附件7 编号
学士学位论文
对称性在电磁学中的应用
学生姓名： 木拉提。巴义江
学 号： 20040103028
系 部： 物理系
专 业： 物理学
年 级： 2004-1班
指导教师： 艾木如拉老师
完成日期： 2009 年 5 月 4 日
中文摘要
对称性是物理学中一个重要概念，本文从物理教学角度简要地介绍了对称性的概念和原理，并结合对称性原理在电磁学中的若干应用问题关键词：对称性，电磁学，高斯定理，场强
目录
中文摘要 (1)
引言 (1)
1.有关对称性一般的概念 (1)
1.1对称性的概念 (1)
1.2对称性的分类 (1)
1.3对称性定义 (2)
2.对称性在电磁学中应用的有关举例 (2)
2.1对称性在求解静电场中的——高斯定理的应用 (2)
2.2利用对称性分布可使某些对称分布的电，磁场求解问题简化 (3)
2.3利用安培环路定理求磁场 (4)
2.3.1对称性分析 (5)
2.3.2作安培环路，用场强表达积分 (5)
2.3.3利用安培环路定理求场强。 (5)
总结： (7)
叁考文献 (8)
致谢 (9)
引言
在力学中，我们都知道对称性的重要作用，只要对称性成立，可以由它导出三大守恒定律：能量守恒定律，动量守恒定律，和宇称守恒定律，三大守恒道理在力学中有着巨大的作用，而在电磁学中，对称性同样也有着非常重要作用。
1.有关对称性一般的概念
1.1对称性的概念
念对称性是在物理学中的一个重要的且得到普偏的应用的规律。若一个物理规律具有某中对称性，则可以利用这一性质分析和解决相关的问题。自然事物普偏有静态结构的对称性，也有着动态变化的一致性，这意味着简单性，表明自然界有一种美的本性。人对于对称性的认识是自身左，右的对称性开始的，而只是对称性的一种
对称性在自然界中普偏存在，例如花朵，人体或一些动物体形一边另一边完全相同，可以折叠重合，它真有左右对称，它也给人以匀称和均衡的感觉。再如一些常见几何图形请如球形，图形，正方体，三角形等等。
1.2对称性的分类
对称性可以分为：原对称性，轴对称性。圆对称性，艺术上的对称性，物理学中的对称性，反射对称等等
一些常见几何图形请如球形，图形，正方体，三角形，都以空间的某一点或在直线对称，他们旋转某一角度后与原有图形保持不变，因此具有旋转对称性。竹节或串珠，平行移动一定的间隔，图形完全重复，它具有平移对称性，它给人以连贵，流畅的感受。
在我们的日常生活重正常会看到具有对称性的例子。对称性的概念最初来源于生活中，在艺术，建筑领域中，所谓《对称性》通常是指左右对称性。这是对称性是人们观察和认识自然过程中所形成的一种概念。它最早是一个几何学上的概念。其实就是某种不变性。比如，说某个图形具有旋转对称性，就意味着该图形绕某个固定的轴转某一角度后图形保持不变，那么数学上方程F(X,Y)=0。若以-X代X而方程不变，则它的曲线关于Y轴对称；若以-Y代Y而方程不变，则
它的曲线关于X轴对称；若-X代X同时-Y代Y而方程不变，则它的曲线关于原对称。
如果一个图形沿着一条对折直线两侧的图形能够完全重合这个图形就是轴对称图形。对称轴折痕所在的这条直线叫做对称轴。两个全等图形之间的相互位置关系这两个图形关于一点对称这个点对称中心它们的性质。如果两个图形关于某条直线对称那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）。
中心对称图形一定是轴对称图形而轴对称图形不一定是中心对称性。
艺术上对称性钻切割打磨以后获得的各部分的围绕中心的水平对称性，总之艺术，建筑等领域或中心对称性通常是指左右对称性。
在物理学中对称性（symmetry）是现代物理学中的一个核心概念，它泛指规范对称性（gauge symmetry) , 或局域对称性local symmetry）和整体对称性（global symmetry）。它是指一个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性。如果这些变数随时空变化，这个不变性被称为规范对称性，反之则被称为整体对称性。物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性。
1.3对称性定义
无论是数学上还是物理学中建筑还是艺术上对称性（不变性）是指体系在某种操作下变成与原状态相同或等价的状态。
总之：对称性是；如果某一系统（或现象）在某一变换下不变则说系统（或现象）具有该变换下所对应的某种对称性或不变性。
2.对称性在电磁学中应用的有关举例
对称性分析的应用在电磁学中相对于普偏物理学的其他部分多些本文我们利用对称性分析可以许多复杂是问题简化。
2.1对称性在求解静电场中的——高斯定理的应用
对于球面半径为R,带电量为q的球均匀带电球面内外场强是分布问题。由于均匀带电球面的电荷分布具有球面对称过P点作半径为r(r 高斯面如图(1(A)）所示 P P r R r R 图1（A ） 图 1（B ） 高斯面包围的电荷为零。 由高斯定理 s q EdS ε =?? (1) 0E =内 (2) 过P 点作半径为r(r>R)的同心球面为高斯面如图1（B ）所示 由高斯定理 ??s S d E .=εq (3) 可以得到 20.4s q E dS E r πε== ?? (4) 则有： 2 4q E r πε=外 (5) 这个问题还可以运用场强叠加原理来求解，可以将球面分解为若干半径不等的带电圆坏，利用带电圆坏在通过其圆心的轴线上场强公式，并在整个球面上积分，即可以得到空间的场强分布。但是积分的过程非常复杂，用高斯定理求解则方便的多。高斯定理还可以解决很多具有对称性的带电体系问题，如均匀带电求体的场强问题，无限长的均匀带电细棒或圆柱体的场强问题，无限大均匀带电平面的场强问题等等。 2.2利用对称性分布可使某些对称分布的电，磁场求解问题简化 在计算电场强度E ，和磁场强度B 时对称性分析是必不可少的，场原分布的对称性使其电场或磁场也具有相应的对称性。` 例如一半径为R 的球壳，均匀带有面电荷，电荷面密度（点电荷的电场）为σ+，求球心O 处的场强E 如图（2） θ 如图（2） 分析: 本题可用叠加法求解，叁与叠加的元强可以为等效点电荷的电场dE . 解：在球面上取球坐标系下的面元 ?θθd RSin Rd dS =其带电?θθσσd d RSin dS dq ==. dq 在O 点产生的电场为：2/4sin /400 dE dq R d d πεσθθ?πε==在与dq 对称位置取电荷面元dq 。在O 点产生电场为1 dE dE =.由对称性分析可知各电荷在球心处产生的电场只有Z 分量总电场强度有贡献，因而总电场强度为： Z E E =2 000 cos sin cos 24Z dE dE dE d π σσθθθθεε=====??? (6) 积分得到E 方向与Z 轴正方向相反。 E 在经过对称性分析省去了E 的X,Y 方向分量的计算。 另外在计算电场场度E 或磁感应强度B 的利用高斯定理或安培定理计算是方便的多但是这两个定理的应用前提是场必须具有高度对称性。如球对称性轴对称性，镜像对称性，因而求解过程中先要进行对称性分析，再取与该对称性相吻合的高斯定理或安培环路，方可正确出场的分布的函数。 2.3利用安培环路定理求磁场 对于一个半径为R 电流密度为J 均匀载流的长直圆柱问题中，如求它周围产生的磁场如图（3）所示 ： 在分析之前，只能以为磁场在径向，角向和轴向都有分量，且 每个分量都应是半径，角度和轴向坐标的函数。采用柱坐标系，有： (,,)(,,)(,,B B r z B r z B r z r e e z e r z θθθθθ=++（1）图3 2.3.1对称性分析 场原（原因）的对称性有:①沿Z 轴的平移不变性:②绕Z 轴的旋转不变性:③对过Z 轴的平面的反射不变性。 场强（结果）的对称性同上依次导致 ① ,,B B B r Z θ都与Z 有关，②,,B B B r Z θ都与θ有关，③0B B r Z ==（B 是赝矢量，只有垂直分量）。 于是，式(1)成 ()B B r e θθ = （2） 2.3.2作安培环路，用场强表达积分 如图4作一安培圆环路，心位于轴线上，且圆面垂直于轴线，其绕行方向与电流密度方向（Z 轴方向）呈右手螺旋关系。则有； .()()()22()()()2B d B r dl l B r dl B r rl B r dl l B r dl B r r θθθθθθππ=???=?? 上相等或上相等 2.3.3利用安培环路定理求场强。 由安培环路定理，，有 2() 0.{02()0 J r r R B dl I r R J R μπμμπ≤==?≥ 内 (4) 由式（3）式（4）和式（2）,即得 /2()0(){2(.)/20jre r R B B r e r R jR e r μθθμθθ <==≥ (5) 由整个解题过程可以看出对称性分析和安培环路定理的作用。对称性分析的最终目的是为了计算积分即式（3）。 有一点需要说明，解题中需求场点半径r 进行分段讨论，在我们 的思路中这一些的地位与通常思路不同。 通常作法是；通过柱面外点作安培环路定理，然后进行对称性分析并用安培环定理求得场强，又通过柱面内一点作安培环路定理再重复上述过程也就是说，对r 的分段讨论构成整个解题的最大框架，这种作法多少对称性分析的核心地位有所消弱，再r 的分段讨论是最重要的，而我们的作法表明对r 的分段讨论完全可以只出现在次要第三步中，而次在表达内I 才需要。这是理所当然的，因为体 图4 系的对称性的整个体系的不可能，因区域改变而不同，从而作安培环路并用场强表达积分也只 需做一次即可，因此我们的作法更体现的物理思路。 总结： 由上面的一些例子我们足以看出对称性在电磁学乃至整个物理学当中的重要作用。现实生活中我们也经常遇到一些具有对称性的物体，更重要的，有一些不规则形状的物体也具有对称性，在分析这些具有几何对称性的物体时，利用对称性，往往能够得到比较好的结果。 总之，对称性在电磁学中也有着其举足轻重的作用，我们要想学好电磁学，就一定要掌握对称性，利用它，这样我们才能如鱼得水，学好电磁学. 叁考文献 [1] 梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学（第二版）2004.5： [2] 李林，单长吉，竖祖萍.电磁学中的对称性分析及教学应用[J].四川职业学院学报.Vol17.NO3 2007.8月 [3] 马文蔚. 物理学教程[M].北京：高等教育出版社2007.6 [4] 戴岩伟，许树玲.试析对称性在电磁学中的应用[J]. 安阳师范学院学报.2008.7 [5] 郑长波，张萍.对称性原理在电磁学中的应用[J].南阳师范学院学报（物理 与电子工程学院）2007 .NO6 [6] 黄亦斌，摄义友.镜象对称性在电磁学中的应用.江西师范学院[J].大学物理 学报. 2007.10. 致谢 在这次毕业论文中，我的指导艾木如拉老师给了我很大的帮助艾木如拉老师认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我受益非浅，他不论在理论上还是在实践中都给与我很大的帮助，使我得到不少的提高对我以后的工作和学习都有一中巨大的帮助，感谢大耐心的帮助，还有同组的同学对我的帮助，我表示衷心的感谢！ 此致 敬礼: 木拉提。巴义江 2009年月日 对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。 电磁学的应用—蓝牙技术 摘要：蓝牙是一种支持设备短距离通信（一般10m内）的无线电技术。利用“蓝牙”技术，能够有效地简化移动通信终端设备之间的通信，也能够成功地简化设备与因特网Internet之间的通信，从而数据传输变得更加迅速高效，为无线通信拓宽道路。 关键词： 1、蓝牙系统 蓝牙系统一般由以下4个功能单元组成：天线单元、链路控制（固件）单元、链路管理（软件）单元和蓝牙软件（协议）单元。它们的连接关系如图1所示： 图1 蓝牙系统结构图 1.1 天线单元 蓝牙要求其天线部分体积十分小巧、重量轻，因此，蓝牙天线属于微带天线。蓝牙空中接口是建立在天线电平为0dBm的基础上的。空中接口遵循Federal Communications Commission（简称FCC，即美国联邦通信委员会）有关电平为0dBm的ISM频段的标准。如果全球电平达到100mW以上，可以使用扩展频谱功能来增加一些补充业务。频谱扩展功能是通过起始频率为2.402 GHz，终止频率为2.480GHz，间隔为1MHz 的79个跳频频点来实现的。出于某些本地规定的考虑，日本、法国和西班牙都缩减了带宽。最大的跳频速率为1660跳/秒。理想的连接范围为100mm～10m，但是通过增大发送电平可以将距离延长至100m。 蓝牙工作在全球通用的 2.4GHz ISM（即工业、科学、医学）频段。蓝牙的数据速率为1Mb/s。ISM频带是对所有无线电系统都开放的频带，因此使用其中的某个频段都会遇到不可预测的干扰源。例如某些家电、无绳电话、汽车房开门器、微波炉等等，都可能是干扰。为此，蓝牙特别设计了快速确认和跳频方案以确保链路稳定。跳频技术是把频带分成若干个跳频信道（hop channel），在一次 高中数学中的对称性与周期性 一、函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 7函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。 二、关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题 若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是( 1212 ,22 x x y y ++)；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点' M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得 00, 22 x x y y a b ++= =，解算的' M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。 对称性在积分中的应用 摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果. 关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称 目录 一、引言 二、相关对称的定义 （一）区域对称的定义 （二）函数对称性定义 （三）轮换对称的定义 三、重积分的对称性 （一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性 （一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性 （一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结 参考文献 谢词 一、 引言 积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义. 二、相关的定义 定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -?∈,则D 关于直线a x =对 称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ?)2,(y b x - ),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然 当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）. 定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈?),(a x a y --,则D a x y +=对称, 称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈?),(x a y a -- D ∈，则D 关于直线z y ±=对称. 注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线 对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义. 空间对称区域. 定义3：(1)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对 称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性. (2)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同 的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性. (3)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有 轮换对称性. 定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于 a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-, 电磁学知识在生产生活中的应用举例 2006年12月13日 教学目标： 知识与技能：1、懂得生活用电安全知识（C层） 2、会用学过的知识解释生活用电问题（B层） 3、了解传感器的作用，会对一些简单传感器的原理用中学物理知识作解释 （AB 层） 过程与方法：1、通过本节教学，引导学生把所学知识结合实际，养成理论联系实际的习惯；2、指导学生分析实际应用试题步骤、审题抓住要点，把题目分解成一个个小小问题的习惯。 教学重点：用电磁学知识解决新科技在生产生活中的应用。 教学方法：分层教学，主体合作 本学期复习完了3-1，请回顾一下这本书我们学了哪些知识？ 电场恒定电流磁场 各章重点知识有哪些？ 电功电阻定律、欧姆定律、闭合电路欧姆定律焦耳定律传感器的应用电流与磁场的关系一一安培定则，磁场对运动电荷的作用力（安培 力、洛伦兹力）的方向判断一一左手定则: 一、生活用电题 1、如上图所示是楼梯电灯照明电路图，电键K i和K2分 别是装在楼上和楼下两个位置的双联开关，拨动其中任 何一个开关，都能使楼梯电灯发光或熄灭，试问这四种 接法中，那一种接法是正确的？（） 2、家用电热灭蚊器中电热部分的主要元件是PTC, PTC 元件是由钛等半导体材料制成的电阻器，其电阻率与温度的关系如所示，由于这种特性，因此，PTC 元件具有发热、控温双重功能，对此，以下判断中正确的组合是（） ①通电后，其电功率先增大后减小 ②通电后，其电功率先减小后增大 ③当其产生的热量与散发的热量相等时，温度保持在t1 或t2不变 ④当其产生的热量与散发的热量相等时，温度保持在ti?t2的某 一值不变 A、①② B、②④ C、①④ D、②③ 本题要点：①会读图；②电热灭蚊器属于纯电阻用电器，电功等于电热。 客称 额定电压 （V}|频率工惟电醜 （A） 电魁 （n>(r/min) 电动机 220500.51370 脱水电动 机 220500卫13J370 由上表回答：该洗衣机洗涤一次衣服共耗电多少？（洗涤一次衣服洗涤时间为15min，脱水时间为2min）.用欧姆定律I =U求出的电流强度与电动机中的 R 实际工作电流是否相同？为什么？ 二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论： 1、抛物线的对称轴是直线__________。 2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。 5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则?ABC是＿＿＿＿三角形，且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。 二、在解题中的应用： 例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足 . （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。 例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 （1）求抛物线顶点的坐标； （2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标； （3）求?ABC的外接圆的面积。 y O x -1 -2 1 2 - 3 3 -1 1 2 -2 二次函数专题训练——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数 ，当x 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则 当x 取+时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（ 2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4- 毕业设计（论文）题目：对称性在积分计算中应用 学院：数理学院 专业名称：信息与计算科学 学号：0741210102 学生姓名：鲍品 指导教师：张晓燕 2011年5 月20 日 对称性在积分计算中的应用 摘要 对称性的应用很广泛，尤其在数学，物理学，化学等方面都有体现[1]。本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。 积分在微积分学中既是重点又是难点，特别是在解决积分计算问题上，方法比较灵活。常见的积分方法有换元法和分部积分法，这些方法在解决一般的问题上还是奏效的，但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。假如我们稍仔细地观察题目，很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去，不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。 利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。接下来本论文将从定积分，重积分，曲线积分以及曲面积分四大方面入手，深入探讨对称性在积分计算中的应用。最后分析利用对称性解题的条件与优势，总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。 关键词 定积分，重积分，曲线积分，曲面积分，对称性，奇偶性 Abstract The application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation. Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time. More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what. Key words definite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导 单调性： 设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ?A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数． 如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间． 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的． 对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律． 此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述． 奇偶性： (1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数． 函数的奇偶性有如下重要性质： f (x )奇函数?f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称． 此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点． 周期性： 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 关于函数的周期性，下面结论是成立的． (1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)． (2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则 | |ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0． 对称性： 若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2 b a x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点( 2 b a +，0)对称． 函数的图象： 函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用． (1)利用平移变换作图： 土木工程系土木5班徐亚飞529在工程实际中，有很多结构具有对称性，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。现在业已学完了结构力学，现就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。 所谓结构的对称性，需要满足以下两个方面的要求： （1）结构的几何形状和支撑情况对某一轴线对称； （2）杆件截面和材料的性质也对此轴对称。结构上力的对称性有正对称和反对称两种类型，非对称的力都可以化为正对称力与反对称力的叠加。 一、对称性在求解结构内力中的应用 因为对称结构在对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。 二、对称性在体系自由振动中的应用 我们知道，结构的频率、主振型及主振型的正交性是结构本身的固有特性，与外界因素无关。只要结构本身和质量分布都是对称的，其振型或为正对称，或为反对称，因此，我们可以选取半边结构计算其相应的自振频率。但其只能应用于两个自由度的振动体系，且自振频率小的为第一振型，较大的为第二振型。运用对称性求解结构的自振频率，避免了求解复杂的频率方程，使得计算大大简化。 三、对称性在结构稳定性分析中的应用 结构的稳定性分析，就是为了确定在新的平衡形式的荷载，即临界荷载。通常的解法是假设新的平衡形式，运用静力平衡法或能量法通过稳定方程求的 函数的对称性应用（一） ──含绝对值函数的图象 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。 图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。 一、含绝对值的函数常见情况的分类： 已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。 ①对自变量取绝对值：；②对应变量取绝对值：； ③对全都取绝对值：；④对整个函数取绝对值：； ⑤对都取绝对值：；⑥部分自变量取绝对值：。 二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法： ①对自变量取绝对值： 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ②对应变量取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ③对全都取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、 与都在函数上，所以函数图象关于轴、轴及原点对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留（第一象限）时函数的图象； （3）利用对称性作出（2）中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。 电磁学的发展及生活生产中的应用摘要:电磁学核心及发展，电磁学应用(磁悬浮列车、电磁炮) 关键字:电磁学、磁悬浮、电磁炮 引言: 随着电话，电视等电子产品的广泛应用，电磁学也日益受到人们的重视。内容: 简单的说来，电磁学核心只有四个部份:库伦定律、安培定律、法拉第定律与麦克斯威方程式。并且顺序也一定如此。这可以说与电磁学的历史发展平行。其原因也不难想见;没有库伦定律对电荷的观念，安培定律中的电流就不容易说清楚。不理解法拉第的磁感生电，也很难了解麦克斯威的电磁交感。因此，要了解电磁学的应用就必须先了解它的发展。 早期，由于磁现象曾被认为是与电现象独立无关的，同时也由于磁学本身的发展和应用，如近代磁性材料和磁学技术的发展，新的磁效应和磁现象的发现和应用等等，使得磁学的内容不断扩大，所以磁学在实际上也就作为一门和电学相平行的学科来研究了。 电子的发现，使电磁学和原子与物质结构的理论结合了起来，洛伦兹的电子论把物质的宏观电磁性质归结为原子中电子的效应，统一地解释了电、磁、光现象。电磁学的进一步发展促进了电磁在生活技术当中的应用。 (一)民用--磁悬浮列车 1911年，俄国托木斯克工艺学院的一位教授曾根据电磁作用原理，设计并制成一个磁垫列车模型。该模型行驶时不与铁轨直接接触，而是利用电磁排斥力使车辆悬浮而与铁轨脱离，并用电动机驱动车辆快速前进。 1960年美国科学家詹姆斯?鲍威尔和高登?丹提出磁悬浮列车的设计，利用 强大的磁场将列车提升至离轨几十毫米，以时速300公里行驶而不与轨道发生摩擦。遗憾的是，他们的设计没有被美国所重视，而是被日本和德国捷足先登。德国的磁悬浮列车采用磁力吸引的原理，克劳斯?马菲公司和MBB公司于1971年研制成常导电磁铁吸引式磁浮模型试验车。 随着超导和高温超导热的出现，推动了超导磁悬浮列车的研制。1987年3月，日本完成了超导体磁悬浮列车的原型车，其外形呈流线形，车重17吨，可载44人，最高时速为420公里。车上装备的超导体电磁铁所产生的电磁力与地面槽形导轨上的线圈所产生的电磁力互相排斥，从而使车体上浮。槽形导轨两侧的线圈与车上电磁铁之间相互作用，从而产生牵引力使车体一边悬浮一边前进。由于是悬空行驶，因而基本上不作用车轮。但在起动时，还需有车轮做辅助支撑，这和飞机起降时需要轮子相似。这列超导磁悬浮列车由于试验线路太短，未能充分展示出空的卓越性能。 (二)军用—电磁炮 早在1845年，查尔斯?惠斯通就制作出了世界第一台磁阻直流电动机，并用它把金属棒抛射到20米远。此后，德国数学家柯比又提出了用电磁推进方法制造“电气炮”的设想。而第一个正式提出电磁发射(电磁炮)概念并进行试验的是挪威奥斯陆大学物理学教授伯克兰。他在1901年获得了“电火炮”专利。1920年，法国的福琼?维莱普勒发表了《电气火炮》文章。德国的汉斯莱曾将10克弹丸用电磁炮加速到1.2公里,秒的初速。1946年，美国的威斯汀豪斯电气公司建成了一个全尺寸的电磁飞机弹射器，取名“电拖”。 到20世纪70年代，随着脉冲功率技术的兴起和相关科学技术的发展，电磁发射技术取得了长足的进步。澳大利亚国立大学的查里德?马歇尔博士运用新技术，把3克弹丸加速到了5.9公里,秒。这一成就从实验上证明了用电磁力把物体推进到超高速度是可行的。他的成就1978年公布后，使世界相关领域的科学家振奋不 高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图 编号： 本科毕业论文 数学的对称性及其在若干数学问题中的应用 系院：数学科学系 姓名：冯克飞 学号：0831130103 专业：小学教育（数学方向） 年级：2008级 完成日期：2012年5月 对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一,是其运动、变化和发展的规律之一。人们在认识和解决具有对称或对等以及反对等性的问题过程中产生和形成的思想、方法,我们称之为对称思想方法;数学家们用数学的思想、方法解决这类问题所产生和形成的思想与方法,我们称之为数学对称思想方法。数学的对称性在数学解题与分析中具有重要的作用。本文将围绕着数学对称性的基本性质及其在实际的数学解题中的应用展开对数学对称性的全面分析，旨在充分揭示对称性在数学中作为一种工具和方法的优势，加深对数学对称性的理解和认识，以求在数学教学或实际解题中充分发挥对称性的应用。 关键字：数学对称；几何运用；对称思想；对称原理 Abstract Symmetry is one of the common form in nature and human society, is one of the movement, change and development of the law. People understand and resolve with symmetric or opposition of the process and the formation of ideas, methods, which we call a symmetric way of thinking; mathematicians use mathematical thinking, methods to solve such problems and the formation of ideas and methods, which we call the mathematical symmetry of thinking. Mathematical symmetry plays an important role in mathematical problem solving and analysis. This article will focus on the basic nature of the mathematical symmetry and its actual mathematical problem solving to commence a comprehensive analysis of mathematical symmetry, to fully reveal the symmetry in mathematics as a tool and method of the advantages of deepen understanding and awareness of mathematical symmetry, in order to give full play to the application of symmetry in mathematics teaching, or practical problem solving. Keywords: mathematical symmetry; geometry use; symmetrical thinking; symmetry principle 对称问题专题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上 电磁感应现象及电磁在生活中的应用 摘要：电磁感应，也称为磁电感应现象是指放在变化磁通量中的导体，会产生电动势。此电动势称为感应电动势或感生电动势，若将此导体闭合成一回路，则该电动势会驱使电子流动，形成感应电流。 电磁反应是一个复杂的过程，其运用到现实生活中的技术（例如：电磁炉、微波炉、蓝牙技术、磁悬浮列车等等）。是经过很多人的探索和努力一步一步走到现在的。 正文： 电磁感应的定义：闭合电路的一部分导体在磁场中做切割磁感线的运动时，导体中就会产生电流，这种现象叫电磁感应现象。本质是闭合电路中磁通量的变化。由电磁感应现象产生的电流叫做感应电流。 电磁感应的发现：1831年8月，法拉第把两个线圈绕在一个铁环上，线圈A 接直流电源，线圈B接电流表，他发现，当线圈A的电路接通或断开的瞬间，线圈B中产生瞬时电流。法拉第发现，铁环并不是必须的。拿走铁环，再做这个实验，上述现象仍然发生。只是线圈B中的电流弱些。为了透彻研究电磁感应现象，法拉第做了许多实验。1831年11月24日，法拉第向皇家学会提交的一个报告中，把这种现象定名为“电磁感应现象”，并概括了可以产生感应电流的五种类型：变化的电流、变化的磁场、运动的恒定电流、运动的磁铁、在磁场中运动的导体。法拉第之所以能够取得这一卓越成就，是同他关于各种自然力的统一和转化的思想密切相关的。正是这种对于自然界各种现象普遍联系的坚强信念，支持着法拉第始终不渝地为从实验上证实磁向电的转化而探索不已。这一发现进一步揭示了电与磁的内在联系，为建立完整的电磁理论奠定了坚实的基础。 电磁感应是指因磁通量变化产生感应电动势的现象。电磁感应现象的发现，乃是电磁学中伟大的成就之一。它不仅让我们知道电与磁之间的联系，而且为电与磁之间的转化奠定了基础，为人类获取巨大而廉价的电能开辟了道路，在实用上有重大意义。电磁感应现象的发现，标志着一场重大的工业和技术革命的到来。事实证明，电磁感应在电工、电子技术、电气化、自动化方面的广泛应用对推动社会生产力和科学技术的发展发挥了重要的作用。 若闭合电路为一个n匝的线圈，则又可表示为：式中n为线圈匝数，ΔΦ为磁通量变化量，单位Wb ，Δt为发生变化所用时间，单位为s.ε为产生的感应电动势，单位为V。 磁通量：设在匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，磁场的磁感应强度为B，平面的面积为S。(1)定义：在匀强磁场中，磁感应强B与垂直磁场方向的面积S的乘积，叫做穿过这个面的磁通量。 (2)公式：Φ＝BS 当平面与磁场方向不垂直时： Φ＝BS⊥＝BScosθ（θ为两个平面的二面角） (3)物理意义高中数学中对称性问题总结.doc
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