八年级数学全册全套试卷测试卷附答案
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD=2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是_____．
【答案】30 【解析】 【分析】
由于BD =2DC ，那么结合三角形面积公式可得S △ABD =2S △ACD ，而S △ABC =S △ABD +S △ACD ，可得出S △ABC =3S △ACD ，而E 是AC 中点，故有S △AGE =S △CGE ，于是可求S △ACD ，从而易求S △ABC ． 【详解】
解：∵BD =2DC ，∴S △ABD =2S △ACD ，∴S △ABC =3S △ACD ． ∵E 是AC 的中点，∴S △AGE =S △CGE ．
又∵S △GEC =3，S △GDC =4，∴S △ACD =S △AGE +S △CGE +S △CGD =3+3+4=10，∴S △ABC =3S △ACD =3×10=30． 故答案为30．
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．
2．如图，ABC ?的面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点111,,A B C ，使
111,,A B AB B C BC C A CA ===，顺次连接111,,A B C ，得到111A B C ?；第二次操作：分别
延长111111,,A B B C C A 至点222,,A B C ，使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =，顺次连接222,,A B C ，得到222A B C ?，…；按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过__________次操作.
【答案】4 【解析】 【分析】
连接111,,AC B A C B ，根据两个三角形等底同高可得
111111111,C A B
C AB
A B C
A BC
B C A
B CA
ABC
S
S
S
S
S
S
S
======从而得出第一次操作：
11177A B C ABC S S ??==＜2020；同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ??===＜
2020……直至第四次操作4443334
772401A B C A B C S S ??===＞2020，即可得出结论． 【详解】
解：连接111,,AC B A C B
∵111,,A B AB B C BC C A CA === 根据等底同高可得：
111111111,,C A B
C AB
ABC
A B C
A BC
ABC
B C A
B CA
ABC
S
S
S
S
S
S
S
S
S
======
∴111111111,C A B
C AB
A B C
A BC
B C A
B CA
ABC
S
S
S
S S S
S
======
∴第一次操作：11177A B C ABC S S ??==＜2020
同理可得第二次操作2221112
7749A B C A B C S S ??===＜2020 第三次操作3332223
77343A B C A B C S S ??===＜2020 第四次操作4443334772401A B C A B C S S ??===＞2020
故要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过4次操作， 故答案为：4． 【点睛】
此题考查的是三角形的面积关系和探索规律，掌握两个三角形等底同高时，面积相等是解决此题的关键．
3．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ?的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________
【答案】2017
2α
【解析】 【分析】
根据角平分线的定义可得∠A 1BC=
12∠ABC ，∠A 1CD=1
2
∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的1
2
，根据此规律即可得解． 【详解】
∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线， ∴∠A 1BC=
12∠ABC ，∠A 1CD=1
2
∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，
∴12（∠A+∠ABC ）=1
2
∠ABC+∠A 1， ∴∠A 1=1
2
∠A ，
∵∠A 1=α．
同理理可得∠A 2=12∠A 1=12α，∠A 3=12∠A 2=21
2
α，
……，
∴∠A 2018=2017
2
α
，
故答案为2017
2α
．
【点睛】
本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．
4．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB =____．
【答案】105°．
【解析】
【分析】
先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°，
∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°．
故答案为：105°．
【点睛】
此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键．
5．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
【答案】8；
【解析】
【分析】
根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．
【详解】
∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8．
【点睛】
本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．
6．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=100°，则
∠1+∠2+∠3+∠4= ．
【答案】280°
【解析】
试题分析：先根据邻补角的定义得出与∠EAB相邻的外角∠5的度数，再根据多边形的外角和定理即可求解．
解：如图，∵∠EAB+∠5=180°，∠EAB=100°，
∴∠5=80°．
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°
故答案为280°．
考点：多边形内角与外角．
二、八年级数学三角形选择题（难）
7．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论
①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+1
2
∠1，再结合三角形
外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断.【详解】
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=1
2
∠ABC，∠OCB=
1
2
∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB=1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180°-∠1）=90°-
1
2
∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-1
2
∠1）=90°+
1
2
∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=1
2
∠ACD=
1
2
（∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2=1
2
∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+1
2
∠1=90°+∠2，
∴①④正确，②③错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键.
8．如图，ABC的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到111
A B C．再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到222
A B C．…… 按此规律，倍长2018次后得到的
201820182018
A B C的面积为（）
A．2017
6B．2018
6C．2018
7D．2018
8
【答案】C
【解析】
分析：根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此类推写出即可．
详解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相
等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，所
以，S△A1B1C1=7S△ABC，同理S△A2B2C2=7S△A1B1C1=72S△ABC，依此类推，S△AnBnCn=7n S△ABC．∵△ABC 的面积为1，∴S△AnBnCn=7n，∴S△A2018B2018C2018=72018．
故选C．
点睛：本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
9．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（）
A．5°B．13°C．15°D．20°
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，问题得解．
【详解】
在△ABC中，
∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,
∴∠BAC=180°?∠B?∠C=82°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=41°.
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵在△ABD中∠BAD=90°?∠B=56°，
∴∠DAE=∠BAD ?∠BAE =15°.
【点睛】
在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可
以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.
∠的度数10．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则3
等于（）
A．50°B．30°C．20°D．15°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3，代入数据即可求∠3．
【详解】
如图所示，
∵AB∥CD
∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°，
∴∠3=∠4-30°=20°，
故选C.
11．已知正多边形的一个外角等于40，那么这个正多边形的边数为()
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．
【详解】正多边形的一个外角等于40，且外角和为360，
÷=，
则这个正多边形的边数是：360409
故选D．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
12．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与
∠1、∠2之间的数量关系是（）
A ．212A ∠=∠-∠
B ．32(12)A ∠=∠-∠
C ．3212A ∠=∠-∠
D ．12A ∠=∠-∠
【答案】A 【解析】 【分析】
根据折叠的性质可得∠A′=∠A ，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解． 【详解】 如图所示：
∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到， ∴∠A′=∠A ，
又∵∠ADA′=180°-∠1，∠3=∠A′+∠2， ∵∠A+∠ADA′+∠3=180°， 即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°， 整理得，2∠A=∠1-∠2． 故选A. 【点睛】
考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把∠1、∠2、∠A 转化到同一个三角形中是解题的关键．
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB
上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝_____．
【答案】7
【解析】
由MN∥PQ，AB⊥PQ，可知∠DAE=∠EBC=90°，可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AE+BE=AD+BC=7．
故答案为：7.
点睛：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识，比较简单．
14．在ABC中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；
②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和
△BCD，
错误；
③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；
④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方
法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．
15．如图，AE 平分∠BAC ，BD=DC ，DE ⊥BC ，EM ⊥AB ．若AB=9，AC=5，则AM 的长为______．
【答案】7 【解析】 【分析】
过点E 作EN ⊥AC 的延长线于点N ，连接BE 、EC ，利用角平分线的性质、垂直平分线的性质得到EM=EN ，EB=EC ，证明Rt △BME ≌Rt △CNE （HL ），得到BM=CN ，证明Rt △AME ≌Rt △ANE （HL ），得到AM=AN ，由AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC ）=AB-AN+AC=AB-AM+AC ，即AM=9-AM+5，即可解答． 【详解】
解：如图，过点E 作EN ⊥AC 的延长线于点N ，连接BE 、EC ，
∵BD=DC ，DE ⊥BC ∵BE=EC ．
∵AE 平分∠BAC ，EM ⊥AB ，EN ⊥AC ， ∴EM=EN ，∠EMB=∠ENC=90°． 在Rt △BME 和Rt △CNE 中，
BE EC
EM EN =??
=?
， ∴Rt △BME ≌Rt △CNE （HL ） ∴BM=CN ，
在RtAME 和Rt △ANE 中，
AE AE
EM EN =??
=?
， ∴Rt △AME ≌Rt △ANE （HL ）
∴AM=AN，
∴AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC）=AB-AN+AC=AB-AM+AC，
即AM=9-AM+5
2AM=9+5
2AM=14
AM=7．
故答案为：7．
【点睛】
考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明Rt△BME≌Rt△CNE（HL），得到BM=CN，证明Rt△AME≌Rt△ANE（HL），得到AM=AN．
16．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别过A、B、C三点，l1∥l2∥l3，若l1与l2之间的距离为4，l2与l3之间的距离为5，则正方形的边长为______．
【答案】41
【解析】
解：过B作直线BF⊥l3于F，交直线l1于点
E．∵l1∥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴BE=4，BF=5．∵ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°．∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF．在
△ABE和△BCF中，
∵∠BAE=∠CBF，∠AEB=∠BFC，AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF=5．在Rt△AEB中，AB=22
=41．故答案为41．
AE BE=22
54
点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解答本题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△ABE≌△BCF，难度适中．
17．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。
【答案】45? 【解析】 【分析】
根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+ 由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠=
根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? 易得∠M 的度数。 【详解】
在ABM 中，2∠是ABM 的外角 ∴2M MAB ∠∠∠=+
由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? ∵BOA 90∠=? ∴OBA OAB 90∠∠+=? ∵MA 平分BAO ∠ ∴BAO 2MAB ∠∠=
由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=?+ ∵12∠∠=
∴2290BAO ∠∠=?+ 又∵2M MAB ∠∠∠=+
∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+ ∴90BAO 2M BAO ∠∠∠?+=+
2M 90∠=?
M 45∠=?
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。
18．如图，AD=AB,∠C=∠E,AB=2，AE=8，则DE=_________.
【答案】6
【解析】
根据三角形全等的判定“AAS”可得△ADC≌△ABE，可得AD=AB=2，由AE=8可得
DE=AE-AD=6.
故答案为：6.
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；
④AC=3BF，其中正确的结论共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【解析】
试题解析：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，{
C CBF
CD BD
EDC BDF
∠=∠
=
∠=∠
，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正
确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．相似三角形的判定与性质．
20．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【解析】
【分析】
依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=1
2
，即可得到∠BAD≠30°；连
接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得
AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．
【详解】
∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，
∴BD=1
2
BC=
1
2
AB，
∴tan∠BAD=1
2，
∴∠BAD≠30°，故①错误；
如图，连接B'D，
∵B、B′关于AD对称，
∴AD垂直平分BB'，
∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，
∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，
∴∠AFB=∠BB'C，
又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF ， ∴∠BAF=∠CBB'， ∴△ABF ≌△BCB'， ∴BF=CB'=B'F ，
∴△FCB'是等腰直角三角形，
∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；
由△ABF ≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C ，故③正确； ∵AF ＞BF=B'C ，
∴△AEF 与△CEB'不全等， ∴AE≠CE ，
∴S △AFE ≠S △FCE ，故④错误； 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
21．如图，ABC △中，60BAC ∠=?，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=?．下列结论：
①120BEC ∠=?；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】D 【解析】
分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．
详解：∵60
BAC ∠=?，
∴18060120ABC ACB ∠+∠=?-?=?， ∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线， ∴12EBC ABC ∠=
∠，1
2
ECB ACB ∠=∠， ∴11
()1206022
EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=??=?， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=?-∠+∠=?-?=?，
故①正确．
如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线， ∴AD 为BAC ∠的平分线， ∴DF DG =，
∴36090260120FDG ∠=?-??-?=?， 又∵120BDC ∠=?，
∴120BDF CDF ∠+∠=?，120CDG CDF ∠+∠=?． ∴BDF CDG ∠=∠， ∵在BDF 和CDG △中，
90BFD CGD DF DG
BDF CDG ∠=∠=???
=??∠=∠?
， ∴BDF ≌()CDG ASA ， ∴DB CD =， ∴1
(180120)302
DBC ∠=
?-?=?， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=?+∠， ∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠， ∴ABE CBE ∠=∠，1
302
BAE BAC ∠=∠=?， 根据三角形的外角性质，
30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+?， ∴DEB DBE ∠=∠， ∴DB DE =，故②正确． ∵DB DE DC ==，
∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上， ∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确， 综上所述，正确结论有①②③， 故选：D ．
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．
22．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（ ）
A ．1+2
B ．1+
22
C ．2-2
D ．2-1
【答案】B 【解析】
第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为
22
； 第一次折叠后，等腰三角形的底边长为
2
2
，腰长为12，所以周长为
1122
122++=+
. 故答案为B.
23．如右图，在△ABC 中，点Q ，P 分别是边AC ，BC 上的点，AQ=PQ ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，且PR=PS ，下面四个结论：①AP 平分∠BAC ；②AS=AR ；③BP=QP ；④QP ∥AB ．其中一定正确的是( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．②③④
【答案】C 【解析】
试题解析：∵PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，且PR =PS ， ∴点P 在∠BAC 的平分线上， 即AP 平分∠BAC ，故①正确； ∴∠PAR =∠PAQ ， ∵AQ =PQ ， ∴∠APQ =∠PAQ ， ∴∠APQ =∠PAR ，
QP AB ∴， 故④正确；
在△APR 与△APS 中,AP AP
PR PS =??
=?，
(HL)APR APS ∴≌， ∴AR =AS ，故②正确；
△BPR 和△QSP 只能知道PR =PS ,∠BRP =∠QSP =90°，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误. 故选C.
24．已知111122,A B C A B C △△的周长相等，现有两个判断：①若
21212112,A A B C B A A C ==，则111222A B C A B C △≌△；②若12=A A ∠∠，1122=A C A C ，则111222A B C A B C △≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A ．①，②都正确
B ．①，②都错误
C ．①错误，②正确
D ．①正确，②错误
【答案】A 【解析】 【分析】
根据SSS 即可推出△111A B C ?△222A B C ，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可． 【详解】 解：①
△111A B C ，△222A B C 的周长相等，11
22A B A B =，1122AC A C =，
1122B C B C ∴=，
∴△111A B C ?△222()A B C SSS ， ∴①正确；
②如图，延长11A B 到1D ，使1111B D B C =，，延长22A B 到2D ，使2222B D B C =，
∴111111A D A B B C =+，222222A D A B B C =+， ∵111122,A B C A B C △△的周长相等，1122=A C A C ∴1122A D A D =， 在△111A B D 和△222A B D 中
1122121122
==A D A D A A A C A C =??
∠∠???， ∴ △111A B D ?△222A B D （SAS ） ∴12=D D ∠∠，
∵1111B D B C =，2222B D B C = ∴1111=D D C B ∠∠，2222=D D C B ∠∠，
又∵1111111=A B C D D C B ∠∠+∠，2222222=A B C D D C B ∠∠+∠， ∴1112221==2A B C A B C D ∠∠∠， 在△111A B C 和△222A B C 中
11122212
1122
===A B C A B C A A A C A C ∠∠??
∠∠???， ∴△111A B C ?△222A B C （AAS ）， ∴②正确；
综上所述：①，②都正确． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，而
AAA 和SSA 不能判断两三角形全等．
五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
25．在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，若AD =
1
2
BC ，则△ABC 的顶角的度数为