立体几何解题技巧例说
(一)有关点共线、点共面、面共线问题
【例1】已知D 、E 、F 分别是三棱锥S －ABC 的侧棱SA 、SB 、SC 上的点，且直线FD 与CA 交于M ，FE 与CB 交于N ，DE 与AB 交于P ，求证：M 、N 、P 三点必共线．
点拨：证明若干个点共线的重要方法之一，是证明这些点分别是某两个平面的公共点． 证明：由已知，显然M 、N 、P 在由D 、E 、F 所在的平面，又M 、N 、P 分别在直线CA 、CB 和AB 上，故M 、N 、P 必然在A 、B 、C 所在的平面内，即M 、N 、P 是平面DEF 与平面ABC 的公共点，∴它们必在这两个平面的交线上，故M 、N 、P 三点共线．
点评：证明点共面、线共面的基本途径是先由满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面，再证明其余元素在该平面内．
(二)有关空间角问题
【例2】在棱长都相等的四面体ABCD 中，
E 、
F 分别为棱BC 和AD 的中点(如下图)．
(1)求AE 与CF 所成的角；
(2)求CF 与面BCD 所成的角．
点拨：(1)欲求两条异面直线所成的角，需将其中
一条平移到与另一条相交的位置，而平移时，常在
某一平面内进行．
(2)欲求直线与平面所成的角，需过该直线上的
某一点(异于与平面的交点)作该平面的垂线．
通常是在与该平面垂直的平面内作出这条垂线，而后便可作出线面角．
解：(1)在平面AED 内，过F 作FK ∥AE ，交ED 于K ，则∠CFK 是异面直线AE 与CK 所成角(或是其补角)．该棱长为a ，通过计算，可
得，，，由余弦定理∠··，∴∠，即异面直线与所成的角为．FK =
12AE =34a CF =32a CK =74
a cos CFK ==23CFK =arccos 23
AE CF arccos 23CF FK CK CF FK 2222+- (2)∵各棱长均相等，E 为BC 中点，∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE
∴BC ⊥面AED ∴面AED ⊥面ABC ，过F 作FH ⊥ED 于H ，则FH ⊥面BCD ， ∴∠FCH 是CF 与面BCD 所成的角．
FH AO FH =
66
a sin FCH =FH CF =23
是四面体的高的一半，∴∴∠， ∴∠故与面所成的角为．FCH =arcsin 2
3
CF ABC arcsin
23
【例3】已知D 、E 分别是正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D=2B 1E=B 1C 1(如图)
求过D 、E 、C 1的平面与棱柱的下底面A 1B 1C 1所成二面角的大小．
点拨：在图上，过D 、E 、C 1的面与棱柱底面只给出一个公共点C 1，而没有画出它与棱柱底面所成二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点，进而再求二面角的大小．
解：在平面AA 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于F ，则F 是面DEC 1与面A 1B 1C 1的公共点，C 1F 为这两个平面的交线，所求的二面角就是D －C 1F －A 1的平面角．
∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D=2B 1E ．
∴E 、B 1分别为DF 和A 1F 的中点，
∵A 1B 1=B 1C 1=A 1C 1，
∴FC 1⊥A 1C 1，又面AA 1C 1C ⊥面A 1B 1C 1，FC 1在面A 1B 1C 1内
∴FC 1⊥面AA 1C 1C ，而DC 1在面AA 1C 1C 内，
∴PC 1⊥DC 1，∴∠DC 1A 1是二面角D －FC 1－A 1的平面角．
由已知，∴∠π．故所求二面角的大小为π．A D =B C =A C DC A =41111114
点评：当所求的二面角没有给出它的棱时，可通过公理1和公理2，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角
的大小即可．若利用θ求θ，其中θ为二面角的大小，△△cos =S S ()A 1B 1C
1DEC 1
作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理．
(三)有关空间距离问题
【例4】如图，ABCD 是边长为4的正方形，
E 、
F 分别为AB 、AD 的中点，GC ⊥面ABCD 且CG=2．
求点B 到平面GEF 的距离．
点拨：因点B 在面GEF 的射影不好确定，所以不宜直接求其距离，由已知容易得出BD ∥GEF ，故可将求B 到面GEF 的距离问题转化为求直线BD 与面GEF 的距离来解决． 解法1：连接BD ，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，又∵EF 在面GEF 内，而BD 不在面GEF 内，∴BD ∥面GEF ．∴B 到面GEF 的距离等于直线BD 到面的距离，连接AC ，分别交EF 和BD 于K ，O ，连GK ，∵EF ⊥AC ，EF ⊥GC ，∴EF ⊥面GCK ．又在EF 在面GEF 内，∴面GEF ⊥面GCK ．
过O 在面GCK 内作OH ⊥GK 于H ，则OH ⊥面GEF ，
∴OH 即为BD 平面GEF 的距离．
∵△∽△∴
．已知，又，．∴．GCK OHK GC =2OK =14
AC =2GK =KC OH =2112OH GC OK GK
GC =+=22211 解法2：用体积法
∵BD ∥EF ，且EF 在面GEF 内，BD 不在面GEF 内，BD ∥面GEF ，BD 与AC 交于O ，则B 到面GEF 的距离=BD 到面GEF 的距离=O 到面GEF 的距离．
∴V B-GEF =V O-GEF ．
设O 、C 到面GEF 的距离分别为h 1，h 2，
∵KO ∶KC=1∶3，∴h 1∶h 2=1∶3，
∴∶··∶··∶∶，△△V V =(13S h )(13
S h )=h h =13O GEF C GEF GEF GEF 1212-- 在△中，斜边上的高·×，∴．故到面的距离为
．Rt GCK GK h =GC GK h =211
B GEF 21GK =+==2324186222611
21111
(四)立体几何最值问题
【例5】已知如图等腰△ABC 中AB=AC=13、BC=12，DE ∥BC ．分别交AB 和AC 于DE ．将△ADE 沿DE 折起使得A 到A ′，且A ′－DE －B 为60°二面角．求A ′到直线BC 的最小距离．
点拨：首先应作出A ′到BC 的距离．显然A ′到BC 的距离的大小与DE 的位置有关，而DE 的位置又可由A 点到DE 的距离表示，由此，A ′到BC 的距离可表示为A 到DE 的距离的函数，进而可解决问题．
解：取BC 的中点O ，连AO 交DE 于O ′．
∵AB=AC ，∴AO ⊥BC ，
∴AO ′⊥DE ，连A ′O ′，则A ′O ′⊥DE ，
∴DE ⊥面A ′O ′O ，∵DE ∥BC ，
∴BC ⊥面A ′O ′O ，
∴BC ⊥A ′O ，故A ′O 为A ′到BC 的距离，
且∠A ′O ′O 为二面角A ′－DE －B 的平面角，
∴∠A ′O ′O=60°．
设AO ′=A ′O ′=x ，∵AB=AC=13，BC=10，∴AO=12，O ′O=12
－，在△′′中，由余弦定理有′′′′′′·′·°
···x A O O
A O =A O 2222222601221212
3361443636+-=---=-+=-+O O A O O O x x x x x x x cos ()()() ∴当x=6时，A ′O 取得最小值6．即当DE 恰为△ABC 的中位线时，A ′到BC 的距离最小，其值为6．
(五)立体几何综合问题
【例6】已知如图，ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，D 是AC 的中点，(1)求证AB 1∥面DBC 1；
(2)若AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱DBC 1与CBC 1为面的二面角的度数．
点拨：(1)欲证AB 1∥平面DBC 1，只需在平面DBC 1内找出一条与AB 1平行的直线即可．由于D 是AC 的中点，就自然要考虑取BC 1的中点E ，显然DE ∥AB 1，问题即可解决．
(2)欲求二面角D －BC 1－C 即二面角α的度数，则需找出它的平面角，由已知，平面ABC ⊥面B 1BCC 1，则过D 作DF ⊥BC ，则DF ⊥面B 1BCC 1，连接EF ，由条件AB 1⊥BC 1，可证明DE ⊥BC ，再利用三垂线定理(或内定理)可证出BC 1⊥CF，即可得二面角α的平面角∠DEF ．通过计算，问题可解决．
解：(1)∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形．连接B 1C 交BC 1于E ，则B 1E=EC ，连结DE ．在△AB 1C 中，∵AD=DC ，
∴∥，又∵平面，平面，∴∥平面DE AB AB DBC DE DBC AB 1111??DBC 1．
(2)在面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 于F ，则DF ⊥平面B 1BCC 1，连接EF ，则EF 是ED 在平面B 1BCC 1内的射影．
∵AB 1⊥BC 1，∴由(1)知AB 1∥DE，∴DE ⊥BC 1，由三垂线逆定理可知BC 1⊥EF．∴∠DEF 是二面角α的平面角，设为θ，设AC=a ，
则，∵△是正三角形．CD =12
a ABC
∴在△中，·∠，·∠．Rt DCF DF =DC sin DCF =34a CF =DC cos DCF =14
a 取BC 的中点G ，∵EB=EC ∴GE ⊥BC ．
在△中，·，又－，，∴·，∴．∴∠∴∠°．Rt BEF EF =BF GF BF =BC FC =34a GF =14a EF =34a a EF =34a tan DEF =DF EF =1 DEF =452
214 故二面角α为45°
点评：要善于从不同角度观察某一几何体，这是考查空间想象能力的重要方面，把一个正三棱柱放倒之后，其性质是不改变的，如B 1BCC 1是矩形，面ABC ⊥面B 1BCC 1等，应正确识别．
(1)的证明，体现了将证线面平行转化为证线线平行的转化思想；
(2)的解答，是通过作出二面角的平面角，将立体几何问题转化为平面几何的有关计算问题来解决的．
(六)解立体几何计算题的一般方法
1．几何计算题的结构是根据已知的若干几何量或位置关系推求另一些几何量．而已知的位置关系通常也要转化为几何量
最基本的几何量有两个：线段和角．其他几何量或者用线段和角来定义，或者可表示成线段和角．例如，两点间的距离，点到平面的距离其本身就是线段的长；异面直线所成的角，直线与平面所成的角，是直接用角来表述的概念；而求积公式也都可以用线段或角来表示．
由上述可知，几何计算题的结构实为根据已知的线段和角推算未知的线段和角．为此，解几何计算题必须了解和运用由线段和角构成的关系式(即以线段和角为未知量而构成的多元方程)．满足这个需要的基本知识多是三角形的边角关系(锐角或钝角的三角函数，正弦定理，余弦定理等)．所以，解几何计算题的一般方法是，把题中的线段和角(已知的和未知的)看成三角形的元素，而后借助于三角形的解法推算出所求的结果．
所以，解几何计算题的过程大多是一连串的解三角形的过程，而解三角形的过程又是解方程(组)的过程．
解几何计算题的一般方法与解几何证明题的一般方法一样，也是从题目自身的特点得出的．由于计算过程就是推算过程，当我们寻求计算题的已知条件与未知量的联系时，也要使用综合法及分析法．
2．已知条件与图形的形状和大小
这里所说的“形状”不是通常指的某个三角形是直角三角形还是等腰三角形等意思，而是与相似相联系的，就是说形状相同的两个图形是相似的．这里所说的“大小”指的是面积及体积．
解一个几何计算题，在下手计算之前如能弄清图形的形状大小，就会有助于对问题进行总体的分析．所给图形的形状大小决定于所给的条件，由此，几何计算题可分为以下四种基本类型：
(1)形状和大小都确定；(2)形状确定，大小不定；(3)大小确定，形状不定；(4)形状和大小都不确定，
对第(1)种类型来说，若依照已知条件分别画出两个图形F 和F ′，则F ≌F ′，即F 与F ′重合，为了简便起见，本节以下将称这种类型的图形是确定的图形．
对第(2)种类型来说，若依照已知条件画出两个图形F 和F ′，则F ～F ′，本节今后将称这种类型的图形的形状是确定的．
第(1)，(2)两种类型的计算题是常见的，也是比较重要的，下面通过例题加以说明．
【例7】如图1，P 是二面角α－AB －β棱AB 上的一点，分别在α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α－AB －β的大小是多少？
点拨：图1，是一个形状确定的图形，这是因为∠BPM=45°，所以射线PM 在α内的位置是确定的，同理PN 在β内的位置也是确定的．
若角MPN 的大小不定，即PM 与PN 的相互位置关系不定，则由AB ，PM 所决定的平面α和由AB ，PN 所决定的平面β的相互位置关系不可能确定，从而二面角α－AB －β的大小也就不能确定了，但在已知条件有∠MPN=60°，即PM 与PN 的相互位置关系确定，从而二面角α－AB －β的大小确定．可见，由已知条件是可以推算出二面角α－AB －β的大小． 在PM 上取一点M ，作MC ⊥AB 交AB 于点C ，在β内再作CN ⊥AB 交AN 于点N(图2)，∠MCN 就是二面角的平面角，连接MN 则图2就可以变成一个形状确定的四面体PMNC ． 四面体共有六条棱，设四面体PMNC 的任一条棱长为a ，则其他5条棱都可以用a 来表示，这样，我们就可以把四面体PMNC(暂时)变成一个大小也确定的图形，从而借助三角形解法就可推算出∠MCN 的大小．
解 PC =a CM =a CN =a PM =2a PN =2a 设，则，，·，，
在△PMN 中，由于∠MPN=60°，所以△PMN 是一个等边三角形．
∴在△中，由于，·，MN =2a
MCN CM =CN =a MN =2a
∴△MCN 是一个等腰直角三角形，∠MCN=90°． ∴二面角α－AB －β=90°
【例8】如图1，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ．DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于D ，E ．又SA=AB ，SB=BC ，求以BD 为棱，以BDE 与BDC 为面的二面角的度数．
点拨：先来考虑三棱锥S －ABC 的形状大小问题．
根据SA ⊥底面ABC ，SA=AB ，可知△SAB 是等腰直角三角形，其形状确定，现在不防假设这个等腰直角三角形的位置也固定．
由于AB ⊥BC ，并且SB=BC ，则线段BC 的位置也是固定的，从而点C 的位置以及线段SC 和线段AC 的位置也确定．
这就是说，当任意一个等腰直角三角形的位置确定以后，点C 的位置就随之而定．事实上，△SBC 也是一个等腰直角三角形，当等腰直角三角形SAB 的位置确定以后，等腰直角三角形SBC 的位置也随之确定．可见，三棱锥S －ABC 是一个形状确定大小不定的几何体．
又，由于E 是SC 中点，且ED ⊥SC 交AC 于D ，所以点D 的位置也是确定的．
根据以上分析，可以断定，从已知条件可以推算出图1中任意两条线段所成的角以及任意两条线段所成比．
解法1：连接DE(图2)．
设，则，，，·在△中，SA =1AB =1SB =2BC =2SC =2=2
Rt SAC AC =SC 22213222-=-=SA
∵EB 是Rt △SBC 斜边SC 上的中线，
∴EB=1，连结SD ，则SD 平分∠ASC ，∠ASD=∠DSE=30°．
在△中，°×，∴，从而－．现在，在△中，我们来计算的长．Rt DES DE =SEtan30=1AD =DE =13CD =AC AD =3Rt ABC BD 1
31333133233=-= 设BD=x(图3)．
在△BDC 中有
x =CD BC 2CD BC cos BCD(cos BCD =
BC AC )=(23
3)2=432=23x =132222＋－··∠∠－×××＋－，∴+()22332238362
在△中，有＋BDC CD BD =(
233)=2=(2)=BC 22222+=+()1364323
2 ∴∠CDB=90°，从而CD ⊥BD ． 在△BDE 中，有 BD DE =(136)=1=BE 2222＋+()33
2 ∴∠BDE=90°，从而ED ⊥DB ． ∴∠EDC 是所求二面角的平面角．
在Rt △DEC 中，∵∠DCE=30°，∴∠EDC=60°∴所以二面角的度数为60°．
解法2：∵SA ⊥底面ABC ，且AB ⊥BC ，∴根据三垂线定理有SB ⊥BC ，从而△SBC 为等腰直角三角形，又因E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC ．
由已知，ED ⊥SC ，∴SC ⊥平面DBE ，∴BD ⊥SC ，又BD ⊥SA ，
∴BD ⊥平面SAC ，即平面SAC 垂直于二面角E －BD －C 的棱BD ，
∴∠EDC 是所求二面角的平面角．
设，则根据已知条件有，，，·，SA =1AB =1SB =2BC =2SC =2=22
∵在Rt △SAC 中，∠ACS=30°，在Rt △DEC 中，∠EDC=60°。
立体几何新题型的解题技巧 立体几何新题型的解题技巧 【命题趋向】 在高考中立体几何命题有如下特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现． 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。
第六讲 立体几何新题型的解题技巧 考点1 点到平面的距离 例1（2007年福建卷理）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 考点2 异面直线的距离 例3已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离. 考点3 直线到平面的距离 例4．如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 考点4 异面直线所成的角 例5（2007年北京卷文） 如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． 例6．（2006年广东卷）如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE //AD . (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角. 考点5 直线和平面所成的角 例7.（2007年全国卷Ⅰ理） B A C D O G H 1 A 1 C 1D 1 B 1O Q B C P A D O M A B C D 1 A 1 C 1 B O C A D B E
高考中常见的立体几何题型和解题方法 黔江中学高三数学教师：付 超 高考立体几何试题一般共有2——3道(选择、填空题1——2道, 解答题1道), 共计总分18——23分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的 逻辑推理型问题, 而解答题着重考查立几中的计算型问题, 当然, 二者均应以正 确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多 一点思考,少一点计算”的方向发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体 的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过 程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与 距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行 与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能， 通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平 行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能 力和空间想象能力． 2． 判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平 面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过 程中均可直接作为性质定理引用。 4．空间角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间角主要研究射影以 及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角 和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解 决． 空间角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系 进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线 所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?????? ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]．对于空间角的计算，总是通过一定 的手段将其转化为一个平面内的角，并把 它置于一个平面图形，而且是一个三
1.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 2.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 3.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量 分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2 π ]， 直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ????，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0， π ]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的， 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以 下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面 ，设 ∩ ＝OA ， ∩ ＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线 AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥ ，垂足为B ，AC ⊥ ，垂足为C ，则∠BAC ＝ 或 ∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面 内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面 内的射影图形
数学立体几何解题技巧 数学立体几何解题技巧 1平行、垂直位置关系的论证的策略: (2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。 (3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。 2空间角的计算方法与技巧: 主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。 (1)两条异面直线所成的角： ①平移法：②补形法：③向量法： (2)直线和平面所成的角 ①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。 ②用公式计算. (3)二面角： ①平面角的作法： (i)定义法; (ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。 ②平面角的计算法： (i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;
(ii)射影面积法; (iii)向量夹角公式. 3空间距离的计算方法与技巧: (1)求点到直线的距离： 经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。 (2)求两条异面直线间距离： 一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。 (3)求点到平面的距离： 一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以 把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一 点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面 的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。 4熟记一些常用的小结论 诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。 5平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题 要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。 6与球有关的题型 只能应用“老方法”，求出球的半径即可。 7立体几何读题：
高中数学立体几何解题技巧 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2、判定两个平面平行的方法： (1)根据定义--证明两平面没有公共点； (2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一
个平面； (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3、两个平面平行的主要性质： (1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。 (2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 (3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。 (4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 (5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。 (6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质(2)、(3)、(5)、(6)在课文中虽未直接列为”性质定理“，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 解答题分步骤解决可多得分 01、合理安排，保持清醒。 数学考试在下午，建议中午休息半小时左右，睡不着闭闭眼睛也好，尽量放松。然后带齐用具，提前半小时到考场。 02、通览全卷，摸透题情。 刚拿到试卷，一般较紧张，不宜匆忙作答，应从头到尾通览全卷，尽量从卷面上获取更多的信息，摸透题情。这样能提醒自己先易后难，也可防止漏做题。
立体几何知识点 & 例题讲解 高考时如果图形比较规则且坐标也比较好计算时就用坐标法（向量法）解决，但平时传统方法和向量法都要熟练。并且要多用传统方法，这样才能把自己的空间想象能力培养上去。 一、知识点 <一>常用结论 1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线 平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面 面平行. 3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面 垂直. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的 射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉 . 8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ== 21 |||||| a b a b x ?= ?+ （其中θ（090θ<≤）为异面直线a b , 所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 9.直线AB 与平面所成角：sin |||| AB m arc AB m β?=(m 为平面α的法向量). 10、空间四点A 、B 、C 、P 共面z y x ++=?，且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ?=或cos |||| m n arc m n π?-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 12.三余弦定理：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所 成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 13.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB = ?=14.异面直线间的距离： || || CD n d n ?= (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 15.点B 到平面α的距离：|| || AB n d n ?= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 16.三个向量和的平方公式：2 2 2 2()222a b c a b c a b b c c a ++=+++?+?+? 222 2||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++?+?+? 17. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++=222123sin sin sin 2θθθ?++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习
知识点整理 (一)平行与垂直的判断 ⑴平行：设，的法向量分别为U,V ，贝U 直线l,m 的方向向量分 别为a,b ，平面 线线平行i // m a 〃 b a 诂；线面平行i // a u a u 0 ； 面面平行// u // v u J. ⑵ 垂直：设直线l ，m 的方向向量分别为a,b ，平面，的法向量 分别为u,v ，则 线线垂直I 丄m a 丄b ab 0 ；线面垂直I 丄 a // u a ku 「； 面面垂直丄 u 丄v u v 0. (二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交 基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线l ，m 的方向向量分别为，平面，的法向量 分别为u ，v ，则 ①两直线I ，m 所成的角为 (2)空间距离 ②直线I 与平面 ③二面角一I 的大小为(0< < )，cos cos (0< =2)，sin 所成的角为
点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难 ①点到平面的距离h：(定理)如图，设n是是平 面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中A 则点P到平面的距离 uuu uu ②h 1 Auur n |(实质是AP在法向量n 方向上的投影的绝对值) |n| uuu ur ③异面直线l i,l2间的距离d： d AB JC』1( 11,12的公垂向量为 |n| ' n, C、D分别是h,l2上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、的计算 例1.如图，已知二面角-I - 点 A , B , A C I于点C, 且 AC=CD=DB=1. 求：(1) A、B两点间的距离； (2)求异面直线AB和CD勺所成的角(3) AB与CD勺距 离. 解：设AC a,CD b,DB c,则 |a| |b| |c| 1, a,b b,c 900, a,c 60°, 2 ? ? 2 ?? 2 ■■ 2 |AB | a b c . a b c 2a b 2b c 2c a 2 A、B两点间的距离为2. (2)异面直线AB和CD的所成的角为60°
立体几何解题技巧及高考类型题—老师专用 【命题分析】高考中立体几何命题特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现． 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. 【高考考查的重难点】空间距离和角 “六个距离”： 1、两点间距离 221221221)()()(d z z y y x x -+-+-=； 2、点P 到线l 的距离d = （Q 是直线l 上任意一点，u 为过点P 的直线l 法向量）； 3 、两异面直线的距离d = （P 、Q 分别是两直线上任意两点，u 为两直线公共法向量）； 4、点P 到平面的距离 d =Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量）； 5 、直线与平面的距离d =（P 为直线上的任意一点、Q 为平面上任意一点，u 为平面法向量）； 6 、平行平面间的距离d = （P 、Q 分别是两平面上任意两点，u 为两平面公共法向量 ）；
“三个角度”： 1、异面直线角[0，2π]，cos θ=2 121v v v v ;【辨】直线倾斜角范围[0，π）； 2、线面角 [0，2π] ，sin θ=n v vn n v =,cos 或者解三角形； 3、二面角 [0，π]，cos 212 1n n n n ±=θ 或者找垂直线，解三角形。 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，证是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题1、（福建卷）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小， 点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力． 解：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．
第一章 空间几何体 一、常见几何体的定义 能说出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义和性质。 二、常见几何体的面积、体积公式 1.圆柱：侧面积rl cl S π2==侧 （其中c 是底面周长，r 是底面半径，l 是圆柱的母线，也是高） 表面积)(2222l r r r rl S S S +=?+=+=πππ底侧表 h r sh V 2π==柱体 2.圆锥：侧面积rl cl S π== 2 1侧 （其中c 是底面周长，r 是底面半径，l 是圆锥的母线） 表面积)(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底侧表 h r sh V 23 131π==椎体 3.圆台：侧面积l R r l R r S )(2 )22(+=+=πππ侧 （其中r 、R 是上下底面半径，l 是圆台的母线） 表面积)()(2222R r Rl rl R r l R r S S S +++=+++=+=ππππ底侧表 h S S S S V )(3 1''++=台体 （其中'S 、S 是上下底面面积，h 是圆台的高） 4.球：表面积24R S π=表，体积33 4R V π=球 三、直观图：会用斜二侧画法画出平面图形的直观图。 画法步骤：①在原图中画一个直角坐标系，在新图中画一个夹角为45°的坐标系； ②与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行，长度不变； 与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行，但是长度减半。 四、三视图 1.投影：光线照射物体留在屏幕上的影子。 ①中心投影：光由一点向外散射形成的投影。 ②平行投影：在平行光线照射下形成的投影。 ③正投影：光线正对着投影面时的平行投影。 2.三视图：正视图：光线从前向后的正投影； 侧视图：光线从左向右的正投影； 俯视图：光线从上向下的正投影。 三视图的性质： 侧视图和正视图的高相同；俯视图和正视图的长相同；侧视图和俯视图的宽相同。 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 一、立体几何中的公理与基本关系 1.平面公理： 公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。 推论2：两条相交直线确定一个平面。 推论3：两条平行直线确定一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的平面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。【本公理也称为平行直线的传递性】
高中立体几何中二面角求法 摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。 （一）、二面角定义的回顾： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 α β (二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角； * 2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； 3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长（展）线（面）法 6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ 7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。 例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。 ∵PA ⊥α, аα ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB 又∵OA 平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB. ∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. O A B ) A B l P . B A
∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60° 2、 （ 3、 三垂线定理（逆定理）法 由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。 例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中 由三垂线定理可得： CD CE=1, DE= 5 3、找（作）公垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。 例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。 \ 解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P 又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． A D 而CD 平面PCD ， B C 所以 平面PCD ⊥平面PAD ． A B C D A 1 B 1 C 1 （ E O CO DE O C C ，连结，作过点⊥11DE CO ⊥的平面角 为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形 是边长为又2ABCD CO DE CE CD S CDE Rt CDE ?=?=??2 1 21中，在1 1=CC 又5 52tan 1= ∠∴OC C 5 52tan arg 1=∠∴OC C 5 5 2= ∴CO
立体几何新题型的解题技巧 【命题趋向】在高考中立体几何命题有如下特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现． 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点透视】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力． 解答过程：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥． 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ． 连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥． 在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ． （Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1 A BD ． 1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得AF = 又 11 2AG AB == sin AG AFG AF ∴==∠．所以二面角1A A D B --的大小为 （Ⅲ）1A BD △中，1 11A BD BD A D A B S ==△1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 设点C 到平面1A BD 的距离为d ．由1 1 A BCD C A BD V V --=，得11133 3BCD A BD S S d =△△，1A BD d ∴=△ A B C D 1 A 1 C 1B A C D 1 A 1 C 1 B O F
高考数学题型归纳：立体几何题型解题方法 精品资料欢迎下载 高考数学题型归纳：立体几何题型解题方法 如何提高学习率，需要我们从各方面去努力。WTT为大家整理了高考数学题立体几何题型解题方法，希望对大家有所帮助。 高考数学题型归纳：立体几何题型解题方法高考数学之立体几何 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着多一点思考，少一点计算的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决平行与垂直的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对
问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、 1 / 3 精品资料欢迎下载 面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2.判定两个平面平行的方法： (1)根据定义--证明两平面没有公共点; (2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：两平行平面没有公共点。 ⑵由定义推得：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
高中立体几何最佳解题方法总结 一、线线平行的证明方法 1、利用平行四边形； 2、利用三角形或梯形的中位线； 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行的 性质定理） 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理） 5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理） 6、平行于同一条直线的两个直线平行。 7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。 二、线面平行的证明方法 1、定义法：直线和平面没有公共点。 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（线面平行的判定 定理） 3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。 4、反证法。 三、面面平行的证明方法 1、定义法：两个平面没有公共点。 2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理） 3、平行于同一个平面的两个平面平行。 4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。 5、垂直于同一条直线的两个平面平行。 四、线线垂直的证明方法 1、勾股定理； 2、等腰三角形； 3、菱形对角线; 4、圆所对的圆周角是直角； 5、点在线上的射影； 6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。 7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线定理） 8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。 五、线面垂直的证明方法： 1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直； 2、点在面内的射影； 3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。（线面垂直的判定定理） 4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。（面面垂直的性质 定理） 5、两条平行直线中的一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。 6、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。 7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面。 8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。 9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。 六、面面垂直的证明方法： 1、定义法：两个平面的二面角是直二面角； 2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（面面垂直的判定定理） 3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
高中文科数学个性化辅导课程 l βαβαα //,////??? ? ?? ?且相交m l m l m l m l ////??? ? ?? =?=?βγαγβαα α⊥???? ? ? ???=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l ,高考文科数学立体几何解题技巧 1.判定线面平行的方法 定义：如果一条直线和一个平面没有公共点。 （1）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”） ααα////l l m m l ??? ? ?? ?? （2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 αββα////l l ?? ?? ? （3）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面。 2.判定面面平行的方法 （1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两平面平行。 （2）垂直于同一直线的两个平面平行。 （3）平行于同一平面的两个平面平行。 3.面面平行的性质 （1）两平行平面没有公共点。 （2）如果两平面平行，那么一个平面上的任一直线平行于另一平面。 （3）垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面。 （4）如果两平行平面被第三个平面所截，那么它们的交线平行。 4.判定线面垂直的方法 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直。 （1）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，那么这条直线垂直于该平面。 l
//a a αββα? ?⊥?⊥? ,l a a a l αβαββ α⊥??=?⊥???⊥ ?a a b b αα⊥??⊥??? βαβα⊥?? ???⊥l l （2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。 αα⊥?? ?? ⊥b a b a // （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面。 （5）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面。 5.判定两线垂直的方法 (1)如果一条直线和平面垂直，则这条直线与平面内任一直线垂直。 (2)如果一个平面经过另一平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 6. 定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 (2)范围：]90,0[?? 当?=0θ时，α?l 或α//l ，当?=90θ时，α⊥l β a α a β l α α a b
立体几何新题型的解题技巧 【命题趋向】在2007年高考中立体几何命题有如下特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现． 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点透视】(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. . 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题 例1（2007年福建卷理）如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； A 1 A
αl l αβ βαβαα//,//// ??? ????且相交m l m l m l m l ////??????=?=?βγαγβαγm βαl 高考文科数学立体几何解题技巧 1.判定线面平行的方法 定义：如果一条直线和一个平面没有公共点。 （1）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。 ααα////l l m m l ??? ????? （2）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 αββα////l l ????? （3）平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面。 （4）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面。 2. 判定面面平行的方法 （1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行。 （2）垂直于同一直线的两个平面平行。 （3）平行于同一平面的两个平面平行。 3.面面平行的性质 （1）两平行平面没有公共点。 （2）两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面。 （3）垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面。 （4）两平 行平面被第三个平面所截，则两交线平 行。 m l αm βαl
αα⊥?????????=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l ,//a a αββα??⊥?⊥? ,l a a a l αβαββα⊥??=?⊥???⊥ ?a a b b αα⊥??⊥??? 4.判定线面垂直的方法 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直。 （1）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直。 （2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。 αα⊥?? ??⊥b a b a // （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面。 （5）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面。 5.判定两线垂直的方法 (1)直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直。 (2)平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 A B C αl β a α a β l α α a b