§3.4生活中的优化问题举例(第1课时)
[自学目标]:
1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变
量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()y f x =，根
据实际问题确定函数()y f x =的定义域；
2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.
[重点]: 求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际
意义的理论值应予舍去
[难点]: 在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大
（小）值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）
值
[教材助读]:
1、生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常
称为
2、用导数解决优化问题的实质是
3、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，
主要有以下几个方面：
1)与几何有关的最值问题；
2)与物理学有关的最值问题；
3)与利润及其成本有关的最值问题；
4)效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适
当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，
即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，
使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
[预习自测]
1．一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215243
s t t t =-+，那么速度为零的时刻是 ( )
A ．t=1
B ．t=0
C ．t=4
D ．t=0,1,4
2、把60cm 的铁丝围成矩形，当长为 cm,宽为 cm 时，矩形面积最大。
上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]
探究一：海报版面尺寸的设计
例1、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值.
【思考】在课本例1中，“16x =是函数()S x 的极小值点，也是最小值点。”为什么？是否还有别的解法？
结论：在实际问题中，由于()'f x =0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小
）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。
探究二：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
分，例2、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2
0.8r
其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
分析：先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.
[当堂检测]
1、以长为20的线段AB为直径作圆，则它的内接矩形的面积的最大值为（）
A、15
B、25
C、50
D、200
D E A
B C 2、．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m ，最大容积31.8m ）
[拓展提升]
1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x －0.15 2x 和L 2=2x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售
15辆车，则能获得的最大利润为 （ ） A ．45.606 B ．45.6
C ．45.56
D ．45.51
2.路灯距地平面为8 m,一个身高为1.6 m 的人以84 m/min
的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C ，沿某直
线离开路灯，则人影长度的变化速率为（ ）/m s
A ．72
B ．
720 C ．2120
D ．21