪诱导—自主探究”教学模式.教师在教学过程中起 到引导释疑的作用:引导学生观察、思考、分析、讨论、形成结论，并让学生在应用中体会所得知识,学会应用所学知识解决问题的方法. 课前准备：准备课件，学生课前进行相关预习工作. 教学过程： 一、情景导入明确目标： 大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？ 学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：整数、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的． 为了表示一个人、两只手、……，我们用到整数1，2，…… 为了表示“没有东西”、“没有羊”、……，我们要用到0． 瓦罐没有东西了——有了0 二人分一只西瓜，用数如何表示 半只西瓜——有了分数 货币购物，用数如何表示10元5角3分——有了小数 用小学学过的数能表示下列数吗？
但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的整数，零或分数、小数表示． 例如，加1分和扣1分，如果只用小学学过的数，都记作1分，就不能把它们区别清楚．它们是具有相反意义的两个量． 现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多． 例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的． 活动的实际效果：本环节利用问题情境的设置，紧紧扣住了学生的心弦，学生带着需要解决的问题来进行学习，极大的调动了学生学习的自觉性和积极性，有效的提高了知识的可接受程度. 同学们能举例子吗？ 活动的实际效果： 学生从身边的生活中找带有“－”号的数，他们很感兴趣，积极发言，当他们举出一些例子以后就会发现：零上为正的话，零下就为负；盈利为正，亏损就为负；海平面以上为正，海平面以下就为负，从而意识到“正”“负”是表示相反意义的量，这样学生认识到可以用正负数表示生活中具有相反意义的量． 学生回答后，教师提出：怎样区别相反意义的量才好呢？ 二. 自主学习 合作探究 探究活动1. 用正负数表示具有相反意义的量 根据课本第23页计算某班两个代表队举行知识竞赛得分情况，创设一个便于学生动手、动脑、主动探索的求知情境，然后进行小组合作讨论. 活动的实际效果：在学生的交流过程中，老师进行监控指导，确保每个小组讨论的质量并沿着正确的思考方向发展.每个小组的同学都能积极说出自己的想法，组内语言表达好的同学给语言表达稍差的同学作了良好的示范，这样起到了组内帮助的作用， 各个小组的学生发表零上5oC 零下5o C
第二十一章达标测试卷 1．下列式子是一元二次方程的是() A．3x2－6x＋2 B．x2－y＋1＝0 C．x2＝0 D.1 x2＋x＝2 2．一元二次方程x2－2x＝0的根是() A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2 3．用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是() A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3 4．关于y的方程my(y－1)＝ny(y＋1)＋2化成一般形式后为y2－y－2＝0，则m，n的值依次是() A．1，0 B．0，1 C．－1，0 D．0，－1 5．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是() A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根D．无法确定 6．中国“一带一路”倡仪给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年人均收入200美元，预计2018年年人均收入将达到1 000美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为() A．200(1＋2x)＝1 000 B．200(1＋x)2＝1 000 C．200(1＋x2)＝1 000 D．200＋2x＝1 000 7．若关于x的方程2x2－ax＋2b＝0的两根和为4，积为－3，则a，b分别为() A．a＝－8，b＝－6 B．a＝4，b＝－3 C．a＝3，b＝8 D．a＝8，b＝－3 8．若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是()
第二章 整式的加减整章测试 （时间：90分钟，满分120分） 一、填空题:（每题3分，共36分） 1、单项式23x -减去单项式y x x y x 2222,5,4--的和，列算式为 ________ ， 化简后的结果是 。 2、当2-=x 时，代数式－122-+x x = ，122+-x x = 。 3、写出一个关于x 的二次三项式，使得它的二次项系数为－5，则这个二次三项式 为 。 4、已知：11=+x x ，则代数式51)1(2010-+++x x x x 的值是 。 5、张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了a 份报纸，以每份0.5元的价格售出了b 份报纸， 剩余的以每份0.2元的价格退回报社，则张大伯卖报收入 元。 6、计算：=-+-7533x x ， )9()35(b a b a -+-= 。 7、计算：)2008642()200953(m m m m m m m m ++++-++++ = 。 8、－bc a 2+的相反数是 ， π-3= ，最大的负整数是 。 9、若多项式7322++x x 的值为10，则多项式7962-+x x 的值为 。 10、若232 (2),,n m x y x y m -+≠是关于的六次单项式则 ，n = 。 11、已知=++=+-=+2 2224,142,82b ab a ab b ab a 则 ；=-22b a 。 12、多项式172332+--x x x 是 次 项式，最高次项是 ，常数项 是 。 二、选择题（每题3分，共30分） 13、下列等式中正确的是（ ） A 、)25(52x x --=- B 、)3(737+=+a a C 、－)(b a b a --=- D 、)52(52--=-x x
第二十一章 一元二次方程 21.1一元二次方程 1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。形如：()2 00ax bx c a ++=≠ 例1．关于x 的方程(m －4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程. 【答案】≠4，=4 【解析】 试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果. 由题意得当m≠4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程. 考点：一元二次方程，一元一次方程 点评：熟练掌握各种方程的基本特征是学好数学的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般. 例2．关于x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________. 【答案】m ≠-1且m ≠2 【解析】 试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。 由题意得m2-m-2≠0，解得m ≠-1且m ≠2. 考点：本题考查的是一元二次方程成立的条件 点评：解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），尤其注意a≠0. 2、a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 例1．一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是 （ ） A ．3，-6，1 B ．3，6，1
有理数单元复习 一．知识点讲解 一．有理数 （1）概念：有理数的分类；相反数；绝对值；数轴；比较大小； （2）运算：加、减、乘、除、乘方 二．知识盲点总结 （1）有理数：①分类；②分数；③正负数的理解；④0的理解 例：一．判断正误: 任意的一个分数都是有理数。 （ ） 整数和分数组成有理数。 （ ） 正数、负数和0统称有理数。 （ ） 正有理数包括正整数和正分数。 （ ） 任意一个小数都可以化为分数。 （ ） π是一个正分数。 （ ） 二．关于0的说法正确的是（ ） （1）0是整数；（2）0是最小的整数；（3）0是绝对值最小的有理数；（4）0的绝对值是0； （5）0没有相反数 三．把下列各数分别填入相应的大括号里：5.2-、14.3、2-、72+、6.0 -、π、7 22、0、010101.0- 正数集合{ } 分数集合{ } 非负整数集合{ } （2）相反数： ①a 的相反数是a -；b a -的相反数是a b -；b a +的相反数是b a -- ②b a ,互为相反数?0=+b a ③a a =- ④b a b a =?=或b a -= 例：化简下列各数的符号 ①)213(-- ②)5 14(-+ ③)]5([--- ④)]}2([{+-+- （3）绝对值： ① ② 0≥?=a a a =a
0≤?- =a a a ③0是绝对值最小的有理数 例：（1）绝对值大于1且不大于5 的整数有______________ （2）比较大小：8.5_____6-- 9____9- 8 1____71-- 5_____8.6-- 3 1____21 （3）正数a -的绝对值为_______;负数b -的绝对值为________;负数a +1的绝对值为______;正数1+-a 的绝对值为________ （4）倒数 ①0没有倒数； ②a 的倒数是a 1 ③倒数等于它本身的数是________ 相反数等于它本身的数是________ 绝对值等于它本身的数是________ 例：已知b a ,互为相反数，d c ,互为倒数，m 的绝对值时2，求式子 m cd m b a +--+5的值 （5）数轴 例：一、下列各图中，数轴画法正确的是（ ） 二、不大于4的非负整数是________________ 三、在数轴上，与-3所表示的点距离3个单位长度的点有___个,这样的点表示的数是_____ 概念理解 （1）下列说法正确的是（ ） A. 最小的有理数是0； B. 最大的负整数是－1； C. 最小的自然数是1； D. 最小的正数是1. （2）下列说法正确的是（ ） A. 两个有理数的和为零，则这两个有理数都为0； A B C D 通过以上知识点的复习，您对本章的知识是否有一个更清晰的认识呢？试试以下几个小题吧！
第二十章数据的分析 20.1 数据的集中趋势 20.1.1 平均数 1、算术平均数： 把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商. 公式：n x x x n +???++21 使用：当所给数据1x ，2x ，…，n x 中各个数据的重要程度相同时，一般使用该公式计算平均数. 2、加权平均数： 若n 个数1x ，2x ，…，n x 的权分别是1w ，2w ，…，n w ，则 112212n n n x w x w x w w w w ++???+++???+，叫做这n 个数的加权平均数. 使用：当所给数据1x ，2x ，…，n x 中各个数据的重要程度（权）不同时，一般选用加权平均数计算 平均数. 权的意义：权就是权重即数据的重要程度. 常见的权：1）数值、2）百分数、3）比值、4）频数等. 20.1.2 中位数和众数 1、中位数： 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是 这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 意义：在一组互不相等的数据中，小于和大于它们的中位数的数据各占一半. 2、众数： 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 特点：可以是一个也可以是多个. 用途：当一组数据中有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量. 3、平均数、中位数、众数的区别： 平均数能充分利用所有数据，但容易受极端值的影响；中位数计算简单，它不易受极端值的影响，但不能 充分利用所有数据；当数据中某些数据重复出现时，人们往往关心众数，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义. 20.2 数据的波动程度
第一节数怎么不够用了 〖教学目的：〗 〖知识与技能目标：〗借助生活中的实例，从扩充运算的角度引进负数，然后使用正负数表示现实生活中具有相反意义的量． 〖过程与方法：〗经历从生活中发现数学问题,体会数学与现实生活的联系。 〖情感态度与价值观：〗培养自主探索能力并体验成功. 〖教学重点、难点：〗理解正、负数及有理数的意义 〖教学方法：〗引导发现法 〖教具准备：〗尺、小黑板。 〖教学过程：〗 Ⅰ.创设现实情景，引入新课 观察一组图片回答下列问题: 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分。四个代表队答题情况如下表： 加10分得0分扣10分 算一算：每个代表队的得分是多少？ Ⅱ．根据现实情景，讲授新课 生活中你见过带有“ –”号的数吗？ 比0大的数叫做正数,如,5,1.2, , … 在正数前面加上“ –” 号的数叫做负数, 如–10,–3,… 0既不是正数,也不是负数. 为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”号，如+5,+1.2,+ 9, …
2. 讲解例题： 例1 （1）在知识竞赛中，如果用+10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？ （2）某人转动转盘，如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （3）在某次乒乓球的质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么– 0.03克表示什么？ Ⅲ．做一做 将所有学过的数进行分类，并与同伴进行交流。 正数、负数与零统称为有理数 通过这节课的学习，你学到了什么？感受到了什么？还想知道什么？ 比0大的数叫做正数, 在正数前面加上“ –” 号的数叫做负数, 0即不是正数,也不是负数. 为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”正数、负数与零统称为有理数. Ⅳ．课时小结 根据课堂的实际情况作评价.并让小组成员叙述自己对有理数加减法的看法和掌握有困难的地方。 Ⅴ．课后作业P35 习题2.1 1. 2. 3. 4. 5. 7 〖板书设计：〗
初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1 x ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？
七年级上册 第二章 习题 2.1 P59 1.列式表示： （1）m 的15倍； （2）n 的 151； （3）x 的3 1 的6倍； （4）每件a 元的上衣，降低20%的售价是多少元？ （5）一辆汽车的行驶速度是65千米/时,t 小时行驶多少千米？一本英汉词典的销售是65元，n 本英汉字典的售价是多少？ （6）苹果每千克p 元，买10千克以上按9折优惠，买15千克应支付多少元？ 解：（1）15m; (2) n 15 1 ; (3) 2x; (4) 0.8a; (5) 65t,65n; (6) 13.5p . P60 2.列式表示： （1）比a 小3的数； （2）x 的2倍与10的和； （3）x 的三分之二减y 的差； （4）比x 的三分之二小7的数； （5）甲乙两车同时、同地、同向出发。行驶速度分别是x 千米/时和y 千米/时，3小时后两车相距多少千米？ （6）某种苹果的售价是每千克x 元，用面值是50元的人民币购买6千克，应找回会多少钱？ 解：（1） a-3； （2） 2x+10 ； （3） y -x 31； （4） 7x 3 2 - ； （5）y x 33-； （6）50-6x; P60 3.填表 整数 -15ab 224a b 5 y x 32 43x 2 - 4 2242a b b a +- 系数 次数 项数
解： 整数 -15ab 224a b 5 y x 32 43x 2 - 4 2242a b b a +- 系数 -15 4 5 3 次数 2 4 3 3 4 项数 3 3 p60 4.设教室里座位的行数是m ，用式子表示： （1）教室里每行的座位数比行数多6，教室里总共有多少座位？ （2）教室里座位的行数是每行座位的3 2 ，教室里总共有多少座位？ 解：（1） m （m+6）:； （2） 2 2 3m 。 p60 5.三个植树队，第一队植数x 棵，第二队植的树比第一队植树的2倍少25棵，第三队植的树比第一队植树的一半多42颗，当x 为下列各值时，求三个队共植树多少棵. （1）x=100; (2) x=240 解：三队共植树)(172 7 422252棵+=++ -+x x x x （1） 367棵； （2） 857棵； P 60 6.一块三角尺的形状和尺寸如图所示，如果圆孔的半径是r ，三角尺的厚度是h ，这块三角尺的体积v 是多少？若a=6 cm,r=0.5 cm ，h=0.2 cm.求V 的植（π取3） 解： v= 222 45.3;r a 2 1cm V h h =-π p60 7.一种商品每件成本a 元，按成本增加22%定出价格，每件销售多少元？后来因库存积压减价，按原价的85%出售，现售价多少元？每件还能盈利多少元？
人教版九年级数学上册 第二十一章 综合测试卷01 一、选择题（30分） 1.一元二次方程22(32)10x x x --++=的一般形式是（ ） A .2550x x -+= B .2550x x +-= C .2550x x ++= D .250x += 2.一元二次方程260x +-=的根是（ ） A .12x x == B .10x =，2x =- C .1x =2x =- D .1x =2x =3.用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为（ ） A .2(2)1x += B .2(2)1x -= C .2 29x +=（） D .2 29x -=（） 4.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x 则12x x 为（ ） A .2- B .1 C .2 D .0 5.关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（ ） A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .无实数根 D .不能确定 6.若2x =-是关于x 的一元二次方程225 02 x ax a -+=的一个根，则a 的值为（ ） A .1或4 B .1-或4- C .1-或4 D .1或4- 7.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2680x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ） A .8 B .10 C .8或10 D .12 8.若α，β是一元二次方程定2260x x +-=的两根，则22αβ+=（ ） A .8- B .32 C .16 D .40 9.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的方程为（ ） A . 1 (1)282 x x += B . 1 (1)282 x x -= C .(1)28x x += D .(1)28x x -= 10.已知关于的一元二次方程2(1)2(1)0a x bx a ++++=有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ） A .1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 B .0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根
第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项. 2.会判断一个数是否是一元二次方程的根. 【过程与方法】 经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型. 【情感态度】 进一步培养学生的观察、类比、归纳能力,体验数学的严密性和深刻性. 【教学重点】 一元二次方程的概念及其一般表现形式. 【教学难点】 从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”. 一、情境导入,初步认识 (课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m,设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比,等于下部与全部（全身）的高度比,即下部高度的平方等于上部与全部的积,如果设此雕像的下部高为xm,则其上部高为（2-x）m,由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是,你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？ 【教学说明】设置上述从美学角度而构建的人体雕像（教师可适时补充有关简单黄金分割问题）可激发学生学习兴趣,进而增强求知欲望. 二、思考探究,获取新知 由上述问题,我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数,且x的最高次数为2,这类方程在现实生活中有广泛的应用. 探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题) 【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论,教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm,则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的? 【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,
第二章方程(组)与不等式(组) 第二节一元二次方程及其应用 玩转广东省卷6年中考真题（2011~2016）命题点1解一元二次方程(省卷仅2015年考查) 1. (2015省卷17，6分)解方程：x2－3x＋2＝0. 命题点2根的判别式(省卷6年2考) 2. (2015省卷8，3分)若关于x的方程x2＋x－a＋9 4 ＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( ) A. a≥2 B. a≤2 C. a＞2 D. a＜2 命题点3一元二次方程的实际应用(省卷6年2考) 3. (2013省卷21，8分)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12 100元． (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【答案】 1．解：方程x2－3x＋2＝0可化为(x－1)(x－2)＝0，……………(3分) ∴x－1＝0或x－2＝0， ∴x1＝1，x2＝2.…………………………………………………(6分) 2．C【解析】由题意，得b2－4ac＝1＋4a－9＞0，解得a＞2. 3．解：(1)设捐款增长率为x，由题意得： 10000(1＋x)2＝12100,………………………………………(3分) 解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．…………(4分) 答：捐款增长率为10%；……………………………………(5分) (2)12100×(1＋10%)＝13310(元).……………………………(7分) 答：第四天该单位能收到13310元捐款．…………………(8分)