第三章 多维随机变量及其分布
在很多随机现象中, 只用一个随机变量来描述往往不够, 而要涉及到多个随机变量. 如炮弹命中点的位置要用一对随机变量(横坐标与纵坐标)来描述, 正弦交流电压要用振幅、频率和相位三个随机变量来描述等等. 要研究这些随机变量之间的联系, 就应当同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律——多维分布. 本章将介绍有关这方面的内容, 为简明起见, 主要介绍二维情形, 有关内容可以类推到多于二维的情形.
第一节 二维随机变量
一、二维随机变量的分布函数
设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量.
一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究.
首先引入(X , Y )的分布函数的概念.
定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数
F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y }
称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数.
分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..
由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为
P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1)
与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即
当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2).
2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1. 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ).
4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0.
注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1).
二、二维离散型随机变量
如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量.
设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记 P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …) 则由概率定义有 p ij ≥ 0;
111
=∑∑∞=∞
=i j ij
p
.
我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为
=
),(y x F ∑∑≤≤==x x y
y j
i
i j y Y x X P },{=∑∑≤≤x x y
y ij
i j p
这里
∑∑
≤≤x x y
y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和.
例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数..
解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}=3
1
2231=?.
同理, 有 P {X = 2, Y = 1}=31 , P {X = 2, Y = 2}=3
1
.
即(X , Y )的分布律如右表所示.
当x < 1, 或y < 1时, F {x , y } = 0;
当1 ≤ x < 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } = 0;
当1 ≤ x < 2, y ≥ 2时, F {x , y } = =+1211p p 31
;
当x ≥ 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } ==+2111p p 3
1
;
当x ≥ 2, y ≥ 2时, F {x , y } = 1.
所以, (X , Y )的分布函数为???
?
??
?
??>>???<≤≥??
?≥<≤???<≤<≤<<=.2,2,
1,21,
22,21,31,21,2111,0),(y x y x y x y x y x y x F 或或或
三、二维连续型随机变量
设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F {x , y }, 若存在非负函数f (x , y ), 使对任意的x 、y 有
??
∞
-∞
-=
y x dudv v u f y x F ),(),(,
则称(X , Y )为连续型的二维随机变量, f (x , y )称为二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度, 或称随机变量X 、Y 的联合概率密度.
概率密度f (x , y )具有以下性质: 1? f (x , y ) ≥ 0;
2?
1),(),(=+∞+∞=??
∞+∞
-∞+∞
-F dxdy y x f
3? 若f (x , y )在点(x , y )处连续, 则有
),()
,(2y x f y
x y x F =??? 4? 设G 是xOy 平面上的一个区域, 则点(X , Y )落在G 内的概率为??=
∈G
dxdy y x f G Y X P ),(}),{( (2)
例2 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为?
??>>=+-.,0,
0,0,2),()(其它y x Ae y x f y x
求: (1) 系数A ; (2) 分布函数F (x , y ); (3) 概率P {(X , Y )∈D }, 其中D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1.
解: (1) 由1),(=??
∞+∞-∞+∞-dxdy y x f , 得2
1
=A .
(2) ??
∞-∞
-+-=y x y x dxdy e y x F )(),(=??
?
??>>??
+-,,0,0,0,00
)(其它y x dxdy e y x y x =?
??>>----.,0,0,0),1)(1(其它y x e e y x
(3) e
dxdy e e dx
dxdy y x f Y X P x y x D
21),()},{(10
1
-
==
=
?
???
---. 例3 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为?????≤≤≤≤+=,,
0,
20,10,3
),(2其它y x xy x y x f , 求P {Y ≥ X }. 解: P {Y ≥ X }=2417
)3(),(2210=+=?
???≤x x
y dy xy x dx dxdy y x f .
以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n (n > 2)维随机变量的情形. 一般地, 设E 是一个随机试验, 它的样本空间为S , 设X 1、X 2、…、X n 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个n 维向量(X 1, X 2, …, X n )称为n 维随机向量或n 维随机变量.
对任意n 个实数x 1、x 2、…、x n , n 元函数F (x 1, x 2, …, x n ) = P {X 1 ≤ x 1, X 2 ≤ x 2, …, X n ≤ x n }称为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的分布函数或随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.
第二节 边 缘 分 布
设(X , Y )是二维随机变量, 其分布函数为F (x , y ), 事件{X ≤ x }即为{ X ≤ x , Y < +∞}, 从而由(X , Y )的分布函数可定出X 的分布函数, 记为F X (x ).
F X (x ) = P {X ≤ x } = P { X ≤ x , Y < +∞} = F (x , +∞)=),(lim y x F y +∞
→.
我们称F X (x )为关于X 的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y 的边缘分布函数为
F Y (y ) = P {Y ≤ y } = P {X < +∞, Y ≤ y }= F (+∞, y ) = ),(lim y x F x +∞
→.
一、离散型
设(X , Y )为二维离散型随机变量, 其分布律为P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …), 则
∑∑≤∞
==
+∞=x x j ij
X i p x F x F 1
),()(, ∑∑≤∞
==
+∞=y y i ij
Y i p
y F y F 1
),()(.
从而X 与Y 的分布律分别为
∑∞
===1}{j ij
i p
x X P , i = 1, 2, …; ∑∞
===1
}{i ij
j p
y Y P , j = 1, 2, …;
记 =?i p ∑∞
==
=1
}{j ij
i p
x X P , i = 1, 2, …;
=?j p ∑∞
==
=1
}{i ij
j p
y Y P , j = 1, 2, ….
分别称p i ?和p ? j 为(X , Y )关于X 与Y 的边缘分布律.
注: 1? 边缘分布律具有一维分布律的一般性质. 2? 联合分布律唯一决定边缘分布律, 反之不然.
例1 一袋中装有3只黑球和2只白球, 分别采用有放回与不放回摸球两种方式. 若设
???=;,0,,1第一次摸出黑球第一次摸出白球X ???=.,0,,1第二次摸出黑球第二次摸出白球Y
求(X , Y )的联合分布律及关于X 与Y 的边缘分布律.
解: 有放回 不放回
边缘分布律经常写在联合分布律的边缘, 这就是为什么称为边缘分布律的缘由.
二、连续型
设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为f (x , y ), 由
??
∞
-∞+∞
-=
+∞=x
X dx dy y x f x F x F ]),([
),()(;
??
∞
-∞+∞
-=
+∞=y
Y dy dx y x f y F y F ]),([
),()(.
知X 与Y 都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为
?
∞+∞
-=
dy y x f x f X ),()(;
?
∞+∞
-=
dx y x f y f Y ),()(.
称f X (x )与f Y (y )分别为(X , Y )关于X 与Y 的边缘概率密度.
例2 设D 是平面上的有界区域, 其面积为A , 若二维随机变量(X , Y )的概率密度为
?????∈=,,
0,
),(,1
),(其它D y x A
y x f 则称(X , Y )在D 上服从均匀分布.
现(X , Y )在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布, 求边缘概率密度.
解: 由
1),(=??
∞+∞
-∞+∞
-dxdy y x f , 得A = π.
当|x | < 1时, ?
∞+∞
-=
dy y x f x f X ),()(21112
1
22
x dy x x -=
=
?
---π
π
; 当|x | ≥ 1时, f X (x ) = 0, 即
???
??≥<-=.1,0,1,12
)(2x x x x f X π
同理可得, ??
?
??≥<-=.1,0,1,12
)(2y y y y f Y π
例3 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为
??????????????????-+------?-=2222212121212221)())((2)()1(21exp 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ????
?
?+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 其中μ1、μ2、σ1、σ2、ρ 都是常数, 且σ1 > 0, σ2 > 0, -1 < ρ < 1. 我们称(X , Y )为服从参数为μ1、μ2、σ1、σ2、ρ的二维正态分布, 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.
解: 令m = ??
?
???-+----2
22221212121)())((2)(σμσσμμρσμy y x x
2
12
12
12
12
2
12
12
2
1212
2
2
2)()()()
)((2)(σμσμρ
σμρ
σσμμρ
σμ-+
---+----=
x x x y x y
2
12
122
1122)()1(σμρσμρσμ--+?????
?---=x x y . 所以, ?
∞+∞
-=
dy y x f x f X ),()(=?
∞+∞
---
-dy e m )
1(22
212121
ρρ
σπσ
?
∞+∞
-?
??
???--------=
dy e
e
x y x 2
112
222
1
2
1)1(21
2)(2
21121
σμρσμρσμρ
σπσ.
令????
??----=
112
2211
σμρσμρx y t , 则dt dy 221σρ?-=, 从而, 222
22)1(21
1212
2
112
22ρσπσρσμρσμρ-=?-=
?
?
∞+∞
--
∞+∞
-???
???-----dt e
dy e t x y .
所以, 21
2
12)(1
21)(σμσπ--
=
x X e
x f (+∞<<-∞x ). 同理可得, 22
2
22)(2
21)(σμσπ--
=
y Y e y f (+∞<<-∞y ).
表明, ),(~211σμN X , ),(~22
2σμN Y . 此例说明, 二维正态随机变量(X , Y )中的X 、Y 都服从正态分布, 并且与参数ρ 无关. 所以对于确定的μ1、μ2、σ1、σ2而取不同的ρ, 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因此, 仅由关于X 和Y 的边缘概率密度(分布), 一般不能确定X 和Y 的联合概率密度(分布).
第四节 相互独立的随机变量
我们知道, 两事件A 、B 相互独立的充要条件是 P (AB ) = P (A )P (B ) 由此我们引进随机变量相互独立的定义. 定义 设F (x , y )及F X (x )、F Y (y )分别是二维随机变量(X , Y )的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x 、y , 有 P {X ≤ x , Y ≤ y } = P {X ≤ x } P {Y ≤ y }, 即F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) (1) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的.
可见, 在随机变量X 和Y 相互独立的情况下, 由关于X 和Y 的边缘分布函数就唯一地确定(X , Y )的联合分布函数, 而且还可推得
}{},{}/{x X P x X y Y P x X y Y P ==≤==≤}
{},{lim 0x x X x P x x X x y Y P x ?+≤≤?+≤≤≤=→?),(),()
,(),(lim
0+∞-+∞?+-?+=→?x F x x F y x F y x x F x )()()()()()()()(lim 0+∞-+∞?+-?+=→?Y X Y X Y X Y X x F x F F x x F y F x F y F x x F )()()
()]()([lim 0x F x x F y F x F x x F X
X Y X X x -?+-?+=→?= F Y (y ) = P {Y ≤ y }. 这就是说在X 和Y 相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布.
一、离散型
设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为 P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …), (X , Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为
=?i p ∑∞
==
=1
}{j ij
i p
x X P , i = 1, 2, …;
=?j p ∑∞
==
=1
}{i ij
j p
y Y P , j = 1, 2, ….
则X 和Y 相互独立的充要条件是
P {X = x i , Y = y j } = P {X = x i } P {Y = y j }, 即p ij =?i p j p ?
(2)
例1 设(X , Y )的联合分布律为
证明: X 和Y 相互独立.
二、连续型
设二维连续型随机变量(X , Y )的联合概率密度为f (x , y ), 关于X 和Y 的边缘概率密度为f X (x )和f Y (y ), 则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) (3) 几乎处处成立.
例3 设(X , Y )服从二维正态分布, 即其联合概率密度为
??????????????????-+------?-=2222212121212221)())((2)()1(21exp 121
),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ????
??+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 证明: X 和Y 相互独立的充要条件是ρ = 0.
例4 若(X , Y )的联合概率密度为 ?
??≥≥=+-,,0,
0,0,),()(其它y x e y x f y x
则X 和Y 相互独立.
证: 显然???≥=-,,0,0,)(其它x e x f x X ???≥=-,
,0,
0,)(其它y e y f y Y 故有f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ). 从而X 和Y 相互独立.
例5 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X 在[0, 0.2]上服从均匀分布, Y 的概率密度为
???≥=-,,
0,
0,5)(5其它y e x f y Y
试求: (1) X 与Y 的联合概率密度; (2) P {Y ≤ X }.
解: (1) 由已知条件, 得?
??≤≤=,,0,
2.00,5)(其它x x f X 从而得X 与Y 的联合概率密度为
?
??≥≤≤=-.,00,2.00,25),(5其它y x e y x f y
(2) P {Y ≤ X }= P {Y - X }??≥-=
),(y x dxdy y x f ,
积分区域如图, 化成二次积分后得
??
≈=??
????=≤-2.001
03679.0),(}{e dx dy y x f X Y P x . 以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到n 维随机变量的情形.
设n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数为F (x 1, x 2, …, x n ), 若存在非负函数f (x 1, x 2, …, x n ), 使得对于任意实数x 1、x 2、…、x n , 有
F (x 1, x 2, …, x n ) =
??
?
∞
-∞
-∞
--n n x x x n n dx dx dx x x x f 112121),,,(
,
则称f (x 1, x 2, …, x n )为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合概率密度.
称),,,()(111+∞+∞= x F x F X , ),,,,(),(2121,21+∞+∞= x x F x x F X X , …为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘分布函数, ??
?
∞+∞
-∞+∞
-∞+∞-=
n n X dx dx dx x x x f x f
32211),,,()(1, ??
?
∞
+∞
-∞+∞
-∞+∞
-=
n n X X dx dx dx x x x f x x f
432121,),,,(),(21, …
为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘概率密度.
若对于所有的x 1、x 2、…、x n , 有F (x 1, x 2, …, x n ))()()(2121n X X X x F x F x F n =, 则称X 1, X 2, …, X n 是相互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论. 若对于所有的x 1、x 2、…、x m ; y 1、y 2、…、y n , 有
F (x 1, x 2, …, x m ; y 1, y 2, …, y n ) = F 1 (x 1, x 2, …, x m ) F 2 (y 1, y 2, …, y n )
其中F 1、F 2和F 依次为(X 1, X 2, …, X m )、(Y 1, Y 2, …, Y n )和(X 1, X 2, …, X m ; Y 1, Y 2, …, Y n )的分布函数, 则称随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )是相互独立的.
定理 设随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )相互独立, 则X i (i = 1, 2, …, m )与Y j (j = 1, 2, …, n )相互独立. 又若h 、g 是连续函数, 则h (X 1, X 2, …, X m )和g (Y 1, Y 2, …, Y n )也相互独立.
第三章多维随机变量及其分布 随机向量的定义: 随机试验的样本空间为S={w},若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上,则称(X1(w),X2(w),…,X n(w))为n维随机变量(向量)。简记为(X1,X2,…,X n)。 二维随机向量(X,Y),它可看作平面上的随机点。 对(X,Y)研究的问题: 1.(X,Y)视为平面上的随机点。
研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度;Joint 2.分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘(际)分布律、边缘分布函数、边缘概率密度; marginal 3.X与Y的相互关系; 4.(X,Y)函数的分布。 §二维随机变量的分布
一.离散型随机变量 1.联合分布律 定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i,j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,… ——
称式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下:
性质: (1) p ij 3 0,i, j=1,2,… (2) j i ij p ,=1 2.边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1 = p{Y=y i }j=1,2, (30)
第三章 多维随机变量及其分布测试题三 一、填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)请将合适的答案填在每题的空中 1.设是相互独立的随机变量,其分布函数分别为,则的分布函数=. 2.设随机变量均服从如下分布: 且满足,则= . 3.设相互独立,下表为的分布律及边缘分布律的部分数值,又知,试将其余值填入表中: Y X 0 1 2 1 1 4.设均服从正态分布,且,则. 5.设是相互独立的随机变量,其分布函数分别为,则的分布函数=. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内) 1.设和独立,都服从同一0-1分布:,则=( ). (A) 0; (B) ; (C) ; (D) 1. 2.设随机变量和有相同的概率分布:,并且满足,则等于( ). (A) 0; (B) 0.25; (C) 0.50; (D) 1. 3.设独立和之和与和服从同名概率分布,如果和都服从( ). (A) 均匀分布; (B) 二项分布;
(C) 指数分布; (D) 泊松分布. 4.设随机变量和都服从正态分布,则( ). (A) 一定服从正态分布; (B) 和不相关与独立等价; (C) 一定服从正态分布; (D) 未必服从正态分布. 5.设随机变量,Y相互独立,且X~,Y ~,则下列式子中正确的( ). (A); (B); (C); (D). 三.解答题(本题共10小题,第1至5小题每小题6分,第6至10小题每小题8分,满分70分.) 1.一个袋中有4个球,分别标有数字1、2、2、3,从袋中随机取出2个球,令、分别表示第一个球和第二个球上的号码,求:(,)的联合分布列(袋中各球被取机会相同). 2.设二维随机变量()的联合密度函数为: 求(1)分布函数;(2)()落在由轴、轴和直线所围成的区域内的概率. 3.设二维随机变量的概率分布为: -112 -15/202/206/20 23/203/201/20 求:(1)概率分布;(2)概率分布. 4.在10件产品中有两件一级品、7件二级品和1件次品,从中不放回的抽取三件,用分别表示抽到的一级品和二级品的件数,求:(1)的联合分布;(2)的边缘分布;(3)判断是否相互独立;(4)相关系数.
学而思高中完整讲义:随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量 及其分布列1.学生版 1. 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,我们把这样的变量X 叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母,,X Y L 表示. 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p ,)n L 列表表示: X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p … n p X 的分布列. 2.几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<,1q p =-X 服从参数为p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X X 的分布列满足二点分布. X 1 P 0.8 0.2 两点分布又称01-布又称为伯努利分布. ⑵超几何分布 一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个). 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M , n 的超几何分布.在超几何分布中,只要知道N ,M 和n ,就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =,从而列出X 的分布列. ⑶二项分布 1.独立重复试验 如果每次试验,只考虑有两个可能的结果A 及A ,并且事件A 发生的概率相同.在相同的条件下,重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1) k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L . 知识内容
第三章 多维随机变量及其分布 作业 1.若对于所有y x ,有 ,则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 2.设随机变量X 和Y 是相互独立的,X 的密度函数∞<<-∞=-x e x f x ,21 )(212 π,Y 的 密度函数???<≥=-0 ,00,)(2y y e y f y ,则),(Y X 的联合密度函数),(y x f = . 3.已知随机变量)4,7(~,)4,9(~N Y N X ,且X 与Y 是相互独立,则Y X Z +=的概率密度函数)(z f Z = . 4.设),(Y X 为二维随机变量,试用联合分布函数),(y x F 表示概率},{y Y x X P >>. 5.设随机变量X ,Y 是相互独立,其边缘密度函数与边缘分布函数分别为)(,)(y f x f Y X 与)(,)(y F x F Y X ,则},min{Y X N =的分布密度函数)(z f Z = . 6.设)(),(21y f x f 是两个概率密度函数,则仅当函数),(y x R 满足条件 时,函数),()()(),(21y x R y f x f y x f +=才能成为概率密度函数. 7.设相互独立的两个随机变量Y X ,具有同一分布律,且X 的分布律为 2 1}1{}0{= ===X P X P ,则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 8.设二维随机变量),(Y X 的密度函数为?? ???≤≤≤≤=其它,020,10,21),(y x y x f ,则X 与Y 中至少有一个大于2 1的概率为 . 9.在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件:“两数之积大于 4 1”的概率为 . 10.设X 和Y 为两个随机变量,且73}0,0{=≥≥Y X P ,74}0{}0{=≥=≥Y P X P ,则}0},{max{≥Y X P = .
第三讲 多维随机变量及其分布 考试要求 1. 理解多维随机变量的概念,理解多维随机变量的分布的概念和性质,理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率. 2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布,了解二维正态分布的概率密度,理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布,会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布 (1)一般二维随机变量 F (x , y )=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ (?∞, +∞), y ∈ (?∞, +∞)的性质 F (x , y )为联合分布函数 ? 1) 0 ≤F (x , y )≤1 , ?x ∈ (?∞, +∞),, y ∈ (?∞, +∞); 2) F (?∞, y )= F (x , ?∞)=0, F (+∞,+∞)=1; 3) F (x , y )关于x , y 均为单调不减函数; 4) F (x , y )关于x , y 均分别右连续. (2)二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布 联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,??? , p i j ≥ 0, 1=∑∑i j j i p . 边缘分布律 p i ? = P {X = x i }= ∑j j i p , i =1, 2 ,??? , p ? j = P { Y = y j }= ∑i j i p , j =1, 2 ,??? , 条件分布律 P {X = x i |Y = y j } = j j i p p ?, P { Y = y j | X = x i } = ? i j i p p . 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度 f (x , y )为联合概率密度 ? 1? f (x , y )≥0, 2? 1=?? ∞+∞-∞ +∞ - ),(dxdy y x f . 设( X , Y )~ f (x , y )则 分布函数: ??∞-∞ -=x y dxdy y x f y x F ),(),(; 边缘概率密度: ? ∞ +∞ -= ),()(dy y x f x f X , ? ∞ +∞ -= ),()(dx y x f x f Y .
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-. 2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=-∞),(y F 0 . 3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=+),0(y x F ),(y x F 4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=+∞),(x F )(x F X 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ,则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下,写出其边缘分布. 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度,)(x f X 是X 的边缘分布密度,则 =? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ,X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . X Y 0 1 2 3 j P ? 1 0 8 3 8 3 0 86 3 81 0 8 1 8 2 ?i P 81 83 83 8 1
9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 186= +βα ;若X 与Y 相互独立,则=α 184 ,=β 18 2 . 10、设Y X ,相互独立,)1.0(~),1,0(~N Y N X ,则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221 y x e +- π ,Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π . 12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()() ?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =__1___。 二、证明和计算题 1、袋中有三个球,分别标着数字1,2,2,从袋中任取一球,不放回,再取一球,设第一次取的球 上标的数字为X ,第二次取的球上标的数字Y ,求),(Y X 的联合分布律. 解:031 }1,1{?= ==Y X P 31 131}2,1{=?===Y X P 31 2132}1,2{=?===Y X P 3 1 2132}2,2{=?===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中,设X 为投入1号信箱的信数,Y 为投入2 号信箱的信数,求),(Y X 的联合分布律. 解:X 的可能取值为0,1,2,3 Y 的可能取值为0,1,2,3 33 1 }0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 33233 3 3}2,0{====C Y X P X Y 1 2 1 0 31 2 3 1 3 1
第五节离散型随机变量及其分布列 一、离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 二、离散型随机变量的分布列及性质 1.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,则表
称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)p i≥0,i=1,2,…,n. (2)p1+p2+…+p n=1. 三、相互独立事件 一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立. 四、两点分布 若随机变量X的分布列为 则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率. 五、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,事件A恰好发生k次的概率为 P(X=k)=C k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n). n 此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.
1.概念理解 (1)随机变量是将随机试验的结果数量化. (2)离散型随机变量的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小,反映了随机变量取值的规律性. (3)因为一次试验的各种结果是互斥的,而全部结果之和为一个必然事件,所以离散型随机变量的分布列具有性质p 1+p 2+…+p i +…+p n =1. (4)由事件A 和B 同时发生所构成的事件称为事件A 与B 的交(或积),记作A ∩B(或AB). (5)相互独立的两个事件实质上是一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响. (6)独立重复试验必须满足三个特征:①每次试验的条件都完全相同,即每次试验事件发生的概率相等;②各次试验互相独立;③每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生. (7)P(X=k)=C k n p k (1-p)n-k 恰好是[(1-p)+p]n 展开式的第k+1项 1k T =C k n (1-p) n-k p k . (8)独立重复试验的实际原型是有放回的抽样问题,但在实际中,从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,也可以近似地看作此类型. (9)独立重复试验中的概率公式P n (k)=C k n p k (1-p)n-k 中的p 与(1-p)的位 置不能互换,否则式子表示为事件A 有k 次不发生的概率. 2.与独立事件有关的结论 (1)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B,A 与B 也都相互独立.
1. 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,我们把这样的变量X 叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母,,X Y L 表示. 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率,)n L 列表表示: X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p … n p X 的分布列. 2.几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<,1q p =-X 服从参数为p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X X 的分布列满足二点分布. X 1 P 0.8 0.2 两点分布又称01-布又称为伯努利分布. ⑵超几何分布 一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个). 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N , 知识内容 超几何分布
M ,n 的超几何分布.在超几何分布中,只要知道N ,M 和n ,就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =,从而列出X 的分布列. ⑶二项分布 1.独立重复试验 如果每次试验,只考虑有两个可能的结果A 及A ,并且事件A 发生的概率相同.在相同的条件下,重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L . 2.二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复 试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==,其中0,1,2,,k n =L .于是得到X 0 1 … k … n P 00C n n p q 111 C n n p q - … C k k n k n p q - 0 C n n n p q 由式 001110 ()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L 各对应项的值,所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p . 二项分布的均值与方差: 若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布,则 ()E X np =,()D x npq =(1)q p =-. ⑷正态分布 1. 概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时, 直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则这条曲线称为X 的概率密度曲线. 曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个数a b ,之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. 2.正态分布 ⑴定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的,而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布. 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2()2πx f x μσσ --= ?, x ∈R ,其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞. 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差.期望 为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ. 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线. ⑵标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. ⑶重要结论: ①正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%. ②正态变量在()-∞+∞,内的取值的概率为1, 在区间(33)μσμσ-+,之外的取值的概率x=μO y x
第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量的分布函数 设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.(凡含-∞的概率分布为0) 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量 如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{= ∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?.
第三章 多维随机变量及其分布 习题1 §3.1 二维随机变量的概率分布 一、填空题 1. 设(Y X ,)的分布函数为 ?? ?≥≥+--=----其它, ,,),( 00 03331y x y x F y x y x ,则 (Y X ,)的联合概率密度),(y x f = ; 2设随机变量(Y X ,)的分布函数为 )3 (2(y arctg C x arctg B A y x F ++=)),(, 则A = , B = , C = ,(0≠A ); 3. 用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示概率),(c Y b X a P ≤≤<= ),(),(c a F c b F -; 4.设),(Y X 在区域G 上服从均匀分布,G 为y x =及2 y x =所围成的区域,),(Y X 的概率密度为 5. 设 (Y X ,) 联合密度为?? ?? ?>>=--其它,),( ,00 ,0y x Ae y x f y x ,则系数A = ; 6. 设二维随机变量(Y X ,)的联合概率密度为()4,01,01 ,0, xy x y f x y <<<=??其它, 则{}P X Y == ; 7.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为()22,1, ,0,.cx y x y f x y ?≤≤=?? 其它,则c= 。 二、选择题 1.考虑抛掷一枚硬币和一颗骰子,用X 表示抛掷硬币出现正面的次数,Y 表示抛掷骰子出现的点数,则(,)X Y 所有可能取的值为 ( ) (A )12对; (B ) 6对; (C ) 8对; (D ) 4对. 2.设二维随机向量(X ,Y )的概率密度为 1,01,01, (,)0,x y f x y ≤≤≤≤?=? ? 其它, 则概率(0.5,0.6)P X Y <<= ( ) (A )0.5; (B ) 0.3; (C ) 0.875; (D ) 0.4. 3. 设) ()与(x F x F 21分别为随机变量1X 和2X 的分布函数, 为使)()(x bF x aF x F 21)(-=是某
第7节离散型随机变量及其分布列 最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性;2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单应用. 知识梳理 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i =1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,则表 X x1x2…x i…x n P p1p2…p i…p n 称为离散型随机变量X的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质: ①p i≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+p n=1. 3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,其分布列为, X 0 1 P 1-p p 其中p=P(X=1)称为成功概率. (2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)= C k M C n-k N-M C n N,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N *,称随机变量X服从超几何分布. X 01…m P C0M C n-0 N-M C n N C1M C n-1 N-M C n N … C m M C n-m N-M C n N
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列中,各个概率之和可以小于1.() (2)对于某个试验,离散型随机变量的取值可能有明确的意义,也可能不具有实际意义.() (3)如果随机变量X 的分布列由下表给出, X 2 5 P 0.30.7 则它服从两点分布.() (4)一个盒中装有4个黑球、3个白球,从中任取一球,若是白球则取出来,若是黑球则放回盒中,直到把白球全部取出来,设取到黑球的次数为X,则X服从超几何分布.() 2.(选修2-3P49练习2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次,则正面向上次数X的所有可能取值是________. 3.(选修2-3P77A1改编)已知离散型随机变量X的分布列为 则常数q=________. 4.(2018·菏泽联考)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的、3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为() A. 1 220 B. 27 55 C. 27 220 D. 21 55 5.(2019·郑州二模)设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)=________. 6.(2019·南宁二模改编)设随机变量X的概率分布列为 X 123 4 P 1 3 m 1 4 1 6 则P(|X-3|=1)=________. X 01 2 P 0.51-2q q2
第三章 多维随机变量及其分布 习题3.1 143 2. 100件产品中有50件一等品,30件二等品,20件三等品.从中不放回地抽取5件,以X,Y 分别表示取出的5件中一等品,二等品的件数,求(X,Y)的联合分布列. 5. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?? ?<<<<--=. ,0; 42,20),6(),(其他y x y x k y x p 试求 (1) 常数k; (2) P(X<1,Y<3); (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤. 6. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ???>>=+-. ,0; 0,0,,()43(其他y x ke yP x p y x 试求 (1) 常数k; (2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0 习题3.2 P153 4.设平面区域D 由曲线及直线y=1/x 及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在区域D 上服从均匀分布,试求X 的边际密度函数. 6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ???<<<<=. ,0; 10,6),(2其他x y x y x p 试求边际密度函数).()(y p x p Y X 和 12. 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X~U(0,1), Y~Exp(1). 试求(1)X 与Y 的联合密度函数; (2)P(Y ≤X); (3)P(X+Y ≤1). 14. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?? ?<<<=. ,0; 10,||,1),(其他y y x y x p 试求(1)边际密度函数)()(y p x p Y X 和;(2)X 与Y 是否独立? 16. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y). 证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p(x,y)可分离变量,即p(x,y)=h(x)g(y). 又问h(x),g(y)与边际密度函数有什么关系? 习题3.3 P163 1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为 试分别求 3. 设随时机变量X 和Y 的分布列分别为 X -1 1 离散型随机变量及其分布列教学讲义 ZHI SHI SHU LI 知识梳理 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为__随机变量___,所有取值可以一一列出的随机变量,称为__离散型___随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,则表 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 称为离散型随机变量X __概率分布列___(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i =1,2,…,n );②∑n i =1p i =__p 1+p 2+…+p n ___=1. 3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布:若随机变量X 服从两点分布,其分布列为 X 0 1 P 1-p p 其中p =P (X =1)称为成功概率. (2)超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P (X = k )=C k M C n - k N -M C n N ,k =0,1,2,…,m ,其中m =min{M ,n },且n ≤N 、M ≤N ,n 、M 、N ∈N +,称 随机变量X 服从超几何分布. X 0 1 … m P C 0M C n - N -M C n N C 1M C n - 1 N -M C n N … C m M C n - m N -M C n N ZHONG YAO JIE LUN 重要结论 1.若X 是随机变量,则Y =aX +b (a ,b 是常数)也是随机变量. 2.随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的. 第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题(每空3分) 1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 222 13,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ? +-≥≥?++++=???其他,则A=_____1____. 2.若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1 《 7. 设X 和Y 为两个随机变量,且34 (0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=, 则(max{,}0)P X Y ≥=_ 5 7 . 8.随机变量(,) (0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 . 9.设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 , ()D X Y -= 37 . 10.设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+==== 0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题(每题4分) 1.下列函数可以作为二维分布函数的是( B ). A .???>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F B .?????>>??=--., 0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞---y x t s dsdt e y x F ),( D .?? ???>>=--.,0,0,0,),(其他y x e y x F y x 2.设平面区域D 由曲线1 y x = 及直线20,1,x y y e ===围成,二维随机变量在区域D 上服从均匀分布,则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为(C ). A .12 B .1 3 C .14 D .12- 3.若(X,Y)服从二维均匀分布,则( B ). A .随机变量X,Y 都服从一维均匀分布 B .随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布 C .随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布 D .随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4.若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则( A ). A .X 与Y 不相关 B .(,)()()X Y F x y F x F y =? C .X 与Y 相互独立 D .1XY ρ=- 第六节离散型随机变量及其分布列 1.随机变量的有关概念 (1)随机变量:随着试验结果变化而变化的变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示?. (2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量. 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,以表格的形式表示如下: X x1x2…x i…x n P p1p2…p i…p n ?.有时也用等式P(X=x i)=p i,i=1,2,…,n表示X的分布列. (2)分布列的性质 ①p i ≥0,i =1,2,3,…,n ;②∑i =1 n p i =1. 3.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 若随机变量X 的分布列具有左表的形式,则称X 服从两点分布?,并称p =P (X =1)为成功概率. (2)超几何分布列? 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P (X =k )=C k M C n - k N -M C n N , k =0,1,2,…,m ,其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *?. . 若X 是随机变量,则Y =aX +b (a ,b 为常 数)也是随机变量. 表中第一行表示随机变量的取值;第二行对应变量的概率. 两点分布的试验结果只有两个可能性,其概率之和为1. 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是: (1)考察对象分两类; (2)已知各类对象的个数; (3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布. 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型. m=min{M,n}的理解 m为k的最大取值,当抽取的产品件数不大于总体中次品件数,即n≤M时,k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为m=n;当抽取的产品件数大于总体中次品件数,即n>M时,k 的最大值为m=M. [小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.() (2)离散型随机变量的分布列中,各个概率之和可以小于1.() (3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出.() 随机变量及其分布 要求层次重难点 取有限值的离散型 随机变量及其分布 列 C ⑴理解取有限个值的离散型随机变量及 其分布列的概念,了解分布列对于刻画 随机现象的重要性. ⑵理解超几何分布及其导出过程,并能 进行简单的应用. 超几何分布 A 二项分布及其应用 要求层次重难点 条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概 念,理解n次独立重复试验的模型及二 项分布,并能解决一些简单的实际问题.事件的独立性 A n次独立重复试验与 二项分布 B 离散型随机变量的 要求层次重难点 取有限值的离散型随 B 理解取有限个值的离散型随机变量均高考要求 模块框架 随机变量及其分布列 均值与方差 机变量的均值、方差 值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. 正态分布 要求层次 重难点 正态分布 A 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 1. 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,我们把这样的变量X 叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母,,X Y L 表示. 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =L 列表表示: X 1x 2x … i x … n x P 1p 2p … i p … n p X 的分布列. 2.几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<,1q p =-X 服从参数为p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X X 的分布列满足二点分布. X 1 P 0.8 0.2 两点分布又称01-布又称为伯努利分布. ⑵超几何分布 一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个). 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N , M ,n 的超几何分布.在超几何分布中,只要知道N ,M 和n ,就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =,从而列出X 的分布列. 知识内容离散型随机变量及其分布列教学讲义
第三章-多维随机变量及其分布测试题答案
高中数学精品讲义第十章第六节离散型随机变量及其分布列Word版含答案
高考数学讲义随机变量及其分布列.知识框架