高三数学优秀教案
【篇一：高中数学教学设计大赛获奖作品汇编】
对数函数及其性质（1）
一、教材分析
本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人
教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。
对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或
思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函
数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也
更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然
这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合
新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求
某些方面有所突破。
二、学生学习情况分析
刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发
展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于
函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要
求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教
学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关
注学习过程。
三、设计理念
本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行
设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识
背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权
交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生
的学习方式。
四、教学目标
1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索
研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。
五、教学重点与难点
重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化
的影响．
六、教学过程设计
教学流程：背景材料→ 引出课题→ 函数图象→ 函数性质→问题解
决→归纳小结
（一）熟悉背景、引入课题
1．让学生看材料：
材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆
考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人
还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现
的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸
虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定
尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数
学有关。
图 4—1
（如图 4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复
活”了）
那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用
t?logp 57302
估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对
应关系，
生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是p的函数；
如图4—2材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4
个 ??，
如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10
万个 ??，
不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即y?log2x；图 4—2
1.引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真
数是变量，从而得出对数函数的定义：函数y?logax(a?0，且a?1)
叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：注意：○
x2 对数函数对底数的限制：(a?0，都不是对数函数．○5y?2log2x，y?log5
且a?1)．
3．根据对数函数定义填空；
例1 （1）函数 y=logax的定义域是___________ (其中a0,a≠1)
(2) 函数y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中a0,a≠1)说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的
理
解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以
避免挖深、拓展、引入复合函数的概念。
[设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助
于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际
问题入手”。因此，新课引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择
从两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步
感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对
数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点] 2
（二）尝试画图、形成感知
1．确定探究问题
教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？学生1：对数函数的图象和性质
教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象
和性质的方
法吗？
学生2：先画图象，再根据图象得出性质
教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？
学生3：按a?1和0?a?1分类讨论
教师：观察图象主要看哪几个特征？
学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图
教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
y?log2xy?log1x
2
（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
y?log3xy?log1x
3
步骤二：观察对数函数y?log2x、y?log3x与y?log1x、y?log1x 的图象特
23
征，看看它们有那些异同点。
步骤三：利用计算器或计算机，选取底数a(a?0，且a?1)的若干个不同的值，
在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征？
步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象
步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较
2．学生探究成果
（1）如图 4—3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数
y?log2x、
y?log1x、 y?log3x、y?log1x的图象
23
图4—3
图4—4
（2）如图4—5学生选取底数a=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推
荐几位代表上台演示‘几何画板’，得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数a是如何影响函数y?logax(a?0，且a?1)图象的变化。
图4—5
（3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = loga x （a1）、y = loga x (0a1) 的图象代表对数函数的两种情形。（图4—6）
【篇二：高中优秀教案设计】
“函数的单调性”教学设计（高中数学必修1第２.1.3节）
【教学目标】
【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学
会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和
单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思
想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过
对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、
严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．
函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个
数的大小等方面有广泛的实际应用，
【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的
单调性．
由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函
数的单调性是本节课的难点.
【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的
变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教
材中的作用如下
（1）函数的单调性起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多
内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前
一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调
性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论
基础。
（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对
具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或
减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统
一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的
体系。同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，
有利于学生数学能力的提高。
（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时
在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于
我们整个数学教学。
因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体
现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着
十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。
【学情分析】
从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函
数等简单函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的
图像，从图像的直观变化，学生能粗略的得到函数增减性的定义，
所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。
抽象、概括的能力和语言转换能力。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物
实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”地描述函
数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是
学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产
生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生
学好本节课的情感基础。但是如何运用数学符号将自然语言的描述
提升为形式化的定义，学生接受起来比较困难？在教学中要多引导，让学生真正的理解函数单调性的定义。
【教学方法】教师是教学的主体、学生是学习的主体，通过双主体
的教学模式方法：启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发
学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升
到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。
探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探；激励学生去思，培
养学生的创造性思维和批判精神。
合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。
【教学手段】计算机、投影仪．
【教学过程】
一、创设情境，引入课题（利用电脑展示）
1. 如图为某市一天内的气温变化图：
（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．
问题：观察图形，能得到什么信息？
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，
是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
预案：股票价格、水位变化、心电图等等
春兰股份线性图
．
水位变化图
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．
二、归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1．借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数y?x?2,y??x?2,y?x,y?21的图象，并且观察自变量 x
变化时，函数值有什么变化规律？（学生自己动手画，然后电脑显示下图）
预案：生：函数y?x?2在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数y??x?2在整个定义域内 y随x的增大而减小．
师：函数y?x2的图像变化规律
生：在y轴的的左侧y随x的增大而减小．在y轴的的右侧y随x 的增大而增大。师：我们学过区间的表示方法，如何用区间的概念来表述图像的变化规律
生：在(0,??)上 y随x的增大而增大，在(??,0)上y随x的增大而减小．
师：这样表述就比较严密了，很好。由上面的讨论可知，函数的单
调性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个正义域内是单
调函数，但在定义城的某个子集上可以是单调函数。
(3)函数y?1的图像变化规律如何。 x
生:（1）定义域中的减函数。
（2）在(0,??)上 y随x的增大而减小，在(??,0)上y随x的增大而
减小．
师：对于两种答案，哪一种是正确的，为什么？学生分组讨论。从
定义域，图像的角度考虑，也可以举反例
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．并引导学生用区间明确
描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个
区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解
说说什么是增函数、减函数?
预案：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随
自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完
成对函数单调性的第一次认识．
2．探究规律，理性认识
问题1：下图是函数y?x?2(x?0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函x
数和减函数吗？（电脑显示，学生分组讨论）
学生的困难是难以确定分界点的确切位置．
通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的
必要性．
问题2：如何从解析式的角度说明f(x)?x2在[0,??)为增函数？
预案：生：在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12,所以
f(x)?x2在[0,??)22
为增函数．
生：仅仅两个数的大小关系不能说明函数y=x在区间[0，+∞）上为
单调递增函数，应该举出无数个。
由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别，所以许多学生对学
生2的说法表示赞同。
2生：函数y?x(x?[?1,??))无数个如（2）中的实数，显然f(x)也随
x的增
22大而增大，是不是也可以说函数y?x在区间[?1,??)上是增函数？可这与图象矛盾啊？
师：“无数个”能不能代表“所有”呢？比如：2、3、4、5??有无数个
自然数都比33大，那我们能不能说所有的自然数都比大呢？所以具
体值取得再多，也不能代表所22
22生：任取x1,x2?[0,??)且x1?x2,因为x1?x2?(x1?x2)(x1?x2)?0,即有的，思考如何体现区间上的所有值。引导学生利用字母表示数。 22，所以f(x)?x在为增函数． x12?x2
【篇三：高三数学第二轮《数形结合》公开课教案】
华侨中学高三数学（理科）第二轮复习
专题：数形结合思想教学地点：厦门一中集美分校高三（4）班
授课教师：华侨中学王磊 2016.03.24
【思想方法概述】
数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根
的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类
内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2016年高考中，仍然
会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解
答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方
法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要
善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．
为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，
即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明
函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些
属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地
阐明曲线的几何性质．
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须
是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不
能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显
的说明，要注意其带来的负面效应．
（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽
象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．
（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，
一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的
取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线． 3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的
运算及venn图；（2）函数及其图象；
（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多
指二元方程）及方程的曲线；
（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行
求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的
问题，可通过函数的图象求解（函数
的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．
4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别
是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学
习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应
注意以下几点：
（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨
论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法
，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达
式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的
图象，由图求解；
（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使
用形的直观代替相关的计算和推理论证．
?x?1?0
y?
【例题1】. 【2015课标全国Ⅰ理15】若x,y满足约束条件?x?y?0，则的最大值
x?x?y?4?0
?
为.
【变式】设点p(x,y)为圆x2?y2?1上的动点.
(1) 求(x?2)2?(y?1)2的取值范围（2）求x?y的取值范围； (3)求【规律方法】
如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形
结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距． b
－n(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率． a－m
（a－m）＋（b－n）表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离．
只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一
定能得心应手地运用数形
y?1
的取值范围 x?2
结合的思想方法．
【例题2】已知0?a?1.则方程a|x|?|logax|的实根个数为
【变式】已知关于x的方程x2?4x?5?m有四个不相等的实根，则
实数m的取
值范围为
【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路，
以形辅数。
【例题3】（2015课标全国Ⅰ理10）已知抛物线c：y?8x的焦点
为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c得一个焦点，若?4，则qf?（） a.
【规律与总结】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线；4、数形结合
【变式】已知p为抛物线y2＝4x上的一个动点，q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点p到点q的距离与点p到抛物线的准线
的距离之和最小值是() a．5b．817－1 5＋2
2
75
b. 3
c.
d. 2 22
【课时练习】
?2?x?1x?0?1.设函数f(x)??1 ，若f(x0)?1，则x0的取值范围是（）2x?0??x
（a）（?1，1）（b）（?1，??）
（c）（??，?2）?（0，??）（d）（??，?1）?（1，??）
2.设命题甲：0?x?3，命题乙：|x?1|?4，则甲是乙成立的（ a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件 c. 充要条件
d. 不充分也不必要条件
3．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是(
a．a0，b0，c0，d0 b．a0，b0，c0，d0 c．a0，b0，c0，d0 d．a0，b0，c0，d0
4.如图，函数f(x)的图象为折线acb，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(
a．{x|－1＜x≤0} b．{x|－1≤x≤1} c．{x|－1＜x≤1} d．{x|－1＜x≤2}
）
)
)
?4x?5y?8?
5.【2015高考广东，理6】若变量x，y满足约束条件?1?x?3则z?3x?2y的最小
?0?y?2?
值为（） a．
3123b. 6c.d. 4 55
．2 c
足f(f(a))＝的实数a的个数为( )
2
a．8c．4
b．6
2
d．2
8.当x∈(1，2)时，(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围为
________．
x2y2
9．已知x，y满足条件1，求y－3x的最大值与最小值．
1625
10.
函数y?___________.