2.1函数图形与极限
2.1.1实验目的
1. 熟悉Mathematica 基本绘图语句。
2. 掌握函数极限的有关操作命令。
3. 学会利用Mathematica 软件对函数进行分析研究。
4.
熟悉 Mathematica 二元函数绘图语句。
2.1.2实验内容
【基本语句】
1. Plot[f[x],{x,xmin,xmax},选项];功能:画出函数f[x]从min 到max 间的图形;
2. Plot[{f1 [x],f2[x],...},{x,xmin,xmax},选项];功能：在同一坐标系下画出函数 f1,f2,...的图形。
3. ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}];
功能：画出参数方程 fx=x(t),fy=y(t)的图形；
ParametricPlot[{{f1x,f1y},{f2x,f2y}},{t,tmi n, tmax}];
功能：在同一坐标系下画出用参数方程表示的
两幅函数图形。
【备注】fx,fy 的给出方式： ⑴ fx=x(t) , fy=y(t)
⑵fx=x ,fy=f(x)与fx=f(x) ,fy=x 构成反函数的图形关系 ⑶ r=r(t) , fx=r(t)Cos(t) , fy=r(t)Si n(t)
4. Show[tu1,tu2]功能：将tu1及tu2两幅函数图形重叠在一起，将两个函数图形一起显示。
5. Plot3D[f[x,y],{x,xO,x1},{y,yO,y1}]功能： 作出函数 f[x,y]在区域[xO,x1] X [yO,y1]上的图形； ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,uO,u1},{v,vO,v1}] 功能：作出参数方程表示的曲面。
6. Limit[f[x],x->xO] 功能：求函数f[x]在x0处的极限。
7. Limit[f[x],x->xO,Direction->+1] 功能：求函数 f[x]在 x0 处的左极限。
8. Limit[f[x],x->x0,Direction->-1]
功能：求函数 f[x]在 x0 处的右极限。
9. Limit[f[x],x->Infinity] 功能：求函数f[x]在x->无穷时的极限。 10. Limit[f[x],x->-Infinity] 功能：求函数f[x]在x->负无穷时的极限。
【实验2.1】画出以下函数的图形。
(1)
y =ln x 其中 x 三[0.1,10]。
(2)
y 1 =sinx, y 2 二cos(x ?—)，其中 x [-4,6]。
6
(3)
y 1
y 2 =x[ y 3 = x* y 4 ，其中 x - [ V,4]。
【实验2.2】 I 'I x =t y =s int (1) (2)
(3) 画出以下函数的图形。 其中 t ? [0,
二]。
x =t y =t 2
' _.2 r x —t 和』x —t 其中t 可~2,2]。 1“ =t [y =t
x = r cost r
=9. cosN 且 其中 t ? [__；
_]。 y =rsint 4 4 Mathematica 语句：
3 【实验2.4】利用图形显示命令作出下列函数的图形: (1) f(x, y) =sin(xy)，其中
x (0,4), y
(0,4)
1. 熟悉 Mathematica
2. 掌握函数求导数和求微分的有关操作命令。
3. 学会利用Mathematica 软件求解隐函数和参数方程导数。
4. 用Mathematica 求显函数的偏导数和全微分。
5.
用Mathematica 求隐函数的偏导数和全微分。
2.2.2实验内容
【基本语句】
在Mathematica 系统中，表示导数的方法有如下几种:
（1）f ' [x],f ''等表示?关?于x 的n 阶导数。
X = u cosv
(2) *y=usinv ，其中 u (0,2),v(0,2兀)
2
z =
u
【实验 2.5
】 求 lim tanx, lim tanx, lim tanx, lim sinx n m 严和 lim sin x
_^H 0
f x 7 x ^3 x
【实验 2.6】 求 lim - 1 2+e x 和lim 1 2+e x
x -0
4 4
1 +e x 1+e x
【实验 2.7】
求
lim arctanx, lim arctanx, lim (J 2x 2 +x _ 仗x 2 +1)和 lim ( g x 2 +x 一 g x 2 +1)。
x 厂：
x . x ；.：：x _ 习题
2.1 1.利用Mathematica 语句作下列函数的图形， 以分析函数的性
质。
（1） 2
f (x) =(x -x)sinx, x ：=[0,16] （2
）
2 sin x
f (x) 2 , x [弋5] x f 1(x) =sin x, f 2(x) =sin2x, x ? [0,2 二] x =s int
y =sin 2t 八[0,2 ]
2.利用 Mathematica （3） 语句求下列函数的极限
(1)lim nsin - n 厂 n 2
(2) lim n —sin 七1
n Y n +1 n
（3
）
lim (n 1)n1
n
?： (n - 2)n n
(4)lim t
an x
fin x x —0 (5)lim tanx -sinx
x )0 x 2
-1
（6）lim
x 6x 12x1
函数微分学
3
x
2.2 2.2.1实验目的
基本求导语句。
1.D[f[x],x]功能：求f x对的一阶导数。
2.D[f[x],{x,n}]功能：求f x对的阶导数。
3.Dt[f[x],x] 功能：求f x的微分。
4.equ=D[F [x] = =0,x]功能：方程两边对求导，得到含有方程。
5. Solve[equ,y ' [功能：解出。
6.D[f[x1,x2,...,xn],xi]功能：求函数对的偏导数
f (x1,x2…加。
X i
7.D[f[x1,x2,...,xn],xi,xk]功能：求函数对x i,x k的混合偏导数。
8.D[f[x1,x2,...,x n],{xi,k}] 功能：求函数对的k阶偏导数。
9.Dt[f]功能：求函数f的全微分。
10.Dt[f,x]功能：求函数f对x的全导数。
11.Solve[f[x]==0,x] 功能：解方程 f(x) =0。
12.Solve[{f[x,y]==0,g[x,y]==0},{x,y}] 功能：解方程组 f (x, y) = 0, g(x, y) = 0。【实验2.8】求以下函数的导数：
(1)^x53x4x21，求函数一阶到五阶导数。
(2)y =1 n x? J ■ x2，求并绘制y,y ?图形。
【实验2.9】函数 f(x)=4Co sx,
x:::0，求
f 0
并绘制f X图形。
1*乜x_0
【实
验 2.10】ysinx-cos(x-y) =0,求解
dy
dx
d2y。
'dx2
【实验】设x = t -1 n 1 t
2.11】设
，
求dy d2y 。
ly=t3+t2dx' dx2
【实验2.12】求以下函数的偏导数：
(1)f(x, y)=xsin y + ye x，求一阶偏导数，二阶偏导数，全微分。
【实验2.13】设方程z3-3xyz = a2确定了函数z=z(x,y),求亠，~。
ex cy
z _召2亠y
【实验2.14】设方程彳z 2y 2确定了，都是的函数，求鱼，竺。
x2：y 3^ =20 dx dx
1.
求下列函数的二阶导函数
7
⑴ y 二x
了
(2) y =x ln x t -sint
⑶f ⑴：
t +si nt
cosx
⑷ f(x) 3
2x +3
2. 求下列方程确定函数的 (1)
arctan x
=ln '氷 亠扌
y
⑵ e y
亠sin(x 2
y) = y 2
2 dy d y
3.
求下列参数方程确定函数的 ，—； dx dx
I x =1 n(1 存)
(1)
y 二arctant iX =sin(t -+1) ⑵
y =tan(e )
4.
求偏导数。
⑶已知fu _yv = 0,求色色色?
]yu 亠 xv 二 1 :x ' 门:"x
:y
2.3中值定理及应用
2.3.1实验目的
2.会用Mathematica 求函数在某个区间上的极小(大)值;
3.会用Mathematica 验证不等式成立。
4.用Mathematica 求解多兀函数的极值冋题。
2.3.2实验内容
【基本语句】
1. Plot[Evaluate[D[f(x)],{x,a,b}] 功能：画出 f (x)的导数 f (x)在区间[a,b]上的图形。
2. FindMinimum[f[x],{x,xO}] 功能：在点x0附近找函数f[x]的极小值。
3. FindMinimum[-f[x],{x,xO}]
功能：在点x0附近找函数f[x]的极大值。
习题2.2
dy d 2
y 。 —' ~2~ dx dx
(1)设 y =x
xtanx
，求
dy dx
⑵设z =cos "x 2亠y 2
，求
交0：y 10
1.会用Mathematica 画出函数 f (x)和它的导数 f (x)的图形; -20
一
【实验2.15】画出下列函数f(x)和的导数f (x)的图形。
(1)y二sin(x27) —阶导数在[—2,2]上的图形
此结果说明由函数零点的个数推出其导数零点的个数只适用于多项式函数，而对以一般函数来说，结果不一定成立。
(2)y二e?cos5x—阶导数和二阶导数在[0,3]上的图形
在本例实验中，在(0,1)区间上，一阶导数为零的点是曲线增减区间的分界点；二阶导数为零的点是函数凹凸区间的分界点。
【实验2.161求函数y = xsin4x在区间[1,3.5]的极小值与极大值，并根据图形对照其正确性。
【实验2.171证明不等式sin^A兰,(x^(o，兀))。
2 二，，
【实验2.181求函数z=x A3+y A3-3xy的极值。
习题2.3
1.证明不等式sin x ? x ? 1 x'(0 ：：：x )。
3 2
2.求函数y =x2(sinx ? cosx)在区间[1,3]的极小值与极大值，并根据图形对照其正确性。
2.4函数积分学
2.4.1实验目的
1.学习求不定积分的命令In tegrate。
2.了解Mathematica软件在积分运算的重要作用。
3.加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法。
4.学习求积分的命令Integrate与Nlntegrate。
5.了解Mathematica软件在积分运算的重要作用。
6.掌握绘制空间图形的Mathematica语句。
7.展示空间曲线、曲面和立体图形。
8.进一步学习求积分的命令Integrate，学会用画图的手段化重积分为累次积分。
9.了解Mathematica软件在重积分运算的重要作用。
10.掌握Mathematica求曲线积分的命令。
11.掌握Mathematica求曲面积分的命令。
2.4.2实验内容
【基本语句】
1. Integrate[被积函数，自变量]功能：计算被积函数的一个原函数。
2. Module[{j,tu},...] 功能：定义新的模块，便于计算积分和作图。
3. integrate 被积函数，自变量，积分区间]功能：求被积函数在积分区间上的定积分值。
4.
常用 Mathematica 绘图命令
三维图形的修饰(三维图形输出选项、缺省值和说明
)
(1) BoxRatios->{1,1,1} (2) Axes-> True (3) Axes Label -> No ne (4) Boxed-> True
(5) Mesh-> True 是否在表面画出 (6) Shading-> True
(7) View Point->{1.3,-2.4,2}视 5. Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}，
可选项} 功能：Plot3D 为空间直角方程绘图函数，f[x,y]为直角方程 式曲面y=f[x,y]的表达式，u 与v 为自变量，
x 的下限为a ，上限为b ， y 的下限为c ，上限为d ，可 选项内容为对三维图形的修饰项。
6. ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b},{v,c,d}，可选项} 功能：ParametricPlot3D 为空间参 数式绘图
函数，x[u,v],y[u,v],z[u,v]为参数式曲面的表达式，u 与v 为参变量，参量的下限为 a ，
上限
为b ，变量v 的下限为c ，上限为d,可选项内容为对三维图形的修饰项。 【实验2.19】计算以下函数的不定积分。
(1)y 二
sinx
(2) y =；汨2
【实验2.201观察函数y = x 的原函数的连续性。 【实验2.211观察函数y =e x
的原函数的连续性。
【实验2.221定义新的模块，利用其求解不定积分并作图。 【实验2.231观察原函数族。
【实验2.241计算函数在区间上的积分值和其近似值。 【实验2.251计算函数在区间上的积分值和其近似值。 【实验2.261计算变上限积分。
【实验2.271计算平面曲线f(x)=ei xv 2cos
「：x 和g(x) =4cos(x -2)所围成的平面图形面积 S 。
【实验2.281绘制下列函数所表示的曲面。
2 2
(1) y 二sin(x y )
(2) 绘制双曲抛物面、抛物柱面、马鞍面的图形
【说明1本例实验中，可选项的选择中，图形长、宽、高比定义为 1:1:1，使得图形更美观。 【实验2.291绘制下列参数方程表示的曲面。
图形高宽比{x ， y,z} 是否包括坐标轴
在轴中加标志{xLabel ，yLabel} 是否在曲面周围加立方体 x ，y 网格
表面是阴影还是留白的 占
a ,
x(u,v) =u
(1)
y(u,v) =v u 2
v 2
z(u,v) = — _ L 2 2
x(u,V) =seaicosv
(2)
”y(u,v) =seausi nv (- z(u,v) =tanu
y (
u,v )
^SlrluSfin^v (
OEu 兰 2兀，0EvE2兀)
z(u,v)n v
4
(2)Mathematica 语句: (3) Mathematica 语句: x[u_,v_]:=Sin [u]Cos[v]; y[u_,v_]:=Si n[u]Si n[v]; z[u_,v_]:= v/4;
ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},Boxed->False,BoxRatios->{1,1,1}]
【说明】本例实验中，可选项的选择中去掉方框，图形长、宽、高比定义为 1: 1: 1，使得图形更
美观。
【实验2.301绘制高维麦比乌斯曲面。
f (u,t) =[2 cos^sint -sin(2)sin2t]cosLi g(u,t) =[2 cos(~)sint-sin( )sin2t]sinu
【实验 2.31】(1u 绘制 f (x, y)u= x ，y,g(x, y)=16-(x y )两个曲面。
l 一
(2)绘制一曲面 zt = 0.2(x ■ y) 0.1 与 Z 2 = 0.5(x - y )在区域-1_x_1 , - 1_y_1 上
相
2 2 2 2
交部分的图形。
(-1 < u,v 乞 1 )
n JI
u _ —, 0 乞 v 乞 2 二)；
3
u
h(u,t ) u
cos
23 22
g
相交部分在坐标面形的投影。
x^sint
图 2.46
【实验 2.35】计算 xydxdy，其中 D :0 _x _1, 2x D 2 2 【实验2.36］计算e* y)dxdy，其中D:x2y^<1。(由积分区域和被积函数的结构可知, D 此积分用极坐标计算简单，从而可把二重积分化为二次积分) 【实验2.37】计算抛物面z =x2亠y2在平面Z = 1下方的面积。(先画图，由积分区域和被积函数的结构可知，此积分用极坐标计算简单，从而可把二重积分化为二次积分) 【实验2.38】计算111 z x2y2dxdydz,其中为柱面x2? y2- 2x = 0，平面z = 0 , Q z=a 0，y_0所围成。(先画图，再把三重积分化为三次积分求解) f x =acost 【实验2.39】已知曲线L：=asint， 0兰t兰2兀，用Mathematica求曲线积分((x2+y2+z2)ds。 z =kt L 【实验2.40】用Mathematica求曲线积分 1)2xydx x2dy，其中 L: y =x2从(0,0) 到□ L 2)2xydx x2dy ，其中L:x=y2从(0,0)到。 L 【实验 2.41 】用Mathematica 求曲面积分| ,(x - y - z)ds，其中 1: x 2■ y2z=a2。 I 【实验2.42】用Mathematica求曲面积分 I i(z2亠x)dydz ■ 0dzdx —zdxdy，其中 ' :z2 =x2亠y2,(0 _z _2)的上侧。 E 习题2.4 1.求下列函数的一个原函数： (1) ⑵21 x ux (3)secx(secx —tanx) 1 cos2x 1 a2 cos2 x b2 sin2 x 2x 3 x2 3x -10 2.求下列函数的定积分。 (1) ° 1 —x dx 9 (2) 4 ... x(1 …J x)dx 2 1 (3) 1 ——dx 'x +x (4) e L2nidx ^x 2 (5) | x -1| dx ^0 (6) 02|1_x| Jx -4)2 dx 3. 求下列函数的定积分并求其结果对的导数。 5.绘制下列参数方程表示的函数的图形。 x （u, v ） =cosv （1）柱面 ￡y（u,v ） =sinv （0 兰u 兰2,0 兰v 兰2兀） z （u,v ） =u r m x = 4+sin20tcoSt 6.绘制螺旋线＜ y = 4+sin20tsint （ 0 兰t 兰2兀） z = coS20t 2.5无穷级数与函数逼近 2.5.1实验目的 1. 掌握Mathematica 的求和命令； 2. 掌握函数展开成幕级数的 Mathematica 命令; 3. 加深理解幕级数是如何逼近函数图形的 ； 4. 掌握Mathematica 对级数进行解析运算的命令. 2.5.2实验内容 【基本语句】 max 1. Sum[f[n],{n,nmin,nmax}]功能：求' f (n)。 (1) x sin t 1 dt (2) jnx 12 e t dt 1 (3) x arctan x dx 0 1 x 2 dx （4） x 2 ±2 e dt x .绘制下列函数的图 形。 （1） f (x,y) =sin(x -y) （2 ） f (x, y) =x 2y 2e x 4 2 72 n -min max 2.NSum[f[n],{n,nmin,nmax}]功能：求 f(n)的近似值(保留6位有效数字)。 n ^in 3.Series[f[x],{x,xO,n} 功能：将f(x)在点展开，展开到项。 4.Series[f[x],{x,x0, n}]; Normal%]功能：将f(x)在点展开，展开到项的近似值。 【实验2.431 15 (1)求V A n 4 15 (2)求v丄的近似值(保留6位有效数字) n2 n 4 4 n (3)求、—° n n ! 【实验2.441 (1)求将y =e x在x =0点展开到项的精确表达式。 (2)求将y=e x在x=0点展开到项的近似表达式。 (3)求将y = f (x)在点展开到项的精确表达式。 (4)求将y=f(x)在点展开到项的近似表达式。 【实验2.451通过比较y二sin x的图形与其在x =0点的展开式图形，观察级数展开式的逼近情况。(分别取前7、21、51项展开式) 【实验2.461幕级数的分项展开图形：通过比较y =sin x的图形与其在x =1点的分项展开式图形，观察级数展开式的情况。(取前11项，即n =0,1丄，10 ) 图 2.55 【实验2.471幕级数的展开式合成图形：通过比较y=sin x的图形与其在x =0点的展开式图形，观察级数展开式的情况。(取前11项，即n =0,1丄，10 ) 【实验2.481求将y二丄在x = 0点展开到项的近似表达式。 1 -x 【实验2.491求将y二丄在x =0点展开到项的表达式。 1 —X 【实验2.50】 求将y = 1 sinx 在x=0点展开到项的表达式。 1 _x 【实验2.51】 求将y J ? sin x 在x = 0点展开到项的表达式对的导数和不定积分。 1 _x 【实验2.52】 求将y =_L ?sinx 在x =0点展开到项的表达式在 x = 一丄处的近似值，并与实际值 1 -X 81 进行比较（取19位有效数字）。 习题2.5 1.求下列幕级数的和函数 （1）观察级数才丄的部分和序列的变化趋势。 n 1 n ⑵ 观察级数J :1的部分和序列的变化趋势。 nJ n 2n n 4 （X ，）的和函数。 n 1 3.求在x =1处的6阶泰勒展开式。 2.6常微分方程解法 2.6.1实验目的 1. 掌握Mathematica 求解微分方程的通解方法 2. 掌握Mathematica 求解微分方程组的通解方法 2.6.2实验内容 【基本语句】 1. DSolve[equ==0,y [ x],x]功能：求常微分方程的通解。 2. DSolve[{equ==0,初始条件，y[x],x]功能：求常微分方程满足初始条件的特解。 3. DSolve[{equ1==0， equ2==0},{y1 [x],y2[x]},x]功能：求常微分方程的通解。 4. DSolve[{equ1==0， equ2==0，初始条件，{y1[x],y2[x]},x]功能：求常微分方程组满足初始条件的特 解。 5. NSolve[equ==0,y [x] ,x]功能：求常微分方程的所有根的近似形式。 6. NSolve[equ 仁=0, equ2==0, {y1[x],y2[x]},x]功能：求常微分方程组的所有根的近似形式。 【实验2.53】求 常微分方程的通解。 （1）求一阶微分方程 讨 讨xy 2 = 0的通解 （2）求二阶微分方程 x 2y" ■ y = 0的通解 y "‘—y = x 满足 y(0) = 0, y (0) = 1 的特解。 【实验2.55】求微分方程（组）满足初始条件的特解。 2.求： n z0 【实验2.53】求方程 =y ' 1 且满足 二 x 1 x(0) ~2 .y(0) =0 的特解。 【实验2.54】求方程组 dy dt (2)求方程ylcosx - sin y 在区间［0,20］上满足条件y(0) =1的特解 习题2.6 1. 求方程y ： y X 3=O 在区间［0,8］上满足条件y(0) =0,y(0) =1的特 解。 2 (3)求方程组 x (t) = y(t) y (t) = -0.01y(t) -sin x 在0空t 乞100上，满足条件 x(0) =0,y(0) =2.1 的特 解。 2.求x y_-2xy ? 2y =3x满足条件y(1)=m, y(1) = n 的特解。
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