2015年高考数学新定义问题专项训练
创新问题专项训练
(一)
一、选择题
1．设S 是至少含有两个元素的集合，
在S 上定义一个二元运算
“*”（即对任意的a ，b ∈S ，
对于有序元素对(a ，b)，在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应)．若对任意的
a ，
b ∈S ，有
a*(b*a)＝b ，则对任意的
a ，
b ∈S ，下列等式中不恒成立的是
(
)
A ．(a*b)*a ＝a
B ．[a *(b *a )]*(a*b)＝a
C ．b*(b*b)＝b
D ．(a*b)*[b *(a *b )]＝b
2．在平面直角坐标系
xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足
OQ ＝2
(a ＋b )．曲线C ＝{P|OP ＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0 ( ) A ．1 B ．1 C ．r ≤1 D ．1 3．函数y ＝f (x)的图象如图所示，在区间 [a ，b ]上可找到n(n ≥2)个不同的数x 1，x 2，,， x n ，使得f x 1x 1＝f x 2x 2＝,＝f x n x n ，则n 的取值范围是() A ．{3,4} B ．{2,3,4} C ．{3,4,5} D ．{2,3} 4．我们把形如 y ＝f(x) φ(x) 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法： 在函数解析式两边求对数得 ln y ＝φ(x)lnf(x)，两边求导得y ′y ＝φ′(x)·ln f(x)＋φ(x)·f ′x f x ，于 是y ′＝f(x)φ(x) φ′(x)·l n f(x)＋φ(x)·f ′x f x .运用此方法可以探求得 y ＝x 1 x 的一个单调递增区间是 ( ) A ．(e,4) B ．(3,6) C ．(2,3) D ．(0,1) 5．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑白两蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行， 每走完一条棱称为“走完一段”．白蚁爬行的路线是A 1A 1―→A 1D 1,，黑蚁爬行的路线是AB ―→BB 1,，它们都遵循如下规则：所爬行的第i ＋2段所在直线与第 i 段所在直线必须是 异面直线(其中i ∈N * )，设黑白两蚁走完第 2 014段后，各停止在正方体的某个顶点处， 这时 黑白两蚁的距离是() A．1 B. 2 C. 3 D．0 6．已知向量u＝(x，y)与v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示，在下列命题中： ①若a＝(1,1)，则f(a)＝(1,1)； ②若f(b)＝(0，－1)，则b＝(1,0)； ③对于任意向量a及常数m、n，恒有f(mn a)＝mf(a)＋nf(a)； ④对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)． 其中正确命题的序号是______(写出所有正确命题的序号)． A．①③B．①②④ C．①③④D．② 二、填空题 7．双曲线x2－y2＝8的左、右焦点分别是F1、F2，点P n(x n，y n)(n＝1,2,3，，)在其右支上，且满足|P n＋1F2|＝|P n F1|，P1F2⊥F1F2，则x2 014的值是________． 8．已知数列{a n}满足：当n∈k－1k 2 ， k＋1k 2 (n，k∈N*)时，a n＝(－1)k＋1·k，S n是数 列{a n}的前n项和，定义集合A m＝{n|S n是a n的整数倍，n，m∈N*，且1≤n≤m}，card(A)表示集合A中元素的个数，则card(A15)＝________. 9．设[x]表示不超过x的最大整数，如：[π］ ＝3，[－4.3]＝－5.给出下列命题： ①函数f(x)＝ln(x－[x])的值域为(－∞，0]； ②若x1≤x2，则e[x1]≤e[x2]，其中e为自然对数的底数； ③[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋,＋[lg 100]＝90； ④若函数f(x)＝ 2x 1＋2x － 1 2 ，则y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为{－1,0}．其中所有真命题的序 号是________． 三、解答题 10．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，,，a n为n(n＝2,3,4，,)阶“曼德拉数列”： ①a1＋a2＋a3＋,＋a n＝0； ②|a1|＋|a2|＋|a3|＋,＋|a n|＝1. (1)若某2k(k∈N*)阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项a n(1≤n≤2k，用k，n表示)； (2)若某2k＋1(k∈N*)阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项a n(1≤n≤2k＋1，用k，n表示)． 11．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，若y＝f x x 在(0，＋∞)上为增函数，则称f(x)为 “一阶比增函数”；若y＝f x x2 在(0，＋∞)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”．我们 把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2. (1)已知函数f(x)＝x3－2mx2－mx，若f(x)∈Ω1，且f(x)?Ω2，求实数m的取值范围； (2)已知0＜a＜b＜c，f(x)∈Ω1且f(x)的部分函数值由下表给出： x a b c a＋b＋c f(x) d d t 4 求证：d(2d＋t－4)＞0； 答案 1．选A根据题意“对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b”，则选项B中，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a一定成立；选项C中，b*(b*b)＝b一定成立；选项D中(a*b)*[b*(a*b)]＝(a*b)*a ＝b，一定成立，故选 A. 2.选A由已知可设OA＝a＝(1,0)，OB＝b＝(0,1)，P(x，y)，则OQ ＝(2，2)，曲线C＝{P|OP＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π｝，即C：x2＋y2 ＝1，区域Ω＝{P|0 r2与圆P2：(x－2)2＋(y－2)2＝R2所形成的圆环，如图所示，要使C∩Ω 为两段分离的曲线， 只有1 3.选B f x1 x1 ＝ f x2 x2 ＝,＝ f x n x n 的几何意义是指曲线上存在n个点与坐 标原点连线的斜率相等，即n为过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n的取值为2,3,4，故选 B. 4．选D由题意知 y′＝x 1 x－1 x2 ln x＋ 1 x · 1 x ＝x 1 x·1 x2 (1－ln x)，x>0， 1 x2 >0，x 1 x>0，令y′>0，则1－ln x>0， 所以0 5．选B由题意，白蚁爬行的路线为A1D1―→D1C1―→C1C―→CB―→BA，即经过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，由2 014＝335×6＋4知，白蚁走完第 2 014段后停在C点；同理，黑蚁走完第 2 014段后停在D1点，所以它们此时的距离为 2.故选B. 6．选B对于①，f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，所以①正确；对于②，设b＝(x，y)，则f(b)＝(y,2y－x)，所以y＝0,2y－x＝－1，解得x＝1，y＝0，所以②正确；对于③，设a＝(a1，a2)，则mn a＝(mna1，mna2)，所以f(mn a)＝(mna2,2mna2－mna1)＝mn(a2,2a2－a1)＝mnf(a)，mf(a)＋nf(a)＝m(a2,2a2－a1)＋n(a2,2a2－a1)＝(ma2＋na2,2ma2＋2na2－ma1－na1)，所以③不正确；对于④，设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则m a＋n b＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，所以f(m a ＋n b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，所以f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)，所以④正确．7．解析：∵a2＝8，b2＝8，∴c＝4，即x2n＋1－8x n＋1＋16＋y2n＋1＝x2n＋8x n＋16＋y2n，∴(x n ＋1＋x n)(x n＋1－x n－4)＝0，由题意知，x n＞0，∴x n＋1－x n＝4，∴{x n}是以4为首项，4为公差的等差数列．∴x2 014＝x1＋2 013×4＝4＋8 052＝8 056. 答案：8 056 8．解析：由于当n∈k－1k 2 ， k＋1k 2 (n，k∈N*)时，a n＝(－1)k＋1·k，则数列{a n}满足， a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，,，其前n项和S n满足，当n≥1时，若a n是奇数，则S n是a n的整数倍，所以当1≤n≤15时，a n是奇数的项共有9项，故card(A15)＝9. 答案：9 9．解析：命题①中，显然有0＜x－[x]＜1，所以函数f(x)＝ln() x－[x]的值域为(－∞，0)，错误；命题②中，显然有[x1]≤[x2]，所以e[x1]≤e[x2]，正确；命题③中，[lg 1]＝[lg 2]＝[lg 3]＝,＝[lg 9]＝0，[lg 10]＝[lg 11]＝[lg 12]＝,＝[lg 99]＝1，[lg 100]＝2，所以[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋,＋[lg 100]＝90＋2＝92，错误；命题④中，易证f(x)＝ 2x 1＋2x － 1 2 为奇函数，其值域为 －1 2 ， 1 2 ，所以函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为{－1,0}，正确．答案：②④ 10．解：(1)若q≠1， 则由①a1＋a2＋,＋a2k＝ a11－q2k 1－q ＝0， 得q＝－1， 由②得a1＝ 1 2k 或a1＝－ 1 2k . 若q＝1，由①得，a1·2k＝0， 得a1＝0，不可能． 综上所述，q＝－1. ∴a n＝1 2k (－1)n－1或a n＝－ 1 2k (－1)n－1. (2)设等差数列a1，a2，a3，,，a2k＋1(k≥1)的公差为d，∵a1＋a2＋a3＋,＋a2k＋1＝0， ∴(2k＋1)a1＋2k2k＋1d 2 ＝0，a1＋kd＝0， 即a k＋1＝0，∴a k＋2＝d， 当d＝0时，“曼德拉数列”的条件②矛盾，当d＞0时，据“曼德拉数列”的条件①②得， a k＋2＋a k＋3＋,＋a2k＋1＝1 2， ∴kd＋k k－1 2 d＝ 1 2 ， 即d＝ 1 k k＋1 ， 由a k＋1＝0得a1＋k·1 k k＋1 ＝0， 即a1＝－ 1 k＋1 ， ∴a n＝－ 1 k＋1 ＋(n－1)· 1 k k＋1 ＝ n k k＋1 － 1 k (n∈N*，n≤2k＋1)． 当d＜0时，同理可得kd＋k k－1 2 d＝－ 1 2 ，即d＝－ 1 k k＋1 . 由a k＋1＝0得a1－k·1 k k＋1 ＝0， 即a1＝ 1 k＋1 ， ∴a n＝ 1 k＋1 －(n－1)· 1 k k＋1 ＝－ n k k＋1 ＋ 1 k (n∈N*，n≤2k＋1)． 11．解：(1)因为f(x)∈Ω1，且f(x)?Ω2， 即g(x)＝f x x ＝x2－2mx－m＝(x－m)2－m2－m在(0，＋∞)上是增函数， 所以m≤0. 而h(x)＝f x x2 ＝x－2m－ m x 在(0，＋∞)上不是增函数， h′(x)＝1＋m x2 ，当h(x)是增函数时， h′(x)＝1＋m x2 ≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以m≥－x2在(0，＋∞)上恒成立， 故m≥0， 因此当h(x)不是增函数时，m＜0. 综上，实数m的取值范围是(－∞，0)．(2)证明：因为f(x)∈Ω1， 且0＜a＜b＜c＜a＋b＋c， 所以f a a ＜ f a＋b＋c a＋b＋c ＝ 4 a＋b＋c ， 故f(a)＝d＜ 4a a＋b＋c ， 同理可证：f(b)＝d< 4b a＋b＋c ， f(c)＝t< 4c a＋b＋c . 三式相加得f(a)＋f(b)＋f(c)＝2d＋t＜4a＋b＋c a＋b＋c ＝4， 所以2d＋t－4＜0. 又f(x)∈Ω1，且0＜a＜b， 所以f a a ＜ f b b ，即 d a ＜ d b ， 所以d a － d b ＝ d b－a ab ＜0， 而0＜a＜b，所以d＜0， 所以d(2d＋t－4)＞0. 创新问题专项训练(二) 一、选择题 1．已知集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝() A．{(1,1)}B．{(1,1)，(－2，－2)} C．{(－2，－2)} D．? 2．定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f(x)的同值变换的是() A．f(x)＝(x－1)2，T将函数f(x)的图象关于y轴对称 B．f(x)＝2x－1－1，T将函数f(x)的图象关于x轴对称 C ．f (x)＝2x ＋3，T 将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称 D ．f(x)＝sin x ＋π 3，T 将函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称 3．设函数f(x)＝x 2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {x n }，{x n }的前n 项和为S n ，则sin S n 不可能取的值是( ) A ．0 B.12C ．－ 3 2 D.32 4．对向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)定义一种运算“?”：a ?b ＝(a 1，a 2)?(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知动点P ，Q 分别在曲线y ＝sin x 和y ＝f(x)上运动，且 OQ ＝m ?OP ＋n (其中O 为 坐标原点)，若向量m ＝1 2，3，n ＝π6 ，0，则y ＝f(x)的最大值为( ) A.1 2B ．2 C ．3 D. 3 5．对于函数f(x)，若存在区间 M ＝[a ，b ](a ＜b)，使得{y|y ＝f(x)，x ∈M}＝M ，则称区间 M 为函数f(x)的一个稳定区间．给出下列函数：①f(x)＝e x ；②f(x)＝x 3 ；③f(x)＝cos π 2 x.其中存 在“稳定区间”的函数的序号有 ( ) A ．①③ B ．② C ．① D ．②③ 6．定义区间(a ，b)，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为 d ＝b －a ，多个区间并集的长度 为各区间长度之和，例如，(1,2)∪[3,5)的长度d ＝(2－1)＋(5－3)＝3.用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x}＝x －[x ]，其中x ∈R .设f(x)＝[x ]·{x}，g(x)＝x －1，当0≤x ≤k 时，不等式f(x) ＜g(x)的解集区间的长度为 5，则k ＝() A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 二、填空题 7．设不等式组 x ＞0， y ＞0，y ≤－nx ＋3n 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为 a n (n ∈ N * )(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点 )，则数列{a n }的通项公式为________． 8．设集合P ＝{t|数列{n 2 ＋tn(n ∈N * )}单调递增}，集合Q ＝{t|函数f(x)＝kx 2 ＋tx 在区间[1，＋∞)上单调递增}，若“t ∈P ”是“t ∈Q ”的充分不必要条件，则实数k 的最小值为 ________． 9．下表中的数表为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列． 234567, 35791113, 4710131619, 5913172125, 61116212631, 71319253137, ,,,,,,, (1)记数表中的第1行第1列的数为a1，第2行第2列的数为a2，依此类推，第n行第n列的数为a n，即a1＝2，a2＝5，则a n＝________； (2)在上表中， 2 014出现的次数为________． 三、解答题 10.(1)如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝ log 2 2 x，y＝x 1 2，y＝2 2 x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐 标轴．若点A的纵坐标为2，求点D的坐标． (2)若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b，则称直线l：y＝kx＋b为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)＝x2，φ(x)＝2eln x(其中e为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与φ(x)间的隔离直线方程． 11．已知F1，F2为椭圆C：x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，D，E是椭圆的右、上 顶点，椭圆的离心率e＝ 3 2 ，S△DEF2＝1－ 3 2 .若点M(x0，y0)在椭圆C上，则点N x0 a ，y0 b 称 为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q. (1)求椭圆C的标准方程； (2)问：是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在， 求出该直线的方程；若不存在，请说明理由． 答案 1．选C M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}＝{a|a＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－ 2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }＝{a |a ＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R }．令(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)， 则 1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得λ1＝－1，λ2＝0，所以M ∩N ＝{(－2，－2)}． 2．选B 选项B 中，f(x)＝2 x －1 －1的值域为(－1，＋∞)，将函数f(x)的图象关于x 轴 对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项 正确． 3．选B 由f(x)＝x 2＋sin x 得，f ′(x)＝1 2＋cos x ，令f ′(x)＝0得，x ＝2k π±2π3 (k ∈Z )，当f ′(x)＞0时，2k π－2π3＜x ＜2k π＋2π3(k ∈Z )，当f ′(x)＜0时，2k π＋2π3＜x ＜2k π ＋4π 3(k ∈Z )，所以当x ＝2k π－2π 3 (k ∈Z )时，f(x)取极小值，即 x n ＝2n π－2π 3 ，所以S n ＝x 1＋x 2＋x 3＋,＋x n ＝2π(1＋2＋3＋,＋n)－2n π3＝n(n ＋1)π－2n π3，当n ＝3k(k ∈N * )时，sin S n ＝sin(－2k π） ＝0；当n ＝3k －1(k ∈N * )时，sin S n ＝sin 2π3＝32；当n ＝3k －2(k ∈N * )时，sin S n ＝sin 4π3＝－32 . 4．选C 设P(x 1，y 1)，Q(x ，y)， ∵m ＝1 2 ，3， ∴m ?OP ＝12，3?(x 1，y 1)＝x 1 2，3y 1， ∵OQ ＝m ?OP ＋n ， ∴(x ，y)＝x 12，3y 1＋π6，0，∴x ＝x 12＋π 6，y ＝3y 1， ∴x 1＝2x －π3，y 1＝y 3， 又y 1＝sin x 1，∴y 3＝sin 2x －π3， ∴y ＝3sin 2x －π 3 ， 显然当sin 2x －π 3＝1时，y ＝f(x)取得最大值 3. 5．选D 对于①，函数 f(x)＝e x 是增函数，当 x ∈[a ，b ]时，相应的值域为[e a ，e b ]，令 g(x)＝e x －x ，则g ′(x)＝e x －1，所以g(x)在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，且g(0)＝1＞0，因此方程 g(x)＝0无实根，即函数 f(x)＝e x 不存在“稳定区间”；对于②， 当x ∈[－1，1]时，f(x)＝x 3的值域为[－1,1]，因此函数f(x)＝x 3 存在“稳定区间”；对于③，当x ∈[0,1]时，f(x)＝cos π2x 的值域为[0,1]，因此函数f(x)＝cos π 2 x 存在“稳定区间”． 6．选B f(x)＝[x ]·{x}＝[x ]·(x －[x ])＝[x ]x －[x ]2 ，由f(x)＜g(x)，得[x]x －[x]2 ＜x －1，即()[x]－1x ＜[x] 2 －1.当x ∈(0,1)时，[x]＝0，不等式的解为 x ＞1，不符合题意；当x ∈[1,2)时， [x]＝1，不等式可化为0＜0，无解，不符合题意；当 x ∈[2，＋∞）时，[x]＞1，不等式([x]－ 1)x ＜[x]2 －1等价于x ＜[x]＋1，此时不等式恒成立，所以不等式的解集为[2，k]，因为不等 式f(x)＜g(x)的解集区间的长度为 5，所以k －2＝5，即k ＝7，故选 B. 7．解析：由题意知3n －nx ＞0，又x ＞0，则0＜x ＜3.∴x ＝1或x ＝2，∴D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与直线x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2，则y 1＝－n ＋3n ＝2n ，y 2＝－2n ＋3n ＝n ，∴a n ＝3n. 答案：a n ＝3n 8．解析：因为数列{n 2 ＋tn(n ∈N * )}单调递增，所以(n ＋1)2 ＋t(n ＋1)＞n 2 ＋tn ，可得t ＞－2n －1，又n ∈N * ，所以t ＞－3.因为函数f(x)＝kx 2 ＋tx 在区间[1，＋∞)上单调递增，所以其图象的对称轴 x ＝－ t 2k ≤1，且k ＞0，故t ≥－2k ，又“t ∈P ”是“t ∈Q ”的充分不必要条件，所以－2k ≤－3，即k ≥32，故实数k 的最小值为3 2 . 答案： 3 2 9．解析：(1)由“森德拉姆筛”数表中的数据 a 1＝2，a 2＝5，a 3＝10，a 4＝17，,可知， a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝5，a 4－a 3＝7，,，a n －a n －1＝2n －1，累加得a n －a 1＝3＋5＋7＋,＋2n －1＝3＋2n －1n －12＝n 2－1，所以a n ＝n 2－1＋a 1＝n 2 ＋1；(2)记第i 行第j 列的数为A ij ， 那么每一组i 与j 的解就对应表中的一个数，因为第1行的数组成的数列 A 1j (j ＝1,2，,)是 以2为首项，公差为 1的等差数列，所以 A 1j ＝2＋(j －1)×1＝j ＋1，所以第j 列数组成的数 列A ij 是以j ＋1为首项，公差为j 的等差数列，所以 A ij ＝j ＋1＋(i －1)×j ＝ij ＋1，令A ij ＝ij ＋1＝2 014，即ij ＝2 013＝1×2 013＝3×671＝11×183＝61×33＝33×61＝183×11＝671×3＝2 013×1. 故2 014出现的次数为8. 答案：(1)n 2 ＋1 (2)8 10．解：(1)由A 点的纵坐标为2，得点A 的横坐标是 222＝1 2 ，由矩形的边平行于坐标轴，得B 点的纵坐标是 2，从而横坐标是22 ＝4，所以C 点的横坐标是 4，纵坐标是 2 2 4 ＝1 4，所以点D 的横坐标等于A 点的横坐标1 2，点D 的纵坐标等于 C 点的纵坐标1 4 ，即D 点 的坐标是1 2 ， 1 4 . (2)容易观察到h(x)和φ(x)有公共点(e，e)，又(x－e)2≥0，即x2≥2ex－e，所以猜想h(x)和φ(x)间的隔离直线为y＝2ex－e，下面只需证明2eln x≤2ex－e恒成立即可，构造 函数λ(x)＝2eln x－2ex＋e.由于λ′(x)＝2e e－x x (x>0)，即函数λ(x)在区间(0，e)上递增， 在(e，＋∞)上递减，故λ(x)≤λ(e)＝0，即2eln x－2ex＋e≤0，得2eln x≤2ex－e.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y＝2ex－e. 11．解：(1)由题意得e＝c a ＝ 3 2 ，故c＝ 3 2 a，b＝ 1 2 a，S△DEF2＝ 1 2 ×(a－c)×b＝ 1 2 a－ 3 2 a ×a 2 ＝ 1 4 ×1－ 3 2 a2＝1－ 3 2 ，故a2＝4，即a＝2，所以b＝1，c＝3，故椭圆C的标准方 程为x2 4 ＋y2＝1. (2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，联立 x＝－3， x2 4 ＋y2＝1， 解得 x＝－3， y＝1 2 或 x＝－3， y＝－ 1 2 ， 不妨令A－3， 1 2 ，B－3，－ 1 2 ，所以对应的“椭点” 坐标为P－ 3 2 ， 1 2 ， Q－ 3 2 ，－ 1 2 .而OP·OQ＝ 1 2 ≠0. 所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点． ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋3)，联立y＝k x＋3， x2 4 ＋y2＝1 消去 y得(4k2＋1)x2＋83k2x＋12k2－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则这两点的“椭点”坐标分别为P x1 2 ，y1，Q x2 2 ，y2，由根 与系数的关系可得x1＋x2＝－83k2 4k2＋1 ，x1x2＝ 12k2－4 4k2＋1 ，则y1y2＝k2(x1＋3)(x2＋3)＝k2[x1x2＋ 3(x1＋x2)＋3]＝ －k2 4k2＋1 .若使得以PQ为直径的圆经过坐标原点，则OP⊥OQ，而OP＝ x1 2，y1，OQ＝x2 2 ，y2，因此OP·OQ＝0，即x1 2 × x2 2 ＋y1y2＝ x1x2 4 ＋y1y2＝0，即 2k2－1 4k2＋1 ＝0， 解得k＝± 2 2 . 所以所求的直线方程为 y＝ 2 2 x＋ 6 2 或y＝－ 2 2 x－ 6 2 . 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2) 理 科 数 学 注意事项： 1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） （A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝ （2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) （A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( ) A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题 17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点 2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积 的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ） 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+ 2015年全国高考数学卷文科卷1 一、选择题 1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B I 中的元素个数为( ) （A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 2．已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 3．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） （A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i + 4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）1 20 5．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12 ，E 的右焦点与抛物线2 :8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = （ ） （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 8．函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13 (,),44k k k Z ππ- +∈ （B ）13 (2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13 (,),44k k k Z -+∈ （D ）13 (2,2),44 k k k Z -+∈ 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 2018年数学高考全国卷3答案 参考答案： 13. 14. 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设的公比为，由题设得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，则.由得，此方 程没有正整数解. 若，则.由得，解得. 综上，. 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 12 3-3{}n a q 1 n n a q -=4 2 4q q =0q =2q =-2q =1 (2)n n a -=-1 2n n a -=1 (2) n n a -=-1(2)3 n n S --= 63 m S =(2) 188 m -=-1 2n n a -=21 n n S =-63 m S =2 64 m =6m =6m = （ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 7981 802 m +== 2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、 圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表 面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、 得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入 第三产业收入 其她收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入 养殖收入 其她收入 第三产业收入 建设后经济收入构成比例 A B 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1 2i 1 2i 4 3 4 3 i 3 4 3 4 A ． i B ． 5 C ． i D ． i 5 5 5 5 5 5 5 2．已知集合 A x ，y x 2 y 2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B ． 8 C ． 5 D ． 4 3．函数 f e x e x 的图像大致为 x x 2 A B C D 4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b ) A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 2 2 5．双曲线 x 2 y 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a b A ． y 2x B ． y 3x C ． y 2 D ． y 3 x x 2 2 6．在 △ABC 中， cos C 5 ，BC 1 ， AC 5，则 AB 开始 2 5 N 0,T A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 i 1 1 1 1 1 1 7．为计算 S 1 3 ? 99 ，设计了右侧的程序框图，则在 是 100 否 2 4 100 i 空白框中应填入 1 A ． i i 1 N N S N T i B ． i i 2 T T 1 输出 S i 1 C ． i i 3 结束 D ． i i 4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1 B ． 1 1 1 A ． 14 C ． D ． 12 15 18 ABCD A B C D AD DB 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷一理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，形ABCD 的图形来自中国古代的太极图.形切圆中的黑色部分和白色部分关于形的中心成中心对称.在形随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设复数z满足1+z 1z - =i，则|z|= （A）1 （B）2（C）3（D）2 【答案】A 考点：1.复数的运算；2.复数的模. （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A）3 （B 3 （C） 1 2 -（D） 1 2 【答案】D 【解析】 试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1 2 ，故选D. 考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式 （3）设命题P：?n∈N，2n>2n，则?P为 （A）?n∈N, 2n>2n（B）?n∈N, 2n≤2n （C）?n∈N, 2n≤2n（D）?n∈N, 2n=2n 【答案】C 【解析】 试题分析：p ?:2,2n n N n ?∈≤，故选C. 考点：特称命题的否定 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A 【解析】 试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 22330.60.40.6C ?+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式 （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦 点，若1MF u u u u r ?2MF u u u u r ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223- ，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A 考点：向量数量积；双曲线的标准方程 姓名： 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（） A．0 B．C．D． 2．已知集合，则（） A．B． C．D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（） A．B．C．D．12 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（） A．B． C．D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为， 则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C．D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点， 则（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成 的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一 点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（） A．B．C．D． 11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（） A．B．3 C．D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A．B．C．D． 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数 学(理科) 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=? B 、A ∪B=R C 、B ?A D 、A ?B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B. 2、若复数z 满足错误！未找到引用源。 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4 （B ）－4 5 错误！未找到引用源。 （C ）4 （D ）45 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题. 【解析】由题知z =|43|34i i +- ==3455i +，故z 的虚部为4 5，故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C. 4、已知双曲线C ：22 22 1x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A . 14y x =± B .13y x =± C .1 2y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题. 2014年高考数学全国二卷(理科)完美版 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共60分) 2014·新课标Ⅱ卷第1页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝() A．{1}B．{2} C．{0,1}D．{1,2} 2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝() A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 3．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝() A．1 B．2 C．3 D．5 4．钝角三角形ABC的面积是1 2，AB＝1， BC＝2，则AC＝() A．5 B. 5 C．2 D．1 5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是() A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.1727 B.59 C.1027 D.13 7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．设x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0， 3x －y －5≥0， 则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 10．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94 11．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22 2014·新课标Ⅱ卷 第2页12.设函数f (x )＝ 3sin πx m .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2 2018年普通高等学校招生全国统一考试（III卷） 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 A．B．C．D． 2． A．B．C．D． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若，则 A．B．C．D． 5．的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线分别与轴，轴交于、两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A．B．C．D． 7．函数的图像大致为 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．B．C．D． 9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A．B．C．D． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D． 11．设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A．B．2 C．D． 12．设，，则 A．B．C．D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，，．若，则________． 14．曲线在点处的切线的斜率为，则________． 15．函数在的零点个数为________． 16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若 ，则________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须 作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 等比数列中，．2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2
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