本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第 Ⅰ 卷 （选择题，共50分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题纸上.
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合052|{},,0{2
<-==x x x Q m P ，}Z x ∈，若φ≠?Q P ，则m 等于（ ）
A ．1
B ．1或2
C ．1或
2
5
D ．2 2．复数(1)i z i +=( i 为虚数单位) ，则z =（ ）
A ．1122i +
B ．1122i -+
C ．1122i -
D ．1122i -- 3．已知向量),1(n a = ，)2,1(--=n b ，若a
与b 共线.则n 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．4
4．已知1sin()43π
α-=，则cos()4
π
α+的值等于（ ） A ．
22
3 B ．—223 C ．13 D ．—13
5．已知1,,,a a a a 234都是非零实数，则“1a a a a 423=”是“1,,,a a a a 234”成等比数列的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知三个平面,,αβγ，若βγ⊥，且αγ与相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内的直线，则（ ）
A ．,//a a αγ??
B ．,a a αγ??⊥ C. ,//b b βγ?? D ．,b b βγ??⊥ 7．已知a 是实数，则函数()cos f x a ax =的图像可能是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若0,0,x y >>且2x y +=2，则
11
x y
+的最小值是（ ） A ．2 B ．
32 C. 2 D ．3
22
+
9．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y ∈R ，等式()()()f x f y f x y =+成立．若数列{}n a 满足1(0)a f =，且11
()(2)
n n f a f a +=--
(n ∈N*)，则2012a 的值为（ ）
A ． 4024
B ．4023
C ．4022
D ．4021
10．定义函数D x x f y ∈=),(，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使12()()f x f x C =，则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C.已知(),[2,4]f x x x =∈，
则函数()f x x =在[2,4]上的几何平均数为（ ）
A 2
B ．2
C ．22
D ．4
第 Ⅱ 卷 （非选择题，共100分） 注意事项：
用钢笔或圆珠笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．抛物线2
x y =在点 处的切线平行于直线54-=x y 。
12．若函数??
???≥<=-.
0,2,
0,1
)(x x x x f x 则方程21)(=x f 的解为___________。
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。
14．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t=_______。 15．在三角形ABC 中， 120=A ，5=AB ，7=BC ，则
sin sin B
C
的 值为 。
16．如图矩形ORTM 内放置5个大小相同的正方形，其中A,B,C,D 都 在矩形的边上，若向量,BD xAE y AF =+则22x y += 。 17．设实数,x y 满足不等式1≤+y x ，若y ax +的最大值为1，则
常数a 的取值范围是 。
三、解答题（本大题共5小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知p ：1
123
x --
≤，q ：(1)(1)0(0)x m x m m -+--≤>， 且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
俯视图
正视图 侧视图
2
2
2
19．（本小题满分14分）已知函数21
()cos cos 4442
x x x f x =++。 （1）求)(x f 的周期和及其图象的对称中心；
（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，满足,cos cos )2(C b B c a =- 求函数)(A f 的取值范围。
20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，121n n n a a a +=+，1n n b a =-。 (1)求证:数列1n b ??
?
???
为等差数列,并求数列{}n a 通项公式； (2) 数列{}n b 的前n 项和为n S ，令2n n n T S S =-,求n T 的最小值。
21．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD
是矩形，E ，F 分别是AB ，PD 的中点．若3PA AD ==，CD =
（1）求证：//AF 平面PCE ；
（2）求直线FC 平面PCE 所成角的正弦值。
22．（本小题满分16分）已知函数()ln()x f x e a =+(a 为常数)是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x x λ=+是区间[1,1]-上的减函数。 （1）求()g x 在[1,1]x ∈-上的最大值；
（2）若2()1g x t t λ≤++对[1,1]x ?∈-及(],1λ∈-∞-恒成立,求t 的取值范围； （3）讨论关于x 的方程2ln ()
2x f x x ex m =-+的根的个数。
2012学年第一学期高三第二次月考 数学（文科）参考答案
一、选择题：（50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
答
案 B C A D B A C D B C
二、填空题：（28分）
11. （2，4） 12. 1
13. 3
22
π+ 14. 1
15.
5
3
16. 13
17. 11a -≤≤
三、解答题：（14+14+14+14+16=72分） 18．（本小题满分14分） 解：由1123x --
≤ ? 1
2123
x --≤-≤ ? 210x -≤≤
即p 为：[2,10]-
而q 为：[1,1]m m -+， 又q 是p 的必要不充分条件， 即p q ? 所以 12
110
m m -≤-??
+≥? ? 9m ≥
即实数m 的取值范围为[9,)+∞。
19．（本小题满分14分）
解：（1
）由1()cos 1sin()122226
x x x f x π
=
++=++, )(x f ∴的周期为4π.
由sin()0,2263
x x k πππ+
==-得, 故()f x 图象的对称中心为(2,1),3
k k Z π
π-
∈. 7分
（2）由,cos cos )2(C b B c a =-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-，
,cos sin sin cos cos sin 2C B C B B A =-∴ )sin(cos sin 2C B B A +=∴ ，π=++C B A ，
,0sin ,sin )sin(≠=+∴A A C B 且.3
20,3,21cos π
π<<==
∴A B B 1,sin()1,6262226
A A ππππ
∴<+<<+<故函数)(A f 的取值范围是3(,2)2。 14分
20．（本小题满分14分）
解：(1)121,n n n a a a +=+1n n
b a =-
11n n n n b b b b ++∴-=即111
1n n
b b +∴
-=……………4分 ∴数列1n b ??
????
是公差为1,首项为1等差数列........................5分
1n n b ∴
=即1
n b n
= 11n a n ∴=
+即1
n b n
=………..7分 (2) 2n n n T S S =-=111
...122n n n +++
++..........9分 因为1111
021221
n n T T n n n +-=
+->+++ 所以{}n T 单调递增 …………12分
11
2
n T T ∴≥=
n T ∴的最小值为1
2
………….14分
21．（本小题满分14分）
14
21
解：（1）取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，又由F 为PD 中点，
则 F G //
CD 2
1
. …2分
又由已知有.//,2
1
//AE FG CD AE ∴
∴四边形AEGF 是平行四边形.
.//EG AF ∴ …4分
又 AF 平面 PEC , EG .PCE 平面?PCE AF 平面//∴…………6分 （2）,ABCD PA 平面⊥
,
//.,.,,3.
..AF EG PCD AF D CD PD PD AF PD F AD PA CD
AF PAD CD AD CD ABCD ABCD PAD 由平面的中点是又平面是矩形有由平面平面⊥∴=⊥∴==⊥∴⊥∴⊥⊥∴
.
,,,
EG PCD PCD F FH PC H PCD PCE PC ∴⊥∴⊥=平面平面内过作于由于平面平面
故.所成的角
与平面为直线PCE FC FCH ∠ …10分
3
32,2,2 6.2
13
,30. 2.
24P D PF PC CD PAD CPD FH PF ==
=⊥∴∠=∴==由已知可得
由于平面……..12分
2242
21
sin 14
FC CD FD FH FCH FC ∴=+=
∴=
=
∴直线FC 与平面PCE 所成角的正弦值为.
…………14分
22．（本小题满分16分）
= =
解：（1）)ln()(a e x f x
+=是奇函数， 则)ln()ln(a e a e
x x
+-=+-恒成立.
.1))((=++∴-a e a e x x
.0,0)(,112=∴=++∴=+++--a a e e a a ae ae x x x x
又)(x g 在[－1，1]上单调递减，,1sin )1()(max --=-=∴λg x g 5分
（2）2
sin11t t λλ--≤++只需在(],1λ∈-∞-上恒成立,
(]2(1)sin1101.t t λλ∴++++≥∈∞在－，－恒成立
令),1(11sin )1()(2
-≤++++=λλλt t h 则??
?≥+++--≤+,
011sin 10
12
t t t
221sin10,sin10
t t t t t ≤-?∴-+≥?-+≥?而恒成立1-≤∴t . 10分 （3）由（1）知,2ln ,)(2m ex x x
x
x x f +-=∴=方程为
令m ex x x f x x
x f +-==2)(,ln )(221，
2
1ln 1)(x x
x f -=' ，
当],0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴≥'∈上为增函数；
),0[)(,0)(,),[11e x f x f e x 在时∴≤'+∞∈上为减函数， 当e x =时，.1
)()(1max 1e
e f x f ==
而2
22)()(e m e x x f -+-=，
)(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当e e m e e m 1,12
2+>>-即时，方程无解.
②当e e m e e m 1,12
2+==-即时，方程有一个根.
③当e
e m e e m 1,12
2+<<-即时，方程有两个根.
16分