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摘要 (1)
1 引言 (1)
2 后方交会的基本原理 (1)
2.1摄影测量中后方交会的原理 (2)
2.2全站仪中后方交会的原理 (2)
2.3空间后方交会原理 (3)
3 后方交会方法及特点 (4)
3.1测角后方交会 (4)
3.2后方交会的直接解法 (7)
3.2.1摄站坐标的直接计算 (7)
3.2.2求解姿态参数 (8)
3.2.3后方交会直接解法的特点 (10)
3.3空间后方交会的三维坐标测量方法 (10)
3.3.1 辅助测量杆端点在像空间坐标系中坐标的检校 (10)
3.3.2 三维坐标测量的特点 (12)
4 后方交会的精度分析 (12)
4.1测角后方交会的精度分析 (12)
4.2测边后方交会 (13)
4.3边角后方交会的精度分析 (14)
4.3.1列误差方程式 (14)
4.3.2定权观测值 (15)
4.3.3组成并解算法方程 (15)
4.3.4评定待定点坐标的精度 (15)
4.4观测实验及其坐标与精度评定结果的比较 (16)
5 后方交会的优化 (17)
6 结论 (19)
参考文献 (19)
Abstract (20)
基于空间后方交会的三维坐标测量方法研究
摘要：空间后方交会测量内外业工作量小，精度较高，是目前常用的测量方法之一。本文从介绍后方交会的原理、方法和特点出发，通过实例对各种方法进行精度分析，指出后方交会优化的方法。
关键词：后方交会；方法;精度;优化
3 D Coordinate Measurement Method Based on Space Resection
Abstract：Space resection measurement has less amount of work inside and outside the industry and higher accuracy .It is currently one of the commonly used method of measuremen t.This paper introduces the principle, method and characteristics of resection, analyzes precision of various methods through examples, and points out the method of the resection optimization .
Key words：resection; methods; precision; optimization
1 引言
交会测量是加密控制点常用的方法，它可以在数个已知控制点上设站，分别向待定点观测方向或距离，也可以在待定点上设站向数个已知控制点观测方向或距离，而后计算待定点的坐标。常用的交会测量方法有前方交会、后方交会、侧边交会和自由设站法。
在己知的两个（或两个以上）己知点（A,B）上架站通过测量α角和β角，计算待测点(P)坐标的方法称为前方交会。
仅在待定点上设站，向三个已知控制点观测两个水平夹角a、b，从而计算待定点的坐标，称为后方交会。后方交会法首先出现于测绘地形图工作中，测量上称为“三点题”，是用图解法作为加密图根点之用。后来随着解析法、公式法的出现，在工程建设控制测量中也经常被采用。
2 后方交会的基本原理
2.1摄影测量中后方交会的原理
在摄影测量中，如果我们知道每幅影像的6个外方位元素，就能确定被摄物体与航摄影像的关系。因此，如何获取影像的外方位元素，一直是摄影测量工作者所探讨的问题。可采取的方法有：利用雷达、全球定位系统（GPS）、惯性导航系统（INS）以及星相摄影机来获取影像的外方位元素；也可以利用影像覆盖范围内一定数量的控制点的空间坐标与摄影坐标，根据共线条件方程，反求该影像的外方位元素，这种方法称为单幅影像的空间后方交会。
单像空间后方交会的基本思想是：以单幅影像为基础，从该影像所覆盖地面范围内若干控制点的已知地面坐标和相应点的像坐标量
测值出发，根据共线条件方程，解求该影像在航空摄影时刻的外方位元素Xs ，Ys ，Zs ，t ，w ，k 。 2.2全站仪中后方交会的原理
图1 后方交会示意图
全站仪操作时 ，将仪器架在P 点上，将望远镜对准A 点，输入A 点的坐标，在A 点立棱镜 ，测出P 点至A 的平距，然后将望远镜对准 B 点，输入 B 点的坐标 ，在B 点立棱镜 ，测出P 点至 B 的平距 ，这时候全站仪就能计算出 P 点的坐标，全站仪则可按以下方法得到P 点的坐标。∠1是全站仪自动测出来的，在三角形 PAB 中，AP 和 BP 的距离是全站仪测出来的，AB 是全站仪用输入全站仪里A 和B 的坐标算出来，所以在三角形PAB 中，利用三角形余弦公式和已知值PB 、AB 、AP ，故可得到∠PAB 的值。∠3是直线AB 的方位角 ，其大小是根据 A 点和 B 点的坐标计算出来的，直线AP 的方位角 ∠6也可以根据∠3和∠PAB 得到。那么根据下列公式：
??????
??+=?+=?=??=?AP
A P AP A P AP
AP AP AP AP AP Y Y Y X X X D y D X ααsin cos (1) 这样就可以计算出 P 点的坐标，同理，利用三角形 BPC 又可以计算出P 点的坐标 ，这样计算就算了两次P 点的坐标 ，若值在限差允许的范围内，取两次的平均值就得P 点的坐标。
2.3 空间后方交会原理
常规摄影测量方法获取待测点的三维坐标,要求待测点本身纹理丰富,处于适宜的摄影环境中,能够获取合乎质量要求的像对;并要在其周围布设一定数量的控制点[1]。由于待测点往往不满足这些条件,提出了一种基于空间后方交会原理,利用安装有辅助测量杆的数码相机,进行物体三维空间坐标测量的方法,是获取缺乏纹理的、隐蔽的、不可通视的或不便于直接测量的点的三维坐标的有效方法。安装有辅助测量杆的数码相机如图2所示。若组成杆件的长度和形状视测量对象状况而定,则数码相机和辅助测量杆可以视作一个刚体,杆件的端点在像空间坐标系中的坐标为恒定值。
图2 安装有辅助测量杆的数码相机
在测量目标点之前,首先须通过合适的方法测定辅助测量杆端点E在像空间坐标系中的坐标。E点在像空间坐标系中的坐标如图3所示。其坐标值采用(x′,y′,f′)表示,f′表示通过辅助测量杆的端点且平行像平面的平面P′到投影中心的距离,(x′,y′)表示辅助测量杆的端点在平面P′中的坐标。在实际测量中,将E点紧密接触待测点,使用相机获取某控制场的影像,通过数据处理即可获得影像在该控制场中的外方位元素,由于E点在像空间坐标系中的坐标是经过检校而已知的,则经过坐标变换可以得到E点(也即待定点)在控制场坐标系中的三维坐标。
图3 E点在像空坐标系中的坐标
3 后方交会方法及特点
3.1测角后方交会
测角交会是广泛采用的加密控制的方法。特别是测角后方交会,外业操作简单，内业计算也非常方便,在工程测量,特别是在露天矿山测量中，是一种深受测绘工作者欢迎的建立工作控制的形式。在实用中,我们不仅要求交会点的坐标,而且要知道其点位误差。在工程中,有时还希望交会点的点位方差最小。在测角后方交会中，最重要的就是选出最佳点位[2]。研究测角后交最佳点位的方法,有以下几种:一是利用电子模拟计算机,绘制后交点位方差的等值线图；二是利用求数学极值的方法,得出最佳交会角的公式；三是利用验证的方法,罗列出许多情况下的测角交会点位方差,寻求方差最小的条件。由于电模拟计算机一般单位不具备,而且等值线反映不出最佳点位的规律。
测角后交的点位方差公式复杂,求极值的方法,只能用于对称后交的情况。在第二中方法中由于假设了许多条件,得出的结论并非极小点。至于验证法,因不可能全部列出后交的各种情况,更无法得出一
般性的结论。所以首先导出测角后交点位方差与观测角βα、的显函数关系,并分析与测角后交点位方差有关的因素;最后利用求极值的方法得出对称后交最佳交会角的公式；利用无约束最优化共轭梯度法,计算了几个一般情况下的测角后交的最佳交会角和最小点位方差[3]。结果表明,用该方法求得的对称后交最佳交会角与求极值法基本相符，最后得出寻求一般情况下的测角后交最佳点位的几个定性的结论。测角后方交会点位方差公式：首先推导点位方差与观测角βα、的显函数关系。根据测角后交的间接算法公式可得
:
图4 测角后方交会示意图
()()()()()()()()()()?????
??????
-++-+++++-?=-++-++-++-?=βαβαβαβαβαδβαβαβαβαβαγsin sin 21cos sin sin 21sin 21180sin sin 21cos sin sin 2
1sin 2118012121212S S C S S C arctg
C S S C S S C arctg C (2) 利用逐步协方差传播可得:
()222
202δγρctg ctg AP
S m P m +=()()??
????????++++?γαδβαδ2sin 22sin 21ctg ctg ctg (3)
求出（2）式的余切值代入（3）得：
()[]()[]{}
()
[]{}
2
21221222
2
212
122
22
21202cos sin sin 2sin sin /
sin sin sin sin C S S S S
C S S C S S S S m m P
++?+++-++-?=
βαβαβαββααρ
(4)
令()C S S S S N ++++=βαβαβαcos sin sin 2
122sin 212sin 22
当A 、C 、B 、P 四点共圆时，设圆半径为R ，则因
R S
S 2sin 2sin 1==β
α,于是∞==2m 0P N ，,因此测角
后方交会的交会点与三已知点不能共圆。 令
2
1
k S S
=,化简(4)式得：
μρ2
2120m 2m S P
=其中
()[]()[]{}
/
2sin sin 2sin sin C k C k +-++-=ββααμ()??
???????????
???++++2cos sin sin 22sin 2sin C βαβαβα (5) μ即为测角后交的图形强度。由(5)可知,在测角方差m 02
和S 1一定的
情况下,测角后交点位方差不仅与交会角βα、有关,而且与已知边比k 及两已知边夹角C 有关。我们可用(5)式为目标函数,对测角后交的最佳点位进行研究。
根据上式可得以下选点原则:（1）应选择C 角尽量小,k 值尽量大的已知数据进行交会。（2）测角后交的最佳点,位于三已知点构成的三角形内稍靠近AB 边处。（3）当两已知边相等或近似相等时,可按
42cos 3
1
arccos 212C C -??? ??+=
=π
βα计算其交会角,在C 角的平分线或平分线附近选点。（4）k 值一定,两C 角互补,当C>?180时,应避免在C 的对顶角所夹区域内选点。（5）取得最佳点位的观测角βα、的值一般在
??150~80范围内变化。
3.2后方交会的直接解法
经典的空间后方交会直接解法是,先解算出空间距离,求出各摄影光束的方向角,解算一个6阶方程,然后解算出外方位元素的方法,6阶方程中有18个三角函数,计算工作量较大.对此法进行改进,避免了三角函数计算,方程由6阶降为3阶,计算方便,快速计算[4]。单张像片后方交会是摄影测量基本问题之一,是由若干个控制点以及相应的像点(称为点对)坐标,求摄站坐标(X S ,Y S ,Z S ,称为线元素)和摄影方位(κω?,,,也称姿态参数),即外方位元素的过程,该过程也叫像片定向。解决单张像片后方交会问题最经典的方法是基于共线条件的,不单单只有共线方程解法,还有角锥法(用的是共角条件),它们都是采用最小二乘解法,最大的缺点便是外方位元素初值在某些条件下没有任何初值参考,而无法进行解算;直接线性变化法需要6个地面控制点,实用上受到限制。改进了的后方交会基本思想是把地面点坐标平移,建立起过渡坐标系,在解出S i 后,直接解算出摄站坐标,最后求得外方位元素,由于新方法是分步解算摄站位置和像片姿态,因而计算方便,利于快速计算,更加灵活方便[5]。在经典的解法下，为了计算的方便,把地面坐标平移到A 点,平移后面点坐标为(X ，Y ，Z),此时A 点坐标为(0，0，0)摄站坐标也平移了，平移后摄影站坐标为(X S Y S Z S ),而姿态参数κω?，，不变。 3.2.1 摄站坐标的直接计算
由图5,根据两点间的距离,可得到的方程
021
222=-++S S
Z S
Y S
X (6)
()()()022
222222=--+-+-S S Z Z S Y Y S X X (7) ()()()023232323=--+-+-S S Z Z S Y Y S X X (8)
展开(6)、(7),以及(8)式,整理后方程为
021
222=-++S S
Z S
Y S
X (9)
O H S Z Z S Y Y S X X =+++2222 (10) O H S Z Z S Y Y S X X =+++3
333 (11)式中22212212
S S S H
-+=,23
231213S S S H -+=,由（10），（11）解得 n s mZ X +=s q p s +=s
Z Y (12) 3
2232332q ,32232332p 32233223n ,32233223Y X Y X H X H X Y X Y X Z X Z X Y X Y X H
Y H Y Y X Y X Z Y Z Y m --=--=--=--=
代入（9) 中整理后得
()0212q 2s 222s 122=??
? ??+++++??? ??++S n Z pq mn Z p m (13)其解为
()()1
2221221222++?
?
? ?
?-+??? ?
?++-+±+-=
p m S q n p m pq mn pq mn Z S (14)
Z S 有两个解，取其中Z S >0的解，代入（12）式后求得X S 和Y S ,最后的摄站坐标应为S(X S +X A ,Y S +Y A ,Z S +Z A )。 3.2.2 求解姿态参数
因坐标平移不影响姿态参数的值,以下地面点坐标用平移后的,由图5可知,对于A 点有
???
???
??????---=????????????s Z Z s Y Y s X X T R S a z a y a x a S 1
11111 (15)
式中S i =(X i 2+Y i 2+f 2)1/2同理对于B 、C 可得到与(15)式相似的方程,和(15)式一起,共有9个方程,写成矩阵形式
???
???????
????????????=???????
??????????????????
??
?????
??------c S c z b S b z a S a z
c S c y b S b y a S a y c
S c x b S b x
a S a x
c c
c b b
b a
a a S
s
X Z S s X Y S s X X S
s X Z S s X Y S
s X X S
s Z S s Y
S s X
321321321333333222222111 (16) 解出旋转矩阵R 的9个元素，可得出姿态参数为
(17)
?
??
?
???
=-=-=21
333sin b b tg b c a tg κω?
图5 共角条件
3.2.3 后方交会直接解法的特点
（1）比较系统的建立了直接解法的新模型.通过坐标平移能直接解摄影坐标,不用摄影光束的方向角,而直接求解姿态参数,理论上比较严密。
（2）改进的的后方交会直接解算模型,避免了三角函数的计算,把原来6阶方程降为3阶方程,解算工作量减小了。
（3）经典后方交会是多于3个点的平差计算，需要参数的近似值才能线性化,通过本文的改进既解决了传统后方交会初值确定困难的问题,又可以进行精度评定。
（4）本文的直接解算摄影位置的方法可用于大地测量或其他方面,如GPS 单点定位解算。
3.3 空间后方交会的三维坐标测量方法
由于实际测量中，待测点往往是缺乏纹理的、隐蔽的、不可通视的或不便于直接测量的点,于是提出了一种基于空间后方交会原理,利用安装有辅助测量杆的数码相机,进行物体三维空间坐标测量的方法[6]。在前面的空间后方交会的基本原理中已经讲过其原理，为了得到结果需先进行辅助测量杆端点在像空间坐标系中坐标的检校。 3.3.1 辅助测量杆端点在像空间坐标系中坐标的检校
将辅助测量杆端点紧密接触某一空间点(称为检校点),检校点与辅助测量杆端点的标志相符合,然后摄取控制场的影像。对于位于像平面上的像点,根据共线条件方程其关系为:
??????????-=???????????
?---f y x R s Z Z s
Y Y s X X (18)
对于E 点,K=1,且该点没有畸变,则得到:
??????????-=???????????
?---''''''f y x R s Z Z s Y Y s X X (19)
式中,X ′,Y ′,Z ′为检校点在控制场坐标系中的坐标。
（1）基于一点检校。让辅助测量杆端点接触一个检校点,并将相机旋转n 次,分别获取控制场的影像[7]。使用像点坐标与其对应的控制点坐标,通过空间后方交会获取其对应的外方位元素后,根据式(19),可得n 个矩阵等式,将n-1个等式减去第一个等式,得到:
()
???
???????--=??
?
??
?
??
????????---'''1111f y x R i R i S Z S Z i S Y S Y i S X S X (20)
式中i=2,3...，n 。
然后,组成误差方程式,按照最小二乘求解E 点在像空间坐标系中的坐标。理论上只要在检校点进行2次旋转相机,即可完成,此时并不需要已知该检校点在控制场中的坐标。
（2）基于多点检校。设共使用n 个检校点,在每个点上获取m 张影像。在控制场坐标系中,E 点与其接触的检校点的坐标相等,不失一般性,设检校点的坐标系与控制场的坐标系不一致,则可以得到:
???????
?
??????????+??????????-=????????
????????+????????????ij S Z ij S Y ij S X f y x ij R S Z S Y S X i Z i Y i X R '''0000 (21) 将其线性化后组成误差方程式,求解得到E 点的坐标。
经过严格检校后,辅助测量杆端点在像空间坐标系中的坐标即为己知。在对未知点进行测量时,首先将辅助测量杆端点紧密接触该未知点,同时使用相机获取某控制场的影像,经过空间后方交会计算得到影像的外方位元素,然后根据式(19)容易得到未知点的坐标[8]。从理论上讲,仅需要使用单张影像就可以得到未知点的三维坐标。也可以采用类似于光束法平差的原理,同时计算影像的内外方位元素和未知点的坐标。
3.3.2 三维坐标测量的特点
这种基于空间后方交会原理进行点的三维坐标测量的方法,实现了使用单张影像即可获取待测点的三维坐标,其原理简单,实用性强。
4 后方交会的精度分析
在工程测量中,后方交会是测量定位、控制网加密和自由设站法施工放样的重要方法之一。传统的后方交会是以测角为主,随着电子测距仪在生产中的普遍应用,距离后方交会定位法日益得到应用。目前,全站仪已逐渐普及,利用全站仪可以方便地同时测角和边,因此在实际工作中,就存在测边、测角、边角同测后方交会坐标计算问题以及它们的精度评定问题[9]。下面以常用的3个已知点的后方交会为例,研究合理的后方交会坐标计算及其精度评定方法,并通过实验分别对测角、测边、边角同测后方交会的精度及坐标进行了比较分析。 4.1测角后方交会的精度分析
图6 测角后方交会示意图
如图6所示,已知A,B,C 点的坐标A(X A ,Y A),B(X B ,Y B ),C(X C ,Y C ),观测角度A,B,求待定点P 的坐标P(X P ,Y P )。因3个已知点的测角后方交会问题无多余观测,求P 点坐标的计算公式为:
,BP
X B X P
X ?+= (22)
BP
Y B Y P Y ?+= (23) P 点在X,Y 方向的坐标增量公式分别为:
,tan BP BP X BP Y α?=?
(24)
()()()(),2tan 1tan cot 1tan cot BP
BP A X B X BP A Y B Y BP
X
α
αααα++----=
? (25) 其中
()()()()()()
C Y A Y C X B X A X B X C X A X C Y B Y A Y B Y BP
---+--+-+-=
βαβαα
cot cot cot cot tan
求得P 点在X,Y 方向的坐标精度评定公式分别为：
()
()
()()[]
()[]
,22
2tan 222
2tan 2tan 12,22
2222
2212ρβα?ρααφαρβ
?ραφm BP
X
BP F m BP X BP F BP F P
y
m m F m F F p
x m ?++?++=++=(26)
，，β
?αφρα
ααααα
2sin 22sin 2,''206265,2tan 1cot tan 22
,2
sin 2tan 1tan 1N CB Y N CB X M N AB Y
N AB X M BP AB X AB Y BP BP X F BP AB y
BP AB X F ?-?=
?-?==+?+?+?-=??? ??+?-?=
(27)
其中
()
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
C
Y
A Y C X
B X A X B X N
C X A X C Y B Y A Y B Y M ---+-=-+-+-=βαβαcot cot cot cot 4.2测边后方交会
图6中, S 1,S 2,S 3为已知点构成的三角形的边,L 1,L 2,L 3为观测边,21∠∠、为辅助角,求待定点的坐标P(X P ,Y P )。理论上,两点后方距
离交会就可以计算待定点P 点的坐标,若有3个已知点,则有一个多余观测,此时P 点的坐标常按以下方法近似计算:
(),cos cos 2212BP BP B P L X X αα++
=()
,sin sin 2
2
12BP BP B P L Y Y αα++= (28) ，，1
22
1∠-=∠+=BC BP BA BP αααα 2
12
1
2221
2223222222cos 21cos L S L L S S L L S L -+=∠-+=∠， P 点在X,Y 方向的坐标精度评定公式分别为:
,
232
22sin 2
222212sin 31sin 2221241sin 22L 2P X'm L m b BP L L m b BP b BP L L m b BP ???
? ??+???
???????? ??--+???? ??-=αααεα (29) ,
232
22cos 2
2222
12cos 31cos 2221241cos 22L 2P Y'm L m b BP L L m b BP b BP L L m b BP ???
? ??-+??????????? ??-++???? ??=αααλα (30)
其中，
，221sin 32b 2
221sin 22
223221b L
S L S L S L L ∠=∠-+-= ，，2
2
12sin 22
12122b 22sin 1sin L S S L L BP BP ∠-+-=+=
ααλ .2
2cos 1cos 2
12sin 14b BP BP L S L ααε+=
∠=， 4.3 边角后方交会的精度分析
图6中,S 1,S 2,S 3为已知边,观测角度A,B,C 和边长L 1,L 2,L 3,求P 点的坐标P(X P ,Y P )。由于三点边角同测后方交会有较多的多余观测数,故常采用严密平差的方法计算P 点的坐标及精度。 4.3.1列误差方程式
由已知条件,观测量n=6个,必要观测t=2个,多余观测r=4,利用间接平差,直接列出误差方程式:L X
B V
+?=?δ261
6。
4.3.2 定权观测值
观测值中含有角度和距离两种不同性质的值,一般按下列方法定权:取水平角的测角中误差为单位权中误差,a 0m m =,则距离极差可由测距仪的标称精度或实测精度按下式确定:
()
3,2,1,1002b 2a 2i
m =??????+=i i L L (31) 式中 a,b 分别为仪器的加常数和乘常数误差 4.3.3组成并解算法方程
由误差方程式及观测值的权阵,组成法方程
0l =+P T B X
PB T B δ
. (32)
解法方程,得到待定点坐标近似值的改正数为
.l 1P T B PB T B X -??
? ??-=δ (33) 进一步解得P 点的坐标
.00P
Y
P Y P Y P X P X P X
δδ+=+=， (34) 4.3.4 评定待定点坐标的精度 平差后的单位权中误差为
.
n 0m t
PV T V -±= (35) 由法方程的系数矩阵逆矩阵
,1
??
???
???
??=-??
? ??=P Y P Y Q
P
X P Y Q P Y P X Q
P X
P X Q PB T B XX Q (36) 则待定点P 的点位中误差计算公式为
.20m 2m ?
???
?
?+=P Y P Y Q
P X P X Q P (37) 4.4观测实验及其坐标与精度评定结果的比较 图6中已知点坐标和点位中误差如表1。
表1 起算数据
在P 点用徕卡全站仪全圆法观测了4个测回，求得边长L 1,L 2,L 3和角度α，β，γ，观测值验前中误差采用仪器的标称精度，即测角为同精度观测，观测值和中误差见表2。
利用前面推导的数学模型,采用不同的观测量,分别对测角和测边、顾及起算数据的测角和测边及边角同测后方交会进行精度评定和坐标计算,其点位中误差及坐标见表3。
表3 待定点P 的坐标及点位中误差
比较表3的结果可知:
（1）测角后方交会的精度最低,待定点Y方向中误差明显大于X方向中误差,精度极不均匀；顾及起算数据误差时待定点总的点位中误差增加了0.06 cm。
（2）测边后方交会的精度比测角后方交会的精度明显要高,而待定点X方向中误差稍大于Y方向中误差,相对于测角后方交会来说精度还是比较均匀的；顾及起算数据误差时待定点的点位中误差只增加了0.03 cm。
（3）边角同测后方交会的精度最高,边角后方交会的Y方向中误差稍大于X方向中误差,精度最均匀。
（4）从坐标值看,测角后方交会与测边后方交会及边角同测后方交会的差距都较大,特别是Y坐标差值达1.05 cm；而测边后方交会与边角同测后方交会的坐标值比较接近,X,Y方向分别相差0.02 cm和0.105 cm。
5 后方交会的优化
对已知三角形寻找最优待定点的方法是:首先找出已知三角形的
1C++面向对象程序设计基础 【实验简介】学会用算法语言C++描述抽象数据类型，使用模板建立数据结构。理解数据结构的组成分为两部分，第一部分是数据集（数据元素），第二部分是在此数据集上的操作。从面向对象的观点看，这两部分代表了对象的属性和方法。掌握用C++描述数据结构的基本方法，即通过建立类来描述抽象数据类型。类的数据成员提供对象属性，成员函数提供操作方法，方法是公共接口，用户通过调用方法实现对属性的访问。 【实验内容】 1.定义三维空间的坐标点TPoint 2.描述三维空间的球TBall，实现其主要操作（如计算体积和表面积，输出空间坐标 等）。 【主要代码】 #include 用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 (1) 线面平行： l ∥α? a ⊥u? a ·u ＝0? a 1a 3＋ b 1b 3＋c 1c 3＝ 0 (2) 线面垂直： l ⊥α? a ∥u? a ＝ku? a 1＝ka 3，b 1＝ kb 3，c 1＝kc 3 (3) 面面平行： α∥β? u ∥v? u ＝kv? a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4) 面面垂直： α⊥β? u ⊥v? u ·v ＝ 0? a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， 的中点， PA ＝AB ＝1， BC ＝2. (1) 求证： EF ∥平面 PAB ； (2) 求证：平面 PAD ⊥平面 PDC. ［证明］ 以 A 为原点， AB ，AD ，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立 空 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E 12，1，12 ， uuur uuur uuur 1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)， uuur ∥AB ，即 EF ∥AB. 又 AB? 平面 PAB ， EF? 平面 PAB ，所以 EF ∥平面 PAB. uuur uuur uuur uuur (2)因为 AP ·DC ＝(0,0,1) (1,0·,0)＝ 0， AD ·DC ＝(0,2,0) (1,0·,0)＝0， uuur uuur uuur uuur 所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即 AP ⊥DC ，AD ⊥DC. 又 AP ∩ AD ＝ A ，AP? 平面 PAD ，AD? 平面 PAD ，所以 DC ⊥平面 PAD.因为 DC? 平面 PDC ， 直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面 α， β的法向量 u ＝ (a 3，b 3，c 3)， v ＝(a 4，b 4，c 4) 1 uuur 1 uuur F 0 ， 1， 2 ，EF ＝ －2， 0， 0 ，PB ＝ (1,0， uuur uuur E ， F 分别是 PC ， PD 间直角坐标系如图所示，则 DC ＝(1,0,0)， AB ＝(1,0,0)． uuur 1uuur uuur (1)因为 EF ＝－ 2AB ，所以 EF 向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法 1．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( ) A．62 7 B．637 C．647 D．657 2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA A．a+b－c ?a,CB?b,CC1?c，则A1B? ( ) B．a－b+c C．－a+b+c D．－a+b－c3．已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b之间的夹角?a,b?为 ( ) A．30°B．45°C．60°D．以上都不对 4．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上中线长( ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知a?3i?2j?k,b?i?j?2k,则5a与3b的数量积等于( ) A．－15 B．－5 C．－3 D．－1 6．已知OA?(1,2,3)，OB?(2,1,2)，OP?(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA?QB 取得最小值时，点Q的坐标为( ) 131123448A．(,,) B．(,,) C．(,,) 243234333D．(447,,)333二、填空题7．若向量a?(4,2,?4),b?(6,?3,2)，则(2a?3b)?(a?2b)?__________________。 8．已知向量a?(2,?1,3),b?(?4,2,x)，若a?b，则x?______；若a//b则x? ______。已知向量a?(3,5,1)，b?(2,2,3)，c?(4,?1,?3)，则向量2a?3b?4c的坐标为 .14．如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是B1B、AB、BC的中点． （1）证明D1F⊥平面AEG； （2）求cos?AE，D1B? 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. （1）求BN的长； （2）求cos的值； （3）求证A1B⊥C1M. 空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教 材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与 2015年三维空间定位行业分析报告 2015年1月 目录 一、行业管理 (4) 1、行业主管部门及监管体制 (4) 2、行业主要法律法规、产业政策及业务合作规范性文件 (4) 二、行业概况 (6) 三、行业市场发展状况及趋势 (7) 1、行业发展现状 (7) （1）三维空间定位软件和信息技术服务介绍 (7) （2）市场规模 (8) 2、行业发展趋势 (8) 四、行业特点 (9) 1、行业经营模式 (9) 2、行业上下游之间的关联性 (10) （1）与上游行业之间的关联性 (10) （2）与下游行业之间的关联性 (11) 3、行业周期性、区域性、季节性 (11) 五、行业竞争格局 (12) 六、进入本行业的主要障碍 (13) 1、行业壁垒 (13) 2、技术和人才壁垒 (13) 3、品牌壁垒 (14) 七、影响行业发展的有利因素和不利因素 (15) 1、有利因素 (15) （1）国家产业政策有力支持 (15) （2）行业愈发规范 (15) 2、不利因素 (16) （1）下游行业企业间标准难以融合 (16) （2）新技术应用不断涌现，对企业技术能力提出较高要求 (16) 一、行业管理 1、行业主管部门及监管体制 行业行政主管部门是国家工业和信息化部下属的软件服务业司。国家工信部负责拟定软件和信息技术服务的发展规划，推进产业结构战略性调整和优化升级；制定并组织实施软件和信息技术服务业的行业规划、计划和产业政策，提出优化产业布局、结构的政策建议，起草新相关法律法规草案，制定规章，拟订行业技术规范和标准并组织实施，指导行业质量管理工作；指导行业技术创新和技术进步，推动行业产业发展；推进行业体制改革和管理创新，提高行业综合素质和核心竞争力；组织制定相关行业政策，促进软件和信息技术服务业发展。 软件服务业司指导软件业发展；拟订并组织实施软件、系统集成及服务的技术规范和标准；推动软件公共服务体系建设；推进软件服务外包；指导、协调信息安全技术开发。 2、行业主要法律法规、产业政策及业务合作规范性文件 高端软件和新兴信息服务产业是国家战略性新兴产业，为此国家出台《国务院关于印发进一步鼓励软件产业和集成电路产业发展 三维坐标系统 《几何画板》在实现信息技术与数学课程整合中扮演着越来越重要的角色. 尽管《几何画板》在辅助函数、轨迹、平面几何、平面解析几何教学等方面发挥着重要作用, 但是在服务立体几何以及空间解析几何教学方面的功能却有待进一步开发,本节将通过构造三维直角坐标系统来实现相应功能。 一、左手直角坐标系和右手直角坐标系 通常三维图形应用程序使用两种笛卡尔坐标系：左手系和右手系。在这两种坐标系中，正x 轴指向右面，正y 轴指向上面。通过沿正x 轴方向到正y 轴方向握拳，大姆指的指向就是相应坐标系统的正z 轴的指向。图一显示了这两种坐标系统。 左手直角坐标系 右手直角坐标系 图一 图二 以右手直角坐标系为例，如图二，设M 在面xoy 上的投影为P ，点P 在轴上的投影为 A ，则,,OA x AP y PM z ===，又sin ,cos OP r z r ??==， 因此，点M 的直角坐标与球面坐标的关系为 cos sin cos ,sin sin sin , (02,02)cos x OP r y OP r z r θ?θθ?θθπ?π?==?? ==≤≤≤≤??=? 这样我们就可以利用球面坐标变换公式以及三角函数知识, 构造出空间直角坐标系。 二、构造方法 1．如图三，在单位圆上取两点Z 和XY ，作出点Z 对应的正弦线和余弦线，记做SF 和 CF ，再将CF 旋转90，得到Z 轴的一个单位的顶点，用红线连接，以便区分。 2．同样做出点XY 对应的正、余弦线，用ST 和CT 来标记。将ST 旋转90，得到'ST 实际上就是ST -,过这个点作SF 和Scale 点的连线的平行线，那么交y 轴的交点恰好就是 *ST SF -的大小,标记过原点到这个点的向量，将CT 点按照这个向量平移，就是X 轴的 一个单位的顶点，同样用红线标记。具体解释可以借助如图四中的相似形。 3.同样借助另一对相似三角形作出*CT SF ，也就是图五中的OA 。标记OA ，把'ST 按照向量OA 平移，就是Y 轴的一个单位的顶点。 空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项) 3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值． N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。 采样点的三维空间坐标图绘制程序 d=data;%只需要从excel输入三列数据，格式为：[xi yi zi],i表示行数 x=d(:,1)%采样点坐标X值 y=d(:,2);；％采样点坐标Ｙ值ｚ＝ｄ（：，３）％采样点坐标Ｚ（海拔）值 nx=linspace(min(x),max(x),100); ny=linspace(min(x),max(y),100); [xx,yy]=meshgrid(nx,ny); zz=griddata(x,y,z,xx,yy,’v4’); surfl(xx,yy,zz); shading interp colormap(gray);https://www.doczj.com/doc/ac3175309.html,/view/e9ff9c76f46527d3240ce012.html hold on for i=1:319 for i=1:44 plot3(d(i,1),d(I,1),d(i,3),’ys’); end hold on for i=45:80 plot3(d(I,1),d(I,2),d(I,3),’y+’); end hold on for i=81:146 plot3(d(i,1),d(I,2),d(I,3),’bp’); end hold on for i=147:284 plot3(d(I,1),d(I,2),d(I,3),’ko’); end hold on for i=285:319 plot3(d(I,1),d(I,2),d(I,3),’r<’); end end 各重金属分布浓度等高线及采样点坐标综合分布图绘制程序； d=data;%只需从excel输入三列数据，格式为：[xi yi zi],i表示行数，ｘｉ表示采样点坐标ｘ的值，ｙｉ表示为采样点坐标ｙ值，ｚｉ为某重金属浓度值（此程序需将第三列的值更换八次运行八次得到论文中八幅各重金属浓度等高线及采样点坐标综合分布图）。 x=d(:,1);%采样点坐标x值 y=d(:,2);%采样点坐标y值 z=d(:,3);%重金属浓度值 nx=linspace(min(x)，max(x),40); ny=linspace(min(y),max(y)，40)； [xx,yy]=meshgrid(nx,ny); zz=griddata(x,y,z,xx,yy,’v4’); . 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，． 第二章三维观察 1.三维观察坐标系 1.1观察坐标系 为了在不同的距离和角度上观察物体，需要在用户坐标系下建立观察坐标系x v,y v,z v(通常是右手坐标系)也称(View Reference Coordinate)。如下图所示，其中，点p0(x o, y o, z0)为观察参考点（View Reference Point），它是观察坐标系的原点。 图1.1 用户坐标系与观察坐标系 依据该坐标系定义垂直于观察坐标系z v轴的观察平面(view palne)，有时也称投影平面(projection plane)。 图1.2 沿z v轴的观察平面 1.2观察坐标系的建立 观察坐标系的建立如下图所示： 图1.3 法矢量的定义 观察平面的方向及z v轴可以定义为观察平面(view plane)N 法矢量N: 在用户坐标系中指定一个点为观察参考点，然后在此点指定法矢量N，即z v轴的正向。 法矢量V：确定了矢量N后，再定义观察正向矢量V，该矢量用来建立y v轴的正向。通常的方法是先选择任一不平行于N的矢量V'，然后由图形系统使该矢量V'投影到垂直于法矢量N的平面上，定义投影后的矢量为矢量V。 法矢量U：利用矢量N和V，可以计算第三个矢量U，对应于x z轴的正向。 的指定视图投影到显示设备表面上的过程来处理对象的描述。2.世界坐标系 在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但是计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体和二维数据联系到一起的唯一纽带就是坐标。为了使被显示的物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。该坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合被显示物体的描述。该坐标系被称为世界坐标系，世界坐标系是固定不变的。 微专题64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?== 高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题 一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC u u u u r 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r Ｂ．111AB DD D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｃ．111AD CC D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｄ．11111()2 AB CD AC ++u u u u r u u u u r u u u u r 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=u u u r u u u r u u u r ，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-u u u r u u u r u u u r ， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ 三维空间定位准确度定义与测量说明 王正平 美国光动公司 1180 Mahalo Place Compton, CA 90220 310-635-7481 I. 简介 20年前,大型机器的主要定位精度为丝杆的螺距误差及热膨胀误差,但直至今日上述的大部份误差已藉由线性编码器来减少与补偿, 因此机器的误差转而变成以垂直度误差与直线度误差为主要原因, 然而为了达到三维空间定位精度,垂直度误差与直线度误差的测量与补偿则变得更为重要。 II. 机床定位误差 就三轴机器而言, 每轴共有六项误差, 或换句话说, 三轴共有十八误差加上三项垂直度误差,这二十一项刚体误差可以表示如下 [1]: 直线位移误差 : Dx(x, Dy(y, 及 Dz(z 垂直直线度误差 : Dy(x, Dx(y, 及 Dx(z 水平直线度误差 : Dz(x, Dz(y, 及 Dy(z 横转度误差 : Ax(x, Ay(y, 及 Az(z 俯仰度误差 : Ay(x,Ax(y, 及 Ax(z 偏摇度误差 : Az(x, Az(y, 及 Ay(z 垂直度误差 : ?xy, ?yz, ?zx, 其中 D 为直线误差,下标表示位移方向,位置坐标为函数中的变量, A 为角度误差,下标表示旋转方向,位置坐标为函数中的变量。 III. 现有的空间精度定义 对于三轴机器而言,主要的定位误差为各轴的位移误差 Dx(x, Dy(y, Dz(z, 空间误差则定义为这些位移误差和的平方根, 因此可表示如下式:空间误差 = sqrt {[Max Dx(x-Min Dx(x]2 + [Max Dy(y-Min Dy(y]2 + [Max Dz(z- Min Dz(z]2}. 上述的定义当主要误差为三项位移误差 (或丝杆螺距误差时是正确的, 但是近年来的机器, 其主要误差为直线度误差与垂直度误差, 远大于直线位移误差,因此上述的定义并非绝对符合 . IV. 空间精度的新定义 各轴向的定位误差 Dx(x,y,z, Dy(x,y,z及 Dx(x,y,z为位移误差与直线度误差的和可表示如下式: Dx(x,y,z =Dx(x + Dx(y + Dx(z, Dy(x,y,z =Dy(x + Dy(y + Dy(z, Dz(x,y,z =Dz(x + Dz(y + Dz(z. 空间误差为这些总误差的均方根,如下式所示: 空间误差 = sqrt {[Max Dx(x,y,z-Min Dx(x,y,z]2 + [Max Dy(x,y,z-Min Dy(x,y,z]2 + [Max Dz(x,y,z- Min Dz(x,y,z]2}. 利用空间向量解立体几何(完整版) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+-u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 002 2 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： 用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD . 用空间向量解立体几何题型与方法 一．平行垂直问题基础知识 直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4) (1)线面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0 (2)线面垂直：l⊥α?a∥u?a＝k u?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3 (3)面面平行：α∥β?u∥v?u＝k v?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4 (4)面面垂直：α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，P A＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：EF∥平面P AB； (2)求证：平面P AD⊥平面PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面 的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． 求证：(1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD. 二．利用空间向量求空间角基础知识 (1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所 成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b| |a||b|. (2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角 为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝|n·a| |n||a|. (3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2， 若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2| |n1||n2|； 若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2| |n1||n2|. 例1、如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值． 三维空间坐标下的速度加速度推导 如图所示，以0点为原点建立以空间直角坐标系 O-xyz,空间人一点的球坐标为（r,,），雷达坐 标（r,,）。在该点处坐标系三个单位矢量为 e r 、e 、e 也可以表示为e r 、e 、e 。r 为该点到原点的距离。 为该点相对0点位置矢量Z 轴的夹角，目标俯仰 为该点与原点连 线与地平面的夹角（即与xOy 平面的夹角，通常范围-90°至U 90° ）。 为该点相对0点位置矢 量在0-xy 坐标平面上的投影与 X 轴之间的夹角，目标方位 为该点相对0点位置矢量在0-xy 坐标平面上的投影与 y 轴正向夹角，即指北向顺时针夹角（从y 轴正向向x 轴正向的夹角，范围 为 0~360 ° ), v e r sin v cos i sin sin v j cos v e cos v sin i cos sin v j sin v e sin v i cos v j (3) e r & cos cos v v i cos j v sin k v e r v e & sin v e ⑷ &sin (1) sin i cos j sin i cos j &sin cos i sin sin j cos k &cos sin i cos j 图二极坐标下的加速a 度计算 三维空间坐标下的速度加速度推导 v v v e &cos i sin j (6) v v v k cos e r sin e (7) v v v v cos i sin j sin e r cos e (8) e v&&sin e v r cos e v(9) vv r re r (10) v v& r v r&e v r re v&r v v r&e v r r &e v r &sin e v(11) v v v v v v r e r v e v e (12) v r r& v r &(13) v r&sin v v& v v v a v& a r e r a e a e (14) a r r& r &2 r &2 sin 2 a r&& 2r&& r &2sin cos a r &&sin 2r&&sin 2r &&cos (15) 向量法解立体几何 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点(),P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 实例分析(完整版)用空间向量解立体几何问题方法归纳
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