泰勒公式及其应用
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
泰勒公式及其应用
１ 引言
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识
定义]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有
'''200000()()
()()()()1!2!
f x f x f x f x x x x x =+-+-+L
()000()
()(())
!
n n n f x x x o x x n +-+-
（1）
这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.
当0x =0时,（1）式变成)(!
)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n
n x o x n f x f x f f x f +++++=Λ,
称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则
''()'
2
0000000()()()()()()()...()()2!!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,
（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()
()()(1)!
n n n f R x x x n ξ++=
++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.
当0x =0时,（2）式变成''()'
2(0)(0)()(0)(0)...()2!!
n n
n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
12)!
1(!!21+++++++=n x
n x
x n e n x x x e θΛ.
)()!
12()1(!5!3sin 221
253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x Λ. 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!
n n n x x x x x o x n =-+-++-+L . )(1
)1(32)1ln(11
32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x Λ. )(111
2n n x o x x x x
+++++=-Λ Λ+-+
+=+2
!
2)1(1)1(x m m mx x m . 定理]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得
00)(μ=x f .
3 泰勒公式的应用 利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.
例 求极限2
2
4
0cos lim x x x e x -→-.
分析：此为0
型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22
x e
-
分
别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解 由244
cos 1()2!4!
x x x o x =-++,2
22242
()21()22
x x x e o x --=-++得
244442
2111
cos (
)()()4!22!12
x x e
x o x x O x -
-=-+=-+?, 于是
2
4
42
4
4001()
cos 1
12lim
lim 12
x x x x O x x e x x -→→-
+-==-. 例极限1sin 2lim sin cos x
x x
x x x x x
e →0---- .
分析：此为00
型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx, x
e
分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.
解： 由1sin 2x
x x x e
---=233
33
1()())2626
x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+
=
34
3
3
3
()()6
12
6
o o x x
x
x x ++=
+,
3
2
3
3
sin cos ()(1())62
x x x o x o x x x x -x =-+--+
3
3
()3
o x
x =
+
于是
1sin 2lim sin cos x
x x x x x x x e →0----3
333()162
()3
o o x x x x +==+
例利用泰勒展开式再求极限 。 解：，
【注解】
现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为，从而
当时，，应为
利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.
例 当0x ≥时,证明31
sin 6x x x ≥-.
证明 取31
()sin 6
f x x x x =-+,00x =,则
'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥
带入泰勒公式,其中n =3,得
3
1cos ()0003!
x f x x θ-=+++
，其中10<<θ. 故
当0x ≥时,31
sin 6
x x x ≥-.
利用泰勒公式判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则. 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性
例3 5dx
+∞
判断广义积分∫的收敛性。
解：=2),
2211(1)111221(),22o x x x -=+++
!22
11(1)111
221(),22o x x x -=-++!
2222
1111
(1)(1)111111
22221()1()22222o o x x x x x x
--=++++-++-}!!
3
32
2
32
11
lim 144x x
x x →+∞=-+o(
),
因此=|-|
由于5
3
2
14x
+∞
∫
收敛，所以5dx
+∞
∫的收敛 例
讨论级数1
n ∞
=∑的敛散性.
分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因
而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11ln ln(1)n n n
+=+,若将其泰勒展开为1
n 的
幂的形式,
,会使判敛容易进行.
解 因为
2341111111
ln
ln(1)234n n n n n n n n
+=+=-+-+ 所以 0n u = > 故该级数是正向级数. 又因为 32 1 2n =>==-, 所以 3322 11 )22n u n n = <-=. 因为3 1 2 12n n ∞ =∑ 收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛. 利用泰勒公式证明根的唯一存在性 例3.4 设f(x)在[,)a +∞上二阶可导,且'()0,()0f a f a ><,对 ''(,),0x a f ∈+∞≤, 证明： ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根. 分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论()0f x =的根有困难,由题设f(x)在[,)a +∞上二阶可导且'()0,()0f a f a ><,可考虑将f(x)在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明. 证明 因为''()0f x ≤,所以'()f x 单调减少,又'()0f a <,因此x>a 时,''()()0f x f a <<,故f(x)在(,)a +∞上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有 '' 2() ()()()()()()2 f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<< 由题设''()0,()0f a f ξ<≤,于是有lim x →∞ =-∞,从而必存在b a >,使得()0f b <,又 因为()0f a >,在[,]a b 上应用连续函数的介值定理,存在0(,)x a b ∈,使0()0f x =,由f(x)的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根. 利用泰勒公式判断函数的极值 例]4[ (极值的第二充分条件)设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(0''≠x f . (i)若0)(0'' 证明 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式 ))(()(! 2) ()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=. 由于0)(0'=x f ,因此 200''0))](1(2 ) ([)()(x x o x f x f x f -+=-.(*) 又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时, )(2 10' 'x f 与)1()(2 10' 'o x f +同号.所以,当0)(0'' 0)()(0<-x f x f , 即f 在0x 取得极大值.同样对0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值. 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式. 例 求2 1 1x x ++的幂级数展开式. 解 利用泰勒公式 23 1111x x x x -==++ -36934679103467910 0(1)(1)1)2(1)[sin ]3n n x x x x x x x x x x x x x x x x x n x π∞=-++++=-+-+-+-+= -+-++=L L L 利用泰勒公式进行近似计算 利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为 ''' 2(0)(0)()(0)(0)2!! n n f f f x f f x x x n ≈++++L , 其误差是余项()n R x . 例 计算的值,使误差不超过 解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式： 231(1)(1)()23n n n x x x Ln x x R x n -+=-+++-+L , 其中1 1 (1)()(1)(1) n n n n x R x n ξ++-=++（ξ在0与x 之间）. 令2.0=x ,要使 11 1 (0.2)|()|(0.2)0.0001(00.2)(1)(1) n n n n R x n ξξ+++=<≤<<++ 则取5=n 即可. 因此 5ln1.20.20.020.002670.000400.000060.1823||0.0001R ≈-+-+=<其误差 当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法. 例 求2 1 0x e dx -?的近似值,精确到510-. 解 因为2 1 x e dx -?中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用 泰勒公式的方法求2 1 x e dx -?的近似值. 在x e 的展开式中以2 x -代替 x 得2 422 1(1)2!! n x n x x e x n -=-+++-+L L 逐项积分,得 2 4211 1 1 12 000001(1)2!111111(1)32!52n 111111111310422161329936075600 n x n n x x e dx dx x dx dx dx n n -=-+-+-+=-+-+-++=-+-+-+-+?????L L g L g L L ！！ 上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知 2 71 1 ||0.00001575600 11111110.7468363104221613299360 x R e dx -≤<≈-+-+-+≈?所以 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值 如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项n x x )(0-的系数正是)(! 10) (x f n n ,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导. 例 求函数x e x x f 2 )(=在x=1处的高阶导数)2() 100()1(f . 解 设x=u+1,则 e e u e u u g x f u u ?+=+==+2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(n n g f =, u e 在u=0的泰勒公式为 )(! 100!99!981100100 9998u o u u u u e u ++++++=Λ, 从而 ))(! 100!99!981)(12()(100100 99982 u o u u u u u u e u g +++++++=Λ, 而g(u)中的泰勒展开式中含100 u 的项应为 100 100! 100)0(u g ,从g(u)的展开式知100u 的项为100 )! 1001!992!981( u e ++,因此 10101)0(),! 1001 !992!981(!100)0(100100?=++=e g e g , e g f 10101)0()1(100100==. 利用泰勒公式求行列式的值 若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值. 例 求n 阶行列式 D=x z z z y x z z y y x z y y y x Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ （1） 解 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开： n n n n n n z x n z x f z x z f z x z f z f x f )(! )()(!2)()(!1)()()()(2 ''' --+-+-+=Λ, （2） 易知 1)(0 00000 000--=-----= k k y z z y z y y z y y z y y z y y z D 阶 ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ Λ （3） 由（3）得,时都成立n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1Λ=-=-. 根据行列式求导的规则,有 ).)((1)(),(2)(,),()1()(),()(1'11'22'11'x x f x f x f x f x f n x f x nf x f n n n n ===-==---因为Λ 于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为 21'')()(|)()(--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f , 3'1'''')()1()(|)()(--=--===n n z x n n y z z n n z nf z f z f , … … … … z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111ΛΛ-=-===-- 12)1()()(?-=Λn n z f n n 把以上各导数代入（2）式中,有 n n n n n n z x n n n z x z n n n z x y z z n n z x y z z n y z z x f )(! 12)1()()!1()21()()(! 2)1()()(!1)()(12321-?-+---++-?--+--+ -=----ΛΛΛ 若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-, 若y z ≠,有y z z x y y x z x f n n n ----=)()()(. 4 总结 本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧. 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{} - +→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时，Λ、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()() (),x x x f x A f x A x α?=?+其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim (),x x f x A ?=令()(),x f x A α=-则有0 lim ()0,x x x α?= ).()(x A x f α+=∴ （充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ?时的无穷小，则 lim ()lim(())x x x x f x A x α=+ )(lim 0 x A x x α→+= .A = 【意义】 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2）0()(),().f x x f x A x α?给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 是无穷小， 时例如n n 1 ,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→x x x ，0sin 1 lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 二、无穷小的比较 例如，221 0,,,sin ,sin x x x x x x ?当时都是无穷小， 观察各极限： x x x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x x x x sin lim 0→,1=;sin 大致相同与x x 2 201sin lim x x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α1 (1)lim 0,,();o β βαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ ≠=C C lim 1,~;β βααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作 (3)lim (0,0),.k C C k k β βαα =?如果就说是的阶的无穷小 例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x → 证：430tan 4lim x x x x →3 0)tan (lim 4x x x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan lim x x x x -→Θ)cos 1tan (lim 20x x x x x -?=→,2 1 =.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x （1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x （7）x cos 1-～2 2 x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1x a -～ln a x * 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: ,1lim =αβΘ,0lim =-∴α βα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(2 11cos 22 x o x x +- = 3．等价无穷小替换 定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα' '=''''则存在且设 证：αβlim )lim(αααβββ'?''?'=αααβββ'?''?'=lim lim lim .lim αβ' ' = 例3 （1）.cos 12tan lim 20x x x -→求； （2）1cos 1 lim 2 0--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02 x x x x x -→时当 故原极限202 (2)lim 12 x x x ?== 8 （2）原极限=2lim 220x x x -→=21 - 例4 .2sin sin tan lim 30x x x x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→3 0)2(lim x x x x -=→原式=0 正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,2 1 ~3x 故原极限33012lim (2)x x x ?=.16 1= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。 例5 .3sin 1 cos 5tan lim 0x x x x +-→求 解: ),(5tan x o x x +=Θ),(33sin x o x x +=).(2 1 cos 122x o x x +=- 原式22 015()() 2lim 3()x x o x x o x x o x ?+++=+x x o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim 20+ +++=→.35= 三、极限的简单计算 1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在， 即为其极限，例如92 4 231232lim 3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，3 9 lim 23--→x x x 就代不进去了，但 我们看出了这是一个0 型未定式，我们可以用以下的方法来求解。 2. 分解因式，消去零因子法 例如，()63lim 39 lim 323=+=--→→x x x x x 。 3. 分子（分母）有理化法 例如，()( )()( )()() 355125125123 53 5lim 5 1235lim 2 22 2 22 ++++- +++++-+=-+-+→→x x x x x x x x x x 4 24 lim 22--=→x x x ()()() 2222lim 2--+=→x x x x 2= 又如，() 011 lim 1lim 22=++=-++∞ →+∞→x x x x x x 4. 化无穷大为无穷小法 例如，2 222 173373lim lim 14242 2x x x x x x x x x x +-+-==-+-+，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。由此不难得出 ??? ????<∞>==++++++--∞→m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00 110110ΛΛ 又如，12111lim 2 1lim =+ + =+++∞ →+∞ →x x x x x x ，（分子分母同除x ）。 再如，11531 52lim 5352lim -=+?? ? ??-??? ??=+-∞ →∞→n n n n n n n n ，（分子分母同除n 5）。 5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如，()01 31arctan lim 2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。 又如，.3 21 4lim 21-+-→x x x x 求 解：)32(lim 21 -+→x x x Θ,0=商的法则不能用 )14(lim 1-→x x Θ又,03≠=1432lim 21--+∴→x x x x .03 == 由无穷小与无穷大的关系,得.3 21 4lim 2 1∞=-+-→x x x x 再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。 6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限 例如，).(lim ,0,10 ,1)(02x f x x x x x f x →? ??≥+<-=求设 解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x )1(lim )(lim 0 x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20 +=++→→x x f x x ,1= 左右极限存在且相等, .1)(lim 0 =→x f x 故 【启发与讨论】 思考题1：11 0,sin x y x x ?当时是无界变量吗？是无穷大吗？ 解：),3,2,1,0(2 21)1(0Λ=+ = k k x π π取 ,2 2)(0π π+ =k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界， ),3,2,1,0(21 )2(0Λ==k k x π 取 ,,δ 结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞ →)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论？试举例 说明. 解：不能保证. 例x x f 1)(= ,0>?x 01 )(>=x x f =+∞→)(lim x f x .01 lim ==+∞→A x x 思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？ 解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =x x x g sin )(=都是无穷小量 但=+∞→)() (lim x f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比 较. 【课堂练习】求下列函数的极限 （1）x x e x x cos lim 0-→； 解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim 000=-+-=-→→→x x x e x x e x x x x x （2）求) 1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x +++→ 【分析】 “0 ”型，拆项。 解：原极限=?????? ??+→x x x x x 21cos sin 3lim 20=????? ? ??+→x x x x x x 21cos 2sin 3lim 2 0=23 （3）1 42345lim 52 45+-++∞→x x x x x x ； 【分析】“抓大头法”，用于∞ ∞ 型 解：原极限=5 43142345lim x x x x x + -++∞→=25，或原极限555522lim x x x == （4）)(lim 2x x x x -+∞ +； 【分析】分子有理化 解：原极限=x x x x x +++∞ →2lim =1111 lim +++∞ →x x = 2 1 （5）)2 1 4(lim 2 22---→x x x x 【分析】∞-∞型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。 解：)214(lim 222---→x x x x =42lim 222---→x x x x =21lim 2++→x x x =4 3 （6）39lim 22 -+→x x x 【分析】“0 ”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因 子。 解：原极限=() 222 03 9lim x x x x ++→=6 （7）).21(lim 222n n n n n +++∞→Λ求 解: 是无穷小之和．时,∞→n 先变形再求极限. 222221lim )21(lim n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ΛΛ2) 1(21 lim n n n n +=∞→)11(21lim n n +=∞→.21= 【内容小结】 一、无穷小（大）的概念 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: (1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大. 二、无穷小的比较: 1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 前言 设f 在某()0x o U 内有定义，若 lim ()0x x f x →= 则称f 为当0x x →时的无穷小量 设当0x x →时，f 于g 均为无穷小量 若0() lim 1() x x f x g x →= 则称f 于g 是当0x x →时的等价无穷小量。记作 0()~()()f x g x x x → 一 、等价无穷小在求函数极限中的应用 1求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些0∞ 1∞型的极限的计算 引理 设函数f （x ），f （x ）满足下列条件： 在a 的某个去心邻域内均有非零导数 （1） Limf （x ）=0， lim ()0 x a f x →=； （2） ()lim 1()x a f x f x →'=' 则 ()lim 1()x a f x f x →=，ln(1()) lim 1 ln (1()) x a f x f x →+=+ （3）当f （x ），()f x >0时, ln () lim ln () x a f x f x →=1 证明 由洛比塔法则; ()lim ()x a f x f x →=()lim 1 () x a f x f x →'='; ln(1()) lim ln (1())x a f x f x →+=+1()()lim .11()() x a f x f x f x f x →??'+=??'+?? ln ()lim ln ()x a f x f x →=()()lim .1()() x a f x f x f x f x →'=',证毕 定理1 设函数f(x),g(x)及()f x ,()g x 满足下列条件: （1）在a 的某去心邻域内均有导数 （2）在x →a 时,均为无穷小量, ()lim 1()x a f x f x →'=',()lim 1() x a g x g x →'=',于是; (1) 若1 () lim 1(),f x x a g x l →??+=?? [] 1() lim 1()f x x a g x l →+= (2) 若f(x), ()f x >0，且() lim () g x x a f x t →=,则()lim () g x x a f x t →= 证明 由引理 (1) [][]ln 1()ln 1()ln 1()ln 1()()lim lim **lim () ()()()ln 1()x a x a x a g x g x g x g x f x f x f x f x f x g x →→→??????++++??????==????+????? ? 故[] 11 () () lim 1()lim 1()f x f x x a x a g x g x l →→??+=+=?? (2) ()ln ()lim ()ln ()lim ()ln ()**lim ()ln ()()ln ()x a x a x a g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x →→→?? ==???? 故() () lim () lim () g x g x x a x a f x f x t →→== 如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些0∞1∞ 型的极限时将很方便. 如0x →时, ,sin ,tan ,1,ln(1)x x x x e x -+等,均为无穷小量,且 ()()00200sin lim limcos 1tan 1lim lim 1cos x x x x x x x x x x →→→→'==' '==' ()[]00001lim lim 1ln(1)1lim lim 11x x x x x x e e x x x x →→→→'-==''+==' + 例1 求下列函数的极限 (1) ()()32cot 0 0lim(1) ,(2)lim 1tan ,(3)lim 1sin x x x x x x x x x →→→++- ()4 1sin 00(4)lim(),(5)lim 1ln 1x x x x x x e x →→+++??? ? 解 (1)原式=() ()11tan 0 lim 1lim 1x x x x x x e →→+=+= (2)原式=33 lim(1)x x x e →+= (3)原式=() ()2 21 20 lim 1lim 1x x x x x x e ---→→??-=-=???? （4）原式=()()4 10 lim 11lim 21x x x x x x x e x e →→??+-+=+=?? （5）原式=()10 lim 1x x x e →+= 例2 求下列函数的极限 ()()()() sin sin 200 2 tan 1 2tan 0 02 (1)lim cos ,(2)lim ,(3)lim tan 1(4)lim cot ,(5)lim ,(6)lim tan x x x x x x x x x x x x x x x x x x π ππ π -++ + +--→→→ -→→→ ?? ??? 解 （1） 原式= ()20 2 lim sin lim sin lim 1 2x y y y o y x x y y π ππ-++-→→→????-=== ???????（其中，2 y x π = -） （2）原式=sin 0 0lim lim 1x x x x x x ++ →→== （3）原式=0lim 1x x x +→= （4）原式=()1 1 1 ln 1 ln ln ln 0 00 lim tan lim lim x x x x x x x x x e e + + + - ---→→→=== （5）原式=tan 00lim lim 1x x x x x x ++--→→== （6）原式=()()2220 lim cot lim tan lim 1y y y x x x y y y + + + -→→→=== （其中2y x π=-） 所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，α和 β都是无穷小，且α≠0，如果lim 1β α =，那么α和β是等价无穷小，记~αβ。这意味着在这一极限过程 中，α和β趋近于零的速度基本相同。例如因为0sin lim 1x x x →=，0tan lim 1x x x →=，所 以当0x →时，,sin ,tan x x x 都是等价无穷小，即sin ~,tan ~x x x x 。 常见的等价形式有：0x →时， 2 2 ~sin ~tan ,~arcsin ~arccos ,~ln(1),~1,(1)~1,1cos ~ 2 x a x x x x x x x x x x e x ax x +-+--11(1)1~n x x n +- 11~2 x 2 对不定式极限0,0∞ ∞型的计算 定理 2 若在同一极限过程中，a ，b 是无穷小且 ~,~a a b b ''则 简介 在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数 这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。 一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑] 本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制 泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative. 图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y 图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y 图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y 泰勒公式及其应用 常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。 【问题一】 设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式 近似 【问题二】 若问题一的解存在，其误差的表达式是什么一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出： 于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】 泰勒(Tayler)中值定理 若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成 这里是与之间的某个值。 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路： 这表明： 只要对函数及在与 之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】 以与为端点的区间或记为，。 函数在上具有直至阶的导数， 且 函数在上有直至阶的非零导数， 且 于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有 三、几个概念 1、 此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式； 或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。 当时，泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。 为拉格朗日余项。 2、对固定的，若 有 此式可用作误差界的估计。 故 其中， 。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y 其中， 。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y 常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用 1 函数展开与向量空间 泰勒公式是函数展开的一种工具,也就是说,利用泰勒公式将函数展成幂级数是函数展开的一种方法,当然,函数的展开方法有多种,例如：用泰勒公式展开、三角级数的展开等。为更好地理解函数展开的意义以及泰勒公式的应用，文章先对函数的展开进行论述,然后,用例题对其应用做进一步的说明。 在高等数学中,函数展开有许多不同的形式,最常用的有如下两种类型的函数级数展开。 1.1 函数的泰勒展开（幂级数展开） 若函数f(x)在区间｛x｜｜x-x 0｜＜R｝内无穷可微,且它的Lagrange余项r n(x)当n→∞ 时,收敛于零,则在这区间内有： 1 2 函数的三角级数展开 若函数f(x)在区间［-π,π］上连续且逐段光滑,则在这区间内有： 从函数展开式(1)和(2)两边的项来看,左边的函数f(x)作为一个整体,它只有有限的一项,而右边却包含着无限多项,说明在一定条件下,有限形式的函数可以用无限形式的级数来表示, 关于这一点,可以从另一个视角来看，若把展开式(1)和(2)中的函数系： ｛1,(x-x0),(x-x 0)2,(x-x0)3,…,(x-x0)n,…｝ {1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…} 分别看成无限维函数空间的两个坐标系, 其中的函数就是相应的坐标向量,则f(x)就可以看作这个空间的一个点（或一个向量）,则两级数的系数组成的两个数列: ｛a0,a1,a2,…,a n｝与｛a0,a1,b1,a2,b2，…，n,b n,…｝ 就是f(x)分别在这两个坐标系中的坐标,于是从形式来看，f(x)作为这无限维空间中的一个点（一个向量）,但从数来看，f(x)在这个空间中却要用无限个坐标来决定.在高等数学中, 根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常有的。可见,换个角度看函数的展开,会给人加深印象,能在原有的基础上根深蒂固。 谈到有限与无限,在高等数学中,根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常常会用到的,这就是泰勒公式的魅力所在.比如说：函数的分解与求和,函数关系的证明等,就要用这种有限与无限之间的变换方法。 泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都 可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。 泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 泰勒公式及其应用 １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+L ()000()()(()) ! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++=Λ, 称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式. 定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++= ++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常用的泰勒公式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k- 1)!+……。(-∞ 泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： 常用bai泰勒展开公式如下： 1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+…… 2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) 3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞ 一些常用的泰勒公式 作者：余世明 单位：星茂装饰有限公司 摘要：一些常用的泰勒公式 关键字：泰勒公式 前切点泰勒公式 后切点泰勒公式 中间切点泰勒公式 城市：上海 邮政编码：200011 中图分类号:O17 title: Some common Taylor formulas author: Yu Shiming company: Xinmao Decoration company city: Shanghai postcode: 200011 digest: Some common Taylor formulas 正文： 很容易推导下面的公式： K --+---=?3)2(2)1()(!3)()(!2)())(()(c x x f c x x f c x x f dx x f 1 由此可以通过牛顿莱布尼兹公式得到一下公式： Λ----+ -------=?])(!3)()(!3)([])(!2)()(!2)([)])(())(([)(3)2(3)2(2)1(2)1(c a a f c b b f c a a f c b b f c a a f c b b f dx x f b a 2 当 c=a 公式 2 为： Λ--+---=? 3)2(2)1()(!3)()(!2)())(()(a b b f a b b f a b b f dx x f b a 3 当 c=b 公式 2 为： Λ+-+-+-=?3)2(2)1()(! 3)()(!2)())(()(a b a f a b a f a b a f dx x f b a 4 当 c=0 公式 2 为： Λ--+---=?]!3)(!3)([]!2)(!2)([])()([)(3)2(3)2(2)1(2)1(a a f b b f a a f b b f a a f b b f dx x f b a 5 还可以利用以下公式，前半部分用公式4，后半部分用公式3： ???+=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 6 或者可以利用以下公式进行积分： Λ+-+-+-+=3!3)(2!2)()1()()())(()()()3()2(c x c x c x c f c f x f c f c f 积分得到公式如下： Λ+-+-+-+=?????dx c x dx c x dx c x c f dx c f dx x f b a c f b a c f b a b a b a 3!3) (2!2)()1()()()()()()()3()2( 常用的泰勒公式 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ h i n g s i n t h r b e i a r g o 常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ x →0 （1） sinx ～x （2） arcsinx ～x （3） tanx ～x （4） arctanx ～x （5） 1?cos x ～x 22 （6） ?x ?1~x （7） a x ?1~xlna （8） ln(1+x)～x （9） log a (1+x )= x ln a （10） (1+x )u ?1~ux （11） √n ?1~x n （12） √?1~x 2 （13） x ?sin x ~arc sin x ?x~ x 36 （14） tan x ?x~x ?arctan π~ x 33 （15） tan x ?sin x ~x 32 （16） ln (1+x )?x~?x 22 x →1 （1） ln x =ln [1+(x ?1)]~x ?1 （2） x x ?1~?x ln x ?1~x ln x 泰勒公式 ?x =1+x +x 2+?+x n sin x=x?x3 + x5 ??+(?1)n?1 x2n?1 () cosx=1?x2 + x4 ??+(?1)n x2n () ln(x+1)=x?x2 2 + x3 3 ??+(?1)n?1 x n n 1 1+x =1?x+x2??+(?1)n x n 1 =1+x+x2+?+x n √x+1=1+x ? x2 1√1+x =1? x 2 + 3 8 x2 tan x=x+x3 3 + 2 15 x5 三角函数公式 1+tan2x=s?c2x s?c2x?1=tan2x 1+cot2x=csc2x csc2x?1=cot2x sin2x=1 2(1?cos2x)sin2x 2 =1 2 (1?cos x) cos2x=1 2(1+cos2x)cos2x 2 =1 2 (1+cos x) cos2x=cos2x?sin2x sin2x=2sin x?cos x 常用积分公式 ∫ 1 √x ?x=2√x+C 常用十个泰勒展开公式 常用泰勒展开公式如下:1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…….(- ∞ 阶导数)泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数。 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。 泰勒公式还对于此处，这里o(x^5)和o(x^6)都是可以的∵sinx继续往后展开的次数为x^7∴可以写o(x^5)，也可以写o(x^6)但是写o(x^6)对这个无穷小的阶更准确通常的展开是分别按x，x，x，..展开的∴如果展开到x^n，那么后面一般就写o(x^n)就可以了 泰勒公式及其应用 常用近似公式八1 +工，血mx（|"充分小），将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当廿1较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数J3）,想找多项式稣丈）来近似表示它。自然地，我们希望必）尽可能多地反映出函数/（幻所具有的性态一一如：在某点处的值与导数值；我们还关心玖（"）的形式如何确定；外（*）近似所产生的误差" 【问题一】 设/（工）在含工口的开区间内具有直到打斗1阶的导数，能否找出一个关于3 ■此）的n次多项式 乩⑴二劣斗％（工-工°）+%3」工J +…+ %3 —工Q”① 且pf它）*由6）3 = 0,1,…M） 近似""?.）？ 【问题二】 若问题一的解存在，其误差嵌）=了3）5工）的表达式是什么？ 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数口D，口1，…*%。 次有■ J +仃1S -工u ）斗占L ）' +…+ &方-%）日 ?■勾=入（勺） P；（K）=及"*（应?^0 ） + 3^0-立淀 4 …+ ^a K（x -z0）M'} 二^1 = P；（x0） PZ fx）= 2L% + 3 2% 3一利）+ 4 3 / （上一沔沪+ …+为伽一1）冬?知广’ 二2?y = p；（Q 或@）=3 2 1 %+432 龟&-毛）+5 4 3 % Q-母）'+ …+叩（n-1）（n-T）（r-Jt^T-3 二3,2，1，知=尸怜。） 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出: 泰勒公式及其妙用学号：班级： 1公式形式 泰勒公式可以用(无限或者有限)若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的次导数)的导数求得对于正整数n， 若函数在闭区间上阶连续可导，且在上阶可导。任取一是一定点，则对任意成立下式： 其中表示的n阶导数，多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。 2公式的余项 可以写成以下几种不同的形式： 1、佩亚诺(Peano）余项： 这里n阶导数存在 2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项： 其中θ∈（0,1）。 3、拉格朗日（Lagrange）余项： 其中θ∈（0,1）。 . . . . 4、柯西（Cauchy ）余项： 其中θ∈（0,1）。 5、积分余项： 以上诸多余项事实上很多是等价的。 3公式推广 1麦克劳林展开 函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中a 取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若 在x=0处n 阶连续可导，则下式成立： 其中 表示 的n 阶导数。 2泰勒中值定理 若 在包含 的某开区间（a ，b ）具有直到n+1阶的导数，则当x ∈（a ，b ）时，有： 其中 是n 阶泰勒公式的拉格朗日余项： 4公式应用 实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。泰勒展开式的重要性体现在以下三个方面： 1幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。 2一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。 3泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 泰勒公式（提高班） 授课题目： §3.3泰勒公式 教学目的与要求： 1.掌握函数在指定点的泰勒公式； 2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用. 教学重点与难点： 重点：几个常用函数的泰勒公式 难点：泰勒公式的证明 讲授内容： 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。 在微分的应用中已经知道，当x 很小时，有如下的近似等式： x e x +≈1，x x ≈+)1ln(． 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子．显然．在0=x 处这些—次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值． 但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式． 于是提出如下的问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间内具有直到(1+n )阶导数，试找出一个关于(0x x -)的n 次多项式 n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= (1) 来近似表达)(x f ，要求)(x p n 与)(x f 之差是比n x x )(0-高阶的无穷小，并给出误差 )()(x p x f n -的具体表达式． 下面我们来讨论这个问题．假设)(x p n 在0x 处的函数值及它的直到n 阶导数在0x 处的值依次与)(0x f ，)(0x f '，)(,0) (x f n 相等，即满足 )()(00x f x p n =，)()(00x f x p n '='， 第六章微分中值定理及其应用 3 泰勒公式练习题 (下载后用WORD打开就能看到公式，谁知道怎么解决这个问题，加QQ12332954教我，谢谢~) 1、求下列函数带佩亚诺余项的麦克劳林公式. (1)f(x)=; (2)f(x)=arctanx到含x5的项; (3)f(x)=tanx到含x5的项. 解：(1)f’(x)=, f”(x)=, …, f(n)(x)=. ∴f(n)(0)=, ∴=1+x+ x2+…+(-1)n x n+o(x n). ！ (2)∵f’(x)=(1+x2)-1, f”(x)=-2x(1+x2)-2, f”’(x)=-2(1+x2)-2+8x2(1+x2)-3, f(4)(x)=24x(1+x2)-3-48x3(1+x2)-4, f(5)(x)=24(1+x2)-3-288x2(1+x2)-4+384x4(1+x2)-5. ∴f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f”’(0)=-2, f(4)(0)=0, f(5)(0)=24. ∴arctanx=x++o(x5). (3)∵f’(x)=sec2x, f”(x)=2sec2xtanx, f”’(x)=4sec2xtan2x+2sec4x, f(4)(x)=8sec2xtan3x+16sec4xtanx, f(5)(x)=16sec2xtan4x+88sec4xtan2x+16sec6x. ∴f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f”’(0)=2, f(4)(0)=0, f(5)(0)=16. ∴tanx=x+o(x5). 2、求下列极限. (1); (2); (3). 解：(1)∵e x sinx =[1+x+++o(x3)][x+o(x3)]=x+x2++o(x3), ∴===. 1 泰勒公式的应用 泰勒公式有广泛的应用，极限的计算、不等式的证明、近似计算和误差估计，它是考研的一大热点．但是近年考研大纲已经将“近似计算和误差估计”的有关要求全部删除了，现在只剩下极限计算和不等式证明了。请考生注意。 在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点： ●1．展开的基点； ●2．展开的阶数； ●3．余项的形式． 其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定． 【声明】资料整理改编自龚成通。 【例1】求极限)3(211ln 3)76(sin 6lim 2202 x x x x x x x e x x +--+---→； 【分析】本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂． 用泰勒公式就会方便得多．基点当然取在0=x 点，余项形式也应该肯定是皮亚诺余项． 问题是展开的阶数是几？一般是这样考虑：逐阶展开，展开一项，消去一项，直到消不去为止． 首先将分子上函数x x sin 6e 2-进行展开，为此写出2e x -和x sin 的泰勒展开式．2e x -的第一项是1，x sin 的第一项是x ，所以x x sin 6e 2-的第一项是x 6，与后面的x 6消去了．再将它们展开一项，得到x x sin 6e 2-的前两项是376x x -，所以还要将它们再展开一项． 对于分母也是一样． 【解】)(!211e 5422x o x x x ++ -=-，)(!51!31sin 653x o x x x x ++-=， )(402767sin e 5532x o x x x x x ++-=-， )(51413121)1ln(55432x o x x x x x x ++-+-=+， )(51413121)1ln(55432x o x x x x x x +---- -=-， )(52322)1ln()1ln(11ln 553x o x x x x x x x +++=+-+=-+， 原式 )(56) (40 27lim 55550x o x x o x x ++=→169=． 【例2】求极限x x x x x x x x 1cos 2212)11(lim 222 22+---+++∞→． 【解析】本题与上题一样，如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也是能计算的，但必须要用四次洛必达法则，而且导数会越求越复杂． 为了方便地使用泰勒公式可以先做换元 x t 1= （倒数置换法）． 【解】原式x t 1 ==t t t t t cos 22211lim 2220+---+++→ )](!41!211[222)](81211[)](81211[lim 44224424420t o t t t t o t t t o t t t ++-+--+--++-+=+→ 3)(121) (41lim 44440-=++-=+→t o t t o t t ． 【例 3】若100)(lim =+∞→x f x ，且0)(lim =''+∞→x f x ，试证明0)(lim ='+∞→x f x ．常用泰勒公式
泰勒公式及其在解题中的应用
些常用函数及其泰勒展开式的图像
泰勒公式及其应用典型例题
一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
常用的泰勒公式
泰勒公式的理解及泰勒公式
常见泰勒公式展开式
泰勒公式例题
常用的泰勒公式
泰勒公式的应用
常用十个泰勒展开公式
一些常用的泰勒公式
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式
常用等价无穷小 _泰勒公式_三角函数
常用十个泰勒展开公式
泰勒公式及其应用典型例题
泰勒公式及其妙用
泰勒公式证明必须看
数学分析6.3泰勒公式(练习详解)
考研数学专题训练：泰勒公式的应用
相关主题
文本预览