数学建模与计算机关系研究 【摘要】高等数学与计算机教学具有内在相关性，尤其是在数学建模应用中，根据计算机学科发展来发挥数学建模理论的作用及效果，有助于增强学生对高等数学的理解和应用能力。基于此，本文笔者就从高等数学建模理论与计算机技术的关系研究入手，来阐述建模嵌入在计算机辅助教学中的重要潜力。 【关键词】计算机；高等数学；教学改革；数学建模 1.高等数学与计算机学科发展 有人说，计算机技术的发展可以省去学习数学的麻烦，即便是很多专业计算机教师也抱有同样的想法。然而，对于计算机应用领域及实践中，计算机技术确实给很多从业者带来了便捷与高效，但计算机技术不等于数学，更不能替代数学。从高等数学教学实践来看，对于我们常见的数学概念，如比率、概率、图像、逻辑、误差、机会，以及程序等知识的认识，很多行业都在进行数字化、数量化转变，对数学知识的应用也日益广泛。从这些应用中，数学理论及知识，尤其是数学基本理论研究就显得更为重要。数学，在数学知识的应用中，更需要从练习中来提升对数学知识及概念的理解，也需要通过练习来提升运算能力。如果对数学概念及方法应用的不过，对数学单调性的知识缺乏深刻的认识，就会影响数学知识在实践应用中出现偏差。计算机技术的出现，尤其是程序化语言的应用，使得数学知识在表达与反映中能够依据不同的应用灵活有效、准确的运算，从而减少了不必要的验证，也提升了数学在各行业中的应用效率。 数学软件学科的发展，成为计算机重要的辅助教学的热门领域，也使得计算机技术能够发挥其数学应用能力。在传统的数学教学中，逻辑与直观、抽象与具体始终是研究的矛盾主体，如有些太简单的例子往往无法进行全面的计算；有些复杂的例子又需要更多的计算量。在课堂表现与讲解中，对于理性与感性知识的认知，学生缺乏有效的理解和应用，而强大的计算机运算功能却能够直观的表达和弥补这些缺陷，并依托具体的演示过程中来营造概念间的差异性，帮助学生从中领会知识及方法。在计算机的辅助教学下，教师利用对数学理论课题或应用课题，从鲜活的思维及形象的表达上借助于软件来展现，让学生从失败与成功中得到知识的应用体验，从而将被动的知识学习转变为主动的参与实践，更有助于通过实践来激发学生的创新精神。这种将数学教学思维与逻辑与计算机技术的融合，便于从教学中调整教学目标，依据学生所需知识及专业需求来分配侧重点。数学建模就是从数学学科与计算机学科的融合与实践中帮助学生协作学习，提升自身的能力。 2.信息技术是高等数学应用的产物 现代信息技术的发展及应用无处不在，对数学知识的渗透也是日益深入。当前，各行业在多种协作、多种专业融合中，借助于先进的信息技术都可以实现畅通的表达与物化。如天气预报技术、卫星电视技术、网络通讯技术等都需要从数
不确定分析方法中概率分析的应用 【摘要】工程经济课程中有风险与不确定分析内容。其中概率分析计算繁琐难度较大，学生接受很难。教材略讲例题很少，学生无所适从。下面选取一例题给出详细解答过程，供大家学习参考。本文利用统计方法对此问题进行了推导计算。以本文飨于好学的学生与各位同仁。 【关键词】概率净现值期望值 工程经济不确定性分析的方法很多，最常用的是盈亏分析、敏感性分析、概率分析，其中尤以概率分析最难理解。高职教材只是略讲，所示例题极少。下面举一例详细解答，与各位同仁共勉。 某项目需投资20万元，建设期1年。根据预测，项目生产期的年收入（各年相同）为5万元、10万元和12,5万元的概率分别为0.3、0.5和0.2 。在每一收入水平下生产期2、3、4、5年的概率分别为0.2、0.2、0.5和0.1 。折现率按10%计算，试对项目净现值的期望值进行累计概率分析。 【解】对项目净现值的期望值进行累计概率分析，必须求出期望值，更要先明确发生的概率值。生产期与年收入都不确定且有多种情况，每一种组合发生的概率最好交叉列表确定，以免遗漏。年收入有三种情况，生产期有四种类型，将有12个NPV值出现，列交叉表求出每个NPV出现的概率。 投资费用发生在第一年，而不是0期，年金从第二期开始，套用年金现值公式求得P在第一期，再用现值公式转换到零期。 当年收入为5万元，根据不同的生产期对应不同的NPV值： 生产期为2年：NPV=〔－20+5（P/A，10%，2）〕（P/F，10%，1）=－10.2933 生产期为3年：NPV=〔－20+5（P/A，10%，3）〕（P/F，10%，1）=－6.8778 生产期为4年：NPV=〔－20+5（P/A，10%，4）〕（P/F，10%，1）=－3.7332 生产期为5年：NPV=〔－20+5（P/A，10%，5）〕（P/F，10%，1）=－0.9509
§8 主成分分析的应用 主成分分析的基本思想是通过构造原变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新变量，从中选出少数几个新变量并使它们尽可能多地包含原变量的信息（降维），从而使得用这几个新变量替代原变量分析问题成为可能。即在尽可能少丢失信息的前提下从所研究的m 个变量中求出几个新变量，它们能综合原有变量的信息，相互之间又尽可能不含重复信息，用这几个新变量进行统计分析（例如回归分析、判别分析、聚类分析等等）仍能达到我们的目的。 设有n 个样品，m 个变量（指标）的数据矩阵 (1)1112 1(2)21222()12m m n m n n n nm x x x x x x x x X x x x x ??? ?? ? ? ? ?== ? ? ? ? ????? 寻找k 个新变量12,,,()k y y y k m ≤ ，使得 1、1122,(1,2,,)l l l lm m y a x a x a x l k =+++= 2、12,,k y y y 彼此不相关 这便是主成分分析。主成分的系数向量12(,,,)l l l lm a a a a = 的分量lj a 刻划出第j 个变量关于第l 个主成分的重要性。 可以证明，若12(,,,)T m x x x x = 为m 维随机向量，它的协方差矩阵V 的m 个特征值为 120m λλλ≥≥≥≥ ，相应的标准正交化的特征向量为12,,,m u u u ，则 12(,,,)T m x x x x = 的第i 主成分为(1,2,,)T i i y u x i m == 。 称1 / m i j j λλ =∑为主成分(1,2,,)T i i y u x i m == 的贡献率， 1 1 /k m j j j j λλ ==∑∑为主成分 12,,k y y y 的累计贡献率，它表达了前k 个主成分中包含原变量12,,,m x x x 的信息量大 小，通常取k 使累计贡献率在85%以上即可。当然这不是一个绝对不变的标准，可以根据实 际效果作取舍，例如当后面几个主成分的贡献率较接近时，只选取其中一个就不公平了，若都选入又达不到简化变量的目的，那时常常将它们一同割舍。 计算步骤如下： 1、由已知的原始数据矩阵n m X ?计算样本均值向量12?(,,,)T m x x x x μ== ； 其中1 1(1,2,,)n i ij j x x i m n ===∑
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
第1节数学建模与数学探究 【内容要求】 数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容. 【基本过程】 数学建模活动的基本过程如下： 数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容. 【过程解读】 掌握建模基本过程，会对实际问题进行问题分析，善于合理假设. ·问题分析也常称为模型准备或问题重述.由于数学模型是建立数学与实际现象之
间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象.所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述.为此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据.要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出.至此，我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影响. ·模型假设(即合理假设)是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤.根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步.这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难于转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.当然，假设作得不合理或过分简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素. 【实际意义】 数学建模的实际意义 1.在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地. 在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题(如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等)迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段. 2.在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具. 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段.数学建模、数值计算和计算机图形等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一.
风险分析方法与工具(DOC 6)
风险分析方法与工具 自1973年芝加哥商会期权交易所(CBOE)将标准化股票期权引入之后，金融期权市场得到了迅速发展，80年代以后，各种股票指数期权、利率期权、外汇期权以及金融期货期权等不断涌现，金融期权进入了一个空前发展的阶段。在所有的金融工具中，当数期权结构最为复杂、品种也最多。可以说，它是现代金融工程学的精华之所在，也是现代金融创新技术的集中体现。 中国加入WTO之后，金融市场将进一步开放，金融创新将越来越普遍。无论从金融机构发展核心竞争力的角度，还是从管理当局实施金融监管的角度，了解金融创新的机理都是极为必要的。为此，我们有必要选择金融期权进行剖析，了解各种衍生技术，掌握现代金融创新之精要。 一、金融期权的形成与发展 18世纪，英国南海公司的股票股价飞涨，股票期权市场也有了发展。南海"气泡"破灭后，股票期权曾一度因被视为投机、腐败、欺诈的象征而被禁止交易长达100多年。早期的期权合约于18世纪90年代引入美国，当时美国纽约证券交易所刚刚成立。19世纪后期，被喻为"现代期权交易之父"的拉舍尔·赛奇(Russell Sage)在柜台交易市场组织了一个买权和卖权的交易系统，并引入了买权、卖权平价概念〔1〕。然而，由于场外交易市场上 期权合约的非标准化、无法转让、采用实物交割方式以及无担保，使得这一市场的发展非常缓慢。 1973年4月26日，芝加哥期权交易所(CBOE)成立，开始了买权交易，标志着期权合约标准化、期权交易规范化。70年代中期，美洲交易所(AMEX)、费城股票交易所(PHLX)和太平洋股票交易所等相继引入期权交易，使期权获得了空前的发展。1977年，卖权交易开始了。与此同时，芝加哥期权交易所开始了非股票期权交易的探索。1982年，芝加哥货币交易所(CME)开始进行S&P 500期权交易，它标志着股票指数期权的诞生。同年，由芝加哥期权交易所首次引入美国国库券期权交易，成为利率期权交易的开端。同在1982年，外汇期权也产生了，它首 次出现在加拿大蒙特利尔交易所(ME)。该年12月，费城股票交易所也开始了外汇期权交易。1984年，外汇期货期权在芝加哥商品交易所(CME)的国际货币市场(IMM)登台上演。随后，期货期权迅速扩展到欧洲美元存款、90天短期及长期国库券、国内存款证等债务凭证期货，以及黄金期货和股票指数期货上面，几乎所有的期货都有相应的期权交易。 此外，在80年代金融创新浪潮中还涌现出一支新军"新型期权"(exotic options),它的出现格外引人注目。"新型"之意是指这一类期权不同于以往，它的结构很"奇特"，有的期权上加期权，有的则在到期日、协定价格、买入卖出等方面含特殊规定。由于结构过于复杂，定价困难，市场需求开始减少。90年代以来，这一势头已大为减弱。90年代，金融期权的发展出现了另一种趋势，即期权与其它金融工具的复合物越来越多，如与公司债券、抵押担保债券等进行"杂交"，与各类权益凭证复合，以及与保险产品相结合等，形成了一大类新的金融期权产品。 二、期权衍生的基本方式之一：权基替换
§7 消费分布规律的分类 为研究辽宁、浙江、河南、甘肃、青海5省份在某年城镇居民生活消费的分布规律，需要用调查资料对这5个省分类.数据见下表： 其中，X 1：人均粮食支出； X 2：人均副食品支出； X 3：人均烟、酒、茶支出； X 4：人均其它副食品支出； X 5：人均衣着商品支出； X 6：人均日用品支出； X 7：人均燃料支出； X 8：人均非商品支出. 在科学研究、生产实践、社会生活中，经常会遇到分类的问题.例如，在考古学中，要将某些古生物化石进行科学的分类；在生物学中，要根据各生物体的综合特征进行分类；在经济学中，要考虑哪些经济指标反映的是同一种经济特征；在产品质量管理中，要根据各产品的某些重要指标而将其分为一等品，二等品等等. 这些问题可以用聚类分析方法来解决. 聚类分析的研究内容包括两个方面，一是对样品进行分类，称为Q 型聚类法，使用的统计量是样品间的距离；二是对变量进行分类，称为R 型聚类法，使用的统计量是变量间的相似系数. 设共有n 个样品，每个样品i x 有p 个变量，它们的观测值可以表示为 n i x x x x pi i i i ,,2,1),,,,(21 == 一、样品间的距离 下面介绍在聚类分析中常用的几种定义样品i x 与样品j x 间的距离. 1、 Minkowski 距离 m m p k kj ki j i x x x x d 11 ][),(∑=-= 2、绝对值距离 ∑=-=p k kj ki j i x x x x d 1),( 3、欧氏距离 21 21][),(∑=-=p k kj ki j i x x x x d 二、变量间的相似系数 相似系数越接近1，说明变量间的关联程度越好.常用的变量间的相似系数有 1、 夹角余弦
风险分析及方法简述（中英文） 1 Basic Risk Management Facilitation Methods 基本的风险管理的便利方法 Some of the simple techniques that are commonly used to structure risk management by organizing data and facilitating decision-making are: 下面是一些简单的通常使用的方法，进行风险管理和制定决策： ? Flowcharts/流程图 ? Check Sheets/检查清单 ? Process Mapping/过程图 ? Cause and Effect Diagrams (also called an Ishikawa diagram or fish bone diagram)/因果图（或者叫鱼骨图） 2 Failure Mode Effects Analysis (FMEA) 失效模式与效果分析 2.1 Describe/描述 FMEA (see IEC 60812) provides for an evaluation of potential failure modes for processes and their likely effect on outcomes and/or product performance. Once failure modes are established, risk reduction can be used to eliminate, contain, reduce or control the potential failures. FMEA relies on product and process understanding. FMEA methodically breaks down the analysis of complex processes into manageable steps. It is a powerful tool for summarizing the important modes of failure, factors causing these failures and the likely effects of these failures. FMEA提供了工艺潜在失效模式的评估和对产品性能或结果的潜在影响。一旦将建立了失效模式，风险的降低可被用来消除、囊括、降低或控制潜在的失效活动。FMEA依赖于对产品和工艺的理解。FMEA将复杂的工艺系统地分解为简单的步骤。FMEA对重要的失效模式、引起失效的因素以及失效可能带来的后果进行汇总的有力工具。 2.2 Potential Areas of Use(s) 使用的潜在区域 FMEA can be used to prioritize risks and monitor the effectiveness of risk control activities. FMEA可用来安排风险的优先顺序，监控风险控制活动的有效性。 FMEA can be applied to equipment and facilities and might be used to analyze a manufacturing operation and its effect on product or process. It identifies elements/operations within the system that render it vulnerable. The output/ results of FMEA can be used as a basis for design or further analysis or to guide resource deployment. FMEA可用于设备和设施，也可用于分析某一生产操作及其对产品或工艺的影响。它可识别系统内的元素/操作的弱点。FMEA的结果可被作为设计或深入分析或指导资源配置的依据。 3 Failure Mode, Effects and Criticality Analysis (FMECA) 失效模式、效果与关键程度的分析 3.1 Describe/描述 FMEA might be extended to incorporate an investigation of the degree of severity of the consequences, their respective probabilities of occurrence, and their detectability, thereby becoming a Failure Mode Effect and Criticality Analysis (FMECA; see IEC 60812). In order for such an analysis to be performed, the product or process specifications should be established. FMECA can identify places where additional preventive actions might be appropriate to minimize risks.
概率论与数学建模
概率论与数学建模 基础知识部分 一、概率论： 1、概率：刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数。 注：事件指随机事件（可重复、可预测、结果明确） 例如抛骰子，抛一枚硬币。 2、常见的随机变量：X （1）离散型： 泊松分布：k e P X k k k λ λ-（=）= ，=0、1、2、、、！ 实际应用：时间t 内到达的次数； （小概率事件）一本书中一页中的印刷错误数； 某地区在一天内邮件遗失的信件数； 某一天内医院的急症病人数； 某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数； 一个时间间隔内某种放射性物质发出的经过计数器的α粒子数等等…… （2）连续型： 指数分布：x e x>0 f X λλ???-，（）=0，其它 其中>0λ为常数 ，记为)(~λExp X 特点:无记忆性。即是P(/)()X s t X s P X t >+>=>
一个元件已经使用了s 小时，在此情形下，它总共能使用至少s+t 小时的概率，与开始使用时算起它至少能使用t 小时的概率相等，即元件对已使用过s 小时无记忆。 实际应用：（可靠性理论、排队论）许多“等待时间”都服从指数分布；一些没有明显“衰老”迹象的机械元器件（如半导体元件）的寿命也可也用指数分布来描述…… 正态分布：x e f X “3σ“原则： “3σ“原则被实际工作者发现,工业生产上用的控制图和一 些产品质量指数都是根据3σ原则制定。 3、随机变量的特征数（数字特征）： 均值（期望）：k k k x p E X xf x dx ∞ ∞ ∞ ???????∑?=1 +-，（离散型）（）=（），（连续型） 方差：22 D X = E X E X ()(())E X E X =-2（）（-（）） 中心极限定理：n X X ,,1 是独立同分布的随机变量序列，且 22(),(),0i i E X D X μσσ==> 则有：)(}{lim 1t t n n X X P n n Φ=≤-+∞ →σμ 模型一、轧钢中的浪费模型： 问题：将粗大的钢坯制成合格的钢材需要两道工序：粗轧（热轧），形成刚才的雏形；精轧（冷轧），得到规定长度的成品材料。由于受到环境、技术等因素的影响，得到钢材的长度是随机的，大体上呈正态分布，其均值可以通过调整轧机设定，而均方差是由设备的精度决定，不能随意改变。如果粗轧后的钢材长度大于规定长度，精轧时要把多余的部分切除，造成浪费； 而如果粗轧后的钢材长度小于规定长 2σ x 99.7% 6σ 4σ （1） （2） （3） μ 第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下 风险分析方法 1 . 故障树分析（FTA） 故障树分析（FTA）是风险分析的一种方法，可进行定量和定性的分析。这里仅就FTA方法简单作以介绍，读者可由GJB/Z 768A—98《故障树分析指南》（参考文献 [ 3]）中了解更详细的资料。 1．1 FTA中使用的符号 故障树是一种特殊的倒立树状逻辑因果关系图，用表示事件的符号、逻辑门符号描述系统中各种事件之间的因果关系。逻辑门的输入事件是输出事件的“因”，逻辑门的输出事件是输入事件的“果”。 （1）表示事件的符号主要有（见图4）： ●底事件（导致其他事件的原因事件）包括“基本事件”（无须探明其发生原因的底 事件）及“未探明事件”（暂时不必或不能探明其原因的底事件） ●结果事件（由其它事件或事件组合所导致的事件），包括“顶事件”（所关心的最 后结果事件）及“中间事件”（位于底事件和顶事件之间的结果事件，它既是某个 逻辑门的输出事件，同时又是别的逻辑门的输入事件） 此外还有开关事件、条件事件等特殊事件符号。 底事件 结果事件 基本事件符号未探明事件符号顶事件符号中间事件符号 图4 几个主要表示事件的符号 （2）逻辑门符号：在FTA中逻辑门只描述事件间的因果关系。与门、或门和非门是三个基本门，其它的逻辑门如“表决门”、“异或门”、“禁门”等为特殊门。 1．2 FTA的步骤 （1）建造故障树 将拟分析的重大风险事件作为“顶事件”，“顶事件”的发生是由于若干“中间事件”的逻辑组合所导致，“中间事件”又是由各个“底事件”逻辑组合所导致。这样自上而下的按层次的进行因果逻辑分析，逐层找出风险事件发生的必要而充分的所有原因和原因组合，构成了一个倒立的树状的逻辑因果关系图。 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的 第六章 概率论与数学建模 一、随机事件及其概率 1.随机事件：可重复；可预测结果且结果明确；试验前出现那个结果 不能确定 例如：抛骰子一次，抛一枚硬币三次等。 2.事件的运算及其含义： B A ?：A 为B 的子事件。其含义是：A 发生则B 必发生 B A =：事件A ，B 相等。其含义是：A 发生则B 必发生，反之亦然 C B A =?：事件A 与B 的交。其含义是：C 发生当且仅当A ，B 同 时发生 C B A =?：事件A 与B 的并（和） 。其含义是：C 发生当且仅当A ，B 中至少有一个发生。 C B A =-：事件A 与B 的差。其含义是：C 发生当且仅当A 发生并 且B 不发生。 φ=AB ：事件A 与B 互不相容。其含义是：A 与B 不可能同时发生。 A ：事件A 的对立事件。 3.概率：刻化某一事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标。 (当∞→n 时，)()(A P A f P ?→? ) 4.古典概论：某个试验共有n 个等可能的结果（样本点），事件A 包含其中m 个结果（样本点），则认为 n m 就是事件A 的概率。这种基于等可能性确定概率的模型称为古典概率模型。 例6.1.1（Monte Hall Problem ）20世纪60，70年代，美国“电视游戏 秀”曾经非常流行一个名叫“Let ’s Make a Deal ”的节目，由Monte Hall 主持。游戏过程如下：有三扇关着的门，其中一扇门后面有奖品（一辆汽车），其余两扇门后面则没有奖品，若猜中了有奖品的门就能赢取这辆汽车。你从中挑选一扇门，但暂不打开。这时，主持人在另外两扇门中挑一个没有奖品的门打开，并展示给你和观众。然后，主持人问你：是坚持原来的选择，还是换成最后那扇门？ 解：从能不能得奖的角度看，这个游戏只有两个结果：不换门得奖（A ）、换门能得奖（B ）。第一个门是你“三选一”随机（等可能地）挑选的，故P(A)=1/3,自然，另一个结果的概率就是P(B)=2/3。因此，正确的决定是换成那扇门。 例6.1.2（抽签原理）袋中有2只红球8只黑球（除颜色外无法再分辨）。10个人依次摸球，得红球者中奖。求：k A ＝{第k 个摸球者中奖}的概率，k=1,2,…,10 解法一：假定对解题者来说这些球可辨别。样本点为一轮抽签结束后这10个球的排列，共有10！个等可能的样本点。事件k A 所含样本点 的特征是：两个红球中任选一个排在第k 位（有12C 种可能），而其余 9个球在其余9个位置上可任意排列（有9！种可能）。因此k A 包含了 9！12 C 个样本点，故5 1 !10!9)(1 2== C A P K . 解法二：假定球不可辨，只需关注红球落入哪两个人之手，样本空间 共有452 10 =C 个等可能的样本点。事件k A 发生意味着第k 个人得一红球，另一红球落入其余9人中某一人之手，这有1 9C 种可能，所以 数学建模背景： 数学技术 近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。[1] 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解（通常借助计算机）。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。 建模应用 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。 2建模过程 模型准备 了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。 模型假设 根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。 模型建立 在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。 模型求解 利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。 模型分析 对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。 模型检验 将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。 概 率 在 数 学 建 模 中 : 的 应 用 姓名：邓洪波高强庞宁 班级：文电082-2 专业：电子计算机与科学技术 电话： ? 概率论与数理统计在数学建模中的应用 通过五天的学习我们主要学习了三个方面的知识，包括：概率模型，统计回 归模型，以及马氏链模型。通过这三个方面的学习，大体上了解了概率在数学建 模中的应用以及它所能解决的问题类型。下面就这三个方面的内容做一下简单的 介绍 。 首先对概率模型做一下简单的介绍。对于实际问题我们所研究的对象无非是 制定计划使效率最高，收入最高，费用最小，浪费最小以及变化趋势的估计等问 题。在这类问题中，题目往往给出的是实际背景，我们需要从这些实际背景中， 抽象出数学模型，设出所需要的变量，然后用所学的知识解决问题，并且每一个 模型都要进行“模型假设”，这是用数学知识解决问题的一个前提条件，下面就 一个实际的题目进行各个方面的分析。 比如有如下问题：以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库 存决定是否订货，供下周销售。用到的知识是（s ，S ）存贮策略，即制丁下界s ， 上界S ，当周末库存小于s 时订货，是下周初的库存达到S;否则，不订货。要解 决的问题是考在虑订货费，存贮费，缺货费，购进费的情况下，制订（s ，S ）存 贮策略，使总费用最小。 首先我们进行模型的假设，设出建模中所用到的变量，如下：1.每次订货费0c , 每件商品的购进价为1c ,每件商品一周贮存费2c ，每件商品缺货损失费3 c （1c <3c ）；2.每周销售量r 随机，连续，概率密度p(r)；3.每周库存量x ，订货 量u ，周初库存量u x +；4. 每周贮存量按 x+u-r 计等等，当然有些问题再“模 型的假设”这一过程中除了对变量做相关的假设以外还要对实际问题进行假设， 比如在《传送系统的效率》中我们曾假设：生产进入稳态，每人生产完一件产品 的时刻在一个周期内是等可能的等。当然有些问题在做一般假设的时候还不能解 决问题，还要进行进一步的假设，比如在《随机人口模型》中，在我们假设出生 率x b 与t ?成正比之后，又做了进一步的假设，假设出生率x b 与人口的总数n 成 正比。通过进行各种模型的假设有利于我们在建模的过程中解决实际问题。 模型的建立，对于上题，我们考虑到两种情况，即一种是不用订货，另一种 是需要订货，写出目标函数： ???+++=) (),()(1 0x L u x L u c c u J 00=>u u ， 其中??∞ -+-=x x dr r p x r c dr r p r x c x L )()()()()(032，在此步骤中我们需要列出目标函数 以及约束条件，当然目标函数的选择也是至关重要的，选择一个合适的模型是取 得比赛胜利的关键，比如在《轧钢中的浪费》中我们建立的第一个模型是： ] 数学建模与计算 1 多元线性回归 1.1 回归系数的计算 假设变量y 与p 个变量x 1, x 2, … , x p 之间存在以下线性关系： y = b 0 + b 1x 1 + b 2x 2 + … + b p x p (+ ε) (1.1) 这些变量的n 组观测值如表1.1所示。 将这些数值代入(1.1)得 y 1 = b 0 + b 1x 11 + b 2x 12 + … + b p x 1p y 2 = b 0 + b 1x 21 + b 2x 22 + … + b p x 2p …… y n = b 0 + b 1x n 1 + b 2x n 2 + … + b p x np (1.2) 这是一个关于b 0, b 1, …,b p （待估参数）的线性方程组。一般来说方程个数n 远大于变量个数p , 是一个不相容的线性方程组。但是可以求出b 0, b 1, …,b p 的一组数值代入(1.2)式右边，使得等号两边的数值尽可能接近。最常用的便是最小二乘法，即 Min Q (b 0, b 1, …,b p ) = ∑=----n i ip p i i x b x b b y 1 2110)...( 令 Y = ???? ?? ? ??n y y y 21, X = ?? ? ? ? ?? ??np n n p p x x x x x x x x x 212222*********, β = ?????? ? ??p b b b 10, 得 Min Q (β) = (Y - X β)T (Y - X β) = Y T Y - 2Y T X β + βT X T X β 这是一个关于β的凸二次函数。令 β β??) (Q = -2 X T Y + 2 X T X β = 0， 得到 X T X β = X T Y .第1章 数学建模与误差分析
风险分析方法
数学建模中常见的十大模型
概率论与数学建模
数学建模背景
概率论与数理统计在数学建模中的应用
数学建模与计算
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