高等数学
积分表公式推导
目 录
（一）含有b ax +的积分（1~9）·······················································1 （二）含有
b
ax +的积分（10~18） (5)
（三）含有22a x ±的积分（19~21） (9)
（四）含有)0( 2
>+a b ax 的积分（22~28） (11)
（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有
)0( 22>+a a x 的积分（31~44） (15)
（七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0( 22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0( 2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48)
（十）含有 或))((x b a x --的积分（79~82）
...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81)
附录：常数和基本初等函数导数公式 (85)
说明 (86)
团队人员 (87)
b
x a
x --±
一）含有b ax +的积分（1~9）
C
b ax ln a
b ax dx b ax t C
t ln a
dt
t
a b ax dx dt
a
dx ,adx dt t t b ax a
b
x x b ax )x (f C b ax ln a
b ax dx .++?=++=+?==+∴=∴=≠=+-≠+=++?=+????
1
1
1
1 1
)0( }
|{ 1 1
1代入上式得：将，则令的定义域为被积函数证明：
C b ax μa dx b ax b ax t C t μa dt
t a dx b ax dt
a
dx ,adx dt t b ax μC b ax μa dx b ax .μμ
μμμμμ++?+=++=+?+==+∴=∴==+-≠++?+=
++++????111)()
1( 1)(
)
1( 1
1
)( 1
, 1)
( )()
1( 1
)( 2代入上式得：将则令证明：
()()()()()C b ax ln b b ax a
dx b ax x b ax t C
t ln b t a
C
t ln a b
a t dt
t b
a
dt a dt
t b 1a dt a ·t b t a dx b ax x dt
a
dx ,b t a x ,t t b ax a
b
x |x b ax x )x (f C b ax ln b b ax a
dx b ax x .22222222++?-+=++=+?-=+?-=-=???
?
?-=-=+∴=-=≠=+-≠+=++?-+=+???????
1
1
11 11
1
1
1 )0( }
{ 1
3代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：
C
b ax ln b b ax b b ax a dx b ax x C b ax ln a
b b ax d b ax a b dx b ax b a C b ax ln a
b x a b b ax d b ax a
b dx a b ax d b ax b
b ax a b dx b ax abx a C b ax a dx b ax a dx
b
ax b a dx b ax abx a dx b ax a dx
b ax b abx b ax a
dx b ax x C
b ax ln b b ax b b ax a dx b ax x +??
?
???+?++-+=+++=++=+++-=++-=+-+=+++=++-+-+=+--+=++??
????+?++-+=+?????????????? )( 2)(211 )(11 22 )
(1
22 )(221 )(21
)(1 121)(1 )
2)(1 )( 2)(211 .422323
32
32222
32
3323321
2322
22222222232由以上各式整理得：证明：
C
x
b ax ln b C b ax x
ln b C
b ax ln b x ln b )
b ax (d b ax b dx x b dx
b
ax b a dx x b dx )b ax (b a bx b ax x dx b a
b
Ab B Aa b
x a x b ax b ax B
x b ax x a
b
x |x b ax x )x (f C
x
b
ax ln b b ax x dx .++?-=++?=++?-?=++-=+-=+?-=+???
???
?-==????==+∴++=++=++=+?-≠+?=++?-=+???????
1 1 1
1 1
111 1
11]1[)( B 1A 10 A B)(A B )A(1 , A )(1 }
{ )(1 1)( 5于是有则设的定义域为被积函数证明：b log b log a a -=-1 提示：
C x b ax ln b a bx C b ax ln b a bx x ln b a b ax d b ax b a dx x b dx x b a dx b ax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b b a Bb aB Ab C Aa b aB Ab x a x Cx b ax b ax x b ax C x B x b ax x a b
x x b ax x x f C x b ax ln b a bx b ax x dx ++?+-=++?+-?-=++++-=+++-=+?????
????
==-=??????==+=+∴=++++++++=+++=+?-≠+?=++?+-=+?
???
????
1 1 )(1111 1111)( 1B A 100 1B )( C)(A )B()( A 1 , A )(1 }|{ )
(1)( 1)( .62222222
2
2222
2
222
22222于是有即则设的定义域为被积函数证明：
C b ax b b ax ln a C
b ax a b
b ax ln a b ax d b ax a b b ax d b ax a dx b ax a b dx b ax a dx b ax x a b
B a
B Ab Aa x B Ab a x b ax x b ax B
b ax A b ax x a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln a dx b ax x .+???
?
?+++=
++++?=++-++=+-+=+???
???
?
-==????=+=∴=++?++=+++=+-≠+=+??? ??+++=+??????
1 )( 1 )( )(1
)(11 )(1
11)
( 1A 01 )(A
B )A( ,)( )( }{ )
( 1)( 72
222
22222
22
22于是有即则设的定义域为被积函数证明：
()C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x b ax t C t b t ln b t a C t ln a b t a t a b dt t
a b dt a dt t a b dt t a bt t b dx b ax x t a bt t b t a t b b ax x dt a dx ,b t a x ,t t b ax a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x .+????
??+-+?-+=++=+-?-=+?-?+-=-+=-+=+∴-+=-=+∴=-=≠=+-≠+=+????
?
?+-+?-+=+?
?
?????
23222333323
32322322222222222222
2
232221)( )2(1 21 1
2112)( 2)()( 11 )0( }{)( 21)( 8代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：C
|x b
ax |ln ·b b ax b C b ax ·b b||ax ln b
|x|ln b dx b ax b a dx b ax b a dx x b b ax x dx b a D b a B b A 1Ab 0D Bb Aab 20Ba Aa Ab D Bb Aab 2x Ba Aa x Dx Bbx Bax Aabx 2Ab x Aa Dx
b ax Bx b ax A 1 b ax D
b ax B x A b ax x a b
x |x b ax x )x (f C |x
b ax |ln b b ax b b ax x dx .2
222
2222222++-+=++++?-?=
+-+-=+??
?
?
?
?
???
-=-==??????==++=+∴+++++=+++++=++++=++
++=+-≠+=
++-+=+?????22
22
222222
2
21)(11
111)(1
111)( 1 )()( )()( )()(1 }{)
(1 ·1)(1)
( 9于是有则设：的定义域为证明：被积函数
（二）含有
b
ax +的积分（10~18）
C
b ax a C b ax a b ax d b ax a dx b ax C b ax a
dx b ax ++?=++?+?=++=+++?=++?
??
312
1
213)(32
)(2
1111)()(1 )(32 .10证明：32222422211. (32)()152 (0) , , , 22
() x ax b dx ax b ax b C a t b t t b
ax b t t x dx dt x ax b t a a a
t b t x ax b dx t dt t bt dt a a a
+=?-?++--+=≥==+=?-∴+=
??=-?
???
证明：令
则53
53222
23
22322222 ()()53532 (35)152 [3()5]()15 b b d t d t t t C a a a a t t b C
a t ax
b x ax b dx ax b b ax b C
a =-=?-?+=-+=++=+-?++??
?
将代入上式得：32
2 (32)()15ax b ax b C a =?-?++[]
C b ax b abx x a a
b ax b b abx b x a b ax a dx b ax x b ax t C bt b t a
t C t a b t a b t a C t a b t a b t a dt t a b dt t a b dt t a dt
bt t b t t a dx b ax x a bt t b t t a b t b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx b ax x ++?+-?=
+?-++++?=++=+-+?=+?-?+?=+?+?-?+?+?+?=--=-+?=+∴-+=
?-=+=-=≥=+++?+-?=+?
??????
+++3
2223
22223322
243
3533327314321321
634323263325322
32522222322232)()81215(1052 )(4235301515 )(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(2
2)( , 2 , , )0( )()81215(1052 .12代入上式得：
将则令证明：
C b ax b ax a C b ax a b b ax b ax a dx b ax x b ax t C t a
b t a C t a b t a bdt a dt t a dt a t
at b t dx b ax x dt a
t
dx a b t x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x ++?-?=++?-+?+?=++=+?-?=+?-?+?=-=?-=+∴=-=>=+++?-?=+?
?
??
??
+)()2(32 )(2)()(32 232 22112 22 2
, 2 , , )0(
)()2(32 .132222322122222222代入上式得：将则令证明：[]
C b ax b abx x a a C b ax b ax b b abx b x a b ax a dx b
ax x b ax t C bt b t a
t C
t b t b t a dt t a b dt b a dt t a dt
bt b t a dt a t
t a b t dx b
ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx b
ax x ++?+-?=++?+?-+++?+?=++=+-+?=
+-+=-+=-+=??-=+∴=-=>=+++?+-?=+?
?
??
??
??
)()843(152
)()(1015)2(3)(152 )10153(152 )3251(2 422 )2(2
21)(
, 2 , , )0( )()843(152 .142223
2
2223
2
2
243
3253232343224322222223
2代入上式得：将则令证明：
??
?
?
?
?
?>+-+?->+++-+?=++-+?-=++=+-?-=-+=-<+++-+?=++=++-?=
-=->-=??-=+∴=-=>=+??
?
?
?
?
?<+-+?->+++-+?=+??
??
???????)0(
2)
0(
1 2 , 1
2
t
2 )
(1
22 0 .2
1
1 )(1
22 0b .1 2
21
, 2 , , )0( )0(
2
)
0(
1 .152
22222222b C b
b
ax arctan b
b C b
b ax b b ax ln b b ax x dx C b
b
ax arctan b
b ax x dx b ax t C
b arctan b dt b t dt b t b C
b
b ax b b ax ln b b
ax x dx b ax t C b t b t ln b dt b t dt b t dt
b t dt
a t
t a b t b
ax x dx dt a
t
dx a b t x t t b ax b C b
b
ax arctan b
b C b
b ax b b ax ln b b ax x dx 得：综合讨论代入上式得：将，时当代入上式得：将，时当则令证明：C a
x a
x ln a a x dx
++-?=
-? 21 21 22：公式C a x
arctan a a x dx +?=+?
1 19 2
2：公式
?
?
??
??
?
?
??
???
?+-+-=+++-+-=+?++-+-=+++-+-=+-+-=+++-=+???
????=-=????==+∴++=+++=+?+-+-=+-b ax x dx b a bx b ax dx
b ax x b a bx b ax dx b ax x b a dx b ax a
x b bx b ax dx b ax x b a b ax d x b bx b ax dx b ax x b a x
d b ax b dx b ax x b a dx x b ax b dx b
ax x b a b ax x dx b b a Bb Ba A b ax x x b ax B b ax x b ax x b ax x dx b a bx b ax b
ax x dx 2 1
21 )(2111 111 1
11
11 1
B A 10 )B( A 1 , A 1 2 .162122
2
22于是有则设证明：
2 212 )(2 2122 1
22 1
, 1
22 1
22 2 2 2
2 , , )0( 2 .1722222222222
22???
?????????????
+++=+?-+++=++=?-+=-+=+∴-∴-+=-+=-+-=-=?-=+∴=-=≥=++++=+b
ax x dx
b b ax dx b
ax a
b b ax b b ax dx x b ax b ax t dx
t a
b t b t dt
b
t b t dx x b ax dt b
t R b dt
b
t b t dt b t b dt dt b
t b b t dt
b
t t dt a t b t at dx x b ax dt a
t
dx a b t x t t b ax b
ax x
dx b b ax dx x
b ax 代入上式得：将不能明确积分
符号可正可负取值为则令证明：
高等数学积分表公式推导
目录 （一）含有ax + b的积分 （1~9） (1) （二）含有a x + b的积分 （10~18） (5) （三）含有x± a 2 2 的积分 （19~21）································ (9) （四）含有ax2+b (a > 0)的积分 （22~28） (11) （五）含有ax2+bx +c(a > 0) 的积分 （29~30）························· (14) （六）含有x 2 + a2(a > 0)的积分 （31~44） (15) (a > 0)的积分 （45~58）··································· (24) （八）含有a 2 ?x2(a > 0)的积分 （59~72） (37) （七）含有 x ? a 2 2 （九）含有± a +bx + c(a > 0)的积分 （73~78） (48) 2 （十）含有± x? a x? b 或(x? a)(b?x)的积分 （79~82） (51) （十一）含有三角函数的积分（83~112）·························· (55) （十二）含有反三角函数的积分（其中a>0) （113~121） (68) （十三）含有指数函数的积分 （122~131） (73) （十四）含有对数函数的积分 （十五）含有双曲函数的积分 （132~136）·························· (78) （137~141）·························· (80) （十六）定积分（142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式························· (85) 说明 (86) 团队人员 (87)
积分公式大全
2 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4 5 6．2 d () x x ax b +?＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7．2 d ()x x ax b +?＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++++ 8． 2 2d ()x x ax b +?＝ 2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d () x x ax b +?＝2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ．x ?＝ C 11 ．x ?＝2 2(3215ax b C a -
3
4 22 23．2 d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++ 24． 2 2d x x ax b +?＝2 d x b x a a ax b -+? 25．2d () x x ax b +? ＝ 2 21ln 2x C b ax b ++ 26．2 2 d ()x x ax b +?＝2 1d a x bx b ax b --+? 27．32d () x x ax b +? ＝ 2222 1ln 22ax b a C b x bx +-+ 28．2 2 d ()x ax b +?＝2 2 1d 2()2x x b ax b b ax b +++? （五）含有2 ax bx c + +(0) a >的积分 29．2 d x ax bx c ++?＝ 22(4) (4) C b ac C b ac +<+> 30．2 d x x ax bx c ++? ＝2 21d ln 22b x ax bx c a a ax bx c ++- ++? (0) a >的积分 31．＝1 arsh x C a +＝ln(x C +
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv
附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
高等数 学 积分表公式推导
页眉内容 目 录 （一）含有 ax + b 的积分（1~9） (1) （二）含有 ax + b 的积分（10~18） (5) （三）含有 x ± a 2 2 的积分 （19~21） (9) （四）含有 2 +b (a > 0)的积分（22~28）............................................11 （五）含有 ax 2 +bx +c (a > 0) 的积分 （29~30）. (14) （六）含有 x 2 + a 2 (a > 0)的积分（31~44） (15) (a > 0)的积分（45~58）·········································24 （八）含有 a 2 ? x 2 (a > 0)的积分（59~72）·········································37 （七）含有 x ? a 2 2 （九）含有 ± a +bx + c (a > 0)的积分（73~78） (48) 2 （十）含有 ± x ? a x ? b 或 ( x ? a)(b ? x)的积分（79~82） (51) （十一）含有三角函数的积分 （83~112）···········································55 （十二）含有反三角函数的积分（其中 a>0)（113~121）·······················68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）··········································73 （十四）含有对数函数的积 分 （十五）含有双曲函数的积分 （132~136） (78) （137~141）..........................................80 （十六）定积分 （142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式 (85) 说明 .....................................................................................86 团队人 (87)
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+
()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
1 2 基本积分表 kdx kx C (k 是常 数) 1 x x dx C, (u 1 1 dx In | x | C x dx 2 arl tanx C 1 x sin xdx cosx C secx tanxdx secx C cscx cot xdx cscx C e x dx e x C a x dx - C , (a 0,且 a 1) In a shxdx chx C chxdx shx C 1 丄 x arc tan C a a (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (⑵ (13) (14) (15) (16) cosxdx sinx C 1) —dx cos x —V-dx sin x tan x C cot x C y dx
1 dx 1 2 2 .a x x arc sin- C a 从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式: 类换元法也叫凑微分法。 务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 (17) 2-ln —| C 2a x a (19) ,1 dx a 2 x 2 ln( x .a 2 x 2) C (20) dx .x 2 a 2 In |x x 2 a (21) tan xdx In | cosx | C (22) cot xdx In | sinx| C (23) secxdx In | secx tanx (24) cscxdx In | cscx cotx C C I I (18) 注：1、 ?2 sin x 2 2 cos x 1,ta n x 2 2 sec x,sin 2x 2sin xcosx, cos x 1 cos2x ， sin 2 x 1 cos2x 注：由 f[ (x)] '(x)dx f[ (x)]d (x)，此步为凑微分过程，所以第 此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如,
定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明：
基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+?
（15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++? （17）22 11ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+ （19） ln(x C =++ （20） ln ||x C =++ （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ，
基本积分表 1、? +=c kx kdx 2、?++=+c a x dx x a a 11 3、?+=c x dx x ln 1 4、?+=+c x dx x arctan 112 5、?+=-c x dx x arcsin 112 6、? +=c x xdx sin cos 7、?+-=c x xdx cos sin 8、??+==c x xdx dx x tan sec cos 12 2 9、??+-==c x xdx dx x cot csc sin 122 10、?+=c x xdx x sec tan sec 11、? +-=c x xdx x csc cot csc 12、?+=c e dx e x x 13、?+=c a a dx a x x ln 14、?+=c chx shxdx 其中2 x x e e shx --=为双曲正弦函数 15、?+=c shx chxdx 其中2 x x e e chx -+=为双曲余弦函数
基本积分表的扩充 16、? +-=c x xdx cos ln tan 17、?+=c x xdx sin ln cot 18、?++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=?2 tan ln cot csc ln csc 20、?+=+c a x a dx x a arctan 1122 21、?++-=-c a x a x a dx a x ln 21122 22、?+-+=-c x a x a a dx x a ln 21122 23、? +=-c a x dx x a arcsin 122 24、? +++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、 ?+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1 sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
高等数学 积分表公式推导
目 录 （一）含有b ax +的积分（1~9）.......................................................1 （二）含有b ax +的积分（10~18） (5) （三）含有22a x ±的积分（19~21） (9) （四）含有)0( 2>+a b ax 的积分（22~28） (11) （五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有)0( 22>+a a x 的积分（31~44） .........................................15 （七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0( 22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0( 2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48) （十）含有 或))((x b a x --的积分（79~82） ...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式·········································85 说明·····················································································86 b x a x --±
目 录 （一）含有b ax +的积分（1~9）·······················································1 （二）含有 b ax +的积分（10~18） (5) （三）含有22a x ±的积分（19~21） (9) （四）含有)0( 2 >+a b ax 的积分（22~28） (11) （五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有 )0( 22>+a a x 的积分（31~44） .........................................15 （七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0( 22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0( 2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48) （十）含有 或))((x b a x --的积分（79~82） ...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式 (85) b x a x --±
基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++?
（17）2211ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =+ （20） ln |x C =+? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ， 21cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10)
(11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='?? ????? （2）()()() ()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 ) ()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f += 1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -= ；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 .
当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因 为，故（，）式右边的 是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：
定积分证明题方法工作总结 对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。希望对大家有所帮助，欢迎阅读。 篇一：定积分计算方法总结 一、不定积分计算方法 1.凑微分法 2.裂项法 3.变量代换法 1)三角代换 2)根幂代换 3)倒代换 4.配方后积分 5.有理化 6.和差化积法 7.分部积分法(反、对、幂、指、三) 8.降幂法 二、定积分的计算方法 1.利用函数奇偶性 2.利用函数周期性 3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限 1.积和式极限 2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3.洛必达法则 4.等价无穷小 四、定积分的估值及其不等式的应用 1.不计算积分，比较积分值的大小 1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则>=()dx 2)利用被积函数所满足的不等式比较之a) b)当0 2.估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a)<=<=M(b-a) 3.具体函数的定积分不等式证法 1)积分估值定理 2)放缩法 3)柯西积分不等式 ≤% 4.抽象函数的定积分不等式的证法 1)拉格朗日中值定理和导数的有界性 2)积分中值定理
3)常数变易法 4)利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法 篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dxaabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dxaaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dxaac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xini=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F(x)=f(x)ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
基本积分表Newly compiled on November 23, 2020
基本积分表 1、? +=c kx kdx 2、?++=+c a x dx x a a 11 3、?+=c x dx x ln 1 4、?+=+c x dx x arctan 112 5、?+=-c x dx x arcsin 112 6、? +=c x xdx sin cos 7、?+-=c x xdx cos sin 8、??+==c x xdx dx x tan sec cos 12 2 9、??+-==c x xdx dx x cot csc sin 122 10、?+=c x xdx x sec tan sec 11、? +-=c x xdx x csc cot csc 12、?+=c e dx e x x 13、?+=c a a dx a x x ln 14、?+=c chx shxdx 其中2 x x e e shx --=为双曲正弦函数
15、?+=c shx chxdx 其中2 x x e e chx -+=为双曲余弦函数 基本积分表的扩充 16、? +-=c x xdx cos ln tan 17、?+=c x xdx sin ln cot 18、?++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=?2 tan ln cot csc ln csc 20、?+=+c a x a dx x a arctan 1122 21、?++-=-c a x a x a dx a x ln 21122 22、?+-+=-c x a x a a dx x a ln 21122 23、? +=-c a x dx x a arcsin 122 24、? +++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、 ?+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
【2017年整理】积分公式表,常用积分公式表积分公式表 1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: ,x，，，，，，ftdt,fx(1) ,,,a，，,bx，，，，,,，，，，，，，，，，ftdtf,,bxbxf,,axax,,(2) ,,，，,ax，，bbf(x)dx,F(x),F(b),F(a)a,a(3)若F(x)是f(x)的一个原函数，则 3、积分方法 ax，b,t;设: ，，，，1fx,ax，b 22x,asint;设: ，，，，2fx,a,x 22 ;设: x,asect，，fx,x,a 22x,atant ;设: ，，fx,a，x udv,uv,vdu，，3分部积分法: ,, 附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分，应分为与 .
当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时， 公式(4)、(5)为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 ( ， )式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数;指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分