2020-2021学年上海市行知中学高二上学期10月月考数学试题

上海市2021-2021年高二数学上学期10月月考试题（含解析）(3,1)-和点(2,2)-的直线的点方向式方程是________.【答案】3153x y +-=- 【解析】 【分析】先设直线上任一点坐标为(,)x y ，由直线上点的坐标，得到直线方向向量，进而可得出结果. 【详解】设直线上任一点坐标为(,)x y ，因为直线经过点(3,1)-和点(2,2)-， 所以直线的方向向量为(2,2)(3,1)(5,3)=---=-a ， 因此，直线的点方向式方程是：3153x y +-=-. 故答案为：3153x y +-=- 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.220x y +-=和10mx y -+=的夹角为4π，那么m 的值为________. 【答案】3或13- 【解析】 【分析】先由题意，分别得到两直线的斜率，再由直线的夹角公式，即可求出结果. 【详解】记直线220x y +-=和10mx y -+=的斜率分别为1k ，2k ， 则12k =-，2=k m ，又两直线夹角为4π，所以1212tan41-π=+k k k k ，即2112--=-m m ，解得3m =或13m =-. 故答案为：3或13-【点睛】本题主要考查由直线的夹角求参数的问题，熟记直线的夹角公式即可，属于常考题型.1l 的斜率为2，2l 的倾斜角为1l 的倾斜角的2倍，则2l 的斜率为________.【答案】43- 【解析】 【分析】记直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β，根据题意求出tan β，即可得出结果. 【详解】记直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β， 因为直线1l 的斜率为2，所以tan 2α=， 又2l 的倾斜角为1l 的倾斜角的2倍， 所以22tan 44tan tan 21tan 143αβαα====---， 即2l 的斜率为43-. 故答案为：43-【点睛】本题主要考查求直线的斜率，熟记斜率的定义，以及二倍角公式即可，属于基础题型.(3,2)P 与点(1,4)Q 最新直线l 对称，则直线l 的一般式方程为________.【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】先由题意求出P 、Q 两点的中点坐标，以及直线PQ 的斜率，得到所求直线的斜率，从而可求出结果.【详解】因为点(3,2)P 与点(1,4)Q 的中点坐标为(2,3)， 直线PQ斜率为42113-==--PQ k ， 又点(3,2)P 与点(1,4)Q 最新直线l 对称， 所以直线l 过点(2,3)，且PQ l ⊥，因此直线l 的斜率为11PQkk ，所以，直线l 的方程为32y x -=-，整理得：10x y -+=. 故答案：10x y -+=【点睛】本题主要考查由两定点求其对称直线的方程，熟记直线的点斜式方程以及一般式方程即可，属于常考题型.(1,2)A -，(1,4)B ，若直线l 过点(2,3)M --，且A 、B 到直线l 的距离相等，则直线l 的一般式方程为________.【答案】10x y --=或330x y -+= 【解析】 【分析】根据题意，分A 、B 两点在直线l 的同侧和不同侧，两种情况，分别求出直线斜率，即可求出结果.【详解】设直线l 的斜率为k ，因为点(1,2)A -，(1,4)B 到直线l 的距离相等，直线l 过点(2,3)M --， 若A 、B 两点在直线l 的同侧，则//AB l ，即42111ABkk ，所以直线l 的方程为：32+=+y x ，即10x y --=；若A 、B 两点在直线l 的不同侧，则直线l 必过AB 中点(0,3)，即33302k ，所以直线l 的方程为：33y x =+，即330x y -+=. 故答案为：10x y --=或330x y -+=【点睛】本题主要考查求直线的一般式方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.a 、b 、c 满足230a b c ++=，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则b 与c 的夹角为____.【答案】34π 【解析】【分析】先由230a b c ++=得到23=--a b c ，分别代入a b b c ⋅=⋅和⋅=⋅b c c a ，求出2=-⋅b b c ，=-⋅c b c ，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为230a b c ++=，所以23=--a b c ， 代入a b b c ⋅=⋅得：(23)--⋅=⋅b c b b c ，即2=-⋅b b c ； 代入⋅=⋅b c c a 得：()23⋅=⋅--b c c b c ，即=-⋅c b c ， 所以12cos ,22⋅⋅<>===-=-⋅⋅-⋅b c b c b c b cb c b c，因此b 与c 的夹角为34π.故答案为：34π 【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的数量积运算，以及向量的夹角公式即可，属于常考题型.ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+的最小值是________. 【答案】43【解析】 【分析】先由题意，得到122∆∆==PBC ABC S S ，推出4sin ⋅=∠PB PC BPC，由向量数量积得到4cos sin ∠=⋅∠BPC B P PC C PB ，再由余弦定理得到288cos sin -∠≥∠BC BPC BPC ，令=∠x BPC ，84cos ()sin -=x f x x，用导数的方法求函数的最小值，即可得出结果.【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点， 所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半， 所以2∆∆=ABC PBC S S ，又4ABC S ∆=，所以12sin 2∆==⋅⋅∠PBC S PB PC BPC ， 因此4sin ⋅=∠PB PC BPC，所以4cos cos sin ∠⋅⋅∠=∠⋅=BPCPB PC BP PC P C P B B C ；又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC22co 88cos sin s ≥⋅-⋅∠-∠∠=PB PC PB PC BP BPCC BPC，当且仅当PB PC =时，取等号；所以24cos 88cos 84cos sin sin sin sin ⋅∠+≥∠-∠+-=∠∠∠∠BPC BPC BPCBP PC PB C BPC BPC BP BC C ，令=∠x BPC ，84cos ()sin -=xf x x，()0,x π∈；又2224sin (84cos )cos 48cos ()sin sin ---'==x x x xf x x x， 由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2x >，所以03x π<< 所以()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；所以min 82()4332-==f x ， 因此243⋅+≥PC PB BC . 故答案：43【点睛】本题主要考查求向量数量积的最值问题，熟记余弦定理，向量数量积的运算，基本不等式，以及导数的方法求最值即可，属于常考题型.8.如图，设AB a =，AC b =，AD c =是平面上两两不平行的三个非零向量，x ∈R ，有下列命题：① 最新x 的方程20ax bx c ++=可能有两个不同的实数解；② 最新x 的方程20ax bx c ++=一定没有实数解； ③ 最新x 的方程20ax bx +=的实数解为0x =或b x a=-；④ 最新x 的方程20ax bx +=没有非零实数解； 其中真命题是_______ . 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量基本定理，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB a =，AC b =，AD c =是平面上两两不平行的三个非零向量， 对于①，方程20ax bx c ++=可化为，2=--c x a xb ，由平面向量基本定理分析可得：20ax bx c ++=最多有一个解，故①错；对于②，a ，b ，c 都是非零向量，方程20ax bx c ++=是最新向量的方程，因此方程在实数集内一定无解，故②正确；对于③，因为a ，b 都是不平行的非零向量，因此，由20ax bx +=得到()0+=ax b x ，所以0+≠ax b ，只能0x =，即实数解为0x =，故③错，④正确；故答案为：②④【点睛】本题主要考查命题真假的判断，以及平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 9.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先由两直线垂直求出m 的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直， 则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ，即(2)(42)0+-=m m ，解得2m =-或12m =； 因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”，反之不能推出， 所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件. 故选：B【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.210x my --=（0m <）的倾斜角为（ ）A. 2arctanm B. 2arctanm- C. 2arctanmπ+ D.2arctan mπ-【答案】C 【解析】 【分析】记直线的倾斜角为α，根据斜率的定义，得到2tan α=m，从而可求出结果. 【详解】记直线的倾斜角为α，因为直线方程为：210x my --=，0m <， 所以2tan α=m ，因此2arctan απ=+m. 故选：C【点睛】本题主要考查由直线方程求直线倾斜角，熟记斜率定义，以及反三角函数的表示即可，属于常考题型.11.将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x 、y 分别为点O 到两个顶点的向量，若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写出ax by +的形式，则+a b 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，分别用x 、y 表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果. 【详解】要求+a b 的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下： （1）因为=OA x ，所以(,)(1,0)=a b ；（2）因为3=+=+OB OF FB y x ，所以(,)(3,1)=a b ； （3）因为2=+=+OC OF FC y x ，则(,)(2,1)=a b ； （4）因32=++=++=+OD OF FE ED y x OC x y ，则(,)(3,2)=a b ；（5）因为=+=+OE OF FE y x ，则(,)(1,1)=a b ； （6）因为=OF y ，则(,)(0,1)=a b ； 因此，+a b 的最大值为325+=. 故选：C【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？【答案】见解析. 【解析】 【分析】()1当两条直线不平行，即斜率不同时相交，()2当两条直线k 相同，b 不同时平行 ()3当两条直线k 相同，b 也相同时重合【详解】当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交． 当m≠0且m≠2时，由＝得m ＝－1或m ＝3，由＝，得m ＝3.故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．【点睛】本题属于中档题，考查了两条直线的相交，平行，重合的条件，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，做此类题的时候应采用分类讨论的方法分情况得到所求的范围。

上海市行知中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知向量(4,1),(1,5)OA OB ==，则与向量AB 同向的单位向量是________． 2．若三点(2,2),(,0),(0,4)A B a C ，若存在实数λ，使得AB BC λ=，则实数a =________．3．已知向量()()2,1,1,1m n =-=.若()()2m n am n -⊥+,则实数a =_______. 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12lim (32)nn n nS n S →+∞+=+5．已知数列{}n a 满足10a =，1)n a n *+=∈N ，则10a 的值为________．6．求值：1123(12)2114⎡--⎤⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎣⎦________．7．已知2a b ==，a 与b 的夹角为3π，则a b +在a 上的投影为________． 8．各项都为正数的无穷等比数列{}n a ，满足24,a m a t ==，且x my t =⎧⎨=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组1112112222a x a y c a x a y c +=⎧⎨+=⎩的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是________．9．函数2sin(2)y x =的图像按a 平移后得到的图像解析式是2sin(2)13y x π=++，则当||a 取得最小时，a =________．10．已知数列{}n a 的通项公式是23()n a n n *=+∈N ，数列{}n b 满足1()n n b b a n *+=∈N 且11b a =，则数列{}n b 的通项公式为________．11．如图，在同一个平面内，向量,,OA OBOC 的模分别为1，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OA 与OB 的夹角为135°.若(),R OC mOA nOB m n =+∈，则m n +=__________．12．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2132n n S S n n -+=≥若对任意1,n n n N a a *+∈<恒成立，则a 的取值范围是_________.二、单选题13．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是( ) A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++14．有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和； （3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（ ）． A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）15．当向量(2,2)a c ==-，(1,0)b =时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．216．已知数列{}n a 中，12a =， 点列(1,2,)n P n =在ABC 内部，且n P AB △与n P AC △的面积比为2:1，若对n *∈N 都存在数列{}n b 满足11(32)02n n n n n n b P A a P B a P C ++++=，则4a 的值为（ ）．A ．54B ．68C ．76D ．80三、解答题17．已知(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)A B C D --． （1）求23AD BD BC +-；（2）若非零向量AM 满足：AM BC ⊥且22AM =M 的坐标． 18．用矩阵行列式的知识解关于x ，y 的方程组()12mx y m m R x my m+=+⎧∈⎨+=⎩.19．如图，ABCD 中，234,3,,,,34AB AD AB a AD b BM BC AN AB ======．（1）试用,a b 来表示,DN AM ；（2）若60DAB ∠=︒，求AD DN DN NA ⋅+⋅的值； （3）若0AD DB ⋅=，求DN AB ⋅．20．已知数列{}n a 和{}n b 满足：111a b ==，且124,2,4a a a 成等比数列，2344,2,b b b 成等差数列．（1）行列式21111213234234()111n n n a a a M M M n *++-=-++∈N ，且1113M M =，求证：数列{}n a 是等差数列；（2）在（1）的条件下，若{}n a 不是常数列，{}n b 是等比数列， ①求{}n a 和{}n b 的通项公式；②设,m n 是正整数，若存在正整数,,()i j k i j k <<，使得,,m j m n i n k a b a a b a b ⋅⋅⋅⋅成等差数列，求m n +的最小值． 21．设函数()()23232kkf x x k x k =-++⋅，x ∈R .（1）若()10f ≤，求实数k 的取值范围；（2）若k 为正整数，设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234a a a a +++及数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（3）对于（2）中的数列{}n a ，设()2121nn n nb a a --=，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.参考答案1．34(,)55- 【分析】先求出AB ，再求出||AB ，然后代入||ABAB 即可求出答案。

2019-2020年行知中学高三上10月月考一:填空题。

1.若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =________【答案】{5,2,1} 【解析】 【分析】根据题意，分析集合A 可得A 中的元素，将其元素代入y ＝x 2+1中，计算可得y 的值，即可得B 的元素，用列举法表示即可得答案．【详解】根据题意，A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，对于集合B ＝{y |y ＝x 2+1，x ∈A }，当x ＝±2时，y ＝5， 当x ＝±1时，y ＝2， 当x ＝0时，y ＝1； 故答案为：{5,2,1}【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B 中x 所取的值为A 中的元素且必须用列举法表示． 2.命题“如果2x >且2y >，那么4x y +>”的否命题是________命题（填真或假） 【答案】假 【解析】 【分析】判断逆命题的真假，再判断否命题即可．【详解】“如果x ＞2且y ＞2，那么x +y ＞4”的逆命题是：“如果4x y +>那么2x >且2y >”是假命题，例如4,1x y ==，又命题的否命题与逆命题同真假，则否命题为假命题 故答案为：假【点睛】本题考查四种命题的形式及真假，注意否命题与逆命题真假相同的应用，属于基础题． 3.不等式2log 2x ≤的解集为________ 【答案】(0,4] 【解析】利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集． 【详解】由题22log log 404x x ≤∴<≤ 故答案为：(0,4]【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目．4.已知一元二次函数()f x 满足(0)(2)f f =，若()f x 在区间[,1]2aa +上不单调，则a 的取值范围是________ 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】由f （x ）在区间[,1]2a a +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a，解不等式可求a 的范围 【详解】由f （x ）在区间[,1]2aa +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a ，解不等式可得a取值范围是(0,2) 故答案为：(0,2)【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的单调性问题，是基础题 5.关于x 的不等式1mx <的解集为(,)m +∞，则实数m 为________ 【答案】1- 【解析】 【分析】利用一次不等式解集确定端点值即为所对方程根求解即可 详解】由题知m <0,且1x m>，故1m m =，解得m=1-故答案为：1-【点睛】本题考查一次不等式解集，是基础题，注意m符号判断6.已知幂函数()nf x x =为偶函数，且在(0,)+∞上递减，若111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----，则n 可能的值为________ 【答案】2-的【分析】先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可．【详解】111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----幂函数y ＝x n为偶函数，所{2,2}n ∈-，即y ＝x ﹣2，y ＝x 2， 在（0，+∞）上递减，有y ＝x ﹣2， 所以n 的可能值为：﹣2，． 故答案为：﹣2，．【点睛】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 49)＝______.【答案】-13【解析】f x （） 是定义在R 上的奇函数，则有f x f x -=-（）（），则()()4293,f log f log = 当0x ＜ 时，2x f x =（）， 则当当0x > 时，0,x -＜22xxf x f x ---=∴=-（），（），故()()221334219322.3log log f log f log -==-=-=-故答案为：13． 8.函数2()lg(1)f x x =-，集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则图中阴影部分表示的集合为________【答案】(,1](0,1)-∞-U 【解析】 【分析】首先根据对数函数的定义域和值域化简集合A ，B ；由图知阴影部分表示的集合为将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合，然后即可借助数轴求出结果【详解】∵f （x ）＝lg （1﹣x 2），集合A ＝{x |y ＝f （x ）}，B ＝{y |y ＝f （x ）}，∴A ＝{x |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{x |1﹣x 2＞0}＝{x |﹣1＜x ＜1}B ＝{y |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{y |y ≤0} ∴A ∪B ＝{x |x ＜1} A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤0}根据题意，图中阴影部分表示的区域为A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合为：（﹣∞，﹣1]∪（0，1）故答案为：(,1](0,1)-∞-U【点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定． 9.若关于x 的不等式|2|1x a x -+>在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为________ 【答案】2a > 【解析】 【分析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解. 【详解】由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式|21x a x -+恒成立. 当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a ＞-x+1或2x-a ＜x-1， 所以a ＜3x-1或a ＞x+1在[0,1]上恒成立， 所以a<-1或a>2,因为a>0, 综合得a>2. 故答案为：a>2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 10.如果，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和log (1)a y x a =>的图像上，则实数a 的值为________【解析】 【分析】设B （x ，2log a x ），利用BC 平行于x 轴得出C （x 2，2log a x ），利用AB 垂直于x 轴 得出 A （x ，3log a x ），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为log a x ＝x 2﹣x ＝2，求出x ，再求a 即可．【详解】设B （x ，2log a x ），∵BC 平行于x 轴，∴C （x ′，2log a x ）即log a x ′＝2log a x ，∴x ′＝x 2，∴正方形ABCD 边长＝|BC |＝x 2﹣x ＝2，解得x ＝2．由已知，AB 垂直于x 轴，∴A （x ，3log a x ），正方形ABCD 边长＝|AB |＝3log a x ﹣2log a x ＝log a x ＝2，即log a 2＝2，∴a =【点睛】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想．11.设A 、B 是R 的两个子集，对任意x ∈R ，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，01x Bn x B∉⎧=⎨∈⎩，若A B ⊆，则对任意x ∈R ，(1)m n -=________ 【答案】0 【解析】 【分析】由A ⊆B ．由x ∉A 时，m ＝0，可得m （1﹣n ）．x ∈A 时，必有x ∈B ，可得m ＝n ＝1． 【详解】∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m ＝0，m （1﹣n ）＝0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m （1﹣n ）＝0． 综上可得：m （1﹣n ）＝0． 故答案为：0【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是【答案】(,1)-∞ 【解析】【详解】分别作(),y f x y x a ==+图象，由图象可得实数a 的取值范围是(,1)-∞二.选择题13.下列各式中，正确的个数是（ ）（1）{0}∅=，（2）{0}∅⊆，（3）{0}∅∈；（4）0{0}=；（5）0{0}∈； （6）{1}{1,2,3}∈；（7）{1,2}{1,2,3}⊆；（8）{,}{,}a b b a ⊆. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的相关定义逐个判断。

2020-2021学年上海市青浦高中高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．有矩阵32A ⨯、23B ⨯、33C ⨯，下列运算可行的是（ ） A ．AC B ．BACC ．ABCD ．AB -AC【答案】C【解析】利用矩阵乘法的运算法则即可得出答案. 【详解】由矩阵乘法的运算法则可得：AB=32A ⨯23B ⨯=33D ⨯，ABC=33D ⨯33C ⨯=33E ⨯，运算可行则C 选正确；AC=32A ⨯33C ⨯运算不可行，则A 项和D 项都不正确；BA=23B ⨯32A ⨯=22F ⨯，但是22F ⨯33C ⨯运算不可行，则B 选项不正确，所以C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了矩阵乘法的运算法则的应用，属于基础题. 2．下列三阶行列式可展开为a b b c a c deefdf+-的是（ ）A ．111ab c de f - B ．111ab c de f- C ．111ab c de f- D ．111ab c def 【答案】D【解析】根据三阶行列式的求解方法，逐个计算，即可求得结论． 【详解】解：根据三阶行列式的求解方法，可得 111a b cab bc acde ef dfde f-=--- 111ab bc a c a b c de ef d fde f-=-+-111a b ca b b c a cd e fd e e f d f=-+--111a b ca b b c a cd e fd e e f d f=+-故选：D．【点睛】本题考查三阶行列式的求解，解题的关键是掌握三阶行列式的求解方法，属于基础题．3．若()1,2,3,,iA i n=⋯是AOB所在平面内的点，且iOA OB OA OB⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||nOA OA OA OA===⋯=；（2）||iOA的最小值一定是||OB；（3）点A和点i A一定共线；（4）向量OA及iOA在向量OB方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据两个向量的数量积的定义,iOA OB OA OB⋅=⋅为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案.【详解】解：根据两个向量的数量积的定义,iOA OB OA OB⋅=⋅为定值,而||||cos||=||cosi i i iiOA OBOA OB OA OB OA OB OAOB OA OB⋅⋅=⋅<⋅>∴<⋅>,故①不一定成立,②也不一定成立.向量OA及iOA在向量OB的方向上的投影为||OA OBOB⋅,故④正确.()00,i i i iOA OB OA OB OA OA OB AA OB AA OB⋅=⋅∴-⋅=∴⋅=⊥,即点iA A、在一条直线上，如图,故③正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.4．已知向量a 、b ，||1a =，||2b =，若对任意单位向量e ，均有||||6a e b e ⋅+⋅≤，则a b ⋅的最大值为（ ） A ．12B ．22C ．1D ．2【答案】A【解析】由|()|||||||6a b e a e b e a e b e +⋅=⋅+⋅≤⋅+⋅≤，得到|()6a b e +⋅≤∣恒成立，进而求得||6a b +≤，再结合2222a b a b a b +=++⋅，即可求解.【详解】由|()|||||||6a b e a e b e a e b e +⋅=⋅+⋅≤⋅+⋅≤，所以|()6a b e +⋅≤∣恒成立，又由|()cos ,6a b ea b e a b e +⋅=++≤∣，可得||6a b +≤，则2222526a ba b a b a b +=++⋅=+⋅≤，可得12a b ⋅≤. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其应用，其中解答中熟练向量的数量积的运算公式，结合向量的运算法则求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题5．方程组：3232410x y x y -=-⎧⎨++=⎩的增广矩阵是_______【答案】324132---⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】利用增广矩阵的定义求解． 【详解】解：方程组3232410x y x y -=-⎧⎨++=⎩323241x y x y -=-⎧∴⎨+=-⎩的增广矩阵是：324132---⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故答案为324132---⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查增广矩阵的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的定义的合理运用．6．已知(5,4)a =，(3,2)b =，则23a b -的同向单位向量为____________________.【答案】55【解析】先求出向量23a b -的坐标，再计算出模，用23a b -除以它的模可得与它同向的单位向量． 【详解】由题意23a b -(1,2)=，235a b -=，∴23523ab a b-==-．故答案为：． 【点睛】本题考查单位向量的概念，考查向量共线．与向量n 共线的单位向量有两个，一个是同向的n n，另一个是它的相反向量n n-．7．三阶行列式42354112k--的第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =_________【答案】14-【解析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号(1)i j +-为21M ，求出其表达式列出关于k 的方程解之即可． 【详解】解：由题意得3212(1)2211012M k k =-=⨯+⨯=--解得：14=-k ． 故答案为：14-． 【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，属于基础题． 8．已知(3,1)a =-，(1,3)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为_________【解析】根据平面向量投影的定义，求出a 在b 方向上的投影即可． 【详解】 解：(3a =，1)-，(1,3)b =-，∴a 在b 方向上的投影为||cos ,||||||a b a a b a a b <>=⨯⨯||a bb ===【点睛】本题考查了平面向量投影的应用问题，解题时应根据向量投影的定义进行计算即可，属于基础题．9．点P 分有向线段12PP 成定比λ，若1122PP PP =，则λ=_________ 【答案】23-【解析】由题可得()1122PP PP PP -=+，即可求出λ.【详解】∵1122PP PP =，∴()1122PP PP PP -=+，∴1223PP PP =-，∴23λ=-.故答案为：23-. 【点睛】本题考查向量的共线定理应用，属于基础题.10．已知直角坐标平面内的两个向量()()1,2,1,3a b m m ==-+，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一分解成c a b λμ=+，则m 的取值范围是___________ 【答案】{|5}m m ≠【解析】根据已知条件可知, 向量,a b 不共线,从而m 应满足1(3)2(1)0m m ⨯+-⨯-≠,解之可得m 的取值范围. 【详解】因为平面内的任意一个向量c 都可以唯一分解成c a b λμ=+, 所以根据平面向量基本定理可知,向量,a b 不共线, 所以1(3)2(1)0m m ⨯+-⨯-≠,所以5m ≠,所以m 的取值范围是{|5}m m ≠. 故答案为: {|5}m m ≠. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理,向量不共线的坐标表示,属于基础题.11．∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________. 【答案】32【解析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CACD 2+=， 又因AC =1，BC =2，所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=.故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.12．非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状为____________． 【答案】等边三角形【解析】由0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭得到ABC 为等腰三角形，由12AB AC AB AC ⋅=得到角3A π=，从而得到ABC 的形状为等边三角形.【详解】在ABC ∆中，AD 为角A 的平分线，AB AB为AB 方向上的单位向量，AC AC为AC 方向上的单位向量，所以(0)AB AC AD AB AC λλ⎛⎫⎪+=> ⎪⎝⎭， 因为0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，所以AD BC ⊥， 因为AD 既是高，又是角平分线，所以AB AC =， 因为12AB AC ABAC⋅=11||||cos cos 22AB AC AB AC θθ⇒=⇒=，解得：3A π=，所以ABC 为等边三角形，故填：等边三角形.【点睛】本题综合考查单位向量、向量数量积、及平面几何知识的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意向量加法法则的应用.13．如图，在梯形ABCD 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===，点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅的最大值为 ．【答案】8【解析】试题分析：由平面向量数量积知识得，cos '248AN AB AN AB NAB AM AB AM AB ⋅=⋅⋅∠=⋅≤⋅=⨯=【考点】1.平面向量数量积的概念.14．已知点O 是三角形 ABC 的外接圆圆心，且3,4AB AC ==．若存在非零实数,x y ，使得AO x AB y AC =+，且 21x y +=，则cos BAC ∠= .【答案】【解析】【详解】设AC 中点为M ，AO =222ACxAB y xAB y AM +=+, 所以B,O,M 三点共线，因为O 是三角形ABC 的外接圆圆心 所以BM AM ⊥,cos BAC ∠=223ACAMAB AB ==． 15．设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解bx a=-；④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解，其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号) 【答案】①④【解析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案. 【详解】因为a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，则由共面向量定理可得：a b c ，，共面时，有且仅有一对有序实数对(),m n 使得c ma nb =+成立；则由①可化简为()()2c xa xb =-+-，且a bc ，，共面可得有序实数对()2,x x --有唯一解，即方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解正确；由①的分析可得方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则②的说法方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥不正确；化简22220a x a bx b +⋅+=可得()20ax b+=，则()20ax b+=即得b xa =-，因为向量a b ，不共线，所以b xa =-无实数解，即方程22220a x a bx b +⋅+=无实数解，所以③不正确，④正确. 综上可得：①④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了共面向量定理和共线向量的性质的应用，属于一般难度的题. 16．非零向量,m n 的夹角为3π，且满足()0n m λλ=>，向量组123,,x x x 由一个m 和两个n 排列而成，向量组123,,y y y 由两个m 和一个n 排列而成，若112233x y x y x y ⋅+⋅+⋅所有可能值中的最小值为24m ，则λ=__________．【答案】83. 【解析】分析：列出向量组的所有排列，计算所有可能的值，根据最小值列出不等式组求出结果.详解：2cos602m n m n m λ⋅=⨯⨯︒=，222n m λ=，向量组123,,x x x 共有三种情况，即(,,),(,,),(,,)m n n n m n n n m ， 向量组123,,y y y 共有三种情况，即(,,),(,,),(,,)m m n m n m n m m ， 所以112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 所有可能值有2种情况，即2222(1)m n m n m λλ++⋅=++，2332m n m λ⋅=， 所以112233⋅+⋅+⋅x y x y x y 所有可能值中的最小值为24m ，所以2231214λλλλλ⎧++≤⎪⎨⎪++=⎩或2312342λλλλ⎧++≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得83λ=. 故答案为83.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的定义式的运算公式，在解题的过程中，需要将向量组的所有排列都找出来，将所有对应 值都找出来，根据题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得结果.三、解答题17．上海市旅游节刚落下帷幕，在旅游节期间，甲、乙、丙三位市民顾客分别获得一些景区门票的折扣消费券，数量如表1，已知这些景区原价和折扣价如表2（单位：元）. 表1：表2：（1）按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵A和三个景区的门票折扣后价格矩阵B；（2）利用你所学的矩阵知识，计算三位市民各获得多少元折扣？【答案】（1）022301410A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，406080B⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭；（2）三位市民各获得140、100和110元折扣.【解析】本题第（1）题可根据题中的表格写出相应的矩阵；第（2）题可先设三个景区的门票折扣价格矩阵C，然后用这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵去乘矩阵C即可得出．【详解】解：（1）由题意，可知：这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵022301410A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，三个景区的门票折扣后价格矩阵406080B⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭；（2）由题意，可设三个景区的门票折扣价格矩阵203040C⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则022201403013010041040110A C⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．即三位市民各获得140、100和110元折扣．【点睛】本题第（1）题主要考查联系实际写出相关矩阵；第（2）题主要考查矩阵的运算．本题属基础题．18．利用行列式解关于,x y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩. 【答案】当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-.【解析】先求出系数行列式,,x y D D D ，然后讨论m ，从而确定二元一次不等式组的解的情况. 【详解】 依题意()21333m D m m m m m m ==--=-+-，11323x D m m m-==--+-，()212623323y mD m m m m m m -==+=++.（1）当0m ≠且3m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，11x x D D m=⨯=，12y y D D=⨯=-. （2）当0m =时，0,30x D D ==-≠，原方程组无解. （3）当3m =-时，0,0,0x y D D D ===，原方程组有无穷组解.综上所述，当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-.【点睛】本小题主要考查二元一次不等式组的矩阵形式的解法以及应用，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用.19．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）()2,4c =或()2,4-- （2）()5,00,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线. 【详解】解：（1）因为()1,2a =，且//c a ， 则(,2)c a λλλ==，又25c =，所以22(2)20λλ+=，即2λ=±，故2,4c或()2,4--；（2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++，由()1(1)2(2)0a a λb λλ⋅+=⨯++⨯+>，解得53λ>-， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+，解得0λ≠，故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题. 20．在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值； （3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【解析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值.【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心 则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心 得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.21．设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是,i j ，坐标平面上点列()n n A B n N *∈、分别满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②14OB i =且114(1)n n B B i n n +=⨯+；（1）写出2OA 及3OA 的坐标，并求出n OA 的坐标（2）若1n n OA B +∆的面积是n a ，求()n a n N *∈的表达式（3）对于（2）中的n a ，是否存在最大的自然数M ，对一切n *∈N 都有n a M ≥成立？若存在，求出M ，若不存在，说明理由 【答案】（1）()1,2，()2,3，()1,n n -.（2）()2211n n n ++（3）3【解析】（1）利用向量的加法运算写出2OA 和3OA 的坐标，并求出n OA 的坐标；（2）应用向量积来计算三角形的面积，即可求出n a 的表达式；（3）用函数的单调性来算出自然数M 的最大值。

2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（10月份）一、填空题：54分1. 直线2x +3y −1＝0的倾斜角为________．2. 方程组有无穷多解，则a ＝________．3. 直线l 1:3x +y +2＝0与直线l 2:2x −y −3＝0的夹角α＝________．4. 如图，在△ABC 中，＝2是BD 上一点，且＝λ+(λ∈R)，则λ的值等于________．5. 已知|a →|=1，|b →|=2，a →与b →的夹角为60∘，则a →+b →在a →方向上的投影为________．6. 已知点P 在直线x +2y −1＝0上，点Q 在直线x +2y +3＝0，PQ 的中点为M(x 0, y 0)，且−1≤y 0−x 0≤7，则的取值范围是________．7. 若直线l 1:ax +2y +6=0与直线l 2:x +(a −1)y +(a 2−1)=0平行则实数a =________．8. 已知a ，b ∈R +，若直线x +2y +3=0与直线(a −1)x +by =2互相垂直，则ab 的最大值等于________．9. 点(5, 2)到直线(m −1)x +(2m −1)y ＝m −5的距离的最大值为________．10. 定义为向量到向量的一个矩阵变换，其中n ∈N ∗，O 是坐标原点，已知，则的坐标为________．11. 已知直线2x +y +2+λ(2−y)＝0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，当λ∈(1, +∞)时，S(λ)的最小值是________．12. 已知直角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，I 是△ABC 的内心（即三个内角平分线所在直线的交点），P 是△IBC 内部（不含边界）的动点，若，则λ+μ的取值范围是________．二、选择题：20分设a →，b →是非零向量，“a →⋅b →=|a →||b →|”是“a → // b →”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件已知数列{a n }的通项公式a n ={(−1)n ,1≤n ≤2019(12)n−2019,n ≥2020 ，前n 项和为S n ，则关于数列{a n }、{s n }的极限，下面判断正确的是（ ） A.数列{a n }的极限不存在、{s n }的极限存在 B.数列{a n }的极限存在、{s n }的极限不存在 C.数列{a n }、{s n }的极限均存在，但极限值不相等 D.数列{a n }、{s n }的极限均存在，且极限值相等过点P(1, 3)作直线l ，l 经过点A(a, 0)和B(0, b)，且a ，b ∈N +，则这样的直线l 的条数为（ ） A.1 B.2C.3D.42017年中学数学信息技术研讨会，谈到了图象计算器在数学教学中的应用．如图输入曲线方程|y −8|+(|x −1|+|x −6|−5)2=0，计算器显示线段AB ，则线段CD 的曲线方程为（ ）A.|x −y +3|+(|x −2|+|x −4|−2)2=0B.|x +y +3|+(|x −2|+|x −4|−2)2=0C.|x −y +3|+(|x −2|+|x −4|+2)2=0D.|x +y +3|+(|x +2|+|x −4|−2)2=0 三、解答题：76分已知函数．（1）求不等式f(x)≤0的解集；（2）若不等式f(x)≥a −x 在x ∈[2, 3]上恒有解，求实数a 的取值范围．已知a →=(3, −1)，a →⋅b →=−5，c →=xa →+(1−x)b →． (1)若a →⊥c →，求实数x 的值；(2)若|b →|=√5，求|c →|的最小值．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2, 0)，B(10, 0)，C(11, 3)，D(10, 6)．（1）证明：存在点P 使得PA ＝PB ＝PC ＝PD ，并求P 的坐标；（2）过点C的直线l将四边形ABCD分成周长相等的两部分，求该直线l的方程．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，∠AOB＝60∘．（1）若AB过点，当△OAB的面积取最小值时，求直线AB的斜率；（2）若AB＝4，求△OAB的面积的最大值；（3）设|OA|＝a，|OB|＝b，若，求证：直线AB过一定点，并求出此定点坐标．在平面直角坐标系内，对于任意两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，定义它们之间的“曼哈顿距离”为|AB|＝|x1−x2|+|y1−y2|．（1）求线段x+y＝2(x≥0, y≥0)上一点M(x, y)到原点O(0, 0)的“曼哈顿距离”；（2）求所有到定点Q(a, b)的“曼哈顿距离”均为2的动点围成的图形的周长；（3）众所周知，对于“欧几里得距离”，有如下三个正确的结论：①对于平面上任意三点A，B，C，都有|AB|≤|AC|+|CB|；②对于平面上不在同一直线上的任意三点A，B，C，若|AB|2＝|AC|2+|CB|2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；③对于平面上两个不同的定点A，B，若动点P满足|PA|＝|PB|，则动点P的轨迹是线段AB的垂直平分线；上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确？说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（10月份）一、填空题：54分1.【答案】π−arctan【考点】直线的倾斜角【解析】由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角．【解答】直线2x+3y−1＝0的斜率k＝-，设其倾斜角为θ(θ∈[0, π)），则tanθ＝-，∴θ＝π−arctan．2.【答案】−2【考点】不定方程和方程组【解析】首先由系数行列式等于0求得a，然后再验证是否有无穷多解．【解答】由题意，知系数行列式，解得a＝−2，当a＝−2时，方程6x+ay+2z＝2为6x−2y+2z＝2，即3x−y+z＝1与第一个方程相同，此时方程组有无穷多解．故答室为：−23.【答案】【考点】两直线的夹角 【解析】先求出直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式，求得结果． 【解答】直线l 1:3x +y +2＝0的斜率为−3，直线l 2:2x −y −3＝0的斜率为2，设它们的夹角为α，则tan α＝||＝1，∴ α＝，4. 【答案】【考点】平面向量的基本定理 【解析】先由E 在BD 上，利用平面向量共线定理可设，然后再根据三角形法则求出向量AE ，再和所给的已知的向量AE 相等即可求解． 【解答】因为E 在BD 上，所以可设，则＝＝＝＝＝(1−μ)+，又＝，所以，解得，5.【答案】 2【考点】平面向量数量积数量积表示两个向量的夹角 【解析】根据|a →|=1，|b →|=2，a →与b →的夹角为60∘，算出|a →+b →|=√7且(a →+b →)⋅a →=2．再设a →+b →与a →的夹角为θ，结合数量积公式和向量投影的定义，算出|a →+b →|cos θ的值，即可得到向量a →+b →在a →方向上的投影值． 【解答】解：∵ |a →|=1，|b →|=2，a →与b →的夹角为60∘， ∴ a →⋅b →=a →|×|b →|×cos 60∘=1由此可得(a →+b →)2=|a →|2+2a →⋅b →+|b →|2=1+2+4=7 ∴ |a →+b →|=√7．设a →+b →与a →的夹角为θ，则 ∵ (a →+b →)⋅a →=|a →|2+a →⋅b →=2 ∴ cos θ=(a →+b →)⋅a→|a →+b →|⋅|a →|=2√77， 可得向量a →+b →在a →方向上的投影为|a →+b →|cos θ=√7×2√77=2故答案为：26. 【答案】(−∞, −2]∪[−，+∞)【考点】 轨迹方程 【解析】根据直线平行的性质求出M 的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可． 【解答】∵ 直线x +2y −1＝0与x +2y +3＝0平行，∴ 点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线， 其方程为x +2y +1＝0，即点M(x 0, y 0)满足x 0+2y 0+1＝0，而满足不等式−1≤y 0−x 0≤7， 如图，联立，解得A（，），联立，解得B(−5, 2)，的几何意义为线段AB上的点与原点连线的斜率，∵k AO＝−2，，∴的取值范围是(−∞, −2]∪[−，+∞)．7.【答案】−1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】由直线的平行关系可得a的方程，解方程验证可得．【解答】解：∵直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a−1)y+(a2−1)=0平行，∴a(a−1)−2×1=0，解得a=−1或a=2，经验证当a=2时，直线重合，a=−1符合题意，故答案为：−18.【答案】18【考点】基本不等式在最值问题中的应用两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得(a−1)+2b＝0，变形可得a+2b＝1，进而结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，若直线x+2y+3=0与直线(a−1)x+by=2互相垂直，则有(a−1)+2b=0，变形可得a+2b=1，则ab=12(a×2b)≤12×(a+2b2)2=18，当且仅当a=2b=12时，等号成立，即ab的最大值为18.故答案为：18.9.【答案】2√13【考点】点到直线的距离公式【解析】利用直线系方程求出动直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．【解答】化直线(m−1)x+(2m−1)y＝m−5为m(x+2y−1)−x−y+5＝0，联立{x+2y−1=0−x−y+5=0，解得{x=9y=−4．∴直线(m−1)x+(2m−1)y＝m−5过定点(9, −4)，∴点(5, 2)到直线(m−1)x+(2m−1)y＝m−5的距离的最大值为√(5−9)2+(2+4)2=2√13．10.【答案】(2, 4038)【考点】矩阵变换的性质【解析】根据定义可得到两向量之间的关系，由，可得向量的横坐标不变，纵坐标构成以0为首项，2为公比的等差数列，结合等差数列的通项公式即可求出所求．【解答】由得，∴y n+1−y n＝x n，x n＝x1，由，可得y n+1−y n＝2，向量的横坐标不变，纵坐标构成以0为首项，2为公比的等差数列，∴y n＝2(n−1)，∴y2020＝2×2019＝4038，∴的坐标为(2, 4038)．11.【答案】8【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】求出直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与坐标轴的交点A、B的坐标，计算△AOB的面积，求出最小值即可．【解答】直线2x+y+2+λ(2−y)＝0中，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝−λ−1，所以直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与坐标轴的交点为A(−λ−1, 0)，B(0，），其中λ∈(1, +∞)，所以△AOB的面积为S(λ)＝×|−λ−1|×||＝＝λ−1+ +4≥2×+4＝8，当且仅当λ−1＝，即λ＝3时取等号．所以S(λ)的最小值是8．12.【答案】（，1)【考点】平面向量的基本定理【解析】由已知可得三角形ABC是直角三角形，由此可建立直角坐标系，画出图象，先求出A，B，C三点的坐标，由此可求出三边所在的直线方程，再设出点P的坐标(x, y)，利用已知可得λ＝，，所以λ+μ可用x，y表示，再利用线性规划求出x，y满足的区域，即可求出λ+μ的取值范围．【解答】根据已知建立如图所示的平面直角坐标系：则A(0, 0)，B(3, 0)，C(0, 4)，因为I是三角形ABC的内心，所以由面积相等可得：(AC+AB+BC)×r＝AB⋅AC，即(3+4+5)r＝3×4，则r＝1，所以I(1, 1)，＝(3, 0)，＝(0, 4)，直线CI 的方程为：y ＝−3x +4，即3x +y −4＝0，直线BI 的方程为：y ＝-(x −3)，即x +2y −3＝0，直线BC 的方程为：y ＝-x +4，即4x +3y −12＝0，设点P(x, y)，则P 满足…①，因为，即(x, y)＝λ(3, 0)+μ(0, 4)，所以，则，所以目标函数z ＝λ+μ＝，可化为y ＝-…②，不等式组①表示的区域如上图所示，可知直线②过I(1, 1)时，z min ＝，过点C(0, 4)时，z max ＝1，所以λ+μ的取值范围为（），二、选择题：20分 【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 平面向量数量积 平行向量的性质 【解析】由a →⋅b →=|a →||b →|便可得到a →，b →夹角为0，从而得到a → // b →，而a → // b →并不能得到a →夹角为0，从而得不到a →⋅b →=|a →||b →|，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项． 【解答】解：①a →⋅b →=|a →||b →|cos <a →，b →>；∴ a →⋅b →=|a →||b →|时，cos <a →，b →>=1； ∴ <a →，b →>=0； ∴ a → // b →；∴ “a →⋅b →=|a →||b →|”是“a → // b →”的充分条件； ②a → // b →时，a →，b →的夹角为0或π； ∴ a →⋅b →=|a →||b →|，或−|a →||b →|； 即a → // b →得不到a →⋅b →=|a →||b →|；∴ “a →⋅b →=|a →||b →|”不是“a → // b →”的必要条件；∴ 综上可得“a →⋅b →=|a →||b →|”是“a → // b →”的充分不必要条件． 故选A ． 【答案】 D【考点】 数列的极限 数列递推式 【解析】根据当n ≥2020时，S n =−(12)n−2019，当n →∞时，S n →0，当n →∞时，a n →0，即可得得到答案． 【解答】∵ a n ={(−1)n ,1≤n ≤2019(12)n−2019,n ≥2020 ，∴ 当n →∞时，a n →0，∵ 当n ≥2020时，S n =−1+12(1−12n−2019)1−12=−(12)n−2019，∴ 当n →∞时，S n →0．∴ 数列{a n }、{s n }的极限均存在，且极限值相等． 【答案】 B【考点】直线的截距式方程 【解析】设出直线方程的截距式，把点(1, 3)代入直线方程，变形得 3a ＝(a −1)b ，检验a ＝1时的情况，当a ≥2时，根据b ＝3+ 求a 、b 的值．【解答】∵ 直线l 过点(a, 0)和(0, b)，可设直线l 的方程为：＝1，∵直线l过点(1, 3)，∴＝1，即3a＝(a−1)b，又a∈N∗，b∈N∗，∴当a＝1时，b无解，此时，直线和x轴垂直，和y轴无交点，直线不过(0, b)，故a＝1时不满足条件．当a≥2时，b＝＝3+①，当a＝2时，b＝6，当a＝4时，b＝4，当a>4时，由①知，满足条件的正整数b不存在，综上，满足条件的直线由2条，【答案】A【考点】曲线与方程【解析】由线段AB所对应方程可知，输入的曲线方程为|kx−y+b|+(|x−m|+|x−n|−n+ m)2=0型，其中kx−y+b=0为线段所在直线方程，m，n分别为线段两端点的横坐标，然后结合线段CD得答案．【解答】由曲线方程结合图形可知：输入的曲线方程为|kx−y+b|+(|x−m|+|x−n|−n+m)2=0，其中kx−y+b=0为线段所在直线方程，m，n分别为线段两端点的横坐标，则线段CD的曲线方程为|x−y+3|+(|x−2|+|x−4|−2)2=0．三、解答题：76分【答案】＝(x+1)−3＝−2．∵不等式f(x)≤0，∴−2≤0，解得x<0或x，∴不等式f(x)≤0的解集为{x|x<0或x}．不等式f(x)≥a−x在x∈[2, 3]上恒有解，∴a≤x+f(x)在x∈[2, 3]上恒有解，∴故a小于在x∈[2, 3]时f(x)最小值，易知f(x)在此区间单调递增，故其最小值为，实数a的取值范围a≥3.5．【考点】二阶行列式的定义函数恒成立问题【解析】第一小问行列式按第二行展开即可；第二小问转化为恒成立问题 【解答】＝(x +1)−3＝−2．∵ 不等式f(x)≤0，∴ −2≤0，解得x <0或x ，∴ 不等式f(x)≤0的解集为{x|x <0或x }．不等式f(x)≥a −x 在x ∈[2, 3]上恒有解， ∴ a ≤x +f(x)在x ∈[2, 3]上恒有解，∴ 故a 小于在x ∈[2, 3]时f(x)最小值，易知f(x)在此区间单调递增，故其最小值为，实数a 的取值范围a ≥3.5． 【答案】解：(1)∵ a →=(3, −1)，∴ |a →|=√10， 又a →⋅b →=−5，c →=xa →+(1−x)b →，且a →⊥c →， ∴ a →⋅c →=a →⋅(xa →+(1−x)b →)=0，即x|a →|2+(1−x)a →⋅b →=10x −5(1−x)=0， 解得：x =13.(2)由c →=xa →+(1−x)b →，得： |c →|2=[xa →+(1−x)b →]2=x 2|a →|2+2x(1−x)a →⋅b →+(1−x)2|b →|2 =10x 2−10x(1−x)+5(1−x)2 =5(5x 2−4x +1)，∴ 当x =25时，|c →|2min =1，则|c →|的最小值为1. 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算向量的模两向量的和或差的模的最值 【解析】(Ⅰ)由已知向量的坐标求得|a →|，结合a →⊥c →列关于x 的方程求得x 值； (Ⅱ)求出|c →|2的最小值，开方得答案． 【解答】解：(1)∵ a →=(3, −1)，∴ |a →|=√10， 又a →⋅b →=−5，c →=xa →+(1−x)b →，且a →⊥c →， ∴ a →⋅c →=a →⋅(xa →+(1−x)b →)=0，即x|a →|2+(1−x)a →⋅b →=10x −5(1−x)=0， 解得：x =13.(2)由c →=xa →+(1−x)b →，得： |c →|2=[xa →+(1−x)b →]2=x 2|a →|2+2x(1−x)a →⋅b →+(1−x)2|b →|2 =10x 2−10x(1−x)+5(1−x)2 =5(5x 2−4x +1)，∴ 当x =25时，|c →|2min =1，则|c →|的最小值为1.【答案】平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2, 0)，B(10, 0)，C(11, 3)，D(10, 6)． 所以，，故，所以AB ⊥BD ，由k AC ⋅k CD ＝•＝−1，可得AC ⊥CD ，点P 到A 、B 、C 、D 的距离满足PA ＝PB ＝PC ＝PD ， 所以点P 为四边形ABCD 的外接圆的圆心， 所以AD 为外接圆的直径， 所以点P 为AD 的中点， 故P(6, 3)．由两点间的距离公式，整理得AB ＝8，BC ＝CD ＝，AD ＝10．由于过点C 的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等时的两部分，设直线l与AD交于E，所以＝9，设点E(x, y)则＝(10−x, 6−y)，，所以，解得，所以E（），所以直线l的方程为12x−41y−9＝0．【考点】两条直线的交点坐标【解析】（1）直接利用直径和所对的圆周角之间的关系和圆的内接四边形的关系求出结果，并求出点P的坐标；（2）利用两点间的距离公式和向量共线定理的应用及直线的方程的应用求出结果．【解答】平面直角坐标系xOy中，已知点A(2, 0)，B(10, 0)，C(11, 3)，D(10, 6)．所以，，故，所以AB⊥BD，由k AC⋅k CD＝•＝−1，可得AC⊥CD，点P到A、B、C、D的距离满足PA＝PB＝PC＝PD，所以点P为四边形ABCD的外接圆的圆心，所以AD为外接圆的直径，所以点P为AD的中点，故P(6, 3)．由两点间的距离公式，整理得AB＝8，BC＝CD＝，AD＝10．由于过点C的直线l将四边形ABCD分成周长相等时的两部分，设直线l与AD交于E，所以＝9，设点E(x, y)则＝(10−x, 6−y)，，所以，解得，所以E（），所以直线l的方程为12x−41y−9＝0．【答案】因为∠AOB＝60∘，则直线OB的斜率为，所以直线OB的方程为，①当直线AB垂直于x轴时，则；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，令y＝0，解得x＝-+3，即A点横坐标为x A＝-+3，联立，解得y＝，即B点纵坐标为y B＝，由x A>0，得k<0或k>；由y B>0，得k<或k>，所以k<0或k>，所以△OAB面积S＝x A⋅y B＝•(3−）•＝••＝•，令t＝k−1，则t∈(−∞, −1)∪(2, +∞)，则S＝•＝•＝•，因为∈(−1, 0)∪(0，），所以当＝-时，面积最小，此时t＝−4，即k−1＝−4，则k＝-，所以△OAB的面积最小值时，AB所在直线的斜率为-．下面用弧度表示角，设∠OAB＝θ(0<θ<），则∠OBA＝−θ，由正弦定理，得＝＝，所以OA＝sin（−θ)，OB＝sinθ，因此S△OAB＝•OA⋅OB⋅sin＝sinθ⋅sin（−θ)＝sinθ⋅（cosθ+sinθ)＝•（sinθcosθ+sin2θ)＝•（+）＝[2sin(2θ−）+1]当2θ−＝，即θ＝时，△OAB的面积最大，最大值为4．因为OA＝a，OB＝b，∠AOB＝，所以A(a, 0)，B（，），所以当直线AB斜率不存在时，即a＝时，直线AB方程为x＝a①，当直线AB斜率存在时，即a≠时，直线AB的方程为y＝(x−a)，整理得ay+（x−）b−＝0②，①满足②，所以a>0，b>0②都成立，同时除以ab，得•y+（x−）-＝0③，又因为+＝4，所以＝4−代入③整理得，（x−）+4y−＝0，对于任意a>0都成立，所以，解得，所以直线AB过定点，定点坐标为（，）．【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】（1）①当直线AB垂直于x轴时，求出B点坐标得三角形面积，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：，求出x A，y B，由x A>0，y B>0，解得k的取值范围，计算出面积S＝x A⋅y B，令t＝k−1，换元后利用函数的性质求得S取最小值时k的值．（2）设∠OAB＝θ(0<θ<），则∠OBA＝−θ，用正弦定理表示出OA，OB，把S△OAB表示为θ的函数，由三角函数知识求得最大值．（3）写出A，B，坐标，直线AB斜率不存在时，写出直线AB方程；直线AB斜率存在时，写出直线AB的方程，可得斜率不存在时方程也适合此式，代入＝4−，化为的方程，由它关于a恒成立可得的定点坐标．【解答】因为∠AOB＝60∘，则直线OB的斜率为，所以直线OB的方程为，①当直线AB垂直于x轴时，则；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，令y＝0，解得x＝-+3，即A点横坐标为x A＝-+3，联立，解得y＝，即B点纵坐标为y B＝，由x A>0，得k<0或k>；由y B>0，得k<或k>，所以k<0或k>，所以△OAB面积S＝x A⋅y B＝•(3−）•＝••＝•，令t＝k−1，则t∈(−∞, −1)∪(2, +∞)，则S＝•＝•＝•，因为∈(−1, 0)∪(0，），所以当＝-时，面积最小，此时t＝−4，即k−1＝−4，则k＝-，所以△OAB的面积最小值时，AB所在直线的斜率为-．下面用弧度表示角，设∠OAB＝θ(0<θ<），则∠OBA＝−θ，由正弦定理，得＝＝，所以OA＝sin（−θ)，OB＝sinθ，因此S△OAB＝•OA⋅OB⋅sin＝sinθ⋅sin（−θ)＝sinθ⋅（cosθ+sinθ)＝•（sinθcosθ+sin2θ)＝•（+）＝[2sin(2θ−）+1]当2θ−＝，即θ＝时，△OAB的面积最大，最大值为4．因为OA＝a，OB＝b，∠AOB＝，所以A(a, 0)，B（，），所以当直线AB斜率不存在时，即a＝时，直线AB方程为x＝a①，当直线AB斜率存在时，即a≠时，直线AB的方程为y＝(x−a)，整理得ay+（x−）b−＝0②，①满足②，所以a>0，b>0②都成立，同时除以ab，得•y+（x−）-＝0③，又因为+＝4，所以＝4−代入③整理得，（x−）+4y−＝0，对于任意a>0都成立，所以，解得，所以直线AB过定点，定点坐标为（，）．【答案】由题意：线段x+y＝2(x≥0, y≥0)上一点M(x, y)到原点O(0, 0)的“曼哈顿距离”为：|OM|＝|x−0|+|y−0|＝x+y＝2；设点P(x, y)到定点Q(a, b)的“曼哈顿距离”为2，则：①当x≥a，y≥b时，|PQ|＝|x−a|+|y−b|＝x−a+y−b＝2，此时为线段y＝−x+a+b+2(x≥a, y≥b)，②当x≥a，y<b时，|PQ|＝|x−a|+|y−b|＝x−a−y+b＝2，此时为线段y＝x−a+b−2(x≥a, y<b)，③当x<a，y≥b时，|PQ|＝|x−a|+|y−b|＝−x+a+y−b＝2，此时为线段y＝x−a+b+2(x<a, y≥b)，④当x<a，y<b时，|PQ|＝|x−a|+|y−b|＝−x+a−y+b＝2，此时为线段y＝−x+a+b−2(x<a, y<b)，易得围成的图形的形状为以(a±2, b)，(a, b±2)为顶点的正方形，故周长为C＝4×＝8；①设A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则|AB|＝|x1−x2|+|y1−y2|，|AC|＝|x1−x3|+|y1−y3|，|BC|＝|x2−x3|+|y2−y3|，根据绝对值三角不等式可得：|x1−x3|+|x2−x3|≥|x1−x3−x2+x3|＝|x1−x2|，同理：|y1−y3|+|y2−y3|≥|y1−y3−y2+y3|＝|y1−y2|，故|x1−x3|+|y1−y3|+|x2−x3|+|y2−y3|≥|x1−x2|+|y1−y2|，即|AC|+|BC|≥|AB|成立，故①正确；②设A(−1, 0)，B(1, 0)，C(0，−1)，则|AB|＝|1−(−1)|+|0−0|＝2，|CA|＝|0−(−1)|+|−1−0|＝，|CB|＝|0−1|+|−1−0|＝，不满足“欧几里得距离”|AB|2＝|AC|2+|CB|2，但满足“曼哈顿距离”，故②错误；③设A(−2, −1)，B(2, 1)，P(1, −1)，则|PA|＝|1−(−2)|+|−1−(−1)|＝3，|PB|＝|1−2|+|−1−1|＝3，满足“曼哈顿距离”，但P点不在AB的垂直平分线上，故③错误；综上：①正确；②错误；③错误．【考点】轨迹方程【解析】（1）根据“曼哈顿距离”的定义直接求解即可；（2）设点P(x, y)到定点Q(a, b)的距离为2，再根据定义任意两点A(x1, y1)，B(x2, y2)的距离|AB||＝|x1−x2|+|y1−y2|分4种情况求解即可；（3）直接证明或举出反例判断即可．【解答】由题意：线段x+y＝2(x≥0, y≥0)上一点M(x, y)到原点O(0, 0)的“曼哈顿距离”为：|OM|＝|x−0|+|y−0|＝x+y＝2；设点P(x, y)到定点Q(a, b)的“曼哈顿距离”为2，则：①当x≥a，y≥b时，|PQ|＝|x−a|+|y−b|＝x−a+y−b＝2，此时为线段y＝−x+a+b+2(x≥a, y≥b)，②当x≥a，y<b时，|PQ|＝|x−a|+|y−b|＝x−a−y+b＝2，此时为线段y＝x−a+b−2(x≥a, y<b)，③当x<a，y≥b时，|PQ|＝|x−a|+|y−b|＝−x+a+y−b＝2，此时为线段y＝x−a+b+2(x<a, y≥b)，④当x<a，y<b时，|PQ|＝|x−a|+|y−b|＝−x+a−y+b＝2，此时为线段y＝−x+a+b−2(x<a, y<b)，易得围成的图形的形状为以(a±2, b)，(a, b±2)为顶点的正方形，故周长为C＝4×＝8；①设A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则|AB|＝|x1−x2|+|y1−y2|，|AC|＝|x1−x3|+|y1−y3|，|BC|＝|x2−x3|+|y2−y3|，根据绝对值三角不等式可得：|x1−x3|+|x2−x3|≥|x1−x3−x2+x3|＝|x1−x2|，同理：|y1−y3|+|y2−y3|≥|y1−y3−y2+y3|＝|y1−y2|，故|x1−x3|+|y1−y3|+|x2−x3|+|y2−y3|≥|x1−x2|+|y1−y2|，即|AC|+|BC|≥|AB|成立，故①正确；②设A(−1, 0)，B(1, 0)，C(0，−1)，则|AB|＝|1−(−1)|+|0−0|＝2，|CA|＝|0−(−1)|+|−1−0|＝，|CB|＝|0−1|+|−1−0|＝，不满足“欧几里得距离”|AB|2＝|AC|2+|CB|2，但满足“曼哈顿距离”，故②错误；③设A(−2, −1)，B(2, 1)，P(1, −1)，则|PA|＝|1−(−2)|+|−1−(−1)|＝3，|PB|＝|1−2|+|−1−1|＝3，满足“曼哈顿距离”，但P点不在AB的垂直平分线上，故③错误；综上：①正确；②错误；③错误．。

2020届上海市行知中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列各式中，正确的个数是（ ）（1）{0}∅=，（2）{0}∅⊆，（3）{0}∅∈；（4）{}00=；（5）{}00∈； （6）{}{}11,2,3∈；（7）{}{}1,21,2,3⊆；（8）{}{},,a b b a ⊆. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据集合的相关定义逐个判断。

【详解】∅表示空集，没有元素，{}0有一个元素，则{}0∅≠，故（1）错误空集是任何集合的子集，故（2）正确∅和{}0都表示集合，故（3）错误0表示元素，{}0表示集合，故（4）错误{}00∈，故（5）正确{}1，{}12,3，都表示集合，故（6）错误 {}1,2中的元素都是{}1,2,3中的元素，故（7）正确由于集合的元素具有无序性，故{}{},,a b b a ⊆，故（8）正确 综上，正确的个数是4个 故选D 【点睛】本题主要考查了空集的辨析，一定要运用定义来进行判断，较为基础。

2．设110b a<<，则下列不等式恒成立的是 A ．a b >B ．aa b b<- C ．33332b a a b+>D ．11||||b a < 【答案】C【解析】利用不等式的性质，合理推理，即可求解，得到答案. 【详解】 因为110b a<<，所以0a b <<，所以A 项不正确； 因为0a b <<，所以0ab>，0a b -<，则a a b b >-，所以B 不正确；因为0a b <<，则33330,0b a a b >>，所以3333333322b a b a a b a b +≥⋅=， 又因为0a b <<，则3333b a a b≠，所以等号不成立，所以C 正确；由0a b <<，所以11||||b a >，所以D 错误. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．已知是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“为[0,1]上的增函数”是“为[3，4]上的减函数”的A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件 【答案】D 【解析】函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.4．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个函数()f x 满足：① {()|}T f x x S =∈；② 对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合为“S 到T 的保序同构”，以下集合对不是“A 到B 的保序同构”的是（ ） A.,A B *==ΝNB.{}|13A x x =-≤≤，{}|8010B x x x ==-≤≤或C.{}|01A x x =<<，B =RD.A =Z ，B =Q【答案】D【解析】由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数y ＝f （x ）为单调增函数，对题目给出的4个选项中的集合逐一分析看是否能找到这样的函数y ＝f （x ）即可． 【详解】对于A 中的两个集合，可取函数f （x ）＝x -1，x ∈N *，满足：（i ）B ＝{f （x ）|x ∈A }；（ii ）对任意x 1，x 2∈A ，当x 1＜x 2时，恒有f （x 1）＜f （x 2），故A 是“保序同构”；对于B 中的两个集合，可取函数()8,155,1322x f x x x -=-⎧⎪=⎨+-<≤⎪⎩ 满足题意,是“保序同构”； 对于C 中的两个集合，可取函数f （x ）2tan x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0＜x ＜1），是“保序同构”．利用排除法可知选：D 故选：D ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题．二、填空题5．若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =________【答案】{5,2,1}【解析】根据题意，分析集合A 可得A 中的元素，将其元素代入y ＝x 2+1中，计算可得y 的值，即可得B 的元素，用列举法表示即可得答案． 【详解】根据题意，A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， 对于集合B ＝{y |y ＝x 2+1，x ∈A }， 当x ＝±2时，y ＝5， 当x ＝±1时，y ＝2，当x ＝0时，y ＝1； 故答案为：{5,2,1} 【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B 中x 所取的值为A 中的元素且必须用列举法表示． 6．命题“如果2x >且2y >，那么4x y +>”的否命题是________命题（填真或假） 【答案】假【解析】判断逆命题的真假，再判断否命题即可． 【详解】“如果x ＞2且y ＞2，那么x +y ＞4”的逆命题是：“如果4x y +>那么2x >且2y >”是假命题，例如4,1x y ==，又命题的否命题与逆命题同真假，则否命题为假命题 故答案为：假 【点睛】本题考查四种命题的形式及真假，注意否命题与逆命题真假相同的应用，属于基础题． 7．不等式2log 2x ≤的解集为________ 【答案】(0,4]【解析】利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集． 【详解】由题22log log 404x x ≤∴<≤ 故答案为：(0,4] 【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目． 8．已知一元二次函数()f x 满足(0)(2)f f =，若()f x 在区间[,1]2aa +上不单调，则a 的取值范围是________ 【答案】(0,2)【解析】由f （x ）在区间[,1]2a a +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a ，解不等式可求a 的范围 【详解】由f （x ）在区间[,1]2a a +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a，解不等式可得a 的取值范围是(0,2) 故答案为：(0,2) 【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的单调性问题，是基础题 9．关于x 的不等式1mx <的解集为(,)m +∞，则实数m 为________ 【答案】1-【解析】利用一次不等式解集确定端点值即为所对方程根求解即可 【详解】 由题知m <0,且1x m>，故1m m =，解得m=1-故答案为：1- 【点睛】本题考查一次不等式解集，是基础题，注意m 的符号判断 10．已知幂函数()n f x x =为偶函数，且在(0,)+∞上递减，若111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----，则n 可能的值为________【答案】2-【解析】先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可． 【详解】111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----幂函数y ＝x n 为偶函数，所{2,2}n ∈-，即y ＝x ﹣2，y ＝x 2，在（0，+∞）上递减，有y ＝x ﹣2， 所以n 的可能值为：﹣2，． 故答案为：﹣2，． 【点睛】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝______. 【答案】-13【解析】f x （） 是定义在R 上的奇函数，则有f x f x -=-（）（），则()()4293,f log f log = 当0x ＜ 时，2x f x =（）， 则当当0x > 时，0,x -＜22x x f x f x ---=∴=-（），（），故()()221334219322.3log log f log f log -==-=-=-故答案为：13． 12．函数2()lg(1)f x x =-，集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则图中阴影部分表示的集合为________【答案】(,1](0,1)-∞-【解析】首先根据对数函数的定义域和值域化简集合A ，B ；由图知阴影部分表示的集合为将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合，然后即可借助数轴求出结果 【详解】∵f （x ）＝lg （1﹣x 2），集合A ＝{x |y ＝f （x ）}，B ＝{y |y ＝f （x ）}， ∴A ＝{x |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{x |1﹣x 2＞0}＝{x |﹣1＜x ＜1} B ＝{y |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{y |y ≤0} ∴A ∪B ＝{x |x ＜1} A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤0}根据题意，图中阴影部分表示的区域为A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合为：（﹣∞，﹣1]∪（0，1） 故答案为：(,1](0,1)-∞- 【点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．13．若关于x 的不等式|21x a x -+在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为________ 【答案】2a >【解析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解. 【详解】 由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式|21x a x -+恒成立. 当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a ＞-x+1或2x-a ＜x-1， 所以a ＜3x-1或a ＞x+1在[0,1]上恒成立， 所以a<-1或a>2,因为a>0, 综合得a>2. 故答案为：a>2 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．如果，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和log (1)a y x a =>的图像上，则实数a 的值为________2【解析】设B （x ，2log a x ），利用BC 平行于x 轴得出C （x 2，2log a x ），利用AB 垂直于x 轴 得出 A （x ，3log a x ），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为log a x ＝x 2﹣x ＝2，求出x ，再求a 即可． 【详解】设B （x ，2log a x ），∵BC 平行于x 轴，∴C （x ′，2log a x ）即log a x ′＝2log a x ，∴x ′＝x 2， ∴正方形ABCD 边长＝|BC |＝x 2﹣x ＝2，解得x ＝2．由已知，AB 垂直于x 轴，∴A （x ，3log a x ），正方形ABCD 边长＝|AB |＝3log a x ﹣2log a x ＝log a x ＝2，即log a 2＝2，∴a 2=2 【点睛】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想．15．设A 、B 是R 的两个子集，对任意x ∈R ，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，01x Bn x B∉⎧=⎨∈⎩，若A B ⊆，则对任意x ∈R ，(1)m n -=________ 【答案】0【解析】由A ⊆B ．由x ∉A 时，m ＝0，可得m （1﹣n ）．x ∈A 时，必有x ∈B ，可得m ＝n ＝1． 【详解】∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m ＝0，m （1﹣n ）＝0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m （1﹣n ）＝0． 综上可得：m （1﹣n ）＝0． 故答案为：0 【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是【答案】(,1)-∞ 【解析】【详解】分别作(),y f x y x a ==+图象，由图象可得实数a 的取值范围是(,1)-∞三、解答题17．已知()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+.（1）求1()f x -；（2）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围；【答案】（1）12()log (1)f x x -=+（1x >-）；（2）[0,1].【解析】（1）利用反函数求法求解解析式及定义域即可（2）把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式； 【详解】（1）由y ＝2x ﹣1得2x ＝y +1，∴x ＝log 2（y +1） ∴f ﹣1（x ）＝log 2（x +1）（x ＞﹣1）（2）由f ﹣1（x ）≤g （x ）得log 2（x +1）≤log 4（3x +1）∴log 4（x +1）2≤log 4（3x +1）∴210310(1)31x x x x +⎧⎪+⎨⎪+≤+⎩＞＞得01x ≤≤ 【点睛】本题考查反函数的求法和函数的值域，属于对数函数的综合题，要会求一些简单函数的反函数，掌握有关对数函数的值域的求法，属中档题．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，4AP BC ==，30ABC ∠=，D ，E 分别是BC ，AP 的中点.（1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成的角为θ，求tan θ的值. 【答案】（183；（2）15tan θ=. 【解析】（1）三棱锥P ﹣ABC 中，由P A ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，利用V P ﹣ABC 13ABCS =•P A能求出三棱锥P ﹣ABC 的体积．（2）取AC 中点F ，连接DF ，EF ，则AB ∥DF ，得∠EDF （或其补角）就是异面直线AB 与ED 所成的角θ，由此能求出tanθ． 【详解】（1）三棱锥P ﹣ABC 中，∵P A ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，AP ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，D 、E 分别是BC 、AP 的中点， ∴AC ＝2，AB ＝23， 所以，体积V P ﹣ABC 13ABC S =•P A 83=． （2）取AC 中点F ，连接DF ，EF ，则AB ∥DF ，所以∠EDF （或其补角）就是异面直线AB 与ED 所成的角θ． 由已知，AC ＝EA ＝AD ＝2，AB ＝23，PC ＝25， ∵AB ⊥EF ，∴DF ⊥EF ． 在Rt △EFD 中，DF 3=，EF 5=，所以，tanθ15=．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．19．已知A 、B 两地的距离是100km ，按交通法规定，A 、B 两地之间的公路车速x 应限制在60~120km /h ，假设汽油的价格是7元/L ，汽车的耗油率为26L /h 400x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？ 【答案】80,280【解析】将总费用表示出来1120074xw x =+，再利用均值不等式得到答案. 【详解】 设总费用为w 则210042007700011200767701(60120)4004400x x x x x w x x x x ⎛⎫+⨯+⋅=++=+≤≤ ⎪⎝⎭=⋅ 112007280(60120)4xx w x +≥≤≤=当112007804xx x =⇒=时等号成立，满足条件 故最经济的车速是80/km h ，总费用为280 【点睛】本题考查了函数表达式，均值不等式，意在考查学生解决问题的能力. 20．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素； （2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由； （3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A . 【答案】(1) 1-，12;(2)见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A ，把2代入进行验证； （2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ．【详解】（1）证明：若x ∈A ，则11A x∈-． 又∵2∈A ， ∴1112A =-∈-． ∵-1∈A ，∴()11112A =∈--．∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x-≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，，，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题． 21．已知4()log (41)x f x kx =++是偶函数，()2x x ϕ=. （1）求k 的值，并判断函数1()()2h x f x x =-在R 上的单调性，说明理由； （2）设44()log (2)3xg x a a =⋅-，若函数()f x 与()g x 的图像有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（3）定义在[,]p q 上的一个函数()m x ，如果存在一个常数0M >，使得式子11|()()|ni i i m x m x M -=-≤∑对一切大于1的自然数n 都成立，则称函数()m x 为“[,]p q 上的H 函数”（其中，011i n p x x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=）.试判断函数()x ϕ是否为“[1,3]-上的H 函数”，若是，则求出M 的最小值；若不是，则说明理由.（注：121()()()()n i n i k x k x k x k x ==++⋅⋅⋅+∑）.【答案】（1）12k =-，递减；理由见解析；（2）(1,){3}+∞-；（3）是，152. 【解析】（1）由偶函数的定义可得f （﹣x ）＝f （x ），结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值；函数h （x ）＝f （x ）12-x ＝log 4（4x +1）﹣x 在R 上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调性，即可证明； （2）由题意可得log 4（4x +1）12-x ＝log 4（a •2x 43-a ）有且只有一个实根，可化为2x +2﹣x＝a •2x 43-a ，即有a 22423xxx -+=-，化为a ﹣141234223xx x +⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．（3）利用()()()()12max min x x M x x M ϕϕϕϕ-≤⇔-≤求解即可 【详解】（1）f （x ）＝log 4（4x +1）+kx 是偶函数，可得f （﹣x ）＝f （x ），即log 4（4﹣x +1）﹣kx ＝log 4（4x +1）+kx ，即有log 44141x x -+=+2kx ，可得log 44﹣x ＝﹣x ＝2kx ，由x ∈R ，可得k 12=-； 又函数h （x ）＝f （x ）12-x ＝log 4（4 x+1）﹣x=44411log log 144x x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在R 上递减，理由：设x 1＜x 2，则h （x 1）﹣h （x 2）＝log 4（1114x +）﹣log 4（2114x +） ＝log 4（4﹣x 1+1）﹣log 4（4﹣x 2+1），由x 1＜x 2，可得﹣x 1＞﹣x 2，可得log 4（4﹣x 1+1）＞log 4（4﹣x 2+1），则h （x 1）＞h （x 2），即y ＝f （x ）12-x 在R 上递减； （2）g （x ）＝log 4（a •2x 43-a ），若函数f （x ）与g （x ）的图象有且仅有一个交点， 即为log 4（4x +1）12-x ＝log 4（a •2x 43-a ）有且只有一个实根，可化为2x +2﹣x ＝a •2x 43-a ，即有a 22423xxx -+=-，化为a ﹣141234223x x x+⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 可令t ＝143+•2x （t ＞1），则2x 334t -=， 则a ﹣1216162593425934t t t t t==-++-， 由9t 25t +-34在（1，53）递减，（53，+∞）递增， 可得9t 25t+-34的最小值为34＝﹣4， 当a ﹣1＝﹣4时，即a ＝﹣3满足两图象只有一个交点； 当t ＝1时，9t 25t+-34＝0，可得a ﹣1＞0时，即a ＞1时，两图象只有一个交点， 综上可得a 的范围是（1，+∞）∪{﹣3}．（3）()2x x ϕ=是H 函数，理由如下：由题当任意的[]12,1,3x x ∈-，有()()()()12max min x x M x x M ϕϕϕϕ-≤⇔-≤因为()2x x ϕ=单调递增，则()()max min 1158,,22x x M ϕϕ==∴≥，故M 的最小值为152【点睛】本题考查函数的导函数与单调性，方程与函数零点，考查转化化归能力，是中档题。

上海市2020年高二上学期数学10月月考试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·中山期中) 如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）7984464793A . 84，4.84B . 84，1.6C . 85，1.6D . 85，42. （2分） (2017高二下·邯郸期末) 盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·常宁模拟) 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（）A . 4B . ﹣5C . 14D . ﹣234. （2分）在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=﹣3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=﹣b），则a=（）A . ﹣24B . 35.6C . 40.5D . 405. （2分）(2017·龙岩模拟) 下列关于命题的说法错误的是（）A . 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”B . “a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件C . 若命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p：∀n∈N，2n＞1000D . 命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是假命题6. （2分）在中，“”是“”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分也非必要条件7. （2分） (2017高一下·新余期末) 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）方程x（x2+y2﹣4）=0与x2+（x2+y2﹣4）2=0表示的曲线是（）A . 都表示一条直线和一个圆B . 都表示两个点C . 前者是两个点，后者是一直线和一个圆D . 前者是一条直线和一个圆，后者是两个点9. （2分） (2016高一上·西安期末) 已知0＜k＜4直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值时k值为（）A . 2B .C .D .10. （2分）(2018·河北模拟) 如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2016·海口模拟) 当双曲线：的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（）A . ±1B .C .D .12. （2分）(2017·来宾模拟) 下列说法正确的是（）A . 命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2 ＜0”B . 命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题为真命题C . 若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题D . 命题“若△ABC为锐角三角形，则有sinA＞cosB”是真命题二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·南京模拟) 下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为________．14. （1分） (2018高三上·大连期末) 已知双曲线的两个焦点为、，渐近线为，则双曲线的标准方程为________．15. （1分） (2017高一下·鞍山期末) 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数据的方差为________．16. （1分）若点M是以椭圆+=1的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交椭圆E 于P，Q两点，椭圆E的右焦点为F2 ，则△P F2Q的周长是________ ．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高二上·南宁月考) 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通;T∈[2，4)基本畅通;T∈[4，6）轻度拥堵;T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．（1）请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从(2)中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．18. （10分）已知命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）+a2＜0有实数解，命题q：“y=（2a2﹣a）x为增函数．若“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．19. （10分）小明同学在寒假社会实践活动中，对白天平均气温与某家奶茶店的A品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天气温x（°C）与该奶茶店的A品牌饮料销量y（杯），得到如下表数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（℃）91012118销量y（杯）2325302621（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组书记恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请根据所给五组书记，求出y关于x的线性回归方程式．（Ⅲ）根据（Ⅱ）所得的线性回归方程，若天气预报1月16号的白天平均气温为7（℃），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式： = = ， = ﹣ x）20. （15分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图；（2）通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）．21. （5分）(2019·南平模拟) 已知平面上动点到点距离比它到直线距离少1．（1）求动点的轨迹方程；（2）记动点的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点，点，延长，，与曲线交于，两点，若直线，的斜率分别为，，试探究是否为定值？若为定值，请求出定值，若不为定值，请说明理由．22. （10分）(2017·南京模拟) 已知椭圆E：（a＞b＞0）的右准线的方程为x= ，左、右两个焦点分别为F1（），F2（）．（1）求椭圆E的方程；（2）过F1，F2两点分别作两条平行直线F1C和F2B交椭圆E于C，B两点（C，B均在x轴上方），且F1C+F2B 等于椭圆E的短轴的长，求直线F1C的方程．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、第11 页共13 页20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第12 页共13 页22-2、第13 页共13 页。

2020年上海行知职业高级中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【分析】运用复数乘法的运算法则，化简复数，最后确定复数所对应的点所在的象限.【详解】，因此复数对应点的坐标为，在第二象限，故本题选B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，以及复数对应点复平面的位置.2. 已知（），其中为虚数单位，则（）A. B. 1 C.2 D. 3参考答案：B3. 如图，程序框图的输出值（）A．10 B．11 C．12 D．13参考答案：C略4. 若在区间上递减，则范围为（）A． B．C．D．参考答案：A 解析：令是的递减区间，得而须恒成立，∴，即，∴；5. 在下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是( )A.－y2＝1和－＝1B. －y2＝1和x2－＝1C．y2－＝1和x2－＝1 D. －y2＝1和－＝1参考答案：A6. 焦点分别为（﹣2，0），（2，0）且经过点（2，3）的双曲线的标准方程为( )A．x2﹣=1 B．C．y2﹣=1 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据双曲线上的点和焦点坐标，分别求得点到两焦点的距离二者相减求得a，进而根据焦点坐标求得c，进而求得b，则双曲线方程可得．【解答】解：2a=﹣3=2∴a=1∵c=2∴b=∴双曲线方程为x2﹣=1．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活把握．7. 底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是A、一定是正三棱锥B、一定是正四面体C、不是斜三棱锥D、可能是斜三棱锥参考答案：D8. 已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）A．2 B．4 C．6 D．参考答案：B9. 已知△ABC中，b=2，c=，三角形面积S=，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或150°D．60°或120°参考答案：D【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用三角形的面积公式可求得sinA，从而可求得答案．【解答】解：∵△ABC中，b=2，c=，三角形面积S=，∴S=bcsinA=，即×2×sinA=，∴sinA=，A∈（0°，180°），∴A=60°或120°．故选D．【点评】本题考查三角形的面积公式，考查正弦函数的性质，属于中档题．10. 随机变量的分布列为0 1 2 3 45 P,则( )A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知命题，命题，若命题是真命题，则实数a 的取值范围是__________.参考答案：12. 根据表格中的数据，可以判定方程的一个解所在的区间为（N），则的值为．参考答案：略13. 设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|x2－ax<x－a}，若A是B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.参考答案：[1，3]略14. 函数的定义域为.参考答案：15. 在区间中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是______________参考答案：略16. 数列的前ｎ项的和S n =3n2＋n＋1，则此数列的通项公式a n=_______________．参考答案：17. 用反证法证明命题“a，b∈R，a+b=0，那么a，b中至少有一个不小于0”，反设的内容是．参考答案：假设a，b都小于0【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“假设a，b都小于0”，从而得出结论．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“a，b∈R，a+b=0，那么a，b中至少有一个不小于0”的否定为“假设a，b都小于0”，故答案为：假设a，b都小于0三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题1. 若直线了l经过点P(2, −3)，且与向量＝(2, −3)垂直，则l的点方向式方程为________．2. 两条平行直线3x−4y−1＝0和mx−2y+5＝0之间的距离是________．3. 已知点A(2, −1)，B(−3, −2)，若直线l:x+2ay+1＝0与线段AB相交，则a的取值范围是________．4. 方程(2x+3y−1)（−1)＝0表示的曲线是________．5. 平面上到两定点(4, 0)与(−4, 0)的距离之和为8的动点的轨迹方程为________．6. 设m∈R，则直线(m2−1)x+y−m＝0的倾斜角α的取值范围是________．7. 如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A落在线段DC上，若折痕所在直线的斜率为k，则折痕所在的直线方程为________＝或________＝________++（-2≤________<0）．8. 已知点A(4, 5)，点B在x轴上，点C在2x−y+2＝0上，则△ABC的周长最小值为________，此时点C的坐标为________．9. 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．定义P(x1, y1)，Q(x2, y2)两点之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x1−x2|+|y1−y2|．已知B(1, 1)，点M为直线x−y+4=0上的动点，则d(B, M)的最小值为________．10. 已知点P(−2, 2)，直线l ：(λ+2)x −(λ+1)y −4λ−6＝0，则点P 到直线l 的距离的取值范围为________．11. 已知实数x ，y 满足{x −y +6≥0x +y ≥0x ≤3，z =ax +y 的最大值为3a +9，最小值为3a −3，则实数a 的取值范围为________．12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x 2+y 2＝4+|x|y 就是其中之一．曲线C 对应的图象如图所示，下列结论：①直线AB 的方程为：x +y +2＝0；②曲线C 与圆x 2+y 2＝8有2个交点；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于12；④曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．其中正确的是：________．（填写所有正确结论的编号）二.选择题定义点P(x 0, y 0)到直线l:ax +by +c ＝0(a 2+b 2≠0)的有向距离为d ＝，已知点P 1、P 2到直线l 的有向距离分别是d 1、d 2，以下命题正确的有（ ）①若d 1−d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行；②若d 1+d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行；③若d 1+d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直；④若d 1d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交．A.1B.2C.3D.4若abc ≠0，a +b +c ≠0，且＝＝＝k ，则直线kx −y +k ＝0必不过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限三.解答题已知定点A(2, 4)，抛物线y 2=2x 上有一动点B ，点P 为线段AB 的中点，求点P 的轨迹方程．△ABC 的顶点A(4, 3)，AC 边上的中线所在的直线为4x +13y −10＝0，∠ABC 的平分线所在直线方程为x +2y −5＝0，求：AC 边所在直线的方程．对于曲线C:f(x, y)=0，若存在非负实数M 和m ，使得曲线C 上任意一点P(x, y)，m ≤|OP|≤M 恒成立（其中O 为坐标原点），则称曲线C 为有界曲线，且称M 的最小值M 0为曲线C 的外确界，m 的最大值m 0为曲线C 的内确界．（1）写出曲线x +y =1(0<x <4)的外确界M 0与内确界m 0；（2）曲线y 2=4x 与曲线(x −1)2+y 2=4是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（3）已知曲线C 上任意一点P(x, y)到定点F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)的距离之积为常数a(a >0)，求曲线C 的外确界与内确界．二、附加题：已知平面直角坐标系内定点A(1, 1)，动点B 满足|AB →|＝2，动点C 满足|CB →|＝3，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为________．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题1.【答案】＝【考点】直线的点斜式方程【解析】先设直线上任一点的坐标M(x, y)，根据法向量的概念，易得⊥，根据向量垂直的条件得点法向式直线方程．【解答】设直线上任一点的坐标M(x, y)．直线l过点P(2, −3)，且与向量＝(2, −3)垂直，根据法向量的概念，易得：得⊥，根据向量垂直的条件得：•＝0，即＝，2.【答案】【考点】两条平行直线间的距离【解析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】根据两条平行直线3x−4y−1＝0和mx−2y+5＝0，可得＝≠，求得m＝，∴mx−2y+5＝0，即3x−4y+10＝0，∴两条平行直线3x−4y−1＝0和mx−2y+5＝0之间的距离是＝，3.【答案】[-，]【考点】直线的斜率两条直线的交点坐标【解析】直线l:x+2ay+1＝0与线段AB相交，说明A，B在直线的两侧（或其中一点在直线上），由此可得关于a的不等式求解．【解答】直线l:x+2ay+1＝0过定点P(−1, 0)，点A(2, −1)，B(−3, −2)，如图：要使直线l:x+2ay+1＝0与线段AB相交，则(2−2a+1)(−3−4a+1)≤0，解得．∴a的取值范围是[-，]．4.【答案】一条直线和一条射线【考点】曲线与方程【解析】利用曲线方程判断x的范围，然后转化求解即可．【解答】方程(2x+3y−1)（−1)＝0，可知x≥3，所以曲线为：或，前者表示一条射线，后者表示x＝4是直线，所以方程(2x+3y−1)（−1)＝0表示的曲线是：一条直线和一条射线．5.【答案】y＝0，(x∈[−4, 4])【考点】轨迹方程【解析】利用椭圆的定义：平面上到两个定点的距离之和为常数，且大于两定点的距离的动点的轨迹．只要判断两定点的距离与距离之和之间的关系即可得出．【解答】设动点为M，由于|MF1|+|MF2|＝8＝|F1F2|，故动点M为线段F1F2上任意一点，即动点M的轨迹是线段F1F2．轨迹方程为：y＝0，(x∈[−4, 4])6.【答案】[0，]∪（，π)【考点】直线的倾斜角【解析】由倾斜角的范围可得0≤α<π，进而可得l的斜率为k＝1−m2，进而可得K的范围，由倾斜角与斜率的关系，可得tanα≤1，进而由正切函数的图象分析可得答案．【解答】由倾斜角的范围可得0≤α<π，根据斜率的计算公式，可得l的斜率为k＝1−m2，由二次函数的性质易得k≤1，由倾斜角与斜率的关系，可得tanα≤1，由正切函数的图象，可得α的范围是0∘≤α≤45∘或90∘<α<180∘，7.【答案】y,y,kx,k【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】因为折叠过程中，A点落在线段DC上，特别的如果折叠后AD重合，这时候折痕所在直线的斜率为0，若AD不重合，这时候折痕所在直线的斜率不为0，然后根据A点和对折后的对应点关于直线折痕对称，可以求出直线方程．【解答】当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y＝．当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a, 1)(0<a≤2)，所以A与G关于折痕所在的直线对称，有k OG⋅k＝−1，k＝−1⇒a＝−k．故G点坐标为G(−k, 1)(−2≤k<0)．从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M(−，）．折痕所在的直线方程y−＝k(x+），即y＝kx++(−2≤k<0)．∴折痕所在的直线方程为：k＝0时，y＝；k≠0时，y＝kx++(−2≤k<0)．8.【答案】4,(1, 4)【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】利用对称知识求出C关于直线y＝x的对称点，利用点到直线的距离说明最小值的位置，求解即可．【解答】按题意画图设B点的坐标(m, 0)，A点关于2x−y+2＝0直线的对称点D的坐标为(a, b)，则AD的中点E（，），则满足，即，解得，即D(0, 7)，A关于x轴对称的坐标为P(4, −5)，则当D，B，C，P四点共线时，△ABC的周长最小为|DP|＝＝4，直线DP为＝，即3x−y+7＝0，联立，解得C(1, 4)，9.【答案】4【考点】两点间的距离公式【解析】由直角距离的定义d(P, Q)=|x1−x2|+|y1−y2|求出d(B, M)的值，由绝对值的意义求出d(B, M)的最小值即可．【解答】解：∵B(1, 1)，点M为直线x−y+4=0上动点，设M(x, y)，则d(B, M)=|x1−x2|+|y1−y2|=|x−1|+|(x+4)−1|=|x−1|+|x+3|，而|x −1|+|x +3|表示数轴上的x 到−3和1的距离之和，其最小值为4．故答案为：4．10.【答案】[0，4]【考点】点到直线的距离公式【解析】先求出直线经过定点M ，当点P(−2, 2)在直线上，点P 到直线l 的距离最小为0；PM 和直线l 垂直时，点P 到直线l 的距离最大为PM ，由此求出点P 到直线l 的距离的取值范围．【解答】直线l ：(λ+2)x −(λ+1)y −4λ−6＝0，即 λ⋅(x −y −4)+2x −y −6＝0， 该直线经过x −y −4＝0 和2x −y −6＝0的交点M( 2, −2)，当点P(−2, 2)在直线l ：(λ+2)x −(λ+1)y −4λ−6＝0上，点P 到直线l 的距离最小为0；当PM 和直线l 垂直时，点P 到直线l 的距离最大为PM ＝＝4，故点P 到直线l 的距离的取值范围为[0，4]， 11.【答案】[−1, 1]【考点】简单线性规划【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再根据题意建立关于a 的不等式组，解之即可得出实数a 的取值范围．【解答】 解：作出不等式组{x −y +6≥0x +y ≥0x ≤3表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A(3, −3)，B(3, 9)，C(−3, 3)，设z =F(x, y)=2x −y ，把A 、B 、C 坐标分别代入得F(3, −3)=3a −3，F(3, 9)=3a +9，F(−3, 3)=−3a +3结合题意，可得{3a +9≥−3a +3−3a +3≥3a −3，解之得−1≤a ≤1． ∴ 实数a 的取值范围为[−1, 1]故答案为：[−1, 1]12.【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】①由曲线方程求出A，B两点坐标，求得直线AB的方程即可判断；②曲线C:x2+y2＝4+|x|y与圆x2+y2＝8联立，求出交点坐标即可判断；③采用放缩的思维，先算出规则图形五边形ACDEF的面积，再结合图形即可判断．④结合曲线C的方程，求出所有的整点数，即可判断．【解答】对于①，曲线C:x2+y2＝4+|x|y，令x＝0，则y＝±2，令y＝0，则x＝±2，由图象可知A(2, 0)，B(0, 2)，所以直线AB的方程为x/2+y/2＝1，即x+y−2＝0，故①正确；对于②，曲线C:x2+y2＝4+|x|y与圆x2+y2＝8联立，解得x＝2，y＝2，x＝−2，y＝2，即曲线C与圆x2+y2＝8的交点为(2, 2)，(−2, 2)，有2个，故②正确；对于③，如图所示，图中五边形ACDEF的面积为4×2+×4×2＝12，显然“心形”区域的面积大于五边形ACDEF的面积，故③正确；对于④，曲线C经过的整点有(±2, 0)，(0, ±2)，(±2, 2)，恰有6个，故④错误．二.选择题【答案】A【考点】点到直线的距离公式进行简单的合情推理【解析】根据题意，依次分析4个命题，即可得答案．【解答】根据题意，设P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，依次分析4个命题：对于①，若d1−d2＝0，即d1＝d2，若d1＝d2＝0时，P1、P2在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，①错误，对于②，当d1＝d2＝0时，满足d1+d2＝0，P1、P2在直线l上，此时直线P1P2与直线l 重合，②错误，对于③，当d1＝d2＝0时，满足d1+d2＝0，P1、P2在直线l上，此时直线P1P2与直线l 重合，③错误，对于④，若d1⋅d2<0，即(ax1+by1+C)(ax2+by2+c)<0，此时点P1，P2分别位于直线l的两侧，直线P1P2与直线l相交，④正确．4个命题中，只有④正确，【答案】D【考点】确定直线位置的几何要素【解析】把所给的等式变形，求得k＝2，直线即y＝2x+2，从而得出结论．【解答】∵abc≠0，a+b+c≠0，且＝＝＝k，∴a+b＝ck，b+c＝ak，a+c＝bk，∴2(a+b+c)＝(a+b+c)k，∴a+b+c＝k，k＝2，则直线kx−y+k＝0，即2x−y+2＝0，即y＝2x+2，故直线不经过第四象限，三.解答题【答案】(y−2)2=x−1．【考点】轨迹方程【解析】设B(m, n)，即有n2=2m，AB的中点P为(x, y)，运用中点坐标公式，以及代入法，即可得到所求轨迹方程．【解答】解：设B(m, n)，即有n2=2m，AB的中点P为(x, y)，即有2x=2+m，2y=4+n，即m=2x−2，n=2y−4，即有(2y−4)2=4x−4，即(y−2)2=x−1．【答案】∵△ABC的顶点A(4, 3)，AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0，∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y−5＝0，故由求得，可得点B(9, −2)．设点A(4, 3)关于∠ABC的平分线所在直线x+2y−5＝0的对称点A′( a, b)，由，求得，可得A′( 2, −1)，再根据A′( 2, −1)在直线BC上：y+1＝(x−2)上，直线BC即：x+7y+5＝0．设点C(m, n)，则AC的中点H（，）在AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0上，由，求得，可得点C(−12, 1)．故AC边所在直线的方程为＝，即x−8y+20＝0．【考点】两直线的夹角【解析】由题意先求出B的坐标，求出点A(4, 3)关于∠ABC的平分线的对称点A′的坐标，根据A′在BC直线上，求出BC直线的方程．设出C的坐标，则AC的中点H在AC边上的中线所在的直线上．联立方程组求出C的坐标，再用两点式求出直线AC的方程．【解答】∵△ABC的顶点A(4, 3)，AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0，∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y−5＝0，故由求得，可得点B(9, −2)．设点A(4, 3)关于∠ABC的平分线所在直线x+2y−5＝0的对称点A′( a, b)，由，求得，可得A′( 2, −1)，再根据A′( 2, −1)在直线BC上：y+1＝(x−2)上，直线BC即：x+7y+5＝0．设点C(m, n)，则AC的中点H（，）在AC边上的中线所在的直线为4x+13y−10＝0上，由，求得，可得点C(−12, 1)．故AC边所在直线的方程为＝，即x−8y+20＝0．【答案】解．（1）曲线x+y=1(0<x<4)的外确界M0=5与内确界m0=√2．2（2）对于曲线y2=4x，设P(x, y)为曲线上任意一点|OP|=√x2+y2=√x2+4x=√(x+2)2−4(x≥0)，∴|OP|∈[0, +∞)，∴曲线y2=4x不是有界曲线．对于曲线(x−1)2+y2=4|OP|=√x2+y2=√x2+4−(x−1)2=√2x+3(−1≤x≤3)，∴|OP|∈[1, 3]，∴曲线(x−1)2+y2=4是有界曲线，外确界M0=3与内确界m0=1．（3）由已知得：√(x−1)2+y2×√(x+1)2+y2=a√x2−2x+1+y2×√x2+2x+1+y2=√(x2+y2+1)2−4x2=a，∴(x2+y2+1)2−4x2=a2，∴y2=√4x2+a2−(x2+1)，∵y2≥0，∴√4x2+a2≥x2+1，∴(x2+1)2≤4x2+a2，∴(x2−1)2≤a2，∴1−a≤x2≤a+1，∵|OP|=√x2+y2=√√4x2+a2−1若0<a<1，则√1−a≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√1−a若a≥1，0≤x2≤a+1，则√a−1≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√a−1综合得：外确界M0=√a+1，内确界m0=√|a−1|．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，即可求出答案．（2）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，即可求出答案．（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．【解答】．解．（1）曲线x+y=1(0<x<4)的外确界M0=5与内确界m0=√22（2）对于曲线y2=4x，设P(x, y)为曲线上任意一点|OP|=√x2+y2=√x2+4x=√(x+2)2−4(x≥0)，∴|OP|∈[0, +∞)，∴曲线y2=4x不是有界曲线．对于曲线(x−1)2+y2=4|OP|=√x2+y2=√x2+4−(x−1)2=√2x+3(−1≤x≤3)，∴|OP|∈[1, 3]，∴曲线(x−1)2+y2=4是有界曲线，外确界M0=3与内确界m0=1．（3）由已知得：√(x−1)2+y2×√(x+1)2+y2=a√x2−2x+1+y2×√x2+2x+1+y2=√(x2+y2+1)2−4x2=a，∴(x2+y2+1)2−4x2=a2，∴y2=√4x2+a2−(x2+1)，∵y2≥0，∴√4x2+a2≥x2+1，∴(x2+1)2≤4x2+a2，∴(x2−1)2≤a2，∴1−a≤x2≤a+1，∵|OP|=√x2+y2=√√4x2+a2−1若0<a<1，则√1−a≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√1−a若a≥1，0≤x2≤a+1，则√a−1≤√√4x2+a2−1≤√a+1，外确界M0=√a+1，内确界m0=√a−1综合得：外确界M0=√a+1，内确界m0=√|a−1|．二、附加题：【答案】24π【考点】轨迹方程【解析】本题先将B 固定，得到C 的轨迹，C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】因为动点B 满足|AB →|＝2，所以B 点的轨迹是以A 为圆心，2为半径的一个圆， 又因为动点C 满足|CB →|＝3，所以C 点轨迹是以B 为圆心，3为半径的一个圆， 当B 点在圆上运动时，C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为52π−12π＝24π．。