摘要
在算法程序的设计与编写过程中，根据对本题的要求分析，结合设计对象的特点，实现一元多项式的加、减、乘、除以及对多项式求导、求值的相关计算。根据一元多项式的结构特点和运算规则。本程序中采用了链表的存储与实现，采用链表可以很方便的对其中的结点进行插入、删除等操作。通过链表的合并即可完成多项式的四则运算。
1 引言：
1.1 待处理问题的问题背景：本题要求对从键盘上输入的任意两个一元多项式，能够分别对每个多项式进行降幂排序并输出，实现对这两个多项式的加、减、乘、除等相关运算。在具体实现时，可采用链式存储结构将多项式中的每一项连接起来，从而表达出整个多项式，其中每一项是一个一元多项式，通过每一项系数与指数的输入设定，可以实现对整个多项式的设定，再通过建立单链表，结点来存储每一项的系数与指数，通过链表完成多项式的存储，对每个多项式分别建立一个链表，通过链表的加减乘除运算规则实现连标的合并，最终得到计算结果。
2需要完成的任务：
根据题目要求，本程序需要实现对两个一元多项式的四则运算以及对多项式进行赋值求值运算、求导运算等相关计算，要求正确输出运算结果，对不满足输入要求的数据有一定的反应。
3设计：
3.1核心算法的设计与说明：
3.1.1 一元多项式的定义：有多个单项式的代数和就构成了多项式，一元多
项式就是只含有一个变元的多项式。
所以由定义可知有n个单项式组成的一元多项式来说，它的运算是满足交换率的，所以可进行降幂排序，只需将它的所有指数相比较，然后将指数大的放前面，小的放后面即可完成排序。
3.1.2本题的核心算法：
首先调用建表函数，CreatePolyn建立两个一元多项式，然后对两个一元多项式进行降幂排序，该过程的实现主要由insert（）函数实现，然后调用相应的计算函数: 加（AddPolyn）、减（SubtractPolyn）、（MultiplyPolyn）、除（DevicePolyn）、导数（Derivative）、求值（ValuePolyn）。这就是整个算法核心思想。最后通过调用输出函数printPolyn（）输出最终结果。流程图见下页:
3.1.3 程序中各个子函数的说明及作用：
在这个程序中主要用到了五个子函数和一个结构体型变量。下面将详细的
说明各个函数的定义和作用。
①结构体型变量说明：
typedef struct Polynomial{
float coef;
int expn;
struct Polynomial *next;
}*Polyn,Polynomial;
在这个结构体变量中coef 表示每一项前的系数，expn 表示每一项的指数，polyn 为结点指针类型，属于抽象数据类型（ADT ）.ADT 通常由用户自行定义，用以表示应用问题的数据的数据模型，ADT 由基本数据类型组成，并包括一组相关的操作，它的特征是使用与实现分离，实现封装和信息隐蔽，也就是说，把类型的声明与其实现分离开来。Polynomial 表示的是结构体中的数据对象名。
N Y
N
Y
②当用户输入两个一元多项式的系数和指数后，建立链表，存储这两个多项式，主要说明如下：
Polyn CreatePolyn(Polyn head,int m){//建立一个头指针为head 、项数为m 的一元多项式｝
p=head=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial));为输入的多项式申请足够的存储空间
head->next=NULL;//将head 的next 置空//
for(i=0;i p=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial));//建立新结 点以接 开始 建表createpolyn （） 建表结束？ 输出printpolyn （） 输出 结束 计算函数 输出printpolyn （） 结束 收数据// printf("请输入第%d项的系数与指数:",i+1); scanf("%f %d",&p->coef,&p->expn); Insert(p,head); //调用Insert函数插入结点 }//用for循环建立一个一元多项式链表// Return head；返回头指针，标识整个多项式。 这就建立一元多项式的关键步骤。 ③由于多项式的系数和指数都是随即输入的，所以根据要求需要对多项式按指数进行降幂排序。在这个程序模块中，使用链表，根据对指数大小的比较，对各种情况进行处理，此处由于反复使用指针对各个结点进行定位，找到合适的位置再进行插入，实现时不是很容易，需要花费一定的心思和经历。程序中主要的难点说明如下： void Insert(Polyn p,Polyn h){ if(p->coef==0) free(p); //系数为0的话释放结点， p表示待处理的结点// else{ Polyn q1,q2;//q1指向待处理的结点，q2指向下一个待处理的结点// q1=h;q2=h->next; while(q2&&p->expn q1=q2; q2=q2->next;//将h结点插到q1和q2结点中间,最终将原链表中的结点进行有序的连接，即可完成该部分程序。 ④加、减、乘、除、赋值、求导的算法实现： 在该程序中，最关键的一步是实现四则运算和输出，由于加减算法原则是一样，减法可通过系数为负的加法实现，所以只需介绍加法的相关算法即可，该段程序需要对于指数的多种不同情况分别进行展开处理，编程中显得有些繁琐，有待于寻找一种更简洁的方法。对于乘除算法的大致流程都是：首先建立多项式a*b，a/b，然后使用链表存储所求出的乘积，商和余数。这里只列出加法的相关主要的程序说明: Polyn AddPolyn(Polyn pa,Polyn pb){//求解并建立多项式a+b，返回其头指针 Polyn qa=pa->next; Polyn qb=pb->next; Polyn headc,hc,qc;//hc为头结点，qc是建立结点的前一结点的指针 hc=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial));//建立头结点 hc->next=NULL; headc=hc;//p总是指向hc链表的最后一个结点 while(qa||qb){ qc=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial));//建立一个结点q switch(compare(qa,qb)){ //通过比较函数对a，b多项式进行比较，使用开关语句将较大的指数对应的多项式放入新建的结点中，实现了链表的合并即两个多项式的运算。这里只列出了其中的一个开关语句；其他的可以类似的定义。 case 1: { qc->coef=qa->coef; qc->expn=qa->expn; qa=qa->next; break;最后返回头结点指针即可。 加法运算规则：指针qa，qb分别指向多项式a，b中当前进行比较的某个结点，则比较两个结点中的指数项，有以下三种情况：（1）指针qa所指结点的指数值<指针qb所指结点的指数值，则应摘取qa指针所指结点插入到和多项式中去；（2）指针qa所指结点的指数值>指针qb所指结点的指数值，则应摘取qb 指针所指结点插入到和多项式中去;(3)指针qa所指结点的指数值=指针qb所指结点的指数值，则将两个结点中的系数相加，若和不为0，则修改qa所指结点的指数值，同时释放qb所指结点；反之，从a中删除相应结点，并同时释放qa 和qb所指结点。对其他的运算法则可类似的编写程序。 在编写导函数程序中，只多了一步判断所输入的多项式是否是常数，对常数项，只需输出0，若不是按相应的数学公式输出即可。而对求值函数，只需对变元赋值按数学公式计算出结果输出即可。 ⑤另一个子函数是输出函数 PrintPolyn（）；输出最终的结果，同时体现出程序的价值，算法是将最后计算合并的链表逐个结点依次输出，便得到整个链表，也就是最后的计算式计算结果。由于考虑各个结点的指数情况不同，分别进行了判断处理。若指数为0，输出相应的系数，若指数为1，输出X，若为其他指数输出x^n,若不为整数，return error； 3.2 上述算法的思想总结： 以上算法充分的利用了链表的相关知识。充分的发挥了链表的优越性。虽然思路比较简单，但过程似乎有些繁琐，有待于进一步提高。 4 程序执行结果： 随机数据输入： 请输入a的项数:3 请输入第1项的系数与指数:1 3 请输入第2项的系数与指数:2 4 请输入第3项的系数与指数:2 3 请输入b的项数:4 请输入第1项的系数与指数:1 2 请输入第2项的系数与指数:3 3 请输入第3项的系数与指数:4 2 请输入第4项的系数与指数:2 4 ********************************************** 操作提示： 1.输出多项式a和b 2.建立多项式a+b 3.建立多项式a-b 4.计算多项式a在x处的值 5.求多项式a的导函数 6.建立多项式a*b 7.建立多项式a/b 8.退出 ********************************************** 执行操作1 多项式a：2X^4+3X^3 多项式b：2X^4+3X^3+5X^2 执行操作2 多项式a+b：4X^4+6X^3+5X^2 执行操作6 多项式a*b：4X^8+12X^7+19X^6+15X^5 执行操作7 商是：1 余数是：-5X^2 刁难型数据输入： 请输入a的项数:3 请输入第1项的系数与指数:1 0 请输入第2项的系数与指数:0 1 请输入第3项的系数与指数:2 4 请输入b的项数:2 请输入第1项的系数与指数:0 1 请输入第2项的系数与指数:0 0 ********************************************** 操作提示： 1.输出多项式a和b 2.建立多项式a+b 3.建立多项式a-b 4.计算多项式a在x处的值 5.求多项式a的导函数 6.建立多项式a*b 7.建立多项式a/b 8.退出 ********************************************** 执行操作2 多项式a+b：2X^4+1 执行操作3 多项式a-b：2X^4+1 执行操作6 多项式a*b：0 执行操作7 Error 根据不同的输入都得到了正确的结果，充分的验证了程序的正确型，用户可按照不同的需要自行按要求输入，得到计算结果。 5 复杂度分析： 由于本程序中使用的是单链表存储方式，其时间和空间的消耗计算同单链表一样，本题中时间主要消耗在链表的排序上面，最好的情况链表本身的排序就是降幂排序，此时总的移动次数为n-1，最坏情况下，一元多项式本身是按升幂排列的，此时的比较次数是n-i+1，其时间复杂度是o（n*n），对于消耗的空间，单链表中每个节点都要增加一个指针空间，相当于共增加了n个整形变量，空间复杂度为o（n）。 6 程序中遇到问题及解决方案： 6.1在排序程序中，起初对各种情况考虑不够全面，只是将结点的指数值单纯的进行比较，将比较的结果按指数降幂放入另一个存储空间,后来发现这样做不仅繁琐，还出现了很多错误，后来通过改正，采用了for循环和if语句，将非序的结点插到了适当的位置。 6.2在编写计算函数时，对于指数比较的三种情况处理，将后项结点直接连接到后结点并返回，结果破坏了原来的链式结构，无法完成后面的运算，引起错误。后来改用重新申请结点q，并把对象的相关数据赋给q， q->coef=pa->coef;s->expn=pa->expn;后面的也类似处理。得到了正确的结果。 7 参考文献： 数据结构（c语言版）严蔚敏吴伟民编著清华大学出版社； 《数据结构》算法实现与解析高一凡编著西安电子科技大学出版社; 数据结构习题与解析第3版李春葆喻丹丹编著清华大学出版社； 8附录： #include #include typedef struct Polynomial{ float coef; int expn; struct Polynomial *next; }*Polyn,Polynomial; //Polyn为结点指针类型 void Insert(Polyn p,Polyn h){ if(p->coef==0) free(p); //系数为0的话释放结点 else{ Polyn q1,q2; q1=h;q2=h->next; while(q2&&p->expn q1=q2; q2=q2->next; } if(q2&&p->expn==q2->expn){ //将指数相同相合并 q2->coef+=p->coef; free(p); if(!q2->coef){ //系数为0的话释放结点 q1->next=q2->next; free(q2); } } else{ //指数为新时将结点插入 p->next=q2; q1->next=p; } } }//Insert Polyn CreatePolyn(Polyn head,int m){//建立一个头指针为head、项数为m的一元多项式 int i; Polyn p; p=head=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial)); head->next=NULL; for(i=0;i p=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial));//建立新结点以接收数据 printf("请输入第%d项的系数与指数:",i+1); scanf("%f %d",&p->coef,&p->expn); Insert(p,head); //调用Insert函数插入结点 } return head; }//CreatePolyn void DestroyPolyn(Polyn p){//销毁多项式p Polyn q1,q2; q1=p->next; q2=q1->next; while(q1->next){ free(q1); q1=q2;//指针后移 q2=q2->next; } } void PrintPolyn(Polyn P){ Polyn q=P->next; int flag=1;//项数计数器 if(!q) { //若多项式为空，输出0 putchar('0'); printf("\n"); return; } while (q){ if(q->coef>0&&flag!=1) putchar('+'); //系数大于0且不是第一项 if(q->coef!=1&&q->coef!=-1){//系数非1或-1的普通情况 printf("%g",q->coef); if(q->expn==1) putchar('X'); else if(q->expn) printf("X^%d",q->expn); } else{ if(q->coef==1){ if(!q->expn) putchar('1'); else if(q->expn==1) putchar('X'); else printf("X^%d",q->expn); } if(q->coef==-1){ if(!q->expn) printf("-1"); else if(q->expn==1) printf("-X"); else printf("-X^%d",q->expn); } } q=q->next; flag++; }//while printf("\n"); }//PrintPolyn int compare(Polyn a,Polyn b){ if(a&&b){ if(!b||a->expn>b->expn) return 1; else if(!a||a->expn else return 0; } else if(!a&&b) return -1;//a多项式已空，但b多项式非空 else return 1;//b多项式已空，但a多项式非空 }//compare Polyn AddPolyn(Polyn pa,Polyn pb){//求解并建立多项式a+b，返回其头指针 Polyn qa=pa->next; Polyn qb=pb->next; Polyn headc,hc,qc; hc=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial));//建立头结点 hc->next=NULL; headc=hc; while(qa||qb){ qc=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial)); switch(compare(qa,qb)){ case 1: { qc->coef=qa->coef; qc->expn=qa->expn; qa=qa->next; break; } case 0: { qc->coef=qa->coef+qb->coef; qc->expn=qa->expn; qa=qa->next; qb=qb->next; break; } case -1: { qc->coef=qb->coef; qc->expn=qb->expn; qb=qb->next; break; } }//switch if(qc->coef!=0){ qc->next=hc->next; hc->next=qc; hc=qc; } else free(qc);//当相加系数为0时，释放该结点 }//while return headc; }//AddPolyn Polyn SubtractPolyn(Polyn pa,Polyn pb){//求解并建立多项式a+b，返回其头指针 Polyn h=pb; Polyn p=pb->next; Polyn pd; while(p){ //将pb的系数取反 p->coef*=-1; p=p->next; } pd=AddPolyn(pa,h); for(p=h->next;p;p=p->next) //恢复pb的系数 p->coef*=-1; return pd; }//SubtractPolyn float ValuePolyn(Polyn head,float x){//输入x值，计算并返回多项式的值 Polyn p; int i; float sum=0,t; for(p=head->next;p;p=p->next){ t=1; for(i=p->expn;i!=0;){ if(i<0){t/=x;i++;}//指数小于0，进行除法 else{t*=x;i--;}//指数大于0，进行乘法 } sum+=p->coef*t; } return sum; }//ValuePolyn Polyn Derivative(Polyn head){//求解并建立a的导函数多项式，并返回其头指针 Polyn q=head->next,p1,p2,hd; hd=p1=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial));//建立头结点 hd->next=NULL; while(q){ if(q->expn!=0){ //该项不是常数项时 p2=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial)); p2->coef=q->coef*q->expn; p2->expn=q->expn-1; p2->next=p1->next;//连接结点 p1->next=p2; p1=p2; } q=q->next; } return hd; }//Dervative Polyn MultiplyPolyn(Polyn pa,Polyn pb){//求解并建立多项式a*b，返回其头指针 Polyn hf,pf; Polyn qa=pa->next; Polyn qb=pb->next; hf=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial));//建立头结点 hf->next=NULL; for(;qa;qa=qa->next){ for(qb=pb->next;qb;qb=qb->next){ pf=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial)); pf->coef=qa->coef*qb->coef; pf->expn=qa->expn+qb->expn; Insert(pf,hf);//调用Insert函数以合并指数相同的项 } } return hf; }//MultiplyPolyn void DevicePolyn(Polyn pa,Polyn pb){//求解并建立多项式a*b，返回其头指针 Polyn hf,pf,af,temp1,temp2,q; Polyn qa=pa->next; Polyn qb=pb->next; hf=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial));//建立头结点,存储商 hf->next=NULL; pf=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial));//建立头结点，存储余数 pf->next=NULL; temp1=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial)); temp1->next=NULL; temp2=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial)); temp2->next=NULL; temp1=AddPolyn(temp1,pa); while(qa!=NULL&&qa->expn>=qb->expn){ temp2->next=(Polyn)malloc(sizeof(struct Polynomial)); temp2->next->coef=(qa->coef)/(qb->coef); temp2->next->expn=(qa->expn)-(qb->expn); Insert(temp2->next,hf); pa=SubtractPolyn(pa,MultiplyPolyn(pb,temp2)); qa=pa->next; temp2->next=NULL; } pf=SubtractPolyn(temp1,MultiplyPolyn(hf,pb)); pb=temp1; printf("商是："); PrintPolyn(hf); printf("余数是："); PrintPolyn(pf); }//DevicePolyn int main(){ int m,n,flag=0; float x; Polyn pa=0,pb=0,pc,pd,pe,pf;//定义各式的头指针，pa与pb在使用前付初值NULL printf("请输入a的项数:"); scanf("%d",&m); pa=CreatePolyn(pa,m);//建立多项式a printf("请输入b的项数:"); scanf("%d",&n); pb=CreatePolyn(pb,n);//建立多项式a //输出菜单 printf("**********************************************\n"); printf("操作提示：\n\t1.输出多项式a和b\n\t2.建立多项式a+b\n\t3.建立多项式a-b\n"); printf("\t4.计算多项式a在x处的值\n\t5.求多项式a的导函数\n\t6.建立多项式a*b\n"); printf("\t7.建立多项式a/b\n\t8.退出 \n**********************************************\n"); for(;;flag=0){ printf("执行操作"); scanf("%d",&flag); if(flag==1){ printf("多项式a：");PrintPolyn(pa); printf("多项式b：");PrintPolyn(pb);continue; } if(flag==2){ pc=AddPolyn(pa,pb); printf("多项式a+b：");PrintPolyn(pc); DestroyPolyn(pc);continue; } if(flag==3){ pd=SubtractPolyn(pa,pb); printf("多项式a-b：");PrintPolyn(pd); DestroyPolyn(pd);continue; } if(flag==4){ printf("输入x的值：x="); scanf("%f",&x); printf("多项式a的值%g\n",ValuePolyn(pa,x));continue; } if(flag==5){ pe=Derivative(pa); printf("多项式a的导函数：");PrintPolyn(pe); DestroyPolyn(pe);continue; } if(flag==6){ pf=MultiplyPolyn(pa,pb); printf("多项式a*b：");PrintPolyn(pf); DestroyPolyn(pf);continue; } if(flag==7){ DevicePolyn(pa,pb); continue; } if(flag==8) break; if(flag<1||flag>8) printf("Error!!!\n");continue; }//for DestroyPolyn(pa); DestroyPolyn(pb); return 0; } /* 要求：一元多项式计算器的基本功能定为 (1) 建立多项式 (2) 输出多项式 (3) 两个多项式相加，建立并输出和多项式 (4) 两个多项式相减，建立并输出差多项式 实现提示：可选择带头结点的单向循环链表 或单链表存储多项式，头结点可存放多项式 的参数，如项数等。*/ 四则运算、运算定律 概念总结 第一单元：四则运算 1、加、减法各部分间的关系： 两个数合并成一个数的运算，已知两个数的和与其中的一个加数，求叫做加法。另一个加数的运算，叫做减法。 和=加数+加数差＝被减数-减数 加数=和-另一个加数（验算）减数=被减数-差（验算） 被减数=减数+差（验算） （★常考：验算：注意：①数位对齐，小数点对齐，②补零，③得数写第一个结果，用最简洁的方式。④细心验算） 2、乘、除法法各部分间的关系： 求几个相同加数的和的简便运已知两个因数的积与其中一个因数，求 算，叫做乘法。另一个因数的运算，叫做除法。 积=因数×因数商＝被除数÷除数 因数＝积÷另一个因数（验算）除数=被除数÷商（验算） 被除数＝商×除数（验算） 3、我们学过的（加、减、乘、除）四种运算统称（四则运算） 4、在没有括号的算式里，如果有只有加减法或者只有乘除法，都要按从左往右 的顺序计算。 5、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法。（乘、除谁在前，先算谁） 6、算式里有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 7、一个数加上0，还得原数； 被减数等于减数，差是0； 一个数和0相乘，仍得0； 0不能作除数，可作被除数。（0除以任何不为零的数都得0） 8、在有括号的四则运算中，一定要先算括号里的算式，然后再按先乘除后加减的顺序依次计算。 （常考：列综合算式：①要用原题中的数据，不是自算的，②题目里从上到下先算谁，再算谁，找出运算顺序，③考虑小括号与中括号） 9、租船：坐满最便宜。 假设全部租大船，求出价格。假设全部租小船，求出价格。 多租价格低的，不留空位最省钱。 （常考：景区选方案，细心计算） 第三单元：运算定律 1、加法交换律：a＋b＝b＋a （两个数相加，交换加数的位置，和不变。） 2、加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 完成“小学生四则运算辅助练习系统”，实现如下功能：加法 混合运算 参数设置 练习记录 结束练习 参考函数及相关变量（仅供参考） int menu(void); // 显示菜单 void optAdd(void); // 加法运算void optSub(void); // 减法运算void optMul(void); // 乘法运算void optDiv(void); // 除法运算void optMixed(void); // 混合运算void optSet(void); // 参数运算void optList(void); // 学习记录void optBye(void); // 退出程序 void JudgeGrade(void); // 计算成绩void getInput(char *,int); // 获取数据void echoInfo(int); // 提示信息 int getSettings(); // 获取参数 int writeSettings(); // 保存参数 int getLogs(); // 获取记录 int writeLogs(); // 保存记录 struct log{ char time[80]; // 练习时间 char level[10]; // 练习难度 char type[10]; // 习题类型 int duration; // 花费时间 int ok; // 正确题数int err; // 错误题数 float acc; // 正确率 }; /*iMax:表达式中最大值;iNumbers:每次最多出题数;iRetrys:允许重做次数;iLevel:难度;iOK:每次正确数;iFail每次错误数*/ int iMax=9, iNumbers=5, iRetrys=2, iLevel=1, iOption = 1, iOK=0, iFail=0; char levelInfos[][10] = {"NULL","简单", "标准", "复杂"}; char typeInfos[][10] = {"NULL","加法", "减法", "乘法", "除法", "混合"}; /*计时*/ clock_t tStart, tFinish; int duration; 需要用到的系统函数（请查阅相关资料，或上网查询） 求当前时间的函数 随机数函数 四则运算、运算定律专项训练 四则运算 一、口算 36 ÷3= 100 －62= 24 －8 ＋10 = 75 ×30= 371 －371= 5 ＋24 －12= 200 ÷40= 84 ÷4= 159+61= 600÷20=78+222= 1000÷8= 17×11=7600÷400=480÷120= 25×17×4= 225-99= 640÷40= 二、比一比，算一算 49 ＋17 －25 240 ÷40 × 5 300 －50 ×2 49 － （17 ＋25）240 ＋40 × 5 300 －50 ×20 ×0 三、把下面几个分步式改写成综合算式． （1）960÷15=64 64-28=36 综合算式___________________. （2）75×24=1800 9000-1800=7200 综合算式___________ （3）810-19=791 791×2=1582 1582+216=1798 综合算式 （4）96×5=480 480+20=500 500÷4=125 综合算式 四、计算下面各题 121 －111 ÷37 （121 －111 ÷37） × 5 280 ＋650 ÷13 45 ×20 × 3 1000 －（280 ＋650 ÷13）（95 －19 × 5 ）÷74 （120 －103）×50 760 ÷10 ÷38 （270 ＋180）÷（30 －15）707 －35 ×20 （95 －19 × 5 ）÷74 19×96-962÷74 10000-(59＋66)×64 5940÷45× (798-616) （270 ＋180）÷（30 －15）(315×40-364)÷7 12520÷8×(121÷11) 707 －35 ×20 50＋160÷40 （58+370）÷（64-45） 120-144÷18+35347+45×2-4160÷52 （58+37）÷（64-9×5）95÷（64-45） 178-145÷5×6+42 420+580-64×21÷28 四则运算和运算定律知识点整理 四则运算是指加法、减法、乘法、除法的计算法则。 一级运算：加、减。二级运算：乘、除。 运算顺序：先乘除后加减，如果有括号就先算括号内的，然后再算括号外的。先算小括号，然后算中括号、大括号。两级运算，先算高一级后算低一级。即先算乘除后算加减。（同一级运算中，计算顺序是从左到右） 1、如果只有加和减或者只有乘和除，从左往右计算。（同一级计算） 2、如果同时有一级、二级运算，先算二级运算。即先算乘除后算加减。 3、如果有括号，要先算括号里的数，（不管什么级都要先算）。 4、关于括号里的计算：先算小括号，然后算中括号、大括号，括号中也是先算二级，再算一级。 运算定律 1、加法交换律：a+b=b+a 有两个加数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律 . 2、加法结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) 三个数相加,先把前两个数相加,再和第三个数相加,或者先把后两个数 相加,在和第一个数相加,和不变,这叫做加法结合律. 3、减法的性质：a-b-c=a-(b+c) 一个数连续减去两个数,可以用第一个数减轻后面两个数的和,差不变, 这作减法的性质. 4、乘法交换律：a×b=b×a 两个数相乘,交换加数的位置,积不变,这叫做乘法的交换律. 5、乘法结合律：a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c) 三个数相乘,先把前两个数相乘,在和第三个数相乘,或者先把后两个数 相乘,再和第一个数相乘,积不变,这叫做乘法的结合律. 6、乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 两个数的和与第三个数相乘,等于把这两个数分别与这个数相乘,再把它们的积相加起来,积不变,这叫做乘法分配律. 7、除法的性质：a÷b÷c=a÷（b×c) 一个数连续除以两个数,等于一个数除以两个数的积,商不变,这叫做除 法的性质. 一般情况下,乘法交换律和结合律会同时应用,只有交换后才可以结合. ★★运算顺序：1、加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。2、在一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。即先乘除后加减。3、在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 《四则运算》说课 ：小学数学人教版实验教材第八册《四则运算》第一课时一、先说教材分析：本节课所学内容为第4、5页的例1、例2及相应的练习。学生在前面已经学会按从左往右的顺序计算两步计算的试题，并能够进行同一类型题的简单口算，本节课把理解同级四则运算的运算顺序和解决问题有效的结合在一起进行教学。目的是使学生在解决实际问题的过程中掌握解决问题的策略和方法，引导学生理解数量之间的真正含义。同时体会到同级四则运算规定的必要性、合理性，在感悟、理解的基础上概括总结出同级四则运算的方法并进行应用。让学生学到系统知识的同时，培养学生的观察、分析、概括、计算的能力，也为往后进一步学习复杂的四则运算建立一个良好的基础。通过知识的综合学习，提高学生用数学解决问题的能力，培养学生良好的学习习惯。根据以上分析及课标要求，我拟订这节课的教学目标为：二、说教学目标：1、知识与技能目标：通过互动学习，让学生掌握解决问题的方法及策略，理解掌握四则运算的方法。2、过程与方法目标：创设情境，通过学生的自主合作交流来培养学生观察、比较、分析、概括的能力，提高学生的协作与交流能力，增强学生的问题意识。3、情感、态度与价值观目标：让学生体会学习数学的乐趣，建立学习数学的信心，体验到数学与生活的密切联系，促进学生思维的发展。我利用远程教育资源直观形象，新颖生动的把学习内容展现出来，直接作用于学生的多种感官，激发了学生的学习兴趣，以声音、色彩、动画等相结合的方式，把学生带入特定的教学情景之中，凭借电教媒体所展示的具体形象去感受、体验抽象的数量关系，有效地提高了教学效果，降低了学习的难度，从而实现教学目标。 三、说重、难点分析：1、重点：理解掌握四则运算的方法并能够进行应用。2、难点：解决问题的步骤与策略和归纳总结四则运算的方法。通过远程资源的展示，能很好的让学生理解数量之间的内在关系，实现了数到量之间的过渡，突破了知识的难点，培养学生分析问题的良好习惯。四、说教法、学法：数学源于生活，用于生活。本节课以创设生活化情境导入，深入探究生活与数学的转化规律，突出课堂的平等对话及学生的主体地位。使用多媒体课件展示“冰雪天地”主题图让学生发现有关数学信息，进而提出相对应的数学问题。通过探究解决问题，提升学生认知与思维层次。进而整理出四则运算的方法。并能够进行熟练的计算，在教学过程中体现了展示观察—提出问题—探究问题—解决问题—归纳总结的整体教学思路，符合了学生认知事物的规律。同时情境的创设也激发了学生的学习兴趣。让学生在自主探究中获得新知，体现了学生的主体地位。在教学过程中，关注学生的经验与体验，感受知识的转化和形成过程，鼓励算法及解决问题策略的多样化、改变了学生的学习方式。体现了开放性的教学方法，留给学生足够的探究空间。分散了教学的难点，减轻了学生的学习负担，也使得原来比较枯燥的计算教学由于有了现实的背景变得生动有趣，符合学生学习数学的认知规律，促进学生思维的进一步提高，大大提高了学习效率。五、说远程教育资源的分析与利用：我校是农村远教模式二，在上课之前我观摩了远教资源优秀教师的上课录象及相关的多媒体资源，结合学生的实际设计出符合学生特点的多媒体课件。在使用远程资源教学过程中我体现了几个理念：1、由以教师为中心的知识讲解者转变为学生学习的指导者、启发者、促进者和活动组织者。2、从被动接受的地位转变为在教师的指导启发下，主动参与、发现、探究和知识建构的主体地位。3教学过程不仅仅传授课本知识，还要重视创新能力、协作能力的培养和学习方法的掌握。4、远程资源由作为教师讲解的演示工具转变为教师的教学工具、学生的学习工具和学生的学习内容。六、说教学过程：本着创设情境，学生自主探究，在体验中获得新知的思想指导下，我设计了以下教学过程：1、创设情境，激发兴趣。谈话引入主题图：同学们，在一年四季中你喜欢什么季节？如：春天，春暖花开。冬天，冬天的雪美等等。学生回答后，教师：那我们今天从冬天里找一找，能不能找到我们熟悉的数学问题。多媒体主题图，老师：你看到了什么？能提出什么数学问题？让小组的同学之间互相交流，再个别回答。只要学生回答对都给于肯定。同时要引导学生完整的表述条件和问 《混合运算》课标解读 本单元是学生系统掌握简单的整数四则混合运算顺序（两步）的重要单元，是学生学习第二学段两步以上混合运算的重要基础。在此之前，学生已经学会按从左往右的顺序计算加减、乘除或乘加、乘减的两步式题，并且知道了小括号的作用。本单元主要包括“掌握含有两级运算的两步式题的运算顺序”和“解决简单的需要用两步计算才能解决的问题”两方面的内容，重在梳理并教学混合运算的顺序。 一、利用学生已有的知识经验，结合学生的认知发展水平，在自主探索、合作交流中，理解和掌握含有两级运算的混合运算的运算顺序，正确按照运算顺序进行脱式计算，逐步培养学生列综合算式的能力。 1.通过创设问题情境，唤起学生对以前学过的同级运算、含有两级运算、含有小括号的加减混合运算的运算顺序的回忆，引导学生进行迁移类推学习，学会脱式计算的书写格式，进一步理解和掌握整数四则混合运算（两步）的运算顺序，能正确按运算顺序进行脱式计算。由于学生是首次接触脱式计算，以此，在课程实施中，教师要加强板书示范，采用画下划线、标箭头等方式来帮助学生掌握脱式计算的书写过程。 2.通过解决“跷跷板乐园”等情境中的问题，呈现矛盾冲突，在自主探索、对比交流中，使学生理解数学上对于混合运算的运算顺序进行规定的合理性，进一步理解和掌握整数四则混合运算（两步）的运算顺序。例如，在例2的教学中，在学生交流各自算法后，对7+（4×3）这一算式的运算顺序进行重点解读，以“为什么要加括号？”等问题，结合情境引导学生理解“先算乘法，再算加法”的道理，顺势引出同样能够正确反映运算顺序且简单的算式“7+4×3”，最后通过“7+（4×3）”“7+4×3”两个算式的对比，使学生体会运算顺序的规则用以保证计算结果的唯一性及追求简洁的数学表达的目的，理解运算顺序规定的合理性。 3.通过适量的专项练习、对比练习、综合练习等练习活动，培养学生先思考运算顺序再计算的解题习惯，巩固整数四则混合运算（两步）的运算顺序，形成按运算顺序进行脱式计算的技能。 4.设计“先填空，再列综合算式”“根据表格，列综合算式的能力”“把两个算式合并成一个综合算式”等练习，让学生在独立完成、反馈交流中，逐步学会合理使用小括号，逐步学会列综合算式，逐步培养学生列综合算式的能力。在课程实施中，要充分利用教具动态地化解练习难点，如在联系十一第9题的练习中，教师可将各个题目的被减数、减数，被除数、除数用磁性板条贴于黑板上，根据需要进行移动，让学生经历综合算式的形成过程，同时指导学生规范地读出含有小括号的算式，以帮助学生更好地理解综合算式的含义。 二、利用学生已有的解决“连续两问”应用题和列综合算式是知识经验，借助色条图，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，逐步学会列综合算式解决需要用两步计算才能解决的问题，同时培养学生良好的学习习惯。 1.创设“烤面包”“买面包”“挖水沟”等问题情境，引导学生利用已有的解决“连续两问”应用题的知识经验，把已知信息在色条图上表示出来，直观地发现和提出中间问题，并借助色条图分析数量之间的关系，为解决问题提供直观的支撑。 2.通过适量的练习，让学生在独立思考、讨论交流中，逐步理解和掌握借助色条图理解问题（两步计算）的策略，在反思、总结中，让学生明白“要解决需要两步计算的问题，必须先解决中间问题”的解题思路，从而培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，逐步学会列综合算式解决问题需要用两步计算才能解决问题。 3.在解决问题的过程中，教师要注重培养学生认真审题、独立思考、准确计算、规范书写等学习习惯，同时更要注重指导与鼓励，让学生尽量用简洁的语言表达解题思路，学会认真倾听，理解他人想法，逐步实现算法的优化，提升学生的思维品质。 《四则运算》教材分析 通过前面七册的学习，学生已经掌握了整数的四则运算，编排本单元的目的是对以前的知识进行较为系统的概括和总结，完善学生的认知结构。主要内容分为三个方面：四则运算的意义和各部分间的关系（例1～例3）；混合运算的顺序（例4）；解决问题（例5）。 一、主要内容 本单元的主要内容是在复习已学过四则运算的知识的基础上，对加、减、乘、除四则运算进行概括。在学生已经掌握的整数四则混合运算的基础上，对四则混合运算顺序进行归纳总结。这里第一次出现中括号，使四则混合运算方面的知识趋于完整。本单元包括三部分内容，即：四则运算的意义，每种运算中各部分间的关系；四则混合运算；解决实际问题。本单元的内容安排如下： 从上面可以看出，本单元教学内容分为三个层次。 1．四则运算的意义和各部分间的关系（例1——例3）．学生在前七册教材中，对整数四则运算已经有了较多的接触，积累了丰富的感性认识并掌握了相应的基础知识和技能。在此基础上，对整数四则运算的意义和关系进行抽象、概括，使学生对每种运算的认识从感性上升到理性。整数四则运算的意义是学习小数、分数四则运算意义的基础，对于四则运算意义认识的提升，将为学习小数、分数四则运算的意义和关系打下基础。 2．四则混合运算（例4）。四则混合运算和运算顺序是计算教学中的重要基础知识。本单元在学生已学过的混合运算及运算顺序，初步认识小括号的作用的基础上，认识中括号，对整数四则混合运算进行概括和总结。由此，不仅使学生丰富了计算知识，提高计算能力，也为学生列综合算式解决问题打好基础。为进一步学习代数运算做好准备。 3．解决问题（例5）。本单元设置用两、三步计算解决的实际问题，旨在让学生合理灵活的运用相关知识解决问题，感受、领悟优化思想，提高解决问题的能力。 四则运算的意义、四则混合运算的顺序是本单元的教学重点也是教学的难点。 二、教学目标 1．结合具体情境，理解加、减、乘、除四则运算的意义，掌握四则运算中各部分间的关系，对四则运算知识进行较系统的概括和总结。 2．认识中括号，掌握四则混合运算的顺序，能进行简单的四则混合运算。 3．让学生经历解决实际问题的过程，学会用四则混合运算知识解决一些实际问题，感受解决问题的一些策略和方法。 4．通过数学学习，提高抽象概括能力，养成认真审题、独立思考等良好的学习习惯。 三、教学建议 1．让学生经历从感性认识上升到理性认识的过程。 学生在前面已经学会加、减、乘、除的计算方法，积累了丰富的有关加、减、乘、除的意义的感性认识。在此基础上，通过解决简单的实际问题，激活学生已有的知识与经验，再以“为什么要用加（减、乘、除）法计算？”引导学生思考，概括运算的意义。例如教学加法的意义时，可放手让学生解决“西宁到拉萨的铁路长多少千米”这个问题。在解决问题中经历把814 km与1142km合在一起，即把814与1142合成一个数的计算过程，唤起学生已有的知识和经验。之后，通过“为什么要用加法计算？”引导学生思考：加法是什么样的运算？在此基础上，概括加法的意义，进而概括说明加法算式各部分的名称。由解决问题到概括出加法的意义，是学生对加法的认识从感性上升到理性。 2．重视归纳整理，沟通知识间的内在联系，完善学生的知识结构。 本单元教学的重要内容是概括四则运算的意义，丰富、梳理四则混合运算顺序的知识。教材设置了4道例题，依次教学加、减、乘、除法的意义及各部分间的关系，0的运算特性，四则混合运算等教学内容。教学中，教师要纵观全局驾驭教材，适时引导学生把分散学习的知识串成线、结成网，逐步完善知识结构。例如，在概括四则运算的意义之后，可引导学生用图表的形式，归纳整理知识，沟通知识间的内在联系，加深对知识的理解和掌握。 四则运算运算定律专项 练习 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 四则运算、运算定律专项训练四则运算 一、口算? 36÷3=100－ 62=24?－ 8?＋?10= 75×30=371?－ 371=5?＋?24?－ 12= 200÷40=84÷4=159+61=? 600÷20=?78+222=1000÷8=? 17×11=?7600÷400=?480÷120=? 25×17×4=?225-99=?640÷40=? 二、比一比，算一算? 49＋17－25240÷40×5300－50×2 49－（17＋25）240＋40×5300－50×20×0 三、把下面几个分步式改写成综合算式． （1）960÷15=64?64-28=36综合算式___________________. （2）75×24=1800?9000-1800=7200综合算式___________（3）810-19=791?791×2=15821582+216=1798综合算式（4）96×5=480480+20=500500÷4=125综合算式 四、计算下面各题? 121－111÷37（121－111÷37）×5 280＋650÷1345×20×3 1000－（280＋650÷13）（95－19×5）÷74 （120－103）×50760÷10÷38 （270＋180）÷（30－15）707－35×20 （95－19×5）÷74?19×96-962÷74? 10000-(59＋66)×645940÷45× (798-616) （270＋180）÷（30－15）(315×40-364)÷7 12520÷8×(121÷11)707－35×20 50＋160÷40?（58+370）÷（64-45） 120-144÷18+35347+45×2-4160÷52? （58+37）÷（64-9×5）95÷（64-45） 178-145÷5×6+42?420+580-64×21÷28? 812-700÷（9+31×11）（136+64）×（65-345÷23） //程序源代码 #include 加减法的意义和各部分间的关系 教学目标： 1 ?从实例中归纳加减法的意义和关系，初步理解加法与减法的意义以及它们之间的互逆关系。 2?初步学会利用加减法算式中各部分之间的关系求解加减法算式中的未知数。 3 ?培养学生发现数学知识和运用数学知识解决问题的能力。 教学重点：理解加、减法的意义和利用加减法的关系求加减法中的未知量。教学难点：从实例中探究加、减法的互逆关系。 一、复习铺垫 加减5分钟口算。 二、理解加减法的意义 1、理解加法的意义。 出示例1 (1) 一列火车从西宁经过格尔木开往拉萨。西宁到格尔木的铁路长814km，格尔木到拉萨的铁路长1142km。西宁到拉萨的铁路长多少千米？ (1)问：根据这道题你收集到了哪些信息？ (让学生尝试用线段图表示 (2)请学生根据线段图写出加法算式。 814+ 1142= 1956 或1142+ 814= 1956 师：为什么用加法呢? 那怎样的运算叫做加法？（小组讨论 （根据这两个算式，结合已有的知识讨论并试着用语言表示什么是加 法。 （3小结：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。 （出示加法的意义说明加法各部分名称 2、理解减法的意义 能不能试着把这道加法应用题改编成减法应用题呢？ （1根据学生的回答，出示例1（2）（3）尝试用线段图表示：师：根据线段图写出两道减法算式，并说说这样列式的理由。1956— 814= 1142或1956—1142 =814 （2问：怎样的运算是减法？（小组讨论 （根据这两个算式，结合已有的知识讨论并试着用语言表示 （3小结：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。（出示 说明减法各部分名称三、探究、理解加法和减法之间的关系。 1 ?问：上面的这些算式，你觉得它们之间有什么联系？观察上述四道算式中数字位置间关系，思考加法和减法之间的关系。然后以小组的形式进行讨论。 （小 组讨论。个别汇报 3 ?师归纳并小结：减法是加法的逆运算（板书 第一单元：四则运算 1、加、减法各部分间的关系： 两个数合并成一个数的运算，已知两个数的和与其中的一个加数，求叫做加法。另一个加数的运算，叫做减法。 和=加数+加数差＝被减数-减数 加数=和-另一个加数（验算）减数=被减数-差（验算） 被减数=减数+差（验算） （★常考：验算：注意：①数位对齐，小数点对齐，②补零，③得数写第一个结果，用最简洁的方式。④细心验算） 2、乘、除法法各部分间的关系： 求几个相同加数的和的简便运已知两个因数的积与其中一个因数，求算，叫做乘法。另一个因数的运算，叫做除法。 积=因数×因数商＝被除数÷除数 因数＝积÷另一个因数（验算）除数=被除数÷商（验算） 被除数＝商×除数（验算） 3、我们学过的（加、减、乘、除）四种运算统称（四则运算） 4、在没有括号的算式里，如果有只有加减法或者只有乘除法，都要按从左往右 的顺序计算。 5、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法。（乘、除谁在前，先算谁） 6、算式里有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 7、一个数加上0，还得原数； 被减数等于减数，差是0； 一个数和0相乘，仍得0； 0不能作除数，可作被除数。（0除以任何不为零的数都得0） 8、在有括号的四则运算中，一定要先算括号里的算式，然后再按先乘除后加减的顺序依次计算。 （常考：列综合算式：①要用原题中的数据，不是自算的，②题目里从上到下先算谁，再算谁，找出运算顺序，③考虑小括号与中括号） 9、租船：坐满最便宜。 假设全部租大船，求出价格。假设全部租小船，求出价格。 多租价格低的，不留空位最省钱。 （常考：景区选方案，细心计算） 整式的四则运算知识点大全 一、代数式与有理式 1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式． 2、整式和分式统称为有理式． 3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式． 二、整式和分式 1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式． 2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式． 三、单项式与多项式 1、没有加减运算的整式叫做单项式．（数字与字母的积——包括单独的一个数或字母） 2、几个单项式的和，叫做多项式．其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开；根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开．②进行代数式分类时，是以所给的代数式 ．．．．．．为对象，而非以变形后的代数式为对象．划分代数式类别时，是从外形来看． 单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式． 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数． 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数． 4、单独一个数或一个字母也是单项式． 5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1，此时通常省略数字“1”． 6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身． 7、单独的一个非零常数的次数是0． 8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算． 9、单项式的系数包括它前面的符号． 10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数． 11、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关． 多项式 1、几个单项式的和叫做多项式． 2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项．其中不含字母的项叫做常数项． 3、一个多项式有几项，就叫做几项式． 4、多项式的每一项都包括项前面的符号． 5、多项式没有系数的概念，但有次数的概念． 6、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 《四则运算》课标解读 一、课标要求 《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出了“掌握必要的运算技能”“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用”“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解决问题方法的多样性”“能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。 《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出了“能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法”“认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）”“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系”“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题”“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”。 二、课标解读 1．数的运算：四则运算的含义 数（自然数）是刻画一个集合中事物数量信息的符号，运算（整数四则运算）是刻画多个集合中事物数量信息之间关系的符号（组合）。 从数学发展的逻辑体系来看，加法运算是四则运算的基础，减法是加法的逆运算，乘法是一种特殊的加法，除法是乘法的逆运算。 加法的定义：对于规定运算表示在的后面增加个的序数，如果这个序数为，那么，称为与的和。求和的运算叫做加法，记作：。显然，加法运算满足封闭性、交换律、结合律。 乘法的定义：乘法在本质上是一类特殊的加法，乘法是数自相加的缩写。一般地，对于自然数，规定乘法运算表示个相加。显然，乘法运算满足封闭性、交换律、结合律、分配律。 减法的定义：减法是加法的逆运算，减法是通过加法来定义的。由于减法将出现负整数，因此，运算的集合需要从自然数集合（）扩展到整数集合）。整数集合包含正整数、0、负整数。对于，如果，则称为减的差，求差的运算叫做减法，记作：。显然，整数集对于减法运算是封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得，。 除法的定义：除法是乘法的逆运算。除法是通过乘法来定义的。由于除法将出现分数，因此，运算的集合需要从整数集合（）扩展到有理数集合（）。对于，如果，则称为与的商，求商的运算叫做除法，记作：（=）。显然，有理数集对于除法运算是封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得，。 2．数的运算 教案过程 一、复习预习 1.换位学习 让学生以“老师的口吻”为老师讲解已学过的运算定律 2.学生与老师交流（运算中怎样简便？）：讨论“我的想法对不对？” 二、知识讲解 考点/易错点1 两个数相加，交换加数的位置，和不变。这叫做加法交换律。 考点/易错点2 三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数。或者先把后两个数相加，再加第一个数，和不变。这叫做加法结合律。 考点/易错点3 乘法运算中交换两个因数的位置，积不变。这叫做乘法交换律。 考点/易错点4 乘法运算中，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这叫做乘法结合律。 考点/易错点5 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。 考点/易错点6 1.要想运用运算定律做好简便运算，要仔细观察算式，如果只有加法，一般用到加法交换和结合律，如果算式里只有乘法，一般用到乘法交换和结合律，如果既有加又有乘，一般用到乘法分配律。当然要注意一些变式。 2.还要观察算式里面的特殊数字，如25和4,125和8,2和5等，有时101可以变成（100+1），想想如何利用好这些特殊数字。 三、例题精析 【例题1】 【题干】357＋288＋143 【答案】788 【解读】357＋288＋143 =357＋143＋288 =500+288 =788 【例题2】 【题干】 138＋293＋62＋107 【答案】600 【解读】138＋293＋62＋107 =（138＋62）＋（293＋107） =200+400 =600 【例题3】 【题干】25×17×4 【答案】1700 【解读】25×17×4 =25×4×17 =100×17 =1700 【例题4】 【题干】（25×125）×（8×4）【答案】100000 【解读】（25×125）×（8×4） =（25×4）×（8×125） =100×1000 =100000 【例题5】 【题干】 25×（40＋4） 【答案】1100 【解读】 25×（40＋4） = 25×40＋25×4 =1000+100 =1100 【例题6】 【题干】 125×64 【答案】8000 【解读】 125×64 =125×（8×8） 《四则运算》单元分析 一、单元教学内容 编排形式具体内容运算顺序 1．两步式题 例1、例2 加减混合运算（例1） 同级运算顺序 乘除混合运算（例2） 2．三步式题 例3、例4、例5 积商之和（差）的三步混合运算（例3）两级运算顺序 含小括号的两步混合运算（例4）含小括号的运算顺序 含小括号的三步计算式题运算顺序的系统整理3．特殊运算（例6）有关0的运算 1．例1、2学习两步混合运算式题，例3、4、5学习三步混合运算式题，其中例3学习两边可以同时算的书写格式。例5是比较复杂的含小括号的三步式题。 同级运算从左向右（例1、2） 2．整理混合运算顺序两级运算从高到低（例3） 带括号运算从里到外（例4） 通过例5集中完整呈现运算法则 3．整理有关“0”的运算（例6） 4．运用相关的四则运算知识解决一些实际问题。 新的数量关系：·对应思路（差对应）（例4、P12②、P14③、P16第13题） ·用三步解决的问题（例3等） 老师们可以再补充一些求单量的问题。如： 1．商店上午卖打印机收货款960元，下午卖同样的打印机收货款1600 元，下午比上午多卖2台，每台打印机多少元？ 2．同学们参观科技馆，三年级去了123人，四年级去了175人，买门票时四年级比三 年级多花了780元，两个年级一共花了4470元，每张门票多少元？正确的算式是A和C。（） A．780÷（175-123） B．780÷（175+123） C．4470÷（175+123） D．4470÷（175-123） 二、教学目标 （一）知识与技能目标 1．掌握含有两级运算式题的运算顺序，能够正确地进行三步式题的计算。 2．掌握有关0的运算特性，能够在计算中正确地运用0的知识解决问题。 3．能够解决用两三步计算的一些实际问题，并尝试列综合算式解决简单的数学问题。 4．在解决问题中进一步理解数量关系，掌握解题思路。 （二）过程与方法目标 1．在经历探索和交流解决实际问题的过程中，体验运算顺序的必要性及数学问题的探索性和挑战性。 2．经历将一些实际问题抽象为简单的数量关系的过程，探索分析问题、解决问题的有效方法，感受解决问题策略的多样性。 3．在解决问题的过程中，体会“对应”的思想。 4．在探索解决问题的过程中，培养识别、筛选、分析和运用信息的能力，以及分析、综合、抽象概括的能力和反思能力。 （三）情感态度价值观 1．在对运算顺序的辨析练习中，培养认真审题、独立思考和检查的良好学习习惯，并获得成功的体验。 2．在解决实际问题的过程中，进一步感受数学与实际生活的紧密联系，体验数学的价值，培养对数学的兴趣和良好情感。 3．在解决实际问题的过程中，培养交流、合作学习的意识和能力，并逐渐养成质疑、实事求是的科学的学习态度。 四、教学重点 1．掌握含有两级运算的运算顺序，能够正确的进行计算。 2．正确运用数量关系，解决实际问题。 五、教学难点 1．掌握解决问题的策略方法。 四则运算和运算定律易错题练习 1.把下面算式合并成一个综合算式。 （1）140×4=560 560＋120=680 680÷17=40 综合算式： （2）138－48=90 5400÷90=60 40×60=2400 综合算式： （3）735＋285=1020 1020÷510=2 150×2=300 综合算式： 2. 3.画出从正面、左面和上面看到的图形。 正面看左面看上面看 4.连一连。正面看左面看上面看 5.有一个由8个相同的正方体摆成的立体图形，从正面和上面看到的形状见下图。请画出该立体图形从左面看到的形状。 从正面看从上面看从左面看 二、简便计算。 56+78+201+322+44 745-（328+245）+128 468+298 556-398 365-135+735-265 595-39-27-24 5×27×20×3 24×13×125 75+25-75+25 68+（132-74） 106×25 99×78 三、解决问题 1.如果a*b=8×（a-3）÷b ，求10*7 2.海尔公司组织32人外出划船。 怎样租船最省钱？ 3．四年级两个班共有58人，怎样租车最省钱？ 每辆120元 每辆160元 限乘12人 限乘18人 4. 水果店有7筐等重的苹果，如果从每个筐里取出20千克7个筐里剩下的苹果的质量正好等于原来3筐苹果的质量。原来每筐苹果重多少千克？ 5.儿童影城原来每天放映5场电影，平均每场可卖920张票。现在每天多放映2场，假设平均每场可卖的票数不变，现在每天能卖多少张票？ 6.马虎在计算“800－□÷5”时，先算减法，后算除法，得到结果是40。你能帮他算出这道题的正确的得数吗？写出你的思考过程。 7.某商场开展优惠活动，凡购物满200元可回赠现金50元。妈妈有530元，你认为她最多可以买到多少钱的商品？ 8.甲乙两筐水果一共重40千克。从甲筐取6千克放到乙筐后，甲筐的水果比乙筐多2千克。求两筐水果原来各有多少千克？ 小船租金：24元/艘 大船租金：30元/艘 小船人数：4人/艘 大船人数：6人/艘 一元多项式的四则运算 学生姓名：XX 指导老师：XX 摘要本课程设计主要解决一元多项式的运算问题，通过链表的使用，实现对一元多项式的构建、录入、存储、打印、以及之间的运算。在本课程设计中，程序设计语言为C++语言，程序运行平台为Windows/98/2000/XP，程序采用了链表存储方法以及结构化和模块化的设计方法，通过调试运行，可以进行多项式的加、减、乘运算，勉强实现了设计目标，并且经过适当完善后，将可应用到实际中解决某些问题。 关键词程序设计；C++ ；一元多项式；运算 1 引言 一般来说，我们只知道数学上的一元多项式的运算，这一般都是用笔来进行运算的，然而此课程设计将一元多项式的运算用电脑来进行，只需要将多项式输入，然后就可以出结果，速度快，省去了认为计算的环节，在现实中带来不少方便。 1.1 课题背景 一元多项式的运算，虽然无法直接在除数学外的其他领域作出贡献，但是在数学上，它可以为人们解决一些自己动笔动手很难解决的问题，比如说那些很长很长的多项式，用笔算可能要算半天，但是用该程序，只需短短的几秒钟，所以它给人们带来了不少方便，同时相信它也能间接地为其他领域做出贡献。 1.2 课程设计目的 个人觉得，该数据结构课程设计一方面可以让自己更加熟悉那些些常用的数据结构，掌握数据结构内在的逻辑关系，以及它们在计算机中的存储表示，和对它们实行的各种运算；另一方面，可以让自己对于整体和局部，以及结构化和模块化编程有一个更深层次的了解。作为网络工程的学生，虽然之前有过一次Ｃ语言课程设计，但是深知自己编程能力尚为欠缺，所以这一次数据结构课程设计是对我的编程能力和组织能力的又一次考验。 1.3课程设计内容 本课程设计是用链表实现一元多项式的存储及运算，其中包括多项式系数及指数的录入（即一元多项式的录入），以及储存、一元多项式的显示、一元多项式之间的加、减、乘法运算。 四则运算教材分析 （一）教材说明：这一单元是这册书中一个重点单元。本单元主要教学并梳理混合运算的顺序。混合运算前面学生已经学会按从左往右的顺序计算两步式题，并且知道括号的作用，这里主要教学含有两级运算的运算顺序，并对所学的混合运算的顺序进行整理。其主要内容有：整理同级运算的顺序，教学并整理含两级运算的顺序及含有小括号的运算顺序、有关0的运算。 （二）教学目标： 1、进一步掌握含有两级运算的运算顺序，正确计算三步式题。 2、经历探索和交流解决实际问题的过程中，感受解决问题的一些策略和方法，学会用两、三步计算的方法解决一些实际问题。 3、在解决实际问题的过程中，养成认真审题、独立思考等学习习惯。 （三）教学重点：熟练掌握四则混合运算顺序加带有括号的混合运算顺序。（四）教学难点：四则混合运算顺序的学习。 （五）教学建议： 本单元中一个新的亮点就是整理混合运算的顺序是结合解决问题进行的。目标中学生既要掌握运算顺序，又要理解解决问题的基本策略和步骤。从学生的角度看，学生已经有了一定的运算基础，因此建议： 1、以应用题型为经，以运算顺序为纬。视学生情况，各有侧重。 2、加强基础运算，保证计算的正确率。 在本单元的教学中，我们应该尝试给学生提供探索的机会，让学生经历创造的过程，从中体会运算顺序的合理性和小括号的意义。在探索过程中，学生的思维是自主的，学生的选择是开放的，学生的表述也是多样的。 第1课时：加减法的意义和各部分间的关系 教学内容：P2~3：例1 “做一做” 教学目标： 知识与技能：从实例中归纳加减法的意义和关系，初步理解加法与减法的意义以及它们之间互逆关系。 过程与方法：初步学会利用加减法算式中各部分之间的关系求解加减法算式中的未知数。 情感态度价值观：培养学生发现数学知识和运用数学知识解决问题的能力。 教学重点：理解加、减法的意义和利用加减法的关系求加减法中的未知量。 教学难点：从实例中探究加、减法的互逆关系。 教具学具：多媒体课件 教学过程 一、复习导入 1、口算 2、笔算 3、导入 二、理解加减法的意义 1、理解加法的意义。 出示例1（1）一列火车从西宁经过格尔木开往拉萨。西宁到格尔木的铁路长814四则运算、运算定律概念总结知识讲解
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