初中数学一题多解题选编
（Ⅰ）
1、已知抛物线y=ax 2经过点（2，-8），若点A 为抛物线y=ax 2上一点，直线AB 垂直于x 轴，线段AB=5，沿y 轴平移抛物线y=ax 2，使之过点B ，求平移后所得抛物线的函数表达式.（y=-2x 2+5或y=-2x 2-5）
2、已知抛物线y=-x 2+ax-4的顶点在坐标轴上，求a 的值.（0，4，-4）
3、若一抛物线形状与y=-5x 2+2相同，顶点坐标是（4，-2），则其对应的函数表达式是________________________.（y=-5(x-4)2-2或y=5(x-4)2-2）
4、已知函数y=(m+2)42-+m m x +8x-1是关于x 的二次函数，则m=_________.（-3或2）
5、若抛物线y=2x 2-mx-m 2与x 轴有两个不同的交点A 、B ，且点A （1，0），求点B 的坐标.
（ （-2，0）或（-2
1，0） ） 6、已知函数y=mx 2-6x+1(m 是常数)
（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值.（0或9）
7、如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平
行于坐标轴，点C 在反比例函数x
k k y 122++=的图象上，若点A 的坐标为（-2，-2），则k 的值为（ D ）
A 、1
B 、-3
C 、4
D 、1或-3
8、二次函数y=x 2-6x+c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c=_________.（5或13）
9、已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，则d=________cm . （4，1或9）
10、已知三个数1，2，3，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，这个数可以是
________.（32，2
3或6） 11、已知a=4，c=9，若b 是a 、c 的比例中项，求b 的值。（±6） 12、若k b
c a a c b c b a =+=+=+，则k 的值为________.（2或-1）
13、如图，在△ABC 中，AB=6，AC=4，P 是AC 的中点，过点P 的
直线交AB 于点Q ，若以A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C
为顶点的三角形相似，则AQ 的长为（ B ）
A 、3
B 、3或34
C 、3或43
D 、3
4 14、如图，在△ABC 中，AB=9，AC=12，BC=18，D 为AC 上一点，
DC=3
2AC ，在AB 上取一点E ，得△ADE.若图中两个三角形相似，则DE 的长是________.（6或8）
15、如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=6，CD=16，BD=20，一动点P 从点B
向点D 运动.当BP 的值是________时，△PAB 与△PCD 是相似三角形.（11
60，8或12） 16、如图，在矩形ABCD 中，AB=15cm ，BC=10cm ，点P 沿AB 边从点
A 开始向点
B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A
以1cm/s 的速度移动，当点P 到达点B 时，点P ，Q 同时停止移动.
如果点P ，Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间，那么当t 为何值
时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似. （7
30s 或2.5s ）
17、Rt △AOB 在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O 为原点，点A
（0，8），点B （6，0），点P 在线段AB 上，且AP=6.
（1）求点P 的坐标；（ （3.6，3.2） ）
（2）x 轴上是否存在点Q ，使得以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB
相似，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
（ （3.6，0）或（-3
2，0） ） 18、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边
AC 上，记为点B ′，折痕为EF.已知AB=AC=3，BC=4，若以点B ′、F 、
C 为顶点的△B ′FC 与△ABC 相似，那么BF 的长度是________.（7
12或2）
19、如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点D
从点A 出发到点B 止，动点E 从点C 出发到点A 止.点D 运动的
速度为1cm/s ，点E 运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，
那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的
时间是________.（3s 或4.8s ）
20、如图，已知：在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠
B=90°,AB=3,BC=11,DC=6.请问：在BC 上若存在点P ，使得△
ABP 与△PCD 相似，求BP 的长及它们的面积比.
(BP=2，或311，或9.当BP=2时，S △ABP : S △PCD =1:9；当BP=3
11时，S
△ABP : S △PCD =1:4；当BP=9时，S △ABP : S △PCD =9:4)
21、已知，平面直角坐标系中，点E （-4,2），F （-1，-1），以
点O 为位似中心，按比例尺2:1把△EFO 缩小，则点E 的对应点
E ′的坐标为________.（ （2，-1）或（-2,1） ）
22、在平面直角坐标系中有两点A(7,3),B(7,0)，以点（1，0）为位似中心，位似比为3
1.把线段AB 缩小成A ′B ′，则过点A 对应点A ′的反比例函数的表达式为________.
（y=x 3或y=x
1）
23、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原
点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形
OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的4
1，那么点B ′的坐标是________.（ （3,2）或（-3，-2） ）
24、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，点P 在边BC 上，若△
ABP 与△DCP 相似，则△APD 一定是（ D ）
A 、直角三角形
B 、等腰三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等腰三
角形或直角三角形
25、如图，在四边形ABCD 中，∠B=60°,AD ∥BC,且AB=AD=CD.请你将这个四边形分成3个三角形，使得其中有两个是相似三角形，且相似比不为1.
现在给一种分割的示意图如图，请另外再给出三种分割方法（注：在两个相似三角形中标明必要的角度）.
分割方法：
方案一，连接BD ，作AF ⊥BD 于F ，则△ABF ∽ △CBD ；
方案二，连接BD ，作DH ⊥BC 于H ，则△BDH ∽ △DCH ；
方案三，连接BD ，作∠DCB 的平分线交BD 于G ，则△BGC ∽ △BAD ．
26、在△ABC 中，∠A=60°,AC=1，BC=3,那么∠B 为（ C ）
A 、60°
B 、60°或120°
C 、30°
D 、30°或150°
27、二次函数y=-x 2-2x 图象与x 轴交于点A 、O,在抛物线上有一点P ，满足S △AOP =3，则点P
的坐标是（ D ）
A 、（-3，-3）
B 、（1，-3）
C 、（-3，-3）或（-3，1）
D 、（-3，-3）或（1，-3）
28、如果三角形的一个外角等于140°，且∠B=∠C ，求∠A 的度数.（100°或40°）
29、等腰△ABC 的一个外角是80°，求其底角的度数.（ 40°）
30、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求这个等腰三角形顶角的度数.（120°或20°）
31、等腰三角形中有一个角是80°，求一腰上的高与底边的夹角.（10°或40°）
32、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，求顶角的度数.（60°或120°）
33、如图，在△ABC 中，AB=AC=2，∠B=40°，点D 在线段BC 上运动（不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE=40°，DE 交线段AC 于点E .
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °, ∠DEC= °,点D
从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变 ；（25,115，小）
（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？请说明理由；（DC=2）
（3）在点D 运动的过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？
若可以，请求出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由.（可以；80°或110°）
34、若直线y=kx+2与两条坐标轴围成的三角形的面积为2，求k 的值.（±1）
35、在平面直角坐标系中，已知点A （-5,0），点B （3,0），点C 在y 轴上，且△ABC 的面积为12，求C 点的坐标.（ （0,3）或（0，-3） ）
36、已知直角三角形的两条边长为3、4，求第三边的长.（5或7）
37、已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP 的长为多少时，△ADP 与△ABC 相似？（4或9）
38、若x 2+kx+25是一个完全平方式，则k= .（±10）
39、已知点P 的坐标为（2-a ，3a+6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标为 . （ （3,3）或（6，-6） ）
40、若函数???>≤+=)2(,2)2(,22x x x x y
,则当函数值y=8时，自变量x 的值是（ D ） A 、±6 B 、4 C 、±6或4 D 、4或-6
41、如果一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（ D ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、直角或锐角三角形
42、已知长方形ABCD 中，AB=4，BC=6，且AB ∥x 轴，若点A 的坐标为（-1,2），试确定点C 的坐标.（ （-5，-4）或（3，-4）或（3,8）或（-5,8） ）
43、等腰三角形一边长为9cm ，另一边长为6cm ，则此三角形的周长是 cm . (21或24)
44、等腰三角形一边长为12cm ，另一边长为6cm ，则此三角形的周长是 cm . (30)
45、已知△ABC 中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请选用下面给出的备用图，用两种不同的分割方法画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
答案如图所示：
46、画直线l，并在直线l上截取线段AB=5cm，再在直线l截取线段BC=2cm，则线段AC 的长是 . （3cm或7cm）
47、数轴上的点A、C、B分别表示-2、4、8，若AC=BD，则数轴上点D表示的数是 .（2或14）
48、已知∠AOB=45°，∠BOC=30°，求∠AOC的度数.（15°或75°）
49、已知x2=(-3)2,则x= .(±3)
50、已知∣x∣=3，∣y∣=2，且x·y＜0，则x+y的值等于 .（±1）
51、数轴上两点，它们到原点的距离分别是2和3，则这两点间的距离是 .（1或5）
52、如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF不相似，其中∠C，∠F为直角，∠A＜∠D，能否分别将两个三角形分割成两个三角形，使△ABC所分的两个三角形与△DEF所分的两个三角形分别相似？如果能够，请设计一个分割方案；如果不能，请说明理由．
答案：方案一：
能够分割，如图：
在∠D处作一个∠α=∠A，交EF于点N，在∠B中作一个∠β=∠E，
交边AC于点M，则可得，△ABM∽△DEN．
∵∠BMC=∠α+∠β，∠DNF=∠α+∠β，
∴∠BMC=∠DNF．
∵∠C=∠F=90°，
∴△BCM∽△DFN．
方案二：过C点作直线CG交AB于G，使∠ACG=∠E，过F点作直线FH交DE于H，使∠DFH=∠B．
∵∠DFH=∠B，∴∠EFH=∠CAG，
又∵∠ACG=∠E，
∴△ACG∽△FEH，
同理：△CBG∽△DFH，
故按照过C点作直线CG交AB于G，使∠ACG=∠E，过F点作直线FH交DE于H，使∠DFH=∠B切割即可使得△ABC所分的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似．
53、点A、B的坐标分别为（2,4），（6,0），点P是x轴上一点，且三角形ABP的面积为6，则点P的坐标为______．（3，0）或（9，0）
54、如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（0，
6），D（4，0），将菱形ABCD先向左平移5个单位长度，再向下平
移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中
点的对应点的坐标为______。（（-5，7）或（5，-7））
解答：∵菱形ABCD的D（4，0），
∴点B的坐标为（-4，0），
∴AB的中点的坐标为（-2，3），
∵向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，
∴-2-5=-7，3-8=-5，
∴平移后AB的中点的坐标为（-7，-5），
∵在坐标平面内绕点O旋转90°，
∴若是顺时针旋转，则对应点在第二象限，坐标为（-5，7），
若是逆时针旋转，则对应点在第四象限，坐标为（5，-7），
综上所述，边AB中点的对应点的坐标为（-5，7）或（5，-7）．
故答案为：（-5，7）或（5，-7）．
55、二次函数y=x2+cx+c+3的图象与坐标轴只有两个交点，则c的值为______。（6或-2或-3，与x、y轴各有一个或与x轴有两个，此时过原点）
（Ⅱ）
1、平面上一点与定圆上最近点的距离为5cm，与最远点的距离为10cm，则此圆的半径为（ A ）
A、2. 5cm 或7.5cm
B、7.5cm
C、2.5cm
D、5cm或15cm
2、已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ C ）
A、25cm
B、45cm
C、25cm或45cm
D、23cm或43cm
3、若△ABC是⊙O 的内接三角形，OD⊥BC于点D，∠BOD=38°，求∠A的度数。（38°或
142°）
4、已知AB 、CD 为两直径，弦CE ∥AB ，∠COE 的度数为50°，则∠DOB 的度数为（ D ）
A 、115°
B 、65°
C 、125°
D 、115°或65°
5、圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ D ）
A 、30°
B 、60°
C 、150°
D 、30°或150°
6、如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB 重合，其中
量角器0刻度线的端点N 与点A 重合，射线CP 从CA 处出发沿顺
时针方向以每秒3度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点E ，
第24秒，点E 在量角器上对应的读数是________度。（144或36）
7、已知PA 、PB 为⊙O 的切线，切点为A 、B ，点C 为弧AB 上一
点，∠APB=40°，则∠ACB 度数为（ D ）
A ．70°
B ．110°
C ．140°或40°
D ．70°或110°
8、已知⊙O 的半径是1，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，PA=1，若AB 是⊙O 的弦，且AB=2，则PB 的长为________. （1或5）
9、等腰△ABC 中，AB=AC=13，△ABC 的面积为60，求△ABC 内切圆的半径.（
310或5
12） 10、⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O 1经过点O 2，若∠AO 1B=90°，那么∠AO 2B 的度数是____.
（45°或135°）
11、若一个正n 边形的对角线的长都相等，则n=____.（4或5）
12、一个直角三角形，直角边AC=5，BC=12，以直角边为轴旋转一周，求斜边AB 形成的圆锥的侧面积.（65π或156π）
13、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AB=2，AC=2，在
图中画出弦AD ，使AD=1，并求出∠CAD 的度数.
（105°或15°）
14、已知⊙O 的半径为5cm ，四边形ABCD 是⊙O 的内接等腰梯形，
AD=6cm ，BC=8cm ，则S 梯形ABCD =________cm 2. (49或7)
15、如图，将半径为2的圆形纸片沿半径OA 、OB 将其截成1:3两部分，
用所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ C ）
A ．21
B ．1
C ．21或2
3 D ．1或3 16、圆内接等腰三角形中，AB=AC=235cm ，圆心到的距离为3cm ，则圆
的半径为（ C ）
A 、7cm
B 、13cm
C 、7cm 或10cm
D 、13cm 或85cm
初中数学十大常见解题方法 1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，
而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。 6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的
初中数学规律题拓展研究 “有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧
初中三年级中考复习平面几何证明题一题多解 如图：已知青AB=AC ，E 是AC 延长线上一点，且有BF=CE ，连接FE 交BC 于D 。求证：FD=DE 。 分析：本题有好多种证明方法，由于新课标主 要用对称、旋转方法证明，但平行四边形的性质、平行线性质等都是证题的好方法，我在这里向初中三年级同学面对中考需对平面几何证明题的证明方法有一个系统的复习和提高。 下边我将自己证明这道题的方法给各位爱好者作以介绍，希望各位有所收获，仔细体会每 中方法的异同和要点，从中能得到提高。我是一位数学业余爱好者，不是学生，也不是老师，如有错误，请批评指证。信箱： wangsj629@https://www.doczj.com/doc/ac9080327.html, . 证法一 ∧≌∠⊥∥△□° 证明：过E 点作EM ∥AB 交DC 延长线于M 点，则∠M=∠B ，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M ，所以CE=EM ， 又EC=BF 从而EM=BF ，∠BFD=∠DEM 则△DBF ≌△DME ，故 FD=DE ； 证法二 证明：过F 点作FM ∥AE ，交BD 于点M ， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM ， 又 ∠4=∠3 ∠5=∠E 所以△DMF ≌△DCE ，故 FD=DE 。 证法三 以BC 为对称轴作△BDF 的对称△BDN ，连接NE ，则△DBF ≌△DBN ，DF=DN ，BN=BF ， NF ⊥BD ，∠FBD=∠NBD ，又因为∠C=∠FBD 所以∠NBD=∠C 。 BN ∥CE ，CE=BF=BN ，所以四边形BNCE 为平行四边形。故NF ∥BC ， 所以NF ⊥NE ，因FN 衩BD 垂直平分，故D 是FE 的中点，所以FD=DE 。（也可证明D 是直角△NEF 斜边的中点）。 证法四： F C A E N E
初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。 10、不完全归纳法： 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。 以上是我们给同学们介绍的选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。 初中填空题解法大全 一.数学填空题的特点： 与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比择题略大。 二.主要题型： 初中填空题主要题型一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时
初中数学解题技巧+中考必刷压轴题30道，抓紧时间看过来！ 方法一：排除选项法选择题因其答案是四选一，必然只有一个正确答案，那么我们就可以采用排除法，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，那么留下的一个自然就是正确的答案。方法二：赋予特殊值法即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。方法三：通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。方法四：直接求解法有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。例如：商场促销活动中，将标价为200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( )A 、160元B、128元C 、120元D、88元方法五：数形结合法解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。方法六：代入法将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。方法七：观察法
观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。方法八：枚举法列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。例如：把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( )A.5种B.6种C.8种 D.10种分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B。方法九：待定系数法要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。方法十：不完全归纳法当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好；不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。填空题解法大全 一、填空题特点分析与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多
C B A S 2 S 3 S 1 C B A S 3 S 2 S 1 S 3 S 2S 1 C B A 一题多解、一题多变 原题条件或结论的变化 所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。 例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ …… 通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何图形形状的变化 如图1，分别以Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321S S S 、、，则 321S S S 、、之间的关系是 图1 图2 图3
E S 3 S 2 S 1 D C B A S 3S 2 S 1 A B C D A B C D S 3S 2 S 1 变式1：如图2，如果以Rt ?ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是 变式2：如图3，如果以Rt ?ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为 321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是 变式3：如果以Rt ?ABC 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为321S S S 、、，为使321S S S 、、之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。 ,2,90,//,44321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为边向梯形外作正方形、、分别以且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 图4 图5 图6 ,2,90,//,55321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、形，其面积分别为为边向梯形外作正三角、、分别以 且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 ,2,90,//,66321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为直径向梯形外作半圆、、分别以且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化 例2.已知：如图7，点C 为线段AB 上一点，?ACM 、?CBN 是等边三角形。
初中数学一题多解精彩题集 1．（2009年中山市）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△； （2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并 求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值． 解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°， 90CMN AMB ∴∠+∠=°． 在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠， Rt Rt ABM MCN ∴△∽△． · ·········································· 2分 （2）Rt Rt ABM MCN △∽△， 44AB BM x MC CN x CN ∴ =∴= -，， 244 x x CN -+∴=， ···························································································· 4分 2221411 4428(2)102422ABCN x x y S x x x ??-+∴==+=-++=--+ ??? 梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． ································································· 6分 （3）方法一： 90B AMN ∠=∠=°， ∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM AB MN BM = ， ··················································· 7分 由（1）知AM AB MN MC = ， BM MC ∴=， ∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．····························· 9分 方法二：作ME 垂直AN 于E ，可证MB=ME,MC=ME ，则MB=MC 。 方法三：延长NM 与直线AB 交于点E,利用全等三角形，可证MB=MC 。 方法四：设MB=x ，列方程。 2．（2009年烟台市）如图，AB ，BC 分别是O ⊙的直径和弦，点D 为BC 上一点，弦DE 交O ⊙于点E ， 交AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的切线交ED 的延长线于H ，且HC HG =，连接BH ，交O ⊙于点M ，连接MD ME ，． N D A C B M 第1题图
____________________________________________________________________________________________ 初中数学一题多解与一题多变 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， E D C B A
求证：BD=CE. （本题来自《几何》第2册69页例3） 思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。 思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。 例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E 添加字母，不写推理过程） D 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； ____________________________________________________________________________________________
初中数学中一题多解的能力培养分析 一、前言 随着教育改革的步伐不断深入，初中学校均纷纷进行教学改革，在初中数学教学改革中，已经逐渐将传统的教学方式摒弃，开始应用现代化教学模式，例如多媒体教学模式、小组合作模式、一题多解模式等，为了探索初中数学教学方法，为今后提高今后教学水平，本文就一题多解教学模式在初中数学中的应用展开探究。一题多解教学方法的本质是通过让学生去探究发现解题方法，进而掌握解题的关键。一题多解有利于锻炼学生思维的灵活性，活跃思路，让学生能根据题目给出的已知条件，并结合自身情况，灵活地选择解题切入点；一题多解有利于调动学生的学习积极性，在初中数学教师的启发、引导下，学生主动探究一道题的解法，进而可能提出两种、三种甚至更多种解法，使课堂成为同学们合作、竞争、探究、互助的场所，大大地提高学生学习数学的兴趣；一题多解有利于学生积累解题经验，丰富解题方法，学会如何综合运用已学的知识不断提高自身解题能力；一题多解有利于培养学生的创新思维，使学生不满足于得出一道习题的答案，进而去追求更快捷、更简单的解题方法[1]。总而言之，一题多解有利于提高学生数学思维能力。 二、一题多解在初中数学教学中的应用 （一）激发学生学习兴趣 一题多解可以充分调动学生参与课堂讨论的积极性，激发学生的学习兴趣，通过营造一个活跃的课堂氛围，让学生更加投入到一题多解方法当中。初中数学教师可以适当收集一些一题多解的题目，然后让学生进行解题方法探讨，最后选出最适合自己掌握的且简单的解题方法。例如，教师可以出一个这样的题目：小夏是一名初中生，她们宿舍一共有8个女生，根据小夏调查发现，大家的体重都差不多，分别是44kg、40kg、46kg、43kg、47kg、40kg、44kg，加上小夏自己是42kg，请计算一下小夏宿舍女生的平均体重。首先，教师应让学生提出自己的思路，然后由学生自行探究寻找多种解题方法。最后将学生的解题方法罗列出来，一共有两种解法，一种是直接将所有的体重相加然后除以8得出答案，另一种是通过观察发现8个女生的体重都是在40kg幅度围绕，因此，分别将8个女生的体重减去40kg所得的数相加起来再除以8，最后得到的数加上40kg就是所要求的平均数。通过学生的发言发现，绝大多数学生都是想到第一种方法，只有少数学生想到第二种方法，经过大家讨论认为第二种解法比第一种解法较为简单便捷，因此，最后一致选择第二种解法当做今后解题的主要解法。通过一题多解方法可以激发学生对问题的思考，相互学习，取长补短，不但可以锻炼学
例题一、如图1，已知AB//CD ，试找出B ∠、BED ∠和D ∠的关系并证明。 我们找出他们的关系是：D B BED ∠+∠=∠。证明如下： 方法一：如图2，过点E 作EF//AB 。因为EF AB //，所以B BEF ∠=∠；因为CD AB //， EF AB //，所以 CD EF //，所以D FED ∠=∠，所以 D B F E D B E B E D ∠+∠=∠+∠=∠。 方法二：如图3，过点E 作EF//AB 。 因为EF AB //，所以 180=∠+∠B BEF ，即B BEF ∠-=∠ 180；因为CD AB //， EF AB //，所以CD EF //，所以 180=∠+∠D FED ，即D FED ∠-=∠ 180；因为 ? =∠+∠+∠360FED BED BEF ， 所 以 )180180(360)(360D B FED BEF BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠?? D B ∠+∠=。 方法三：如图4，连接BD 。因为CD AB //，所以 180=∠+∠BDC ABD ，即 ) (180EDB EBD EDC ABE ∠+∠-=∠+∠ ；在ΔBED 中， )(180EDB EBD BED ∠+∠-=∠ ，所以EDC ABE BED ∠+∠=∠。 方法四：如图5，过点E 做AB FG ⊥，垂足为点F ，交CD 于点G 。因为CD AB //，所以 90180=∠-=∠EFB EGD ；在直角ΔEGD 中，D GED ∠-=∠ 90，在直角ΔEFB
中，B F E B ∠-=∠ 90，所以 )9090(180)(180B D FEB GED BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠ D B ∠+∠=。 方法五：如图6，延长BE 交CD 于点F 。因为CD AB //，所以B EFD ∠=∠；在ΔEFD 中，F E D D E F D ∠-=∠+∠ 180，又因为FED BED ∠-=∠ 180，所以D B D E F D B E D ∠+∠=∠+∠=∠。 例题二、证明： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图1，在△ABC 中，AD=BD=CD ． 求证：△ABC 是直角三角形． 证法1 如图1，利用两锐角互余． ∵AD=CD ，CD=BD ， ∴∠1=∠A ，∠2=∠B 。 在△ABC 中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°， ∴2（∠A+∠B ）=180°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形。 证法2 如图2，利用等腰三角形的三线合一． 延长AC 到E 使CE=AC ，连接BE ． ∵AD=BD ， ∴CD 是△ABE 的中位线． ∴BE 2 1 CD =。
初中数学一题多解与一题多变 北兴中学 王成录 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， 求证：BD=CE. E D C B A
（本题来自《几何》第2册69页例3） 思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。 思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。 例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E 为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程） 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； A Array 2.BE=CE； 3.AB=AC； 4.BD=CD. D
初中数学技巧题汇总 可以拥有！！！ 应该拥有！！！ 你会学会这些技巧的！ 通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 -，例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是10021 2-。 第n个数是n1 解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号：1，2，3，4，5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是2n-1，第100
题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°， EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE＝EF． 【方法一】 在AB上取一点G使得AG＝CE，易得△BGE为等腰直角三角形，再证明△AGE≌△ECF（ASA）即可． 【方法二】 过点E作EG⊥BC交FC的延长线于点G，证明△AEC≌△FEG（ASA）即可． 【方法三】
延长AC至点G使得CG＝CF并连接EG，证明△ECF≌△ECG（SAS），再得∠ECA＝∠G（提示：外角的性质）即可． 【方法四】 分别延长AB，FC交于点G，并连接EG，证明△ABE≌△GBE（SAS），再证∠EGC＝∠F（提示：外角的性质）即可． 【方法五】 延长AB至点G，使得BG＝BE，并连接EG，CG，证明△ABE≌△CBG （SAS），再证明四边形EGCF为平行四边形即可（两组对边分别平行）．
【方法六】 连接AC，过点E作EG⊥BC，交AC于点G，证明△AEG≌△FEC（ASA）即可． 【方法七】 如图，分别过点E，F作EG∥CF，FG∥CD和FH∥BC，EG分别与FG，FH 交于点G，H，易得四边形ECFH为平行四边形，再证明△ACE≌△EGF （ASA）即可．
【方法八】 过点F作FG⊥BC于点G，分别设AB＝a，EC＝x，FG＝CG＝y，则BE＝a －x，根据△ABE∽△EGF得AB：BE＝EG：GF，即a：（a－x）＝（x＋y）：y，得ay＝ax＋ay－x2－xy，得x（a－x－y）＝0，即a＝x＋y，所以AB＝EG，BE＝FG所以AE＝EF． 【总结】本题还有许多其他构造辅助线的方法来证明，有的是同种类型的不同 构法，异曲同工。欢迎大家讨论！ 当然，除了一题多解之外，大家也可以考虑把条件和结论对调进行证明，要不 试试看？ 题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，在正方形外角的 平分线CF上取一点F使得AE＝EF． 求证：∠AEF＝90°．
初中数学一题多解题 例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数 方法一、 设较小的奇数为x,另外一个就是x+2 x(x+2)=323 解方程得：x1=17,x2=-19 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法二、 设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x 则有：x-323/x=2 解方程得：x1=19,x2=-17 同样可以得出这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法三、 设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为： 2x-1,2x+1 (2x-1)(2x+1)=323 即4x^2-1=323 x^2=81 x1=9,x2=-9 2x1-1=17,2x1+1=19 2x2-1=-19,2x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法四、 设两个连续奇数为x-1,x+1 则有x^2-1=323 x^2=324=4*81 x1=18,x2=-18 x1-1=17,x1+1=19 x2-1=-19,x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？
解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得 1359925 1243320 2x y z x y z ++=<> ++=<> ?? ?.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。 1. 凑整法 解1： <>+<> 123 ，得5344153x y z ++=<>. <>+<>23，得7735().x y z ++= ∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为 1342925 22320 ()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=?? ? 解之得：x y z ++=105. 2. 主元法 解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2> 得x z =-0505..，y z =-05505.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105... 解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2> 得y x z x =+=-00512.， ∴++=+-+=x y z x x x 1052105.. 解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2> 得x y z y =-=-00511 2..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105... 3. “消元”法 解6：令x =0，则原方程组可化为 5992543320051y z y z y z +=+=????==?? ? ... ∴++=x y z 105. 解7：令y =0，则原方程组可化为 1399252332000511x z x z x z +=+=????=-=?? ? .... ∴++=x y z 105. 解8：令z =0，则原方程组可化为
初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、 设较小的奇数为x,另外一个就是x+2 x(x+2)=323 解方程得：x1=17,x2=-19 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法二、 设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x 则有：x-323/x=2 解方程得：x1=19,x2=-17 同样可以得出这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法三、 设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为： 2x-1,2x+1 (2x-1)(2x+1)=323 即4x^2-1=323 x^2=81 x1=9,x2=-9
2x1-1=17,2x1+1=19 2x2-1=-19,2x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法四、 设两个连续奇数为x-1,x+1 则有x^2-1=323 x^2=324=4*81 x1=18,x2=-18 x1-1=17,x1+1=19 x2-1=-19,x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？ 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得 13599251243320 2x y z x y z ++=<>++=<> ?? ?.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。 1. 凑整法 解1： <>+<> 123 ，得5344153x y z ++=<>. <>+<>23，得7735().x y z ++= ∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为
一题多解，一题多变（六） 中考几何母题的一题多解(多变) 一、三角形一题多解 如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC 于D。求证：FD=DE。 证法一 证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF， ∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故FD=DE； 证法二 证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又 因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF， ∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二 证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM， 又∠4=∠3 ∠5=∠E 所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。 二、平行四边形一题多解 如图4，平行四边形ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上， 且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.
证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。 证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥ DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根 据菱形的对角线互相垂直，结论成立。 证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则Δ AFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF ⊥CE。 证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE 四\一题多解、多变《四边形面积》 1.如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影 都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面 积是多少。 解法一 将大矩形进行平移将平行四边形 进行转换。
初中数学 多解题—与坐标系有关 1.如图，正方形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，再向下平移2个单位长度，则平移后点D 的对应点D′的坐标是 . 第1题图 第2题图 2.如图，点A 是直线y =-2x +3上的动点，且点A 在第一象限，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，点C 在y 轴上，△ ABC 为等腰直角三角形，请写出所有符合条件的点C 的坐标 . 3.如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则P 点的坐标为 . 第3题图 4.一次函数y =kx +2的图象过点A （2，4），且与x 轴相交于点B ，若点P 是坐标轴上一点，△ APB 为直角三角形且∠APB =90°，则点P 的坐标为 . 5.已知，在平面直角坐标系中，点A （4,0）和点B （0,3），点C 是AB 的中点，点P 在折线AOB 上，直线CP 截△AOB 所得的三角形与△AOB 相似，那么点P 的坐标是 . 6.已知，抛物线322+--=x x y 与x 轴分别交于点 B A ,（点B 位于点A 的左侧），与y
轴交于点C ，若点P 为该抛物线上一点（不与点C 重合），且满足ABC ABP S S △△=，则点P 的坐标为 . 7.已知，抛物线23 4322--=x x y 与x 轴交于B A ，两点（B 在A 的左侧），与y 轴交于C 点，连接AC ，点P 是y 轴上任一点，若以点C A P 、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，则P 点的坐标为 .