二次函数
一、二次函数概念:
１.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而
b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数.
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是２． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数,b 是一次项系数，c 是常数项. 例1(基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．(-1,８） Ｂ.(1,8) Ｃ(-1,2） D （1，-4)
１、二次函数y ＝a ｘ２+b ｘ+ｃ的图象如图所示,反比例函数y = 错误!未定义书签。与正比例函数y ＝（b ＋c )x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ )
2、若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为( ）
A .0 5 Ｂ .0． 1 C.－4. 5 D.-4. １ 3、图（１）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m ．如图（2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ）
A ． B. C.
D ． 22y x =-2
2y x =2
1
2
y x =-212
y x =
4、已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( ）
A.223y x x =-+??
B.223y x x =--
C.223y x x =+- ? D ．223y x x =++
5. 若2y ax bx c =++,则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ）
x 1
-
1 2ax
1
2ax bx c
++
8 3
A ．43y x x =-+
B ．34y x x =-+
C ．33y x x =-+
D ．48y x x =-+
６、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高为1米的喷水管喷水最大高度为３米，此时喷水水平距离为
1
2米,在如图4所示的坐标系中，这支喷泉满足的函数关系式是( )A ）21()32
y x =--+ （B ）213()12
y x =-+(
图（1） 图（2）
C)218()32y x =--+ (D)218()3
2
y x =-++
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质: ａ 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
２. 2
=+的性质:
y ax c
上加下减。
3．()2
=-的性质:
y a x h
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标
()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处,具体平移方法如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
２. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下)平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左(右)平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成
c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)
考点1.二次函数的平移
例2 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5
y x
=与二次函数22y x x c =-++的
图像交于点(1)A m -，．
（1）求m 、c 的值；
(2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标．
例3 把抛物线y=３x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是( ) A.ｙ=3(x ＋2）2 Ｂ．y=3（x-2)2 C.y=3x ２+2 Ｄ．y=３x 2-2 专题练习一
1.对于抛物线y=13-x 2+
103x 16
3
-，下列说法正确的是( ) A ．开口向下,顶点坐标为(5，3） B ．开口向上，顶点坐标为（5,3) C.开口向下,顶点坐标为（-5,３) D ．开口向上,顶点坐标为（－5，3) 2.若抛物线y=ｘ2－2ｘ+ｃ与y 轴的交点为(0,-3)，则下列说法不正确的是（ )
A.抛物线开口向上 Ｂ.抛物线的对称轴是x=1 Ｃ．当ｘ＝1时,y 的最大值为-4
D ．抛物线与x 轴交点为（-1,0)，(３,0）
３.将二次函数y ＝ｘ2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是_＿＿_＿___．
4．小明从图２所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息:①0c <;②0abc >；③
0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有
_______.(填序号)
考点2．根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式
1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式:y=ａx 2+bx+c （a ≠0);
2．若已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式:ｙ=a(x-h)2+k(a ≠0)；
图
3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式:y=a（x-ｘ１）
（ｘ－ｘ2)(ａ≠0).
例2 已知抛物线的图象以A（-1，４)为顶点,且过点B（2，－5),求该抛物线的表
达式．
例3 已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1,０),且经过点C（2，8）.
(1)求该抛物线的解析式;
（2)求该抛物线的顶点坐标.
专项练习二
１.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失，
某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是ｘ，降
价后的价格为y元，原价为a元,则ｙ与ｘ之间的函数表达式为( )
A．ｙ=2a(x-1） B.y=2ａ(1-x) C．ｙ=a(１-ｘ2) D．y=a（1-x）2
2.如图2,在平而直角坐标系xOy中，抛物线ｙ=x2＋bｘ＋ｃ与x轴交于A、B
两点，点A在x轴负半轴，点Ｂ在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠AＣO＝
图2
1
2
,C Ｏ=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 . ３.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（０,-2）,且x ＝1时，y ＝３;x=-1时y=1,
求此抛物线的关系式.
4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，. （１）求此二次函数的关系式； (2）求此二次函数图象的顶点坐标;
（3）填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
四、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看,()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过
配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ??
?，其中2424b ac b h k a a -=-=
，.
五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们
选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，
，()20x ，（若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)． 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴，顶点,与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．
当2b x a <-
时,y 随x 的增大而减小；当2b
x a
>-时,y 随x 的增大而增大;当2b
x a
=-时，y 有最小值
244ac b a -. 2． 当0a <时，抛物线开口向下,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，.当
2b x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b
x a
=-时,y 有最大值2
44ac b
a -.
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:2y ax bx c =++（a ，b ,c 为常数,0a ≠）；
2. 顶点式:2()y a x h k =-+（a ，h ,k 为常数,0a ≠);
３. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标)． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可
以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化．