第二章 单自由度系统的自由振动
本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。
§2-1 无阻尼系统的自由振动
无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K
若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动
到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由
于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘
积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m &&
(1-1-1 令
m
k
p =
2 (1-1-2)
单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为
02=+x p x &&
(1-1-3)
设方程的特解为 st
e x =
将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为
ip
s p s ±==+2,1220
则(1-1-3)的通解为
pt
D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4)
C 、
D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时
00,x x x x &&==
（1-1-5）
()x m x k W F &&
=+?-=
∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ?
==k mg
W x
&x
)
则
pt p
x pt x x sin cos 0
0&+
= （1-1-6）
经三角变换，又可表示为
)sin(α+=pt A x
（1-1-7）
其中 0012
20,x px tg p x x A &&-=???
? ??+=α （1-1-8） 自由振动的振幅A 和初相位角与系统的参数和初始条件有关。
系统的振动周期
k
m
p T π
π22==
秒（s ） 系统振动的频率为
) ( 21211mg k g
m k T f n =??
===
ππ 秒-1(s -1)或(Hz) 系统振动的圆频率为T
f m k p n ππ22=== 弧度/秒(rad/s)
§2-2 能量法
系统的动能T 与势能U 之和称为系统的机械能。在没有阻尼的情形下，系统没有能量损失，机械能将守恒，即 T+U=常量 （2-2-1） 因而有
0)(=+U T dt
d
（2-2-2）
应用上二式好可得到系统的运动方程和固有频率。 设物体按x=Asin （n +）的规律作谐振动。取平衡位置为零势能点，物体在任意位置x 时的动能T 和势能U 分别为
222
,2x k U x m T ==
& 将上二式代入（1-2-2）可得系统运动方程。
当物体运动经过平衡位置x=0时，动能达最大值
22max 21
A mp T =
当物体位移最大时，即x=A ，T=0，U 达最大值 2max 2
1kA U =
因此 T max =U max
（2-2-3）
即
2222
121kA A m n =ω
得 m
k p m k
p
==
,2
§2-3 阻尼系统的自由振动
实际系统中阻尼总是存在的，它不断消耗系统的能量，使运动逐渐减弱，直至振动完全消失。 阻尼产生的根源有多种，不同的来源产生的阻尼力其变化规律也不相同。常见是一种粘性阻尼，其阻尼力与物体运动速度大小成正比，方向与速度方向相反，即 F R =cv
其是c 称为粘性阻尼系数，v 为物体的运动速度。 粘性阻尼系统的运动方程:
0=++kx x c x m &&& (2-3-1) 令
p m
c
p m k ζ2,2== (2-3-2)
(1-3-1)运动方程化为
022=++x p x p x &&&ζ
(2-3-3)
设特解
st e x =
得特征方程及特征根
p
s p ps s )1(,022
2,122-±-==++ζζζ (2-3-4)
方程(1-3-3)的通解 t s t
s e C e C x 2121+=
(2-3-5) 或
p
s p
s e
C e
C x )1(2)1(122,122,1---=-+-=+=ζζζζ
(2-3-6)
阻尼讨论:
1.>1,大阻尼情形 由于s 1、s 2 均为负实数，运动解x 将按指数规律减小，并趋于平衡位置。
2.=1,临界阻尼情形 特征方程有重根 s 1=s 2=-p ，方程的通解为
pt e Dt C x -+=)(
（2-3-7）
系统受初始干扰离开平衡位置后又逐渐回到平衡位置，运动不明往复性的。
3.<1,小阻尼情形
特征方程的根为共轭复数 p i s )1(2
2,1ζζ-±-=
（2-3-8） 运动解 ()qt D qt C e
x pt
sin cos +=-ζ
（2-3-9）
其中 p q 21ζ-=
C 、
D 由运动的初始条件确定。当t=0时，00,x x x x &&==
则
q
px x D x C 0
00,ζ+=
=& （2-3-10）
运动解也可表示为 ()αζ+=-qt Ae
x pt
sin
（2-3-11）
其中 0
001
2
020,px x qx tg q px x x A ζαζ+=???? ??++=-&& （2-3-12）
由于系统的运动的幅度是逐渐减弱的，被称为衰减振动。衰减振动不是周期性运动。但运动
通过平衡位置的间隔时间是相同的。 物体通过平衡位置的时间间隔为
2211122ζ
ζππ-=
-==
T
p q T （2-3-13）
称为衰减振动的周期。衰减振动任意两个相邻的振幅之比等于
1
1)(1pT pt T t p i i e Ae
Ae A A i
i ζζζη--+-+=== （2-3-14）
取自然对数（对数减缩率）
11
ln ln pT e pT ζηδζ-===-
（2-3-15）
当=1时,临界阻尼系数km mp c c 22== 则 阻尼比: c
c c
=
ζ
第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d ）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c ）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m 1是砂轮架的质量，k 1是砂轮架支承在 进刀拖板上的静刚度，m 2是砂轮及其主轴系统的质量，k 2是砂轮主轴支承 在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x 1及x 2分别作为各质量的独立坐标。这样x 1和x 2就是用以确定 磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示] §3-2 两自由度系统的自由振动 一、系统的运动微分方程（①汽车动力学模型） ②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原 点，以向下为正方向。 (分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。这些力的作用方向如图所示。
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角 2 a ＝h 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 F sin α 2 θ h mg
其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图
习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2 n kg P W Q h w e W = =， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
广义坐标的特点 （大庆师范学院物理与电气信息工程系 ）摘要：广义坐标是不特定的坐标，与虚功原理联系紧密。假若，我们用一组广义坐标来导引方程，所得到的答案，可以应用于较广范的问题；并且，当我们最后终于设定这坐标时可以用来解决拉格朗日力学，哈密顿力学都需要用到广义坐标来表示基要概念与方程的问题。 关键词：广义坐标;虚功原理;拉格朗日方程 作者简介：陆展鹏男安徽省池州市贵池区黑龙江省大庆市大庆师范学院物理与电气信息工程学院学生物理学专业 0引言 在分析力学中,广义坐标αq ,广义速度αq ,广义动量αp 是最基本的变量。 通常用广义坐标来确定力学体系的位形,而将广义力α Q ,拉格朗日函数L 等物理量表示为αq 和αp 的函数,进而用虚功原理讨论力学体系的平衡条件。 1广义坐标 用以确定质点系位置的独立参变量与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标 一般地：n 个质点自由度为k ，取广义坐标：k q q q ??????21,),,(21t q q q x x k i i ??????=),......,(21t q q q y y k i i =) ,,(21t q q q z z k i i ??????=),,(21t q q q r r k i i ??????= (i =1,2,······n ) 1.1自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体(形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
66)(43=-?=（刚杆数）质点数k ,此后每增加一个质点就增加三根刚杆,连接质点的刚杆数为6 3-n 自由度数为：63=-=s n k ，n >4 1.2自由刚体的广义坐标 基点的直角坐标()000,,z y x 和欧拉角?θψ,,组成的6个独立参变量就是自由刚体的广义坐标它们被用于描述刚体的位形，约束刚体的自由度与广义坐标：约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。2广义坐标与虚功原理的关系 2.1实位移与虚位移 设质点按照规律： ()t f x 1=()t f y 2=()t f z 3=， 运动那么在无线短的时间dt 内，质点的位移为dr 则位矢与坐标与时间t 有关，若时间t 的变化非常小，则dr 为0，这为实位移。虚位移则是在dt 近似为零是位移的可能的数值。虚位移与时间没有关系。 2.2虚功原理 虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的"虚"字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。 虚功原理阐明，对于一个静态平衡的系统，所有外力的作用，经过虚位移，所作的虚功，总和等于零。考虑一个由一群粒子组成，呈静态平衡的系统。作用于任何一个粒子pi 的净力等于零：作用于任何一个粒子pi 的净力，经过虚位移，所作的虚功为零。因此，所有虚功的总和也是零：分析到这里，请特别注意，对于任意位移，虚功总和方程式都是正确的。 2.3广义坐标应用于虚功原理 在数学中，表示微小增量的符号?与微分符号d 所表示的数量虽然相近，但是其意义有本质不同。而在分析力学中表示元功和微小的虚功，却都用一个符号6，这样就必然会造成理论上的混乱。质点为约束所允许的无限小位移称为虚位移，并把.N r δ与r F δ合称为元功，同时，在平衡位置上，主动力元功之和也不为零。虚功原理需要广义坐标来推导，广义
[键入公司名称] 单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定实验 报告 班级：结02 实验人：陈伟 同组人：陈光赵煜民 2011/10/31 理论力学实验报告
一、实验目的 1. 掌握测定单自由度系统固有频率、阻尼比的几种常用方法； 2. 掌握常用振动仪器的正确使用方法。 二、实验内容 1. 记录水平振动台的自由衰减振动波形； 2. 测定水平振动台在简谐激励下的幅频特性； 3. 测定水平振动台在简谐激励下的相频特性； 4. 根据上面测得的数据，计算出水平振动台的固有频率、阻尼比。 三、实验原理 具有粘滞阻尼的单自由度振动系统，自由振动微分方程的标准形式为 022=++q p q n q ，式中q 为广义坐标，n 为阻尼系数，eq eq m C n /2=，eq C 为广义阻力系数，eq m 为等效质量；p 为固有的圆频率，eq eq m K p /2=，eq K 为等效刚度。在阻尼比 1/<=p n ζ的小阻尼情况下，运动规律为)sin(22α+-=-t n p Ae q nt ，式中A ，α由 运动的起始条件决定， d f n p π222=-。 具有粘滞阻尼的单自由度振动系统，在广义简谐激振力t H t s ωsin )(=作用下，系统强 迫振动微分方程的标准形式为t h p q n q ωsin 22 =++ ，式中/eq h H m =。系统稳态强迫振 动的运动规律)sin(?ω-=t B q ，式中 振幅2 2 2 20 2 2 2 22 4)1(4)(λ ζλω ω+-= +-= B n p h B 相位差2 2212arctg 2arctg λ ζλ ωω?-=-=p n 其中eq k H p h B == 2 0，p ωλ=。 由台面、支撑弹簧片及电磁阻尼器组成的水平振动台，可视为单自由度系统，它在瞬时或持续的干扰力作用下，台面可沿水平方向振动。 1. 衰减振动：
1α，小车与斜面之间摩擦力 gk P T π 2=， ?? ? ??+= α2sin 2k P h k P A 2 m 。 ()2 2 34mr a r k n +=ω 3．确定图2-3系统的固有频率。
() r R g n -= 32ω 图2-3 第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在
于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ??? =+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-1车辆模型 图5-2两自由度的弹簧质量系统
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+?? ? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 2 2 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 22 ,1bc ad d a d a p --??? ??++=μ bc d a d a +?? ? ??-+=2 22μ (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
第三章单自由度体系 直接积分法
主要内容 ?两种直接积分方法 （1）中心差分法 （2）Newmark—β法 ?数值积分的稳定性 ?了解算法阻尼（数值阻尼）现象
1. 数值积分概述（直接积分法，逐步积分法） (Direct Integration Methods, Step-by-Step Methods) 运动方程：In direct integration the equations of equilibrium are integrated using a numerical step-by-step procedure, the term ‘direct ’meaning that prior to the numerical integration, no transformation of equations into a different form is carried out. (K.J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, 1996.)Two ideas: (1)运动方程并不在任何时间t 都得到满足，而仅仅是在以时间间隔为Δt 的离散时间点上得到满足。 (2)在时间间隔Δt 内，对位移、速度和加速度的变化作出某些假定。 ()()()mu c t u k t u p t ++=
1. 数值积分概述 常用的数值积分方法： （1）分段解析法； （2）中心差分法； （3）Runge-Kutta法； （4）Houbolt法； （5）平均加速度法； （6）线性加速度法； （7）Newmark—β法； （8）Wilson —θ法； （9）HHT法(Hilber-Hughes-Taylor method)； （10）精细积分法； ……
第14章 虚位移原理 在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。 从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。 虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。 14.1 约束·自由度·广义坐标 质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。按约束方程的形式对约束进行以下分类。 1.几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图14-1所示的单摆，其约束方程为 222l =y +x 又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为 ?????--0+22222 =y l =)y (y +)x (x r =y x B B A 2B A A A
图14-2 x y 图14-3 上述例子中的约束方程均表示几何约束。 如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C 的速度为 ωr =v c 运动约束方程为 0=ωr v c - 设c x 和φ分别为轮心C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为 0C =r φx - 2.定常约束与非定常约束 约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。约束 方程中显含时间的约束称为非定常约束，例如将单摆的绳穿在小环上，如图14-4所示，设初始摆长为0l ，以不变的速度拉动摆绳，单摆的约束方程为 2022)vt l (=y +x - 约束方程中有时间变量t ，属于非定常约束。 x 图14-4
第三章 单自由度有阻尼系统的振动 3—1 阻尼的作用与分类 前述无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周期性等幅振动。但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。 阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。 1.干摩擦阻尼： 两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面之间的法向压力N 成正比，即符合摩擦定律F=fN ，式中f 是摩擦系数。 2.粘性阻尼： 物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间 产生的阻尼就是这种阻尼。粘性阻尼与速度的一次方成正比，即x c F ,式中c 为粘性阻尼系 数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为N ·s/cm 。物体以较大速度 在流体中运动时（如3m/s 以上），阻尼将与速度的平方成正比，即2 x b F ，式中b 为常数，此种阻尼为非粘性阻尼。 3.结构阻尼、 材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。 由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。有关等效粘性阻尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。 3－2具有粘性阻尼的自由振动 单自由度有阻尼振系的力学模型如图3-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为 kx x c x m －＝－ 式中 ： x c 为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。
第1章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 1.4 求图1-33中标出参数的系统的固有频率。 1.5 求图1-34所示系统的固有频率。图中匀质轮A 半径R,重物B 的重量为P/2,弹簧刚度为k. 1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R ，质量为M ，作纯滚动。弹簧刚度为K 。 1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A 的质量为A m ，半径为A r ，齿轮B 的质量为B m ，半径为B r ,杆AC 的扭转刚度为A k , ,杆BD 的扭转刚度为B k 。 1.8已知图1-37所示振动系统中，匀质杆长为l ，质量为m ，两弹簧刚度皆为K ，阻尼系数 为C ，求当初始条件00 0==θθ 时
（１）t F t f ωsin )(=的稳态解； （２）t t t f )()(δ=的解； 1.9图1-38所示盒内有一弹簧振子，其质量为m ，阻尼为C ，刚度为K ，处于静止状态，方盒距地面高度为H ，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。 1.10汽车以速度V 在水平路面行使。其单自由度模型如图1-39。设m 、k 、c 已知。路面波动情况可以用正弦函数sin()y h at =表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。 1.11.若电磁激振力可写为t H t F 02sin )(ω=，求将其作用在参数为m 、 k 、 c 的弹簧振子上的稳态响应。 1.1 2.若流体的阻尼力可写为3x b F d -=,求其等效粘性阻尼。
% 单位：N/mm/s/ton function res=Newmark(alpha,C) % 系统设置； T=0.1/alpha; K=(2*3.1415926/T)^2; M=1; % C=0; % 定义参数 h=0.0002; beta=0.25; gamma=0.5; con=zeros(1,7); con(1)=1/(beta*h^2); con(2)=gamma/(beta*h); con(3)=1/(beta*h); con(4)=1/(2*beta)-1; con(5)=gamma/beta-1; con(6)=0.5*h*(gamma/beta-2); con(7)=h*(1-gamma/(2*beta)); % 有效刚度 Ke=K+con(1)*M+con(2)*C; % 定义矩形荷载 t=0:h:1; f=zeros(1,size(t,2)); for i=1:size(t,2) if t(i)==0 f(i)=0; else if t(i)>0 && t(i)<=0.1 f(i)=1000*(3.1415926)^2; else f(i)=0; end end % plot(t,f); % 系统初始条件 u0=0; du0=0; ddu0=0; U=zeros(3,size(t,2)); % 求解 for i=1:(size(t,2)-1) fe=f(i+1)+M*(con(1)*u0+con(3)*du0+con(4)*ddu0)+C*(con(2)*u0+con(5)*du 0+con(6)*ddu0); u1=fe/Ke;
du1=con(2)*(u1-u0)-con(5)*du0+con(7)*ddu0; %计算速度和加速度； ddu1=(f(i+1)-C*du1-K*u1)/M; U(:,i+1)=[u1;du1;ddu1]; u0=u1; du0=du1; ddu0=ddu1; end res=[U;t]; end
1α，小车与斜面之间摩擦力 gk P π2=，??? ??+=α2sin 2k P h k P A 2。 ()22 34mr a r k n +=ω 3()r R g n -=32ω 图2-3 第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题
中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这
第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由 于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时 00,x x x x &&== （1-1-5） ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )
第二章 单自由度 2.1 求题图2.1所示系统的无阻尼、有阻尼固有频率及周期 题图：2.1 2.2图示为车辆在道路上行驶时振动分析的简化模型，质量块m 表示车辆车体。由于地面不平顺，车辆行驶时，引起车辆竖向振动。道路不平顺可用路程s 的函数()y s 描述，当车辆 以速度v 匀速运动时，有s vt =、道路不平顺可转化为时间的函数()y vt 。试用绝对或 相对坐标描述车体的位移，建立振动微分方程。 题图2.2 2.3已知：弹簧质量系统，质量块为m ，弹簧刚度为k ，已知，()00x x =，()00x x =，不考虑弹簧的质量，试求三种表达式表达的响应。 2.4假设弹簧长度为l ，单位长度质量为ρ，建立考虑弹簧质量的振动微分方程，求出固有频率并与不考虑弹簧质量时比较。（提示：可假设弹簧纵向位移函数，函数左端为零、右端 与质量块同，用能量法建立方程） ) s i t e ω
k m x 题图2.3 2.5 有阻尼的弹簧质量系统，已知m 196kg =，k=19600N/m ，m s N c /2940?=，作用在质量块上的激振力为P(t)=160sin(19t)N ，试求考虑阻尼和忽略阻尼的两种情况中，系统的振幅放大因子及位移。 2.6 有实验测得一个系统有阻尼时固有频率为d ω，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激励频率为m ω，求系统的无阻尼固有频率n ω，相对阻尼系数ξ及对数衰减率δ。 2.7 已知系统的弹簧刚度为k=800N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值为 i i 1 4.21 A A +=，若质量块受激振力P(t)=360cos(3t)的作用，求系统的稳态响应。 2.8 一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率为16rad /s ω=时，系统发生共振，给质量块增加1kg 的质量后重新试验，测得共振频率为2 5.86rad /s ω=，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 2.9 如题图 2.4所示，作用在质量块上的激振力为0P(t)=P sin t ω，弹簧支承端有运动 t a x s ωcos =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题图2.4 题图2.5 0sin t ω )
function y=kst(t0,t1,t2,ts,m,b0,b1,w0,c) t0=input('请输入起始时间:t0= ');t1=input('请输入荷载消失时间:t1= ');t2=input('请输入想要的时间:t2= '); ts=input('请输入时间步长:ts= '); m=input('请输入质量:m= ') ;b0=input('请输入荷载截距:b0= ');b1=input('荷载消失时的荷载:b1= ');k=input('请输入刚度:k= ') ; c=input('请输入阻尼比:c= '); w0=sqrt(k/m);w1=w0*sqrt(1-c^2); t=t0:ts:t2; for i=1:(length(t)) x=linspace(t(1),t(length(t))) p=interp1([t0 t1],[b0 b1],t); p(find(isnan(p)==1)) = 0; px=linspace(p(1),p(length(t))); a=px.*exp(c*w0*x).*cos(w1*x); A=trapz(x,a); b=px.*exp(c*w0*x).*sin(w1*x); B=trapz(x,b); y=exp(-c*w0*t).*(A.*sin(w1*t)-B.*cos(w1*t))./(m*w1) v=diff(y) a0=diff(y,2) end ymax=max(y)
figure plot(t,y); 此程序为复合梯形法计算冲击荷载作用下的杜哈梅积分。 以P(t)=-1250000*(t+0.08)的冲击荷载为例，质量：m=6.4；阻尼比c=0.05；刚度：k=34847.77 N/m.将参数输入程序得到以下结果：
y s y(t) s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y §1 单自由度体系的自由振动 一、无阻尼的自由振动： 如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg =， 梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相 应的质量位置称为质量的静力平衡位置。若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。 1、建立运动方程 建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。 今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+
上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。 而 1y s W k =? 即 y s W k =? 因此，将()s k y y s =-+和y s W k =?代入式（1）得 ()0 F t ky =-+ （2） 上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。 将2 2 ()d y F t m dt =-代入式（2）得： 2 2()0d y m ky t dt += 令2 k m ω= dy y dt = （速度） 2 2 d y y dt = （加速度） 则 2 2 ()0d y m ky t dt += 可变为 2 y y ω+= （3） 此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。 若采用柔度法建立运动方程（建立位移方程），以静力平衡位置作为计算位移的起点，则梁在质量m 处除惯性力2 2()d y F t m dt =-这个假想的 外荷载作用外，再无其他外力作用。所以由达朗伯原理可知，梁在集中质量m 处任一运动瞬时的位移为