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A=[1 0.25;0 1];B=[0.0063;0.0500];C=[1 0];D=0;U=[0 0;0 0];setlmis([])P=lmivar(1,[2 1]);Q=lmivar(1,[2 1]);R=lmivar(1,[2 1]);S=lmivar(1,[2 1]);M=lmivar(1,[2 1]);N=lmivar(1,[2 1]);K=lmivar(2,[1 2]);F=lmivar(2,[2 1]); lmiterm([ 1 1 1 S],1,1); lmiterm([ 1 1 1 P],-1,1); lmiterm([ 1 5 1 0],A); lmiterm([ 1 5 1 K],B,1); lmiterm([ 1 6 1 F],-1,C); lmiterm([ 1 2 2 S],-1,1); lmiterm([ 1 6 2 F],1,C); lmiterm([ 1 3 3 R],1,1); lmiterm([ 1 3 3 Q],-1,1); lmiterm([ 1 5 3 K],B,-1); lmiterm([ 1 6 3 F],1,C);lmiterm([ 1 6 3 0],-A);lmiterm([ 1 4 4 R],-1,1); lmiterm([ 1 5 5 M],-1,1); lmiterm([ 1 6 6 N],-1,1); lmiterm([ -2 1 1 P],1,1); lmiterm([ -2 2 1 0],1);lmiterm([ -2 2 2 M],1,1); lmiterm([ -3 1 1 Q],1,1); lmiterm([ -3 2 1 0],1);lmiterm([ -3 2 2 N],1,1); lmiterm([ -4 1 1 P],1,1); lmiterm([ -5 1 1 Q],1,1); lmiterm([ -6 1 1 R],1,1); lmiterm([ -7 1 1 S],1,1); lmiterm([ -8 1 1 M],1,1); lmiterm([ -9 1 1 N],1,1); lmisys =getlmis ;[tmin,xfeasp] =feasp(lmisys) PP =dec2mat(lmisys,xfeasp,P) QQ =dec2mat(lmisys,xfeasp,Q) RR =dec2mat(lmisys,xfeasp,R) SS =dec2mat(lmisys,xfeasp,S) MM =dec2mat(lmisys,xfeasp,M) NN =dec2mat(lmisys,xfeasp,N) KK =dec2mat(lmisys,xfeasp,K) FF =dec2mat(lmisys,xfeasp,F) for i =1:100n =decnbr(lmisys);c =zeros(n ,1);for j =1:n[ Pj,Qj,Rj,Sj,Mj,Nj,Kj,Fj] =defcx(lmisys,j,P,Q,R,S,M,N,K,F); c(j)=trace(PP*Mj+MM*Pj +QQ*Nj+NN*Qj);endoptions =[ 1e-4,0,0,0,0] ;[ copt, xopt]=mincx(lmisys,c,options)PPP =dec2mat(lmisys,xopt,P);QQQ =dec2mat(lmisys,xopt,Q);RRR =dec2mat(lmisys,xopt,R);SSS =dec2mat(lmisys,xopt,S);MMM =dec2mat(lmisys,xopt,M);NNN =dec2mat(lmisys,xopt,N);KKK =dec2mat(lmisys,xopt,K);FFF =dec2mat(lmisys,xopt,F);Z =[ SSS-PPP,U,U,U,(A+B*KKK)',-(FFF*C)';U,-SSS,U,U,U,(FFF*C)';U,U,RRR-QQQ,U,-(B*KKK)',-(A-FFF*C)';U,U,U,-RRR,U,U;A+B*KKK,U,-B*KKK,U,-inv(PPP),U;-FFF*C,FFF*C,-(A -FFF*C),U,U,-inv(QQQ)] ;Y =eig(Z);i2 =0 ;for i1 =1 :length(Y),if(Y(i1 , 1)<0),i2 =i2 +1 ;endendif(i2 ==length(Y)),break ;endPP =PPPQQ =QQQRR =RRRSS =SSSMM =MMMNN =NNNKK =KKKFF =FFFendif(i==10),disp(' There is no result' );endSolver for linear objective minimization under LMI constraints Iterations : Best objective value so far1 49.4395452 36.0638743 23.1028774 14.5678455 14.5678456 13.442476*** new lower bound: 0.2964207 13.442476*** new lower bound: 1.6791898 12.669593*** new lower bound: 3.5159349 12.669593*** new lower bound: 4.28573110 11.916238*** new lower bound: 4.39560511 11.916238*** new lower bound: 5.06392512 9.631247*** new lower bound: 5.24294113 9.178411*** new lower bound: 5.87902214 8.769358*** new lower bound: 6.39031715 8.502939*** new lower bound: 6.79074616 8.326950*** new lower bound: 7.10068817 8.238591*** new lower bound: 7.33851018 8.176522*** new lower bound: 7.52022519 8.161872*** new lower bound: 7.65802720 8.161872*** new lower bound: 7.79060621 8.147783*** new lower bound: 8.06677822 8.11429123 8.106330*** new lower bound: 8.07403724 8.104751*** new lower bound: 8.08038625 8.104153*** new lower bound: 8.08520526 8.103217*** new lower bound: 8.08911927 8.102513*** new lower bound: 8.09186428 8.101985*** new lower bound: 8.09395029 8.101589*** new lower bound: 8.09553330 8.101291*** new lower bound: 8.09673131 8.101177*** new lower bound: 8.09763732 8.100996*** new lower bound: 8.09833433 8.100859*** new lower bound: 8.09885034 8.100806*** new lower bound: 8.09924035 8.100721*** new lower bound: 8.099951Result: feasible solution of required accuracybest objective value: 8.100721guaranteed relative accuracy: 9.50e-05f-radius saturation: 0.000% of R = 1.00e+09 copt =8.1007xopt =0.16390.00301.35730.36631.027718.70110.0038-0.01730.08120.0001-0.00070.00616.1002-0.01350.73683.2584-0.17090.0646-0.5553-2.78230.0001-0.0000PP =0.1639 0.00300.0030 1.3573 QQ =0.3663 1.02771.0277 18.7011 RR =0.0038 -0.0173-0.0173 0.0812 SS =0.0001 -0.0007-0.0007 0.0061 MM =6.1002 -0.0135-0.0135 0.7368 NN =3.2584 -0.1709-0.1709 0.0646 KK =-0.5553 -2.7823 FF =1.0e-04 *0.6596-0.0837。
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用矩阵不等式理论是现代数学中的一个重要分支，其在控制理论领域中扮演着重要角色。
本文将介绍矩阵不等式理论的基本概念，讨论其在控制理论中的应用，并探讨相关研究的前沿发展。
一、矩阵不等式理论的基本概念1.1 矩阵基础知识在讨论矩阵不等式理论之前，我们首先需要了解一些矩阵的基础知识。
矩阵是由一些数构成的矩形阵列，可以表示为$m\times n$的矩阵$A$：$A=[a_{ij}]_{m\times n}$，其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 矩阵不等式定义矩阵不等式是对矩阵中元素的一种约束条件。
常见的矩阵不等式有大于等于不等式、小于等于不等式、严格大于不等式和严格小于不等式。
比如对于两个矩阵$A$和$B$，$A\geq B$表示对应元素满足$a_{ij}\geq b_{ij}$。
二、矩阵不等式理论在控制理论中的应用2.1 线性矩阵不等式线性矩阵不等式是矩阵不等式理论的重要应用之一。
在控制理论中，通过线性矩阵不等式可以描述线性系统的性能和稳定性。
线性矩阵不等式的求解可以通过线性矩阵不等式方法或凸优化方法来实现。
2.2 非线性矩阵不等式除了线性矩阵不等式，非线性矩阵不等式也在控制理论中起到关键作用。
非线性矩阵不等式可以描述非线性系统的性能和稳定性。
然而，非线性矩阵不等式的求解相较于线性矩阵不等式更加复杂，需要运用数值计算和最优化等方法。
2.3 随机矩阵不等式随机矩阵不等式是指矩阵不等式中包含随机变量的情况。
在控制理论中，随机矩阵不等式可用于描述带有随机干扰的系统的性能和鲁棒稳定性问题。
随机矩阵不等式的求解方法包括最优化方法和随机矩阵计算方法。
三、矩阵不等式理论的前沿发展矩阵不等式理论在控制理论中的应用仍在不断发展。
近年来，针对矩阵不等式理论的研究趋势主要体现在以下几个方面：3.1 非线性矩阵不等式的求解算法改进由于非线性矩阵不等式的求解复杂度较高，需要运用数值计算和最优化等方法。
线性矩阵不等式及其在控制系统中的应用
何军红;吴旭光;穆向阳
【期刊名称】《系统工程与电子技术》
【年(卷),期】2001(023)010
【摘要】详细综述了LMI在控制系统中的发展现状和应用,主要涉及了不确定系统的鲁棒性能和鲁棒稳定性、不确定系统的鲁棒控制器设计、LMI在时滞系统中的应用及存在的问题、不确定系统的鲁棒滤波应用状况、不确定系统的模型验证应用等,并分析了基于LMI方法的变结构控制、极点配置、模糊控制等其它相关内容.给出了上述控制问题的LMI描述及相关求解方法,最后并指出了LMI进一步的应用研究方向.
【总页数】7页(P25-30,110)
【作者】何军红;吴旭光;穆向阳
【作者单位】中国航天科工集团二院210所;西北工业大学航海学院;西安石油学院【正文语种】中文
【中图分类】TP272
【相关文献】
1.线性矩阵不等式在冷却水温度控制系统中的应用 [J], 盛安冬;赵兰姝;吕太全;张萍萍
2.线性矩阵不等式及其在随机控制中的应用 [J], 王平;张成磊
3.线性矩阵不等式在鲁棒稳定性分析中的应用 [J], 许晶;隋晶;安学文
4.线性矩阵不等式工具箱在控制论仿真中的应用 [J], 孙桂芝
5.线性矩阵不等式及其在细胞神经网络保性能控制中的应用 [J], 江梅;何汉林因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。
本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。
1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。
该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。
2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。
它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。
3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。
4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。
该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。
总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。
