2020北京平谷区高一（上）期末
数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．（5分）已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣4）＝0}，则A∩B等于（）A．?B．{2} C．{4} D．{2，4}
2．（5分）已知sinα＞0，且cosα＜0，则α的终边所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）下列函数为奇函数的是（）
A．y＝2x B．y＝sin x，x∈[0，2π]
C．y＝x3D．y＝lg|x|
4．（5分）在同一直角坐标系中，y＝2x与y＝log2（﹣x）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知a，b∈R，那么“3a＜3b”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）方程x sin x＝1在区间[0，2π]上根的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5分）已知tanθ＝2，那么sinθ?cosθ的值为（）
A．B．C．D．
8．（5分）某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如表：
单价/元16 17 18 19 20 21 22
日销售量/
480 440 400 360 320 280 240
盒
根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大（）
A．16.5 B．19.5 C．21.5 D．22
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
9．（5分）等于．
10．（5分）2lg2+lg250的值等于．
11．（5分）已知函数，那么当x＝时，函数y的最小值为．
12．（5分）函数的最小值为．
13．（5分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）＝2sin（﹣x）．给出下列结论：
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）在区间上是增函数；
③；
④若?x1，x2∈R则|f（x1）﹣f（x2）|≤A恒成立，则A的最小值为4．
其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知，且α为第三象限角．
（Ⅰ）求cosα的值；
（Ⅱ）求的值．
16．（13分）已知f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+2，
（Ⅰ）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．
17．（13分）已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥﹣1．
18．（14分）已知二次函数f（x）的图象经过A（﹣1，4），B（1，0），C（3，0）三点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的最小值；
（Ⅱ）是否存在常数m，使得当实数x1，x2满足x1+x2＝m时，总有f（x1）＝f（x2）恒成立，若存在求m的值，不存在说明理由．
19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q，过Q做x轴的垂线交x轴于M．
（Ⅰ）求sinα，tanα；
（Ⅱ）求△MOQ的面积S．
20．（13分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）＝f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．
（Ⅰ）下列函数，①y＝2x，②y＝log2x，③y＝[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；
（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）＝g（x）﹣x为周期函数；
（Ⅲ）若φ（x）＝sin x+kx为线周期函数，求k的值．
2020北京平谷区高一（上）期末数学
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{2，4，6}，
B＝{x|（x﹣2）（x﹣4）＝0}＝{2，4}，
∴A∩B＝{2，4}．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．【分析】根据sinα和cosα的符号即可判断出α所在的象限．
【解答】解：∵sinα＞0，
∴α为一、二象限角或α在y轴正半轴上，
∵cosα＜0，
∴α为二、三象限角α在x轴负半轴上，
∴α为第二象限角，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角函数数值的符号的判定．对于象限角的符号可以采用口诀的方法记忆：一全二正弦、三切四余弦．
3．【分析】运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，即可得到结论．
【解答】解：y＝2x为指数函数，没有奇偶性；
y＝sin x，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；
y＝x3定义域为R，f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数；
y＝lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）＝f（x），为偶函数．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法和常见函数的奇偶性，属于基础题．
4．【分析】因为y＝2x的图象为过点（0，1）的递增的指数函数图象，y＝log2（﹣x）的图象为过点（﹣1，0）的递减的函数图象，可排除选项A，C，D可得解．
【解答】解：因为y＝2x的图象为过点（0，1）的递增的指数函数图象，故排除答案C，D，
y＝log2（﹣x）的图象为过点（﹣1，0）的递减的函数图象，故排除答案A，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象及图象的变换，本题利用了排除法解题的解题方法，属简单题
5．【分析】利用函数的单调性可得a，b的大小关系，进而判断出结论．
【解答】解：3a＜3b?a＜b，?0＜a＜b，
∴“3a＜3b”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．【分析】原题等价于函数y＝sin x与函数y＝图象在[0，]上交点的个数，数形结合即可【解答】解：当x＝0时，很显然方程不成立，
则方程可化为sin x＝，作出函数y＝sin x与函数y＝在同一坐标系中的图象如图：
根据图象可知，共有2个交点，
故方程方程x sin x＝1在区间[0，2π]上根的个数为2个，
故选：C．
【点评】本题考查函数交点与方程根个数之间的关系，数形结合是关键，属于中档题．
7．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
【解答】解：∵tanθ＝2，
∴sinθ?cosθ＝＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8．【分析】设销售单价为x元时，销售量为480﹣40（x﹣16）＝1120﹣40x，日销售利润y＝（x﹣15）（1120﹣40x）．由此能求出结果．
【解答】解：设销售单价为x元时，销售量为480﹣40（x﹣16）＝1120﹣40x，
∴日销售利润y＝（x﹣15）（1120﹣40x）＝﹣40+1690．
∴当这个餐厅每盒盒饭定价21.5元时，利润取最大值1690元．
故选：C．
【点评】本题考查利润最大时盒饭定价的求法，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
9．【分析】直接利用诱导公式的应用求出结果．
【解答】解：＝，
故答案为：﹣
【点评】本题考查的知识要点：诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
10．【分析】利用对数运算性质即可得出．
【解答】解：原式＝lg（22×250）＝lg103＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．【分析】x＞0时，函数y＝x+，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：x＞0时，函数y＝x+≥2＝4，那么当x＝2时，函数y的最小值为4．
故答案为：2，4．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．【分析】利用正弦函数的取值范围是[﹣1，1]，即可得到函数f（x）的最小值．
【解答】解：当sin（2x+）＝﹣1时，f（x）有最小值，则f（x）最小值为﹣2+1＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查正弦函数的最值，属于基础题．
13．【分析】画出分段函数的图象，即可判断t的取值范围．
【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：
函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，
所以t≥1．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．14．【分析】利用正弦函数的性质逐一进行判断即可
【解答】解：对于①：因为f（﹣x）＝2sin x＝﹣2sin（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）时奇函数，故①正确；
对于②：当x∈时，﹣x∈（0，），则f（x）此时单调递增，故②正确；
对于③：f（）＝2sin（﹣）＝﹣，f（）＝2sin（﹣）＝，所以
，故③正确；
对于④：因为f（x）∈[﹣2，2]，所以对?x1，x2∈R要想|f（x1）﹣f（x2）|≤A恒成立，则必须A大于等于|2﹣（﹣2）|＝4，即A的最小值为4，故④正确；
故答案为①③④．
【点评】本题考查命题真假性的判断，涉及正弦函数的相关性质，属于中档题．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．【分析】（Ⅰ）直接利用同角三角函数关系式的变换求出结果．
（Ⅱ）利用诱导公式的变换的应用求出结果．
【解答】解：因为，且α为第三象限角，
所以，．
（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
16．【分析】（Ⅰ）直接把﹣1代入，解二次不等式即可；
（Ⅱ）分别讨论两个根的大小，解不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为a＝﹣1，所以f（x）＝﹣x2+x+2；
由f（x）≤0所以x2﹣x﹣2≥0，
所以不等式的解为{x|x≤﹣1或x≥2}．
（Ⅱ）因为a＞0，f（x）≤0
所以ax2﹣（2a+1）x+2≤0
化为
①时
②当时，
③当时{x|x＝2}．
综上当时，不等式f（x）≤0的解集是：
当时，不等式f（x）≤0的解集是：；
当时，不等式f（x）≤0的解集是：{x|x＝2}．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的求解以及分类讨论思想的应用，属于基础题目．17．【分析】（Ⅰ）根据三角函数f（x）的解析式求出最小正周期和单调减区间；
（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，]上的最小值是﹣1即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝，
所以f（x）的最小正周期为；
令，k∈Z；
解得，k∈Z；
所以函数f（x）的单调减区间为，k∈Z；
（Ⅱ）证明：因为，
所以；
当，即x＝0时，
函数f（x）有最小值为f（0）＝﹣1；
所以当时，f（x）≥﹣1．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
18．【分析】（I）先设出函数解析式，然后把A，B，C的坐标代入可求a，b，c，根据二次函数的性质可求函数的最小值，
（II）由x1+x2＝m可得x2＝m﹣x1，结合f（x1）＝f（x2）恒成立，代入函数解析式后比较系数即可求解．
【解答】（Ⅰ）解：f（x）的图象经过A，B，C三点．
设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）．
将A，B，C三点坐标代入，可得，
解可得，
所以，
根据二次函数的性质可知，f（x）的最小值为．
（Ⅱ）解：存在，因为x1+x2＝m，所以x2＝m﹣x1，
所以，，
又，
所以，f（x1）＝f（x2）成立，当且仅当
即m＝4，
所以存在实数m＝4，使得当实数x1，x2满足x1+x2＝m时，总有f（x1）＝f（x2）．
【点评】本题主要考查了待定系数求解函数解析式及二次函数性质的简单应用，属于基础试题．
19．【分析】（Ⅰ）利用三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果．
（Ⅱ）利用诱导公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，
将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q，过点Q做x轴的垂线交x轴于点M．由已知；.，．
．
（Ⅱ）因为，
所以．
．
所以△MOQ的面积．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，三角形的面积公式的应用，诱导公式的应用，属于基础题型
20．【分析】（Ⅰ）根据新定义判断即可，
（Ⅱ）根据新定义证明即可，
（Ⅲ）φ（x）＝sin x+kx为线周期函数，可得存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）＝sin x+kx+T．即可得到2kT＝2T，解得验证即可．
【解答】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）＝2x+T＝2x2T＝f（x）2T，故不是线周期函数
对于②f（x+T）＝log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数
对于③f（x+T）＝[x+T]＝[x]+T＝f（x）+T，故是线周期函数
故答案为：③
（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，
∴存在非零常数T，对任意x∈R，g（x+T）＝g（x）+T恒成立．
∵G（x）＝g（x）﹣x，
∴G（x+T）＝g（x+T）﹣（x+T）＝g（x）+T﹣（x+T）＝g（x）﹣x＝G（x）．
∴G（x）＝g（x）﹣x为周期函数．
（Ⅲ）∵φ（x）＝sin x+kx为线周期函数，
∴存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）＝sin x+kx+T．
∴sin（x+T）+kT＝sin x+T．
令x＝0，得sin T+kT＝T；
令x＝π，得﹣sin T+kT＝T；
①②两式相加，得2kT＝2T．
∵T≠0，
∴k＝1
检验：
当k＝1时，φ（x）＝sin x+x．
存在非零常数2π，对任意x∈R，φ（x+2π）＝sin（x+2π）+x+2π＝sin x+x+2π＝φ（x）+2π，∴φ（x）＝sin x+x为线周期函数．
综上，k＝1．
【点评】本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题，属于中档题．