04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式（供参考）
同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@https://www.doczj.com/doc/ac14002192.html, ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究轴向拉压和扭转的应力公式和变形公式。 ........................... 2 3 1.1 轴向拉压杆的应力公式推导 ............................................................................................ 2 4 1.2 轴向拉压杆的变形公式推导 ............................................................................................ 4 5 1.3 轴向拉压杆应力公式和变形公式的简要推导 ................................................................ 4 6 1.4 轴向拉压杆的强度条件、刚度条件的建立 .................................................................... 4 7 2.1 扭转轴的应力公式推导 .................................................................................................... 5 8 2.2 扭转轴的变形公式推导 .................................................................................................... 7 9 2.3 扭转轴应力公式和变形公式的简要推导 ........................................................................ 7 10 2.4 扭转的强度条件、刚度条件的建立 ............................................................................ 8 11 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)
1
* 问题的提出
在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。 强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，??
?
????≤?l l l l 许用变形工作变形
、??
?
???≤l l ??
。 如，轴向拉压杆
强度条件：[]σσ≤=
A
F N max
,max ；刚度条件：??
?
????≤=
?=
l l EA F l
l N max
max ε 又如，扭转杆 强度条件：[]ττρ≤=
W T max max ；刚度条件：??
?
????≤=
?l GI T l
??
ρmax
这里带方括号的，是材料的某种许用值。由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数，
即得。
显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。
杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。
其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。
2
下面就用统一的步骤，研究轴向拉压和扭转的应力公式和
变形公式。
一般来说，多按静力、几何、物理的顺序分析和讲解这三个方面的问题。
力是看不见、摸不着的，只能够感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物体所承受的力（这是力学难学的根本之所在）。
变形是可以观测的，或者借助易变形的橡胶模型观测到。由于物体运动可以观测到，速度、加速度不难理解，而绝大部分物体的变形很难肉眼观测，研究平衡状态下的内力和变形的难度进一步加深。
物理方面是指材料的力学性质，主要是应力应变关系，这必须试验确定。在材料力学中主要用到线弹性材料胡克定律，基本上没有难度。
故，本文按先易后难的顺序（几何、物理、静力）展开分析和研究。
1 轴向拉压杆 3
1.1 轴向拉压杆的应力公式推导
1.1.1 几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。 考察一端固定，一端受轴向外力F 作用的拉杆。根据“平截面假设”，其变形图示如下：
F
F
图1-1 在平截面假设下，同一横截面上各点应变相等
由图1-1，各纵向纤维的单位长度伸长量ε（线应变、正应变）等于Δl/l ，且各条纵向纤维的单位长度伸长量ε是一样大的。
表示轴向拉压杆同一横截面上各点的应变ε是均匀分布的。
1.1.2 物理学方面——应力应变关系（物质本构关系）：假设组成杆件的材料是均匀的。 根据材料的均匀性假设，各点应力应变关系是同一个函数关系，即
()()
()()211 C C f f ===εσ，表示轴向拉压杆同一横截面上各点的应力σ是均匀分
布的。
1.1.3 静力学方面——合力定理：合力等于分力之和。 设某横截面的轴力为F N （合力）。把该横截面划分为若干个微小的截面dA ，设作用在dA 截面的平均轴力为σ（正应力，它是单位面积上的内力（轴力）），则一个微截面上的轴力为dA dF N σ=。根据“合力等于分力之和”，则∑==
n
i i
i
N dA F 1
σ。如果有无穷个微小面积，
则和式改写为积分形式，?∑≡=
∝
=A
i i
i
N dA dA F σσ1
。
这样，由合力定理，得到轴向拉压杆横截面上，轴力（合力）与应力（分力）的积分关系式：
()3 ?=A
N dA F σ
1.1.4 由上述三个关系式可以推导出轴向拉压杆的横截面应力公式。
为了方便推导和阅读，把上面几何学、物理学、静力学三个方面的公式汇集如下：
为了求得应力公式，推导如下;
()()()
()4211123 A A C dA C dA C dA F A
A
A
N σσ=====???
将（4注1：推导（4）式的目的是把含有非几何量的积分式()3 ?
=A
N dA F σ，恒等变形
为不显含积分的表达式()4 A F N σ=，积分?
A
dA σ，则隐含在面积的定义式中，
?≡A
dA A ，而且该积分仅仅是横截面形状、大小的函数，与轴向外力F 和内力（轴力F N ）
无关。
注2：在推导（4）式的过程中，没有直接用的几何关系（1），因为它已经隐含在（2）里（详见1.1.2节的推导）。故要推导出任何应力公式，都必须全面考虑几何、物理和静力三个方面，缺一不可。
4
1.2 轴向拉压杆的变形公式推导
。 为了得到表现形式简单的变形公式，假设材料是线弹性的，即材料服从胡克定律（线弹
性应力应变关系）()6 εσE =
()()()()7165 l l E E A F N ?===εσ，整理（7 5
1.3 轴向拉压杆应力公式和变形公式的简要推导
为了方便读者理清上述推导的思路，将其浓缩如下： 1.3.1 ；静力关系：()3 ?
=A
N dA F σ
1.3.2 推导应力公式
()()()
()4211123 A A C dA C dA C dA F A
A
A
N σσ=====???
将（4
1.3.3 推导变形公式
()()()()7165 l l E E A F N ?===εσ，整理（7 6
1.4 轴向拉压杆的强度条件、刚度条件的建立
强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力
工作应力≤、[]ττ≤；
刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，??
?????≤?l l l l 许用变形工作变形
、??
?
???≤l l ??
。 强度条件：[]σσ≤=
A
F N max
,max
刚度条件：??
?????≤=
?l l EA F l
l N max
,max
2 扭转轴 7
2.1 扭转轴的应力公式推导
2.1.1 几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。
考察一端固定，一端受外扭矩M e 作用的圆截面杆。根据“平截面假设”，其变形图示如下：
如图2-1，假设x 截面不动，x+dx 截面转过角度d φ，则半径为ρ的点，其半径和柱面线（实线）移动到图示虚线位置，对应移动弧长为s ，则有几何关系?ργd s dx ==，整理得扭转时，剪应变γ和扭率（单位轴长的相对扭转角）d φ/dx 的关系式：
C 。
2.1.2 物理学方面——应力应变关系（物质本构关系）：假设组成杆件的材料是线弹性的。 线弹性材料的应力应变关系是剪切胡克定律，即
()2 γτG =，G 表示材料的剪切弹性模量，对Q235钢，G=80Gpa ，而线弹性模量
图2-1 横截面上距圆心半径为ρ点的剪应变和横截面扭转角φ的关系
在直径为D 的圆轴dx 微段内取出一个半径为ρ的圆轴的来研究，并放大图示如下：
E=200Gpa 。公式（2）表示剪应力和剪应变成正比。
2.1.3 静力学方面——合力偶定理：合力偶等于分力偶之和。 设某横截面的内扭矩（简称扭矩）为T （合力偶）。把该横截面划分为若干个微小的截面dA ，设作用在dA 截面的平均剪应力为τ（切应力，它是单位面积上的剪力），则一个微截面dA 上的剪力为dA dF Q τ=，
该剪力dA dF Q τ=对横截面形心O 的力矩，则为 dA dF dT Q ρτρ=?=。 根据“合力偶等于分力偶之和”，则∑∑====
n
i i
i
i n i i
dA dT T 1
1
τρ。如果横截面A 由无穷个
微小面积dA 组成，则和式改写为积分形式，?∑≡=
∝
=A
i i
i
i dA dA T ρττρ1
。
这样，由合力偶定理，得到扭转轴横截面上扭矩T （合力）与剪应力τ（分力）的积分
关系式：
()3 ?=A
dA T ρτ
2.1.4 由上述三个关系式可以推导出扭转杆的横截面应力公式。
为了方便推导和阅读，把上面几何学、物理学、静力学三个方面的公式汇集如下：
，()2 γτG =，()3 ?=A dA T ρτ
为了求得应力公式，推导如下;
()()()
()422
123 ρ?
ρ??ργρρτI dx
d G
dA dx
d G dA dx d G dA G dA T A
A
A
A
=====?
???，
式中引入与横截面形状、大小有关的量“极惯性矩”，它定义为()52 ?
≡A
dA I ρρ，这是截面
的一个新几何量，由（5）可知其单位为长度的四次方。
把（1）、（2）回代入（4），可得扭转轴的应力计算公式：
()
()()()6/214 ρτρτργ?ρρρρI I G G I G I dx d G T ====，恒等变形（6）可得到教科书上的
图2-2 横截面上扭矩T 和各点应力的关系
()3 ??=A
dA T τρ
注1：推导（4）式的目的是把含有非几何量的积分式()3 ?
=A
dA T ρτ，恒等变形
为不显含积分的表达式()4 ρ?
I dx
d G
T =。而将积分隐含在极惯性矩的定义式中，()52 ?≡A
dA I ρρ，该积分与外扭矩M e 和内扭矩T 无关，仅仅是横截面形状、大小的
函数，对可以事先推出圆形截面的极惯性矩表达式，以方便应用。
8
2.2 扭转轴的变形公式推导
利用推导应力公式过程中所使用过的线弹性材料的应力应变关系（剪切胡克定律）()2 γτG =
方便地得到对应的变形公式（轴扭转的扭转角计算公式）。
()()()dx d G G I T ?ργτρρ127===，整理得ρ?GI T
dx d =，积分它们??=l dx GI T d 00ρ
?? 得变形公式（轴扭转的扭转角计算公式）
9
2.3 扭转轴应力公式和变形公式的简要推导
为了方便读者理清上述推导的思路，将其浓缩如下： 2.3.1
几何关系：；物理关系：()2 γτG =；静力关系：()3 ?=A
dA T ρτ
2.3.2 推导应力公式
()()()
()422
123 ρ?
ρ??ργρρτI dx
d G
dA dx
d G dA dx d G dA G dA T A
A
A
A
=====?
??? 在（4）中，()52 ?
≡
A
dA I ρρ定义为横截面的极惯性矩，单位为长度的四次方。
2.3.3 推导变形公式
()()()dx d G G I T ?ργτρρ127===，整理得ρ?GI T
dx d =，积分它们??=l dx GI T d 00ρ
?? 得变形公式（轴扭转的扭转角计算公式）
10 2.4
扭转的强度条件、刚度条件的建立
强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，??
?
????≤?l l l l 许用变形工作变形
、??
?
???≤l l ??
。
11 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公
式推导汇总表
以便自我检查你们的学习成果。
注1：相应的强度条件：
1、[]σσ许用正应力工作正应力≤，适用于轴向拉压正应力和梁的正应力；
2、[]ττ许用剪应力工作剪应力≤，适用于扭转剪应力和梁的剪应力。 注2：相应的刚度条件：
1、[]l l ?≤?许用长度变形量工作长度变形量， 适用于轴向拉压变形：[]l l ?≤?，适用于梁的挠度：[]y y ≤，
2、[]??许用角度变形量工作角度变形量≤
?≤，适用于扭转变形（扭转角）：[]?
θ≤
适用于梁的转角：[]θ
杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 3.应力和内力的关系是什么？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l? = ε （4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为 a a a- = ? 1 横向应变ε/为
矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验 一、实验名称 矩形截面梁纯弯曲正应力的电测实验。 二、实验目的 1．学习使用电阻应变仪，初步掌握电测方法； 2．测定矩形截面梁纯弯曲时的正应力分布规律，并与理论公式计算结果进行比较，验证弯曲正应力计算公式的正确性。 三、实验设备 1．WSG－80型纯弯曲正应力试验台 2．静态电阻应变仪 四、试样制备及主要技术指标 1、矩形截面梁试样 材料：20号钢，E=208×109Pa； 跨度：L=600mm，a=200mm，L1=200mm； 横截面尺寸：高度h=28mm，宽度b=10mm。
2．载荷增量 载荷增量ΔF=200N （砝码四级加载，每个砝码重10N 采用1：20杠杆比放大），砝码托作为初载荷，F0=26 N 。 3．精度 满足教学实验要求，误差一般在5%左右。 五、实验原理 如图1所示，CD 段为纯弯曲段，其弯矩为a 2 1 F M = ， 则m N M ?=6.20，m N M ?=?20。根据弯曲理论，梁横截面上各点的正应力增量为： z I y M ?= ?理σ （1） 式中：y 为点到中性轴的距离；Iz 为横截面对中性轴z 的惯性矩，对于矩 形截面， 12 bh I 3 z = （2） 由于CD 段是纯弯曲的，纵向各纤维间不挤压，只产生伸长或缩短，所以各点均为单向应力状态。只要测出各点沿纵向的应变增量ε?，即可按胡克定律计算出实际的正应力增量实σ?。 εσ?=?E 实 （3） 在CD 段任取一截面，沿不同高度贴五片应变片。1片、5片距中性轴z 的 距离为h/2，2片、4片距中性轴z 的距离为h/4，3片就贴在中性轴的位臵上。 测出各点的应变后，即可按（3）式计算出实际的正应力增量实σ?，并画出正应力实σ?沿截面高度的分布规律图，从而可与（1）式计算出的正应力理论值理σ?进行比较。 六、实验步骤 1．开电源，使应变仪预热。
第六章圆轴的扭转 一、填空题 1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。 2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。 3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的_______。 4、圆轴扭转时，横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成___________。 5、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。 6、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其切应力必然_________。 7、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。 8、圆轴扭转时，横截面上切应力的大小沿半径呈______规律分布。 10、圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是力偶，力偶作用于面垂直于轴线，相应的横截面上各点的切应力应垂直于_________。 11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的切应力大小是_______的。 12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。 13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。 16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是________同的，扭转角是_______同的。 17、产生扭转变形的实心圆轴，若使直径增大一倍，而其他条件不改变，则扭转角将变为原来的_________。 18、两材料、重量及长度均相同的实心轴和空心轴，从利于提高抗扭刚度的角度考虑，以采用_________轴更为合理些。 二、判断题 1、只要在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反的外力偶，杆件就会发生扭转变形。（） 2、一转动圆轴，所受外力偶的方向不一定与轴的转向一致。（） 3、传递一定功率的传动轴的转速越高，其横截面上所受的扭矩也就越大。（） 4、受扭杆件横截面上扭矩的大小，不仅与杆件所受外力偶的力偶矩大小有关，而且与杆件横截面的形状、尺寸也有关。（）
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面 轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5. 6.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1； 拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 7. 8.纵向线应变和横向线应变 9. 10.泊松比 11.胡克定律 12.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式
13.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 14.轴向拉压杆的强度计算公式 15.许用应力，脆性材料，塑性材料 16.延伸率 17.截面收缩率 18.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 19.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 20.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 21.（b）空心圆 22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点 到圆心距离r） 23.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 24.扭转截面系数，（a）实心圆
25.（b）空心圆 26.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转 切应力计算公式 27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 28.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如 阶梯轴）时或 29.等直圆轴强度条件 30.塑性材料；脆性材料 31.扭转圆轴的刚度条件或 32.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式 , 33.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 ,
实验三纯弯曲正应力分布规律实验 一、实验目的 1．用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律并与理论值进行比较； 2．验证纯弯曲梁的正应力计算公式； 3．掌握运用电阻应变仪测量应变的方法。 二、实验仪器和设备 1．多功能组合实验装置一台或弯曲梁试验装置； 2．TS3860型静态数字应变仪一台； 3．纯弯曲实验梁一根； 4．温度补偿块一块； 5．游标卡尺 3-1 多功能组合实验装置 3-2弯曲梁试验装置 1—弯曲梁 2—铸铁架 3—支架 4—加载杆 5—加载螺杆系统 6—载荷传感器 7和8—组成电子秤 三、实验原理和方法 弯曲梁的材料为钢，其弹性模量E＝200GN/m2，泊松比μ＝0.29。用手转动实验装置上面的加力手轮，使四点弯上压头压住实验梁，则梁的中间段承受纯弯曲。根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到纯弯曲正应力计算公式为：
x M y I σ= （3-2） 式中：M 为弯矩；I x 为横截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。 实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。当增加压力ΔP 时，梁的四个受力点处分别增加作用力ΔP ／2，如图3-3所示。 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了7片应变片（见图3-3）（对多功能组合装置：b ＝18.3mm ；h ＝38mm ；c ＝133.5mm ），各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。此外，在梁的下表面沿横向粘贴了应变片8# 。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴向应变，则由单向应力状态的胡克定律公式σ＝E ε，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 若由实验测得应变片7#和8#的应变ε7，和ε8满足 87||εμε≈ 则证明梁弯曲时近似为单向应力状态，即梁的纵向纤维间无挤压的假设成立。 图3-3弯曲梁布片图 四、实验步骤 1．检查或测量（弯曲梁试验装置）矩形截面梁的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点距离c ，及各应变片到中性层的距离y i 。 2．检查压力传感器的引出线和电子秤的连接是否良好，接通电子秤的电源线。检查应变仪的工作状态是否良好。然后把梁上的应变片按序号接在应变仪上的各不同通道的接线柱A 、B 上，公共温度补偿片接在接线柱B 、C 上。相应电桥的接线柱B 需用短接片连接起来，而各接线柱C 之间不必用短接片连接，因其内部本来就是相通的。因为采用半桥接线法，故应变仪应处于半桥测量状态，应变仪的操作步骤见应变仪的使用说明书。 3．根据梁的材料、尺寸和受力形式，估计实验时的初始载荷P 0（一般按P 0＝0.1σS 确定）、最大载荷P max （一般按P max ≤0.7σS 确定）和分级载荷ΔP （一般按加载4～6级考虑）。
课时授课计划 掌握弯曲应力基本概念； 掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算； 掌握弯曲剪应力强度校核。
I D (d
根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。 在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。即 3、进行强度计算时应遵循的步骤 （1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。 （3）确定危险点 （4）依据强度条件，进行强度计算。 第三节梁的剪应力强度条件 一、概念 梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。 对剪应力的分布作如下假设： (1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。 根据以上假设，可推导出剪应力计算公式： 式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力； Q—该截面上的剪力； b—需求剪应力作用点处的截面宽度； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。 剪应力的单位与正应力一样。剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。 二、矩形截面横梁截面上的剪应力 如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。 将上式带入剪应力公式得： 上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。 在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，
教学设计--圆轴扭转时的应力与强度计算学 校 潍坊工商职业学校 执教人许秀兰授课 班级 13机电一、二班 课程名 称工程力学课 时 2节（90分钟） 课题第九章第二节 圆轴扭转时的应 力与强度计算 课 型 新授课 一、教材及教学内容分析 1．使用教材21世纪高职高专规划教材《工程力学》机械工业出版社张秉荣等主编 2．本章教材处理本章共三节：从扭转概念入手，对圆轴扭转时的内力、应力和变形进行分析，并给出扭转变形的强度和刚度的计算与校核方法。根据教学过程以及学生构建知识的思维方式，将本章五节的知识内容融为一体，安排6个课时如下： 第一、二课时扭转的概念、扭矩与扭矩图 第一部分 第三、四课时圆轴扭转时的应力与强度计算 第五、六课时圆轴扭转时的变形与刚度计算 3．教学内容分析第九章第二节圆轴扭转时的应力与强度计算 圆轴扭转时的应力 惯性矩I p和抗扭截面系数W p 圆轴发生扭转时强度计算 (1)教材的缺陷：教材中本节内容中的圆轴扭转时的应力分布规律及切应力公式的推导，理论性较强，且用到高等数学中相关的积分与求导知识，不便于学生理解与学习。 (2)教学内容的处理：为此对本节教学内容进行重新整合，力求以应用为导向，在基础理论的学习上，坚持必需、够用的原则，简化理论推导过程，注重理论应教材本节内容结构
用。 二、教学对象分析 1．学情分析 ①学生对学习工程力学有一定的热情，能在老师的引导下展开学习活动；但对学习缺乏主动性，在学习过程中对自己的学习进行调节、监控的能力较弱； ②学生分析问题、解决问题能力较差，抽象思维水平较低；但喜欢动手操作，习惯于直观性较强的学习方式； ③该班学生初步形成了民主、平等、互助的学习气氛，有利于老师在课堂上展开形式多样的教学活动。 2．分组方式全班学生分成五个小组。把学习成绩最好及学习积极性高的学生分成两组，其余的学生分为三个小组，每组由成绩中等的学生带领成绩较差的学生进行学习。 三、教学目标 1、知识目标：①掌握圆轴扭转的内力分布规律及切应力的求解； ②掌握圆轴扭转的强度条件； ③能灵活运用圆轴扭转的强度条件进行相关计算。 2、能力目标：①具有将工程实例简化成力学计算模型的能力 ②具有对构件进行承载能力验算的能力 ③具有观察问题、分析问题和解决问题的能力 3、情感目标：①善于思考，具有创新意识 ②具有一定的沟通知识和技巧 ③具有与人合作的精神和认真严谨的学习态度
1、材料力学的任务： 强度、刚度和稳定性； 应力单位面积上的内力。 平均应力（1.1） 全应力（1.2） 正应力垂直于截面的应力分量，用符号表示。 切应力相切于截面的应力分量，用符号表示。 应力的量纲： 线应变单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。 外力偶矩 传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P 来计算。 当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式 为 (3-1)
式中为该横截面的轴力，A为横截面面积。 正负号规定拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件： （1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面； （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角时 拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力(3-2) 正应力（3-3） 切应力（3-4） 式中为横截面上的应力。 正负号规定： 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 拉应力为正，压应力为负。 对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。 两点结论： （1）当时，即横截面上，达到最大值，即。当=时，即纵截面上，==0。 （2）当时，即与杆轴成的斜截面上，达到最大值，即 1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。 图3-2
应力应变关系 弹性模量 ||广义虎克定律 1.弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c 体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。 A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为 (3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为 或 2.边界条件 弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为 式中，l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。 b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为
《纯弯曲时的正应力》教案 南京航空航天大学刘荣梅 一、教学目标 1．明确纯弯曲和横力弯曲的概念，理解基本假设。 2．掌握纯弯曲正应力公式的推导方法。 3．掌握弯曲正应力公式的应用，解决工程问题。 4．运用问题探索研究式教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学生分析问题解决问题的能力；培养学生应用实践能力。 二、教学重点和难点 1．纯弯曲和横力弯曲 （1）纯弯曲杆件横截面上仅有弯矩，而无剪力的状态称为纯弯曲。 （2）横力弯曲杆件的横截面上既有弯矩又有剪力的状态称为横力弯曲。 2．中性层和中性轴 （1）中性层杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层，称中性层。在教学中以立体图形的方 式加以解释。 （2）中性轴中性层和横截面的 交线，即横截面上正应力为零的各点 的连线，称为中性轴。在教学中以立 体图形的方式演示。 （3）中性轴的位置纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得到的。
z M y I σ= m ax M W σ= 3．直梁横截面上弯曲正应力公式 横截面上任一点正应力的大小和该点至中性轴的距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧则为压应力。横截面上最大正应力 其中W 为抗弯截面模量，几种常见横截面的W 计算公式： （1） 矩形截面 2 6 bh W = （2） 实心圆截面 3 32 d W π= （3） 空心圆截面 3 4 (1) 32 D W πα = - （4） 型钢 查型钢表或用组合法求。 注意：如果中性轴不是横截面对称（如T 形钢)，m ax y 有两个，对应W 也应有两个。 三、 教学手段 综合运用演示实验、多媒体课件等教学手段。 四、 教学方法 问题探索研究式教学方法。 五、 解决方案及时间安排
第5章扭转 5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算 5.1.1、扭转的概念 在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。 图5.1 图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。 图5.2 图示5.3，载重汽车的传动轴。 图5.3 图示5.4，挖掘机的传动轴。 图5.4 图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。 图5.5 分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。 图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。 5.1.2、外力偶矩的计算 工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： n N m 9550= （5.1） 式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ?； N-----轴传递的功率，单位为kW ； n------轴的转速，单位为r/min 。 图5.7 5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 5.2.1 扭矩 已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系 内力偶矩T 称为扭矩。 扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。 图5.8 图示5.8的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是m N ?或m kN ?。 5.2.2 扭矩图 为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，
曲梁正应力公式推导 1013102班第1小组 摘要：材料力学中给出了运用胡克定律推导出的直梁在纯弯曲时的正应力计算公式，若将其运用到曲梁中会有一定的误差。运用胡克定律推导出曲梁的正应力公式，与弹性力学中给出的的公式加以比较，并推导出当曲梁的形心轴曲率半径趋于无穷时，公式转化为直梁正应力公式，得到误差很小的曲梁正应力公式。 关键词：曲梁；正应力 Abstract:mechanics of materials gives the calculation of formula of normal stress of straight beam deduced in pure bending by using Hooke's law ,If applied it to the curved beam will have the certain error.Deduce the calculation formula of normal stress of curved beam by usingHooke'slaw,compared with the elastic mechanics'calculation formula and when the radius of curvature of the Shape heart shaft becomes infinite,the calculation formula translates into calculation formula of normal stress of curved beam,to get the calculation formula of normal stress of curved beam whose Error is very small. Key words：curved beam；normal stress 1.推导曲梁正应力公式。 建立如下图示坐标系：
纯弯曲正应力分布规律实验 一、实验目的 1、用电测法测定梁纯弯曲时沿其横截面高度的正应变（正应力）分布规律； 2、验证纯弯曲梁的正应力计算公式。 二、实验仪器和设备 1、多功能组合实验装置一台； 2、TS3860型静态数字应变仪一台； 3、纯弯曲实验梁一根。 4、温度补偿块一块。 三、实验原理和方法 弯曲梁的材料为钢，其弹性模量E=210GPa ，泊松比μ=0.28。用手转动实验装置上面的加力手轮，使四点弯上压头压住实验梁，则梁的中间段承受纯弯曲。根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到纯弯曲正应力计算公式为： x M y I σ= 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了5片应变片（其中：b=15 mm ，h=25 mm ，C=124mm ，梁长372mm ），各应变片的分布为：1#在二分之一h 处，2#、3#在上下对称于1#的四分之一h 处，4#、5#在弯曲梁的上下表面。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴向应变，则由单向应力状态的虎克定律公式E σε=，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 四、实验步骤 1、对齐弯曲梁的下支座白色记号。 2、将力值调零，实验中取P 0=100N ，ΔP=350N ，Pmax=1500N ，分四次加载，在P 0 处将应变仪调零，实验时逐级加载，并记录各应变片在各级载荷作用下的
读数应变。 3、每个测点求出应变增量的平均值 4 ∑?=?i m ε ε （m=1，2，···，5），算出 相应的应力增量实测值 m m E εσ?=?测 （MPa ）。其中，E 取MPa 101.25?。 4、纯弯曲段（CD 段）内的弯矩增量为：c P M ??= ?2 1 ，由公式y I M z m ?=?理σ 求出各测点的理论值，式中 123 bh I z = 。 5、对每个测点列表比较 测 m σ?和 理 m σ?，并计算相对误差 % 100???-?= 理 理 测m m m σσσεσ 在梁的中性层（第1点），因01=?理σ，故只需计算绝对误差。 五、实验结果的处理 按实验记录数据求出各点的应力实验值，并计算出各点的应力理论值。算出 它们的相对误差。实验记录和计算数据表格可参考表1和表2。 注：εμε6 101-=
扭转切应力 两类切应力 扭转切应力 弯曲切应力 扭转切应力 圆轴扭转时的应力变形特征 圆轴扭转时横截面上的切应力分析 矩形截面杆扭转切应力公式 圆轴扭转时的应力变形特征 外加力偶矩与功率和转速的关系 变形特征 横截面和纵截面都有切应力存在 --切应力互等定理 外加力偶矩与功率和转速的关系 应用此公式时要注意单位。 将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。
如图是放大后的情形。产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。微元的直角改? 横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ'也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'。根据平衡的要求? 圆轴扭转时横截面上的切应力
根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。 反对称分析论证平面保持平面 由平面保持平面导出变形协调方程 由物性关系得到应力分布 切应力公式 方法与过程 反对称分析论证平面保持平面 首先用反对称关系。如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能? 第一个结论
第10讲教学方案 ——圆轴扭转时的变形和刚度条件 非圆截面杆的扭转 基 本 内 容 圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形 教 学 目 的 1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。 2、掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。 3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。 4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。 重 点 难 点 本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。 本节难点：对圆轴变形程度的理解。
§4-6 圆轴扭转时的变形和刚度条件 扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10） p GI Tdx d =φ 所以 p l 0p l GI Tl dx GI T d ===∫ ∫φφ（rad ） （4-17） 式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量p GI 与极惯性矩乘积。越大，则扭转角p GI φ越小。 让dx d φ ?= ，为单位长度相对扭角，则有p GI T = ?（rad/m ） 扭转的刚度条件： []??≤= P max GI T （rad/m ） （4-18） 或 []?π ?≤×= 180GI T P max （°/m ） （4-19） 例4-3 如图4-13的传动轴，500=n r/min ，5001=N 马力，2002=N 马力，马力，已知[]300 3=N 70=τMPa ，[]1=?°/m ，GPa 。求：确定AB 和BC 段直径。 80=G 解： 1）计算外力偶矩 70247024 1 ==n N m A （N ·m ） 6.28097024 2 ==n N m B （N ·m ） 4.42147024 3 ==n N m C （N ·m ） 作扭矩T 图，如图4-13b 所示。 2）计算直径 d AB 段：由强度条件，
教学设计--圆轴扭转时的应力与强度计算
1．学情分析 学生对学习工程力学有一定的热情，能在老师的引导下展开学习活动；但对学习缺乏主动性，在学习过程中对自己的学习进行调节、监控的能力较弱； 学生分析问题、解决问题能力较差，抽象思维水平较低；但喜欢动手操作，习惯于直观性较强的学习方式； 该班学生初步形成了民主、平等、互助的学习气氛，有利于老师在课堂上展开形式多样的教学活动。 2．分组方式全班学生分成五个小组。把学习成绩最好及学习积极性高的学生分成两组，其余的学生分为三个小组，每组由成绩中等的学生带领成绩较差的学生进行学习。 1、知识目标：掌握圆轴扭转的内力分布规律及切应力的求解； 掌握圆轴扭转的强度条件； 能灵活运用圆轴扭转的强度条件进行相关计算。 2、能力目标：具有将工程实例简化成力学计算模型的能力 具有对构件进行承载能力验算的能力 具有观察问题、分析问题和解决问题的能力 3、情感目标：善于思考，具有创新意识 具有一定的沟通知识和技巧 具有与人合作的精神和认真严谨的学习态度
八、教学程序 阶 段 教学内容教师活动学生活动教学意图 创 设 情 境，导入新课（5分钟）圆轴扭转时横截面上的应力 （模拟薄壁圆筒扭转实验） 教师展示 课件，模拟 薄壁圆筒 扭转实验, 积极引导 学生观 察思考， 学生根 据常识 及上节 课所学 内容回 答问题。 正式教学内容 之前，创设情 境，引起学生 的好奇与思 考，激发学生 的求知欲和内 在动机，产生 学习的愿望和 意向。
模拟练兵 提高技能 技能训练 例1：某一传动轴所传递的功率 P=80kW，其转速n=582r/min， 直径d=55mm，材料的许用切 应力MPa， 试校核该轴的强度。 例2：如图所示的实心传动轴， N k1=50KW，N k2=150KW， N k3=100KW，n=300r/min，许 用应力[τ]=100MPa，试设计此轴 的直径D。 明确提出所 求问题，巡堂 指导学生思 考、分析； ②引导学生逆 向推导所求各 项问题； ③注意根据实 际情况作出及 时的指导或提 出新的要求。 学生在 老师的引 导下，思 考所求问 题及应用 到的原理 与公式 对所求 结果能灵 活分析、 判断。 结合工程实例， 讲解圆轴扭转 强度条件应用， 培养学生分析 问题、解决问题 的能力，提高学 生的职业素养。
《机械设计基础》课程单元教学设计 单元标题：轴向拉伸与压缩的应力 及强度计算条件 单元教学学时 2 在整体设计中的位置第10次 授课班级上课地点 教学目标 能力目标知识目标素质目标 1.能求轴向拉伸与压缩横截面 上应力； 2.能利用胡克定律求变形。 3.能利用强度计算条件解决三 类问题 1.理解应力的概念； 2.掌握拉压杆正应力计 算； 3.理解应变的概念； 4.掌握胡克定律的第一 第二表达式； 5.掌握强度计算条件 1.培养学生热爱本专业、爱 学、会学的思想意识。 2.培养学生应用理论知识分 析和解决实际问题的能力； 3.培养学生的团队合作意 识； 4.培养学生仔细、认真、严 谨的工作态度。 能力训 练任务及案例任务1：计算拉压杆的应力；任务2：计算拉压杆的变形; 教学材料1.教材; 2.使用多媒体辅助教学。
单元教学进度 步骤教学内容教学方法学生活动工具 手段 时间 分配 1复习、导 入复习：拉压杆的受力变形特点、截面法求轴 力直接法求轴力 导入：在求轴力时，我们已经知道轴力的大 小不能代表一个杆件的受力强弱，那谁能代 表呢？ 提问 讲授 讨论 回答 黑板 课件 视频 5 分钟 2提出任务如图(a)所示的三角形托架，P=75kN，AB杆 为圆形截面钢杆，其[σ1]=160MPa；BC杆为 正方形截面木杆，其[σ2]=10MPa，试确定 AB杆的直径d和BC杆的边长a。 情景教 问题探究 问题引领 听讲 思考 黑 板、 ppt 5 分钟 一.应力 应力：内力在截面上某点处的分布集 度，称为该点的应力。 在拉（压）杆横截面上，与轴力N相对 应的是正应力，一般用σ表示。 N A σ= 案例应用1： 一变截面圆钢杆ABCD如图5-6（a）所 示，已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN， d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求： （1）各截面上的轴力，并作轴力图。 （2）杆的最大正应力。 15分 钟
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类： 表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A = ??= →?lim 正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限 s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材 料、脆性材料的许用应力分别为： []3 n s σσ= ， []b b n σσ= ，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 [] σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1， 沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?=ε， A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -= ?= 1' ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-='。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φ ργτρρ==。力 学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ? ? ? == = 2 2 ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T = = max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤= t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：??= = l p l p dx GI T dx GI T ?；等直杆：p GI Tl = ? 圆轴扭转时的刚度条件： p GI T dx d = = '??，][max max ??'≤='p GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系 )()(x q dx x dQ =； ()()x Q dx x dM =； () ()()x q dx x dQ dx x M d == 2 2 Q 、M 图与外力间的关系 a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。
05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@https://www.doczj.com/doc/ac14002192.html, ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。 1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。 ................................................... 2 3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 2 4 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） .................................................................... 5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................ 6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................ 7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 .................................................................................................... 8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 .................................................................................... 8 9 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9) 1 * 问题的提出 在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。 强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，[]y y 许用变形工作变形≤、[]θθ≤。 如，梁 弯曲强度条件：[]σσ≤=W M max max ；剪切强度条件：[]τρτρ≤?= b I S F z Q * max ,max 刚度条件：挠度 ?? ? ???≤l y l y max ；转角[]??≤max 这里带方括号的，是材料的某种许用值。由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数， 即得。 显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。 杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。 其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。
工程力学教案 【理、工科】
§4-1 扭转的概念和实例 工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点： 1. 受力特点： 在杆件两端垂直于杆轴线的平面作用一对大小相等，方向相反的外力偶--扭转力偶。其相应力分量称为扭矩。 2. 变形特点 横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。若杆件横截面上只存在扭矩这一个力分量则这种受力形式称为纯扭转。 §4-2 扭矩扭矩图 1.外力偶矩 如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n计算得到的。
如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义 角速度(单位：弧度/秒，rad/s)与转速n(单位：转/分，r/min)的关系为。 因此功率N的单位用千瓦（KW）时有关系，即 (4-1a) 式中：-传递功率（千瓦，KW），-转速（r/min） 如果功率单位是马力(PS)，由于1KW =1000 N·m/s =1.36 PS，式（4-1a）成为 (4-1b) 式中：-传递功率（马力，PS） -转速（r/min） 2. 扭矩 求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转力--扭矩。如图4-4所示圆轴，由，从而可得A-A截面上扭矩T ， 称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。
【例4-4】传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为 。试画出轴的扭矩图。 【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩 从受力情况看出，轴在BC，CA，AD三段的扭矩各不相等。现在用截面法，根据平衡方程计算各段的扭矩。 在BC段，以表示截面I-I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。