2004年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟.
第Ⅰ部分（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A ·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k
k n n P P C k P --=)1()
(
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数y =的定义域是：
（ ）
A ．[1,)+∞
B ．23(,)+∞
C ．23[,1]
D ．23(,1] 2．设复数z z i z 2,212-+=则, 则22Z Z -=
（ ） A ．–3
B ．3
C ．－3i
D ．3i
3．圆2
22430x
y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为
（ ）
A ．2
B ．2
C ．1
D 4．不等式2
21
x x +>+的解集是
（ ）
A ．(1,0)(1,)-+∞
B ．(,1)(0,1)-∞-
C ．(1,0)(0,1)-
D ．(,1)(1,)-∞-+∞
5．sin163
sin 223sin 253sin313+=
（ ）
A ．12-
B ．12
C ．
D 6．若向量 a 与b 的夹角为60
，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为
（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
7．一元二次方程2
210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：
（ ）
A ．0a
<
B ．0a
> C ．1a <- D ．1a
>
8．设P 是60
的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：
（ ） A ．4005
B ．4006
C ．4007
D ．4008
10．已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离
心率e 的最大值为：
（ ）
A ．43
B ．
5
3
C ．2
D ．73
11．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲
顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： （ ）
A ．
1
10
B ．
1
20
C ．
1
40
D ．
1120
12．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是
（ ）
（C ） （D ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.若在5
(1)ax +的展开式中3
x 的系数为80-，则_______a =.
14．曲线
2311
2224
y x y x =-
=-与在交点处切线的夹角是______，（用幅度数作答） 15．如图P 1
是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1
的左下端剪去一个半径为1
2
的半圆后得到图形P 2
，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为
前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..，P n ，…,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ______n
x S →∞
=.
16．对任意实数K
kx b
+
与椭圆：)20(sin 41cos 23πθθ
θ
<≤??
?+=+=y x 恒有公共点，则b 取值范围是______________ 三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
求函数4
4sin
cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在
[0,]π上的单调递增区间。
18．（本小题满分12分）
设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为3
4
，遇到红灯（禁止通行）的概率为
14
。假定
汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求： （1）ξ的概率的分布列及期望E ξ; (2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率。
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面 （1）明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；
（2）若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值。
20．（本小题满分12分）
设函数
()(1)(),(1)f x x x x a a =-->
（1）求导数
/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围.
21．（本小题满分12分）
设
0p >是一常数，过点(2,0)Q p 的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直经作圆H （H 为圆心）。试证抛物
线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程.
22．（本小题满分14分） 设数列
{}n a 满足111
2,,(1,2,3.......)n n n
a a a n a +==+
= （1
）证明n a n 成立；
（2
）令1,2,3......)n b n =
=,判断1n n b b +与的大小，并说明理由。
参考答案
一、选择题：每小题5分，共60分.
1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．D 二、填空题：每小题4分，共16分. 13．－2 14．
4
π
15．
3
π 16．[－1，3]
三、解答题：共74分. 17．（本小题12分）
解：
x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=
)
6
2sin(22cos 2sin 32sin 3)cos )(sin cos (sin 2222π
-
=-=+-+=x x
x x
x x x x
故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；
单增区间是[π3
1,0]，],6
5
[
ππ 18．（本小题12分） 解：（I ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4
用A K 表示“汽车通过第k 个路口时不停（遇绿灯）”，
则P （A K ）=
4321,,,),4,3,2,1(4
3
A A A A k 且=独立. 故,4
1
)()0(1===A P P ξ
25681
)43()()4(,
25627
41)43()()3(,
64
9
41)43()()2(16
34143)()1(4432134321232121=
=???====???====??===?=
?==A A A A P P A A A A P P A A A P P A A P P ξξξξ
从而ζ有分布列：
ξ 0 1 2 3 4
P
4
1
163 649 25627 256
81
256
525
25681425627364921631410=?+?+?+?+?=ξE
（II ）256175
256811)4(1)3(=-==-=≤ξξP P
答：停车时最多已通过3个路口的概率为256
175
.
19．（本小题12分）
（I ）证明：因PA ⊥底面，有PA ⊥AB ，又知AB ⊥AD ，
故AB ⊥面PAD ，推得BA ⊥AE ， 又AM ∥CD ∥EF ，且AM=EF ， 证得AEFM 是矩形，故AM ⊥MF. 又因AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，故AE ⊥面PCD ， 而MF ∥AE ，得MF ⊥面PCD ， 故MF ⊥PC ，
因此MF 是AB 与PC 的公垂线.
（II ）解：连结BD 交AC 于O ，连结BE ，过O 作BE 的垂线OH ，
垂足H 在BE 上. 易知PD ⊥面MAE ，故DE ⊥BE ， 又OH ⊥BE ，故OH//DE ， 因此OH ⊥面MAE.
连结AH ，则∠HAO 是所要求的线AC 与面NAE 所成的角
设AB=a ，则PA=3a ，
a AC AO 2
221==
.
因Rt △ADE~Rt △PDA ，故
中从而在AHO Rt a ED OH a a a a PD
AD ED ?==
=+=
=.10221,
10
)
3(2
2
22
.105
20
122102sin ==?==
a a AO OH HAO 20．（本小题12分）
解：（I ）
.)1(23)(2a x a x x f ++-='
)(,;0)(,;
0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.
0)1(230)(22112121
2
122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=?=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令
因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.
（II ）因
故得不等式,0)()(21≤+x f x f
.
0)(]2))[(1(]3))[((.
0)())(1(21212
212122121212
2213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即
又由（I ）知
???
???
?
=+=+.3),1(3
22121a x x a x x
代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得
.
0)()(,2,)
(2
1
2.
0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得
≤+≥≤
≥≥+-x f x f a a a a a 21．（本小题12分）
解法一：由题意，直线AB 不能是水平线， 故可设直线方程为：p x ky
2-=.
又设
),(),,(B B A A y x B y x A ，则其坐标满足???=-=.
2,
22
px y p x ky 消去x 得
04222=--p pky y
由此得 ??
?-==+.
4,22
p y y pk y y B A B A
??
?
??==+=++=+2
2
224)2()(,)24()(4p p y y x x p k y y k p x x B A B A B A B A 因此OB OA y y x x OB OA B A B A ⊥=+=
?即,0.
故O 必在圆H 的圆周上.
又由题意圆心H （H H y x ,）是AB 的中点，故
???
???
?
=+=+=+=.2,)2(2
2kp y y y p k x x x B A B B A H 由前已证，OH 应是圆H 的半径，且p k k y x OH
H H 45||242
2++=+=
.
从而当k=0时，圆H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小. 此时，直线AB 的方程为：x=2p.
解法二：由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方程为：ky =x －2p
又设),(),,(B B A A y x B y x A ，则其坐标满足???=-=.
2,
22
px y p x ky
分别消去x ，y 得??
???=++-=--.04)2(2,
04222222p x k p x p pky y
故得A 、B 所在圆的方程.02)2(2222
=-+-+pky x k p y x
明显地，O （0，0）满足上面方程所表示的圆上，
又知A 、B 中点H 的坐标为),,)2(()2
,2(
2kp p k y y x x B
A B A +=++ 故 2
2222)2(||p k p k OH
++=
而前面圆的方程可表示为22222222
)2()(])2([p k p k pk y p k
x ++=-++-
故|OH|为上面圆的半径R ，从而以AB 为直径的圆必过点O （0，0）. 又22422
)45(||p k k OH R
++==，
故当k=0时，R 2
最小，从而圆的面积最小，此时直线AB 的方程为：x=2p. 解法三：同解法一得O 必在圆H 的圆周上
又直径|AB|=
2
2)()(B A B A y y x x -+-
.
44222222
222p x x p x x px px x x y y x x B A B A B
A B A B
A B A =?+≥+++=+++=
上式当B A
x x =时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.
此时直线AB 的方程为x=2p.
22．（本小题14分）
（I ）证法一：当,1122,11+?>==a n
时不等式成立.
.
1)1(2,1.1)1(213221,
1.
12,12
22
21时成立时时当成立时假设++>+=∴++>++>++=+=+>=++k a k n k a k a a a k n k a k n k k k k k k
综上由数学归纳法可知，12+>n a n 对一切正整数成立.
证法二：当n=1时，112321
+?=>=a .结论成立.
假设n=k 时结论成立，即 .12+>k a k
当)1(1
)(,1>+
=+=x x
x x f k n
由函数时的单增性和归纳假设有
.
0121
32)12112(.
32121
12:.1
2112121显然成立而这等价于因此只需证≥+?+≥++++≥++++++>+
=+k k k k k k k k k a a a k k k 所以当n=k+1时，结论成立.
因此，12+>n a n
对一切正整数n 均成立.
证法三：由递推公式得 ,1
221
2
12
--+
+=n n n
a a a
2
121222
2
22211
2,12a a a a
a a n n n +
+=+
+=---
上述各式相加并化简得 )1(221
1)1(2221
21212
-+>+++
-+=-n a a n a a n n
).
,2,1(12,12,1).
2(1222 =+>+>=≥+>+=n n a n a n n n n n n 故明显成立时又 （II ）解法一：
1)1211(1)11(1211+++<++=+=++n n
n n n a n a n a b b n
n n n n
.
.
12
1
41)21(1
2)
1(21
)12()1(212n n b b n n n n n n n n n <<+
-
+=
++=
+++=
+故
解法二：n
a a a n n
a n a
b b n n n n n n n -+
+=
-
+=
-++)1
(1
11
11
.
.
0)
1()1(1)]
1()1([)1()1(1
)]12()1([)1)(1(1
))()](12)(1([)1(1]
)1([)1(112
n n n
n
n
n
n n
b b n n a n n n n n n a n n n n n n n n a n n n n n n n n a n n a n n n a n n <<+-++=+-++++=+-+++++=
+-+-+≤-+-+=+所以的结论由
解法三：n a n a b b
n n n
n 221
22
1
1-
+=-++
0)1121(11)121212(11)
12(1
1)21(1122222
<-++=+-+++<
-++=-+++=n
n n n n n n n a a n n a a a n n n
n n
n
故n n n n b b b b <<++122
1
,因此.
I
数学试题卷（理工农医类）
数学试题（理工农医类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.
注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概 率k n k
k n n P P C k P --=)1()
(
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆5)2(22
=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为
（ ）
A ．5)2(22=+-y x
B ．5)2(22=-+y x
C ．5)2()
2(22
=+++y x
D ．5)2(22
=++y x
2．=-+2005)11(i
i
（ ）
A ．i
B ．－i
C ．2005
2
D ．－2005
2
3．若函数
)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)( （ ） A ．)2,(-∞ B ．),2(+∞ C ．),2()2,(+∞--∞ D ．（－2，2） 4．已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量与DA 的夹角为 （ ） A ． 5 4 arccos 2 -π B ．5 4arccos C ．)54arccos( - D ．－)5 4arccos( - 5．若x ，y 是正数，则22)21 ()21(x y y x +++ 的最小值是 （ ） A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 6．已知α、β均为锐角，若q p q p 是则,2 :),sin(sin :π βαβαα<++<的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等； ④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．若)12(x x -n 展开式中含 2 1x 项的系数与含 4 1x 项的系数之比为－5，则n 等于 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 9．若动点（y x ,）在曲线 )0(1422 2>=+b b y x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ） A ．?????≥<<+) 4(2),40(442 b b b b B ．?? ???≥<<+) 2(2),20(442 b b b b C ．44 2 +b D ．2b 10．如图，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱 AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G ， 使 AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为 三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱 锥O —BCD 的体积等于 （ ） A ．91 B ． 81 C ． 7 1 D ．4 1 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06| {2R| }2|2|<-x ，则B A = . 12．曲线 )0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,6 1 = . 13．已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= . 14．n n n n n 231233232lim +-+∞→= . 15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0， 1，2，3的概率为 . 16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分） 若函数 )2 cos(2sin ) 2 sin(42cos 1)(x x a x x x f --++= ππ 的最大值为2，试确定常数a 的值. 18．（本小题满分13分） 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （Ⅰ）该顾客中奖的概率； （Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 19．（本小题满分13分） 已知R a ∈，讨论函数 )1()(2+++=a ax x e x f x 的极值点的个数. 20．（本小题满分13分） 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1 =2，BC=1，∠BCC 1 = 3 π ， 求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离； （Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值. 21．（本小题满分12分） 已知椭圆C 1的方程为 14 22 =+y x ，双曲线C 2 的左、右焦点分别为C 1 的左、右顶点，而C 2 的左、右顶点分别是C 1 的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2: +=kx y l 与椭圆C 1 及双曲线C 2 都恒有两个不同的交点，且l 与C 2 的两个交点A 和B 满足6 O 为原点），求k 的取值范围. 22．（本小题满分12分） 数列{a n }满足)1(2 1 )11(1211 ≥+++ ==+n a n n a a n n n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ； （Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<>< +n e a x x x n 证明成立对，其中无理数 e=2.71828…. 2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 一、选择题：每小题5分，满分50分. 1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C 二、填空题：每小题4分，满分24分. 11．}30|{<< x x 12．1± 13．1 14．－3 15． 128 45 16．②③⑤ 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分） . 15,. 44 4111sin ),sin(441sin 2 cos 212cos 2sin cos 4cos 2)(:2 222±==++= ++=+=+=a a a x a x a x x x a x x x f 解之得由已知有满足其中角解??? 18．（本小题13分） 解法一： （Ⅰ）32 45151210 2 6=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为 32. （Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）. .151 )60(,152 )50(,151)20(,52 )10(,31)0(2 10 1 3112 101 611210232 101 61321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且 故ξ有分布列： 从而期望.1615 1 6015250151205210310=?+?+?+?+?=ξE 解法二： （Ⅰ）,32 4530)(2 10 2 41614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一 由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）. 19．（本小题13分） . 0)12()2(0)()],12()2([) 2()1()(:222=++++='++++=+++++='a x a x x f a x a x e a x e a ax x e x f x x x 得令解 （1）当.0)4(4)12(4)2(22>-=-=+-+=? a a a a a a : ),)(()(,,,0)12()2(,402121212从而有下表于是不妨设有两个不同的实根方程时或即x x x x e x f x x x x a x a x a a x --='<=++++>< 即此时 )(x f 有两个极值点. （2）当0)12()2(,4002=++++===?a x a x a a 方程时或即有两个相同的实根21x x = 于是 21)()(x x e x f x -=' )(,0)(,;0)(,21x f x f x x x f x x 因此时当时故当>'>>'<无极值. （3）,0)12()2(,40,02>++++<< 时即当 ) (,0)]12()2([)(2x f a x a x e x f x 故>++++='为 增 函 数 ， 此 时 ) (x f 无极值. 因此当 )(,40,2)(,04x f a x f a a 时当个极值点有时或≤≤<>无极值点. 20．（本小题13分） 解法一： （Ⅰ）因AB ⊥面BB 1C 1C ，故AB ⊥BE. 又EB 1⊥EA ，且EA 在面BCC 1B 1内的射影为EB. 由三垂线定理的逆定理知EB 1⊥BE ，因此BE 是异面直线 AB 与EB 1的公垂线， 在平行四边形BCC 1B 1中，设EB=x ，则EB 1=2 4x -， 作BD ⊥CC 1，交CC 1于D ，则BD=BC ·.2 3 3sin = π 在△BEB 1中，由面积关系得 0)3)(1(,2 3221421222=--??=-x x x x 即. 3,1±=±=x x 解之得（负根舍去） ,33 cos 21,,322=?-+?=π CE CE BCE x 中在时当 解之得CE=2，故此时E 与C 1重合，由题意舍去3=x . 因此x =1，即异面直线AB 与EB 1的距离为1. （Ⅱ）过E 作EG//B 1A 1，则GE ⊥面BCC 1B ，故GE ⊥EB 1且GE 在圆A 1B 1E 内， 又已知AE ⊥EB 1 故∠AEG 是二面角A —EB 1—A 1的平面角. 因EG//B 1A 1//BA ，∠AEG=∠BAE ，故.22 2 1tan ===AB BE AEG 解法二： （Ⅰ）平面又由得由⊥=?⊥ AB EB EB AE ,0,11 答（20）图 1 而BB 1C 1C 得AB ⊥EB 1从而1EB ?=0. . ,0 )(11111 1的公垂线与是异面直线故线段即故EB AB BE EB EB EB AB EB EA EB AB EA EB EB ⊥=?+?=?+=? 设O 是BB 1的中点，连接EO 及OC 1，则在Rt △BEB 1中，EO=2 1BB 1=OB 1=1， 因为在△OB 1C 1中，B 1C 1=1，∠OB 1C 1=3 π ，故△OB 1C 1 是正三角形， 所以OC 1=OB 1=1， 又因∠OC 1E=∠B 1C 1C －∠B 1C 1O= ,3 332π ππ=-故△OC 1 E 是正三角形， 所以C 1E=1，故CE=1，易见△BCE 是正三角形，从面BE=1， 即异面直线AB 与EB 1的距离是1. （Ⅱ）由（I ）可得∠AEB 是二面角A —EB 1—B 的平面角，在Rt △ABE 中，由AB=2， BE=1，得tanAEB= 2. 又由已知得平面A 1B 1E ⊥平面BB 1C 1C ， 故二面角A —EB 1—A 1的平面角AEB ∠-= 2 π θ ，故 .2 2 cot )2tan(tan ==∠-=AEB AEB πθ 解法三： （I ）以B 为原点，1BB 、BA 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB 1=2，AB= 2，∠BCC 1 = 3 π ， 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有 B （0，0，0），A （0，0， 2），B 1 （0，2，0）， )0,2 3 ,23(),0,21,23( 1C C - 设即得由,0,),0,,2 3 ( 11=?⊥EB EB EA a E )0,2,2 3()2,,23(0a a --?--= ,4 32)2(432+-=-+= a a a a . ,04 3 43)02323()0,21,23() 0,2 1,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB E a a a a ⊥=+-=??-?=?===--即故舍去或即得 又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE. 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线， 则14 1 43|| =+= ，故异面直线AB 、EB 1 的距离为1. （II ）由已知有,,1111EB A B EB EA ⊥⊥ 故二面角A —EB 1 —A 1 的平面角θ 的大小为向量 A B 与11的夹角. .2 2tan , 32cos ),2,2 1 ,23(),2,0,0(111111= = =--===θθ即故因EA BA A B 21．（本小题12分） 解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12 2 22=-b y a x ，则.1,31422222 ==+=-=b c b a a 得再由 故C 2 的方程为.13 22 =-y x （II ）将.0428)41(14 22222 =+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得 ,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=?k k k 即 .4 1 2 >k ① 0926)31(13 22222 =---=-+=kx x k y x kx y 得代入将. 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合, , 则 A ． B ． C ． D ． 2． A ． B ． C ． D ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来, 构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼, 图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体, 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若, 则 A ． B ． C ． D ． 5．的展开式中的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 6．直线分别与轴, 轴交于, 两点, 点在圆上, 则面积的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 7．函数的图像大致为 {}|10A x x =-≥{}012B =， ，A B =I {}0{}1{}12，{}012， ，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +1 sin 3 α= cos2α=8 9 79 79 -89 -5 22x x ? ?+ ?? ?4x 20x y ++=x y A B P ()2 222x y -+=ABP △[]26，[]48 ， ??42 2y x x =-++ 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 , 各成员的支付方式相互独立, 设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, , , 则 A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 9．的内角的对边分别为, , , 若的面积为 , 则 A ． B ． C ． D ． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为 则三棱锥体积的最大值为 A ． B ． C ． D ． 11．设是双曲线 （）的左, 右焦点, 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线, 垂足为．若, 则的离心率为 A B ．2 C D 12．设, , 则 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。 p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224 a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ，， ，ABC △D ABC -12F F ，22 221x y C a b -=：00a b >>， O 2F C P 1PF =C 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+ 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种 （12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 （14）当函数取得最大值时，x=___________。 （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。 （16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。 历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积 2015 年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的。 1．（ 5 分）（ 2015?四川）设集合A={x| （ x+1 ）（ x﹣ 2）＜ 0} ，集合 B={x|1 ＜ x＜ 3} ，则 A ∪B= （） A ． { x|﹣ 1＜ x＜ 3} B ． { x|﹣ 1＜x＜ 1}C． { x|1＜ x＜ 2} D ． { x|2＜ x＜ 3} 考点：并集及其运算． 专题：函数的性质及应用． 分析：求解不等式得出集合A={x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ， 根据集合的并集可求解答案． 解答：解：∵集合 A={x| （x+1 ）（ x﹣2）＜ 0} ，集合 B={x|1 ＜ x＜ 3} ， ∴集合 A={x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ， ∵A∪ B={x| ﹣ 1＜ x＜ 3} ， 故选： A 点评：本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题． 2．（ 5 分）（ 2015?四川）设 i 是虚数单位，则复数i 3 ﹣ =（） A ．﹣ i B ．﹣3i C． i D ． 3i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题． 分析： 通分得出，利用 i 的性质运算即可． 解答： 解：∵ i 是虚数单位，则复数 i 3 ﹣， ∴===i ， 故选； C 点评：本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题． 3．（ 5 分）（ 2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（） A ． B ．C．﹣ D ． ﹣ 考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当 k=5 时满足条件k＞ 4，计算并输出S 的值为． 解答：解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2 不满足条件k＞ 4， k=3 不满足条件k＞ 4， k=4 不满足条件k＞ 4， k=5 满足条件k＞ 4，S=sin=， 输出 S的值为． 故选： D． 点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 4．（ 5 分）（ 2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数 是（） A ． ）B． y=sin （2x+ ） y=cos（ 2x+ C． y=sin2x+cos2x D ． y=sinx+cosx 考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法． 专题：三角函数的图像与性质． 2015年高考数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?原题）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）（2015?原题）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）（2015?原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）（2015?原题）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2015?原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（） A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）（2015?原题）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）（2015?原题）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）（2015?原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是（） 新农村建设后，种植收入减少 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 新农村建设后，养殖收入增加一倍 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A.5 B.6 C.7 D.8 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ， 直角边AB,AC 。△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ， 在整个图形中随机取一点， 此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为 123 ,,p p p ,则（） 历年高考数学真题(全国卷整理版) 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()() P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 3 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、 复数131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A U B ＝ A, 则m= A 0或 3 B 0或 3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212 x +28 y =1 C 28 x +24 y =1 D 212 x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A)100101 (B) 99 101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β3则cos2α= (A) 5 （B ） 5 (C) 5 5（8）已知F1、F2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2= 历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 B C 2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷） 参考答案 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20} A x x x =--≤，集合B为整数集，则A B ?= A．{1,0,1,2} -B．{2,1,0,1} --C．{0,1}D．{1,0} - 2．在6 (1) x x +的展开式中，含3x项的系数为 A．30B．20C．15D．10 3．为了得到函数sin(21) y x =+的图象，只需把函数sin2 y x =的图象上 所有的点 A．向左平行移动 1 2 个单位长度B．向右平行移动 1 2 个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度 4．若0 a b >>，0 c d <<，则一定有 A． a b c d >B． a b c d 参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3 2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(四川卷) 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 P n (k )＝C k n p k (1－p )n － k (k ＝0,1,2，…，n ) 球的表面积公式 S ＝4πR 2 其中R 表示球的半径 球的体积公式 V ＝ 43 πR 3 其中R 表示球的半径 第一部分 (选择题 共60分) 本部分共12小题，每小题5分，共60分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．)(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 2．复数 2 (1i)2i -=( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 3．函数29 3()3ln(2)3x x f x x x x ?- 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = 2015年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（） A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（） A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i 3．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（） A． ﹣B．C． ﹣ D． 4．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（） A． y=cos（2x+）B． y=sin（2x+） C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx 5．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的 两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（） A．B．2C．6D．4 6．（5分）（2015?四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（） A．144个B．120个C．96个D．72个 7．（5分）（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足 ，，则=（） A．20 B．15 C．9D．6 8．（5分）（2015?四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 9．（5分）（2015?四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间 []上单调递减，那么mn的最大值为（） A．16 B．18 C．25 D． 10．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（） A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）（2015?四川）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是（用数字填写答案）．12．（5分）（2015?四川）sin15°+sin75°的值是． 13．（5分）（2015?四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时． 14．（5分）（2015?四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为． 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a=（ ） B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量=(-4,-3)，则向量= ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 函数 （2011卷1）在下列区间中，函数()34-+=x e x f x 的零点所在区间为 A. ??? ??- 0,41 B .??? ??41,0 C. ??? ??21,41 D.?? ? ??43,21 （2010卷1）已知函数()? ? ?=≤<>+-100,lg 10,62 1 x x x x x f ，若啊a,b,c,互不相等，且()()()c f b f a f ==， 则abc 的取值范围是（ ） 全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3 2 C ．1 D ． 1 2 答案：A （2019全国2卷文）11．已知a ∈（0， π 2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 答案：B （2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：4 3π （2019全国1卷文）15．函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4 （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ） A ．－2 B ．－ C ．2 D ． 答案：D （2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ，4 1cos -=A ，则b c =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：A （2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围． （1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2 A C B +=． 由180A B C ++=?，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222 B B B =． 因为cos 02 B ≠，故1 sin =22B ，因此60B =?． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ?． 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ?< 2008年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2008?四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合?U（A∩B）=（） A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5} 2．（5分）（2008?四川）复数2i（1+i）2=（） A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i 3．（5分）（2008?四川）（tanx+cotx）cos2x=（） A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx 4．（5分）（2008?四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（） A．B．C．y=3x﹣3 D． 5．（5分）（2008?四川）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）A．（，）B．（，π）C．（，）D．（，） 6．（5分）（2008?四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（） A．70种B．112种C．140种D．168种 7．（5分）（2008?四川）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 8．（5分）（2008?四川）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（） A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9 9．（5分）（2008?四川）设直线l?平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（） A．1条B．2条C．3条D．4条 10．（5分）（2008?四川）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（） A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0全国三卷理科数学高考真题及答案
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