【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个
图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。
一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：
典型例题：
例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】
A．B．C．D．
【答案】B。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误。
故选B。
例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】
A．B．C．D．
【答案】A。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此
A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意。
故选A。
例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】
【答案】A。
【考点】轴对称图形，中心对称图形。
【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形。
故可得选项A与其他图形的对称性不同。故选A。
例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【】
【答案】C。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可：
A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；
B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；
C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；
D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。
故选C。
例5. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B （－3，－3），C（－1，－3）.
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）
②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.（4分）
【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。
②如图所示，A2（2，1）。
【考点】轴对称和中心对称作图。
【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。
例6. （2012四川乐山9分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在（1）问的结果下，连接BB 1，CC 1，求四边形BB 1C 1C 的面积．
【答案】解：（1）如图，△A 1B 1C 1 是△ABC 关于直线l 的对称图形。
（2）由图得四边形BB 1C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4。
∴S 四边形BB 1C 1C ()()1111BB +CC 4=4+2=1222
???。 【考点】作图（轴对称变换）。
【分析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．作BM ⊥直线l 于点M ，并延长到B 1，使B 1M =BM ，同法得到A ，C 的对应点A 1，C 1，连接相邻两点即可得到所求的图形。
（2）由图得四边形BB 1 C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4，根据梯形的面积
公式进行计算即可。
例7. （2012贵州安顺4分）在镜中看到的一串数字是“
”，则这串数字是 ▲ ． 【答案】309087。
【考点】镜面对称。
【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面，很容易从镜子里看到答案是309087。
例8. （2012福建宁德4分）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿
图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是【】
A．B．
C．D．
【答案】B。
【考点】剪纸问题
【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项B中所示。故选B。
例9. （2012福建龙岩12分）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．
（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为；
（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；
（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为．
【答案】解：（1）3。
（2）作出的折合矩形EFGH：
（3）2a；2a。
【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。
【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形EFGH的面积为△ABC的面积的一半，（2）按题意，作出图形即可。
（3）由如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形边长为a，BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a。
根据勾股定理可得正方形EFGH的对角线长为2a。
例10.（2012山东潍坊3分）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是【】．[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)]
A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2)
C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6)
【答案】C。
【考点】利用轴对称设计图案。
【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：
A、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；
B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；
C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形；
D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。
故选C。
练习题：
1. （2012浙江宁波3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【】
A．B．C．D．
2. （2012江苏连云港3分）下列图案是轴对称图形的是【】
A．B．C．D．
3. （2012贵州遵义4分）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有▲ 种．
4.（2012贵州遵义3分）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是【】
A．B．C．D．
5.（2012广西钦州3分）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【】
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
6. （2012四川广安8分）现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．
7. （2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为▲ ．
8. （2012广东广州12分）如图，⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M （5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方．
（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．
9. （2012湖南郴州6分）作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
二、线段、角的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012湖北恩施3分）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于【】
A．50°B．60°C．65°D．90°
【答案】C。
【考点】平行线的性质，角平分线的定义。
【分析】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠1=50°，∴∠BEF=130°（等量代换）。
∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=1
2
∠BEF=65°（角平分线的定义）。
∴∠2=∠BEG=65°（两直线平行，内错角相等定理）。故选C。
例2. （2012海南省3分）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是▲ .
【答案】
9。
【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。
【分析】∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC。
又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。
同理，EO=EC。
又∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长
=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE
=AB＋AC=5＋4=9。
例3.（2012广东梅州3分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=▲ ．
【答案】2。
【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】作EG⊥OA于F，
∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，
∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°。
∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2。
例3.（2012贵州铜仁5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
【答案】解：作图如下：M即为所求。
【考点】作图（应用与设计作图）。
【分析】连接AB，作出线段AB的垂直平分线，在矩形中标出点M的位置（以点C为圆心，1
AB长为半径画弧交AB的垂直平分线于点M）。
2
例4.（2012山东德州8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
【答案】解：作图如下：C1，C2就是所求的位置。
【考点】作图（应用与设计作图）。
【分析】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点。
（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG。则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置。
练习题：
1. （2012湖南怀化3分）如图，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D，∠C=110°，
则∠EAB 为【 】
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．45°
2. （2012贵州黔南4分）如图，已知直线AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，交CD 于D ，∠CDE =1500，则∠C 的度数是【 】
A ．1500
B ．1300
C ．1200
D ．1000 3. （2012云南省3分）如图，在?ABC 中，∠?B=67，∠?C=33，AD 是?ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为【 】
4. （2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD =4，则点D 到斜边AB 的距离为 ▲ ．
5.（2012湖南娄底4分）如图，FE ∥ON ，OE 平分∠MON ，∠FEO =28°，则∠MFE = ▲ 度．
三、等腰（边）三角形的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012黑龙江牡丹江6分）
已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角
形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线
【答案】解：能拼成3种平行四边形，如图：
图1中，对角线的长为5；
图2中，对角线的长为3和73；
图3中，对角线的长为4和213
【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。
【分析】根据平行四边形的性质拼图。图1中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为5；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为22
3+8=73；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为22
4+6=52=213。
例2.（2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【】
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C 。
【考点】等腰三角形的判定。
【分析】如图，分OP =AP （1点），OA =AP （1点），OA =OP （2点）三种情况讨论。 ∴以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有4个。故选C 。
例3. （2012湖北荆门3分）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF =2，则PE 的长为【 】
A ． 2
B ． 2
C ．
D ． 3 【答案】C 。
【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。
【分析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线，∴∠EBP =∠QBF =30°，
∵BF =2，FQ ⊥BP ，∴BQ =BF ?cos 30°
=2×3=32。
∵FQ 是BP 的垂直平分线，∴BP =2BQ =23。
在Rt △BEF 中，∵∠EBP =30°，∴PE =12
BP =3。故选C 。
例4. （2012上海市4分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为▲ ．
【答案】4。
【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。
【分析】设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：1
a
3
，
∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，
∴
1
2a=2
3
?，解得a=3。
∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心=
22
2a=23=4
33
???。
例5. （2012黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP= ▲
【答案】4或1或9。
【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，根据题意，
∵AB=10，BC=3，E为AB边的中点，
∴AE=5，AD=3。
若AE=AP=5，则在Rt△ADP1中，
由勾股定理，得DP1=4。
若AE=PE=5，A作EF⊥CD于点F，则EF=3，DF=5
在Rt△EFP2中，P2F=4，∴DP2=DF－P2F=1：在Rt△EFP3中，P3F=4，∴DP3=DF ＋P3F=9。
另AP=EP=5不成立。
综上所述，DP=4或1或9。
例6. （2012湖北随州8分）如图,在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD 上.
求证：（1）ΔABD≌ΔACD；(2)BE=CE
【答案】证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，
∴△ABC≌△ACD（SSS）。
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE。
在△ABE和△ACE中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS）。∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABD≌△ACD。
（2）由（1）的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE；根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABE≌△ACE；由全等三角形的对应边相等知BE=CE。
练习题：
1. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【】
A．2 B．3 C3D3+1
2. （2012湖北孝感3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36o，BD平分∠ABC交AC
于点D．若AC＝2，则AD的长是【】
3. （2012江苏淮安3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=700，则∠BAD= ▲ 0。
4. （2012四川泸州5分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE。
求证：AE∥BC
5. （2012甘肃白银10分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012辽宁沈阳3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中
的等腰直角三角形有【 】
A ．4个
B ．6个
C ．8个
D ．10个
【答案】C 。
【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。
【分析】∵正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，
∴AB =BC =CD =AD ，OA =OB =OC =OD ，四个角都是直角，AC ⊥BD 。
∴图中的等腰直角三角形有△AOB 、△AOD 、△COD 、△BOC 、△ABC 、△BCD 、
△ACD 、△BDA 八个。故选C 。
例2. （2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为【 】
A .22a
B . 32a
C . 42a
D .52a
【答案】A 。
【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。
【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是2a ，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：
222114222
a a a +??=。故选A 。 例3. （2012山西省2分）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是【 】
A ．53cm
B ．25cm
C ．48cm 5
D ．24cm 5 【答案】D 。
【考点】菱形的性质，勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD 是菱形，∴CO =12AC =3，BO =12
BD =，AO ⊥BO ， ∴2222BC=CO +BO 3+45==。∴ABCD 11S BD AC 682422
=?=??=菱形。 又∵ABCD S BC AE =?菱形，∴BC ·AE =24，即()24AE cm 5
=。故选D 。 例4. （2012江苏南通3分）如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝8cm ，∠AOD ＝120o，则AB 的长为【 】
A ．3cm
B ．2cm
C ．23cm
D ．4cm
【答案】D 。
【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。
【分析】在矩形ABCD 中，AO =BO =12
AC =4cm ， ∵∠AOD =120°，∴∠AOB =180°－120°=60°。∴△AOB 是等边三角形。
∴AB =AO =4cm 。故选D 。
例5. （2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A =120°，则图中阴影部分的面积是【 】
A 3
B ．2
C ．3
D 2
【答案】A。
【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，∴CM BC
GF BG
=，即
CM2
32+3
=。
解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。
∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×3
3 =，
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×333 =。
∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=1
2
×0.8×3+
1
2
×0.8×
33
3
=。故选A。
例6. （2012广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为▲ ．