高数导数练习题

第二章导数与微分练习题

一、填空题

1. 设)cos(cos 2sin x y x =，则='y _________________.

2. 设函数)(x y y =由方程0)sin(222=-++xy e y x x 所确定，则

=dx

dy __________. 3. 设 2sin x e y = ，则=dy ____________________. 4．设函数()x y y =由方程0=+-y x e e xy 所确定，则()0y '= (),0y ''=

5

．若函数2sec y t t =?+设　，则=dy 。

6．曲线?????=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ，2214

t d y dx == 。 7. 设(0)0,'(0)4,f f == 则0()lim x f x x

→ =_______________. 8. ()(1)(2)(3)(4)(100)f x x x x x x x =-----，则=')1(f ________.

9. 设)]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则

=dx dy _____________. 二、选择题

1. 若???≥+<+=1

,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a

C. 2,2-==b a

D. 2,2-=-=b a

2. 设0'()2f x =，则000()()lim

h f x h f x h h

→+--＝( ). A.不存在 B. 2 C. 0 D 、 4 3. 设)0()(32>=x x x f , 则=')4(f ( )

A.2

B.3

C.4

D.5

4. 设()f x 是可导函数，且0(1)(1)lim 12x f f x x

→--=-，则曲线(x)f y =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ）

A.1

B.0

C.-1

D.-2

5.

设20()(),0x f x x g x x =≤?

＞，其中()g x 是有界函数，则()f x 在x =0处（ ） A.极限不存在 B.可导 C.连续不可导 D.极限存在，但不连续

三、解答下列各题

1. 设)1arctan (,12->x x d x 求

2.．，求设y x x e y x '-++=3csc cos 1cos ln

arcsin3arctan tan x x y x e dy -=++3. 设，求．

4.设函数()y y x =由方程y xy e e +=所确定，求(0),y '(0)y ''.

5. 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t

?=+?=?所确定的隐函数的一阶导数,dy dx 二阶导数22d y dx . 6．设()()

54

132x x x y +-+=，求y '。 7. 设sin 1x x y x ??= ?+??，求函数的导数y '．

8.()设　，，　，，试确定常数使在处可导．f x x a x b x x a b f x x =+>-≤???

=ln()sin (),()221111 9.已知，， ，，

求．f x x x

x x f x ()sin ()=≠=?????'21000 10．

,)(0arctan 102)(sin 的可导性试讨论，

，，　， 已知x f x x x x f x ???>-≤=．并求出)(x f ' 四、设()lim x

x x t f t t x t →∞+??= ?-??

，求()f t '. 提示：先求极限，在求导。

（答案：2(12)e t t +）

大一高数试题及答案.doc

大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x

２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('>

大一高数基础练习题

《高等数学》（理工类） 1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ?=-，则复合函数[()]y f x ?=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈ 2.已知0x +→时，arctan3x 与 cos ax x 是等价无穷小，则a =______；0arctan 33 lim 1,3x x a ax a →===； 3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21 (2cos 2sin 2)x x dx x -； 4．函数x xe y -=的拐点为____________；(2)0,2x y e x x -''=-==，2(2,2)e - 5．设函数?? ??? ≥ +<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2 π =x 处连续；12π-； 6. 设()y y x =是由方程20y e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y y e x -+ 7．函数x x e x f --= 111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+ ==1x =； 8 ．定积分 1 1 sin )x dx -? ＝________ ；22π=? 9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则∠AMB = _______；3π； 10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==r r ，则a b ?r r ＝_________。(751)-，， 二、计算题（每小题6分，共42 分） 1．求极限220ln(1)1 lim 2sin 2x x arc x →+=。 2．求极限3sin 0 sin lim x t x e dt x x →-?=3 2sin 03sin lim 61cos x x xe x →=- 3．设 2 sin ,x y e x =?求.dy dx 。2 (2sin cos )x dy e x x x dx =+

(完整版)高等数学——导数练习题

一．选择题 1.若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于( ) A.k 2 B.k C.k 2 1 D.以上都不是 2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( ) A ．sinα B ．cosα C ．sinα+cosα D ．2sinα 3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(?1)=4,则a 的值等于( ) A ． 319 B ． 316 C ．3 13 D ．3 10 4.函数y =x sin x 的导数为( ) A ．y ′=2x sin x +x cos x B ．y ′= x x 2sin +x cos x C ．y ′= x x sin +x cos x D ．y ′=x x sin －x cos x 5.函数y =x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x 6.函数y =2 2x a x +（a >0）的导数为0，那么x 等于（ ） A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2 7. 函数y =x x sin 的导数为（ ） A ．y ′=2 sin cos x x x x + B ．y ′= 2 sin cos x x x x - C ．y ′=2cos sin x x x x - D ．y ′=2 cos sin x x x x + 8.函数y = 2 )13(1 -x 的导数是（ ） A ． 3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3 )13(6-x D ．－2)13(6 -x

大一高等数学公式(精华整理的)

高等数学公式 1导数公式： 2基本积分表： 3三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

(完整word版)高数辅导之专题十：高阶导数

专题十 基础知识 关于高阶导数，有： （1）几个常见的高阶导数公式 )2sin()(sin )(π?+=n x x n ，)2 cos()(cos )(π ?+=n x x n 1)(!)1()1(+-=n n n x n x ，1)1(!)1()(ln ++-=n n n x n x )1()!(!)()(n k x k n n x k n k n ≤≤-=-，)(0)()(n k x k n >= （2）分段函数在分段点处的二阶导数 （3）莱布尼兹公式：设函数u ，v 皆n 阶可导，则 )()1(1)()()1(1)()()(n n n n k k n k n n n n n uv v u C v u C v u C v u uv +'++++'+=----ΛΛ )()(0k k n n k k n v u C -=∑= （实际上就是二项式定理） （4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及） 例题 1. 设?????=≠=0 ,10,sin )(x x x x x f ，求)0(f ''。 解：x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ x x x x 1sin lim 0-=→ 20sin lim x x x x -=→ x x x 21cos lim 0-=→ x x x 221lim 20-=→

0= 故 ?????=≠-='0 ,00,sin cos )(2x x x x x x x f 于是 x f x f f x )0()(lim )0(0'-'=''→ x x x x x x 0sin cos lim 20--=→ 30sin cos lim x x x x x -=→ 203cos sin cos lim x x x x x x --=→ 203sin lim x x x x -=→ 3 1-= 2. 已知x x f 2cos )(=，求)0()2(n f 。 解：由)22cos(2)()(π ?+=n x x f n n 知 n n n n n f 4)1()2 20cos(2)0(2)2(?-=?+=π 3. 已知2 31)(2+-=x x x f ，求)3()(n f 。 解：1121)2)(1()2()1(2 31)(2---=-----=+-=x x x x x x x x x f 由公式1)(!)1()1(+-=n n n x n x 知 )()()1 121()(n n x x x f ---= )()()11()21(n n x x ---= 1 1)1(!)1()2(!)1(++-----=n n n n x n x n ])1(1)2(1[ !)1(11++----=n n n x x n 故

高数导数的应用习题及答案

一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23 - ），=b （ 16 - ）． ∵()12++= 'bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142 =++b a ，解之得6 1,32- =- =b a ２．函数()()1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 2112 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0x ，()0>''x f ；0

导数大题练习带答案

1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求 函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1- 成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区 间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3． 设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1 [,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得 12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数())0(2ln 2 >-+= a x a x x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单 调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围； (Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点， 求实数b 的取值范围． 6、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．

高二数学导数大题练习详细答案

1．已知函数d x b a c bx ax x f )23()(2 3 的图象如图所 示． （I ）求d c,的值；（II ）若函数)(x f 在2x 处的切线方程为0113y x ，求函 数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y 与m x x f y 5)(3 1的 图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4x 处切线的斜率为,2 3若函数 ]2 ) ('[3 1) (2 3 m x f x x x g 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f 2 3 )(的图象经过坐标原点，且在 1x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 ) 32() (2 a x f 恰好有两个不同的根，求 ) (x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意 R 、 ，求证：81|)sin 2() sin 2(|f f ． 4．已知常数0a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x ) (，x a x x g ln ) (2 ． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a ；（II ）讨论函数)(x g y 在区间),1(a e 上零点的个数．

5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x ．（I ）当1k 时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x 是函数2 ()(23)x f x x ax a e 的一个极值点（718 .2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,2 3[x 的最大值和最小值． 7．已知函数) 0,(,ln )2(4)(2 a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2 e e 上的最小值． 8．已知函数()(6) ln f x x x a x 在(2, )x 上不具有．．． 单调性．（I ）求实数a 的取值范围； （II ）若 ()f x 是()f x 的导函数，设 2 2()()6 g x f x x ，试证明：对任意两个不相 等正数 12x x 、，不等式121 238|() ()| ||27g x g x x x 恒成立．

大学高等数学上考试题库及答案

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（B）. （A） 2 fxlnx和gx2lnx（B）fx|x|和 2 gxx （C）fxx和 2 gxx（D）fx |x| x 和gx1 sinx42 fxln1x x0 2．函数 在x0处连续，则a（B）. ax0 （A）0（B） 1 4 （C）1（D）2 3．曲线yxlnx的平行于直线xy10的切线方程为（A）. （A）yx1（B）y(x1)（C）ylnx1x1（D）yx 4．设函数fx|x|，则函数在点x0处（C）. （A）连续且可导（B）连续且可微（C）连续不可导（D）不连续不可微 5．点x0是函数 4 yx的（D）. （A）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点 6．曲线 y 1 |x | 的渐近线情况是（C）. （A）只有水平渐近线（B）只有垂直渐近线（C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线 11 7．2 fdx xx 的结果是（C）. （A） 1 fC x （B） 1 fC x （C） 1 fC x （D） 1 fC x 8． dx xx ee 的结果是（A）. （A）arctan x eC（B）arctan x eC（C） xxxx eeC（D）ln(ee)C 9．下列定积分为零的是（A）.

（A ）4 4 a rctan 1 2 x x dx （B ） 4 4 xarcsinxdx （C ） xx ee 1 dx （D ） 12 12 xxsinxdx 1 10．设fx 为连续函数，则 1 0 f2x dx 等于（C ）. （A ）f2f0（B ） 1 2 f11f0（C ） 1 2 ff （D ）f1f0 20 二．填空题（每题4分，共20分） 2x1 e fxx x0 1．设函数 在x0处连续，则a.-2 ax0 2．已知曲线yfx 在x2处的切线的倾斜角为 3 5 6 ，则 f2.-3分之根号 x 3．2 y x 1 的垂直渐近线有条.2 4． dx 2 x1lnx . 5． 2 4 xsinxcosxdx. 2 三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限 ① lim x 1x x 2x ② lim x0 xsinx 2 x xe 1 2．求曲线ylnxy 所确定的隐函数的导数y x . 3．求不定积分 ① dx x1x3 ② dx 22 xa a 0 ③ x xedx 四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数 332 yxx 的图像. 2．求曲线 22 yx 和直线yx4所围图形的面积.

导数大题专题及答案

导数大题专题 题型一．求含参数的单调性问题 一． 讨论是否存在极值点问题 1.求f(x)= -ax+1的单调区间 2. 已知函数（其中）. （Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值； （Ⅱ）求函数的单调区间. 2()1 x a f x x +=+a R ∈()f x (1,(1))f 12 y x b =+,a b ()f x

3. 设函数. （Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点. 二．讨论极值点的大小关系问题 1．设0>a 且a ≠1，函数x a x a x x f ln )1(2 1)(2++-=. （1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在（3，)3(f ）处切线的斜率； （2）求函数)(x f 的极值点。， 3()3(0)f x x ax b a =-+≠()y f x =(2,())f x 8y =,a b ()f x

2. 已知函数其中 (1)当时，求曲线处的切线的斜率； (2)当时，求函数的单调区间与极值。 3.（本小题13分） 设函数=[]． （Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，）处的切线与轴平行，求a ； （Ⅱ）若在x =2处取得极小值，求a 的取值范围． 4. 已知函数2()()x k f x x k e =-。求()f x 的单调区间； 22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈a R ∈0a =()(1,(1))y f x f =在点23 a ≠ ()f x ()f x 2(41)43ax a x a -+++e x (1)f x ()f x

三． 讨论极值点和定义域问题 1．已知函数.,1ln )(R ∈-=a x x a x f （I ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； （II ）求函数)(x f 的单调区间 2.已知函数f (x )=In(1+x )-x +22 x x (k ≥0)。 (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。

导数压轴大题大招(精华)

导数压轴大题方法总结一、零点问题（隐零点压轴） 【压轴1】已知函数f(x)=e x ln(x+m) （Ι）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0.

【压轴2】已知函数ln ()x f x x =．（Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,0)处的切线方程； （Ⅱ）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）设()() (R)g x f x kx k =-∈，求函数()g x 在区间21 [,e ]e 上的零点个数．【压轴3】已知函数1()x x f x xe ae -=-，且'(1)f e =. (Ⅰ)求a 的值及()f x 的单调区间； (Ⅱ)若关于x 的方程2()2(2)f x kx k =->存在两个不相等的正实数根12,x x ，证明：124ln x x e ->.

二、零点问题（放缩法压轴） 【压轴1】设函数2)(--=ax e x f x . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值.【压轴2】已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()() 00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.

【压轴3】已知函数22 1ln )(-+-=a ax x x f ，R a ∈.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若2)()(+=x xf x g ，求证：当a ＜e 2ln 时，)(x g ＞a 2.【压轴4】已知函数12 1ln )(2+++=x ax x x f .（Ⅰ）当2-=a 时，求)(x f 的极值点；（Ⅱ）当0=a 时，证明：对任意的x ＞0，不等式x xe ≥)(x f 恒成立.

大一高数复习资料

第一章 函数与极限 第一节 函数 ○邻域（去心邻域） (){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-， ∴()N g ε=???? 2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X = 2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 极限存在准则及两个重要极限 ○夹逼准则 第一个重要极限：1sin lim 0=→x x x ∵?? ? ??∈?2, 0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→x x x 0 000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===?? ??? （特别地，000 sin() lim 1x x x x x x →-=-） ○单调有界收敛准则 第二个重要极限：e x x x =?? ? ??+∞ →11lim （一般地，()() ()() lim lim lim g x g x f x f x =???????? ，其中 ()0lim >x f ） 【题型示例】求值：1 1232lim +∞→?? ? ??++x x x x 【求解示例】 ()()2111 212 1212 2121 1221 2 2121lim 212 21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞?++++??+++→∞ +→∞++→∞+++????? ?==+ ? ? ?+++?????? ? ???? ???=+=+ ? ???++?? ?? ? ? ? ?? ???=+ ???+???? 解：()()12lim 121 21212 121 22lim 121x x x x x x x x x e e e e +→∞?? ?+?? +??+→∞+→∞???+?? +?? +?? ? +? ? ==== 第四节 无穷小量与无穷大量 ○无穷小与无穷大的本质 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论 （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无 穷小，且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →???? ?（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；

(word完整版)高中数学导数专题训练

精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7．曲线f A (1,0)C (1,0)8．函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x -D ．0 二、填空题 11．函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是.

13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题： 15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 （1）求y （2）求y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题 11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1 3 -，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1 3 ）∪（1，+∞）） 12．(,0)-∞13．3 4 π 14．1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，

高中数学精华总结《导数大题难点突破》

《难 点 突 破》(学生版) 压轴题----函数与导数常考题型 一、要点归纳 1.曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为 000()()()y f x x x f x '=-+. 2.若可导函数()y f x =在 0x x = 处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立. 3.对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 4.函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈,()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）. 5.函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ，则有 0?>）. 6.()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立. 7.若x I "?，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则 max ()f x 0<. 8.若0x I ? ∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则 m i n ()f x 0<. 9.设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ? ∈D ()()f x g x >恒成立，则有 []min ()()0f x g x ->. 10.若对11x I ?∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ? ∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. 11.已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，若对

高数导数练习题

高数导数练习题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第二章导数与微分练习题 一、填空题 1.设)cos(cos 2sin x y x =，则='y _________________. 2.设函数)(x y y =由方程0)sin(222=-++xy e y x x 所确定，则=dx dy __________. 3.设2 sin x e y =，则=dy ____________________. 4．设函数()x y y =由方程0=+-y x e e xy 所确定，则()0y '=(),0y ''= 5 ．若函数2sec y t t =?+设　，则=dy 。 6．曲线?????=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为，2214t d y dx ==。 7.设(0)0,'(0)4,f f ==则0()lim x f x x →=_______________. 8.()(1)(2)(3)(4) (100)f x x x x x x x =-----，则=')1(f ________. 9.设)]([22x f x f y +=,其中)(u f 为可导函数,则 =dx dy _____________. 二、选择题 1.若???≥+<+=1 ,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（） 2,2==b a .2,2=-=b a 2,2-==b a .2,2-=-=b a 2.设0'()2f x =，则000()()lim h f x h f x h h →+--＝(). A.不存在B.2 C.0D 、4 3.设)0()(32>=x x x f ,则=')4(f ()