第四节函数的连续性及极限的应用
1?函数在一点连续的定义：如果函数f(x)在点x=X o 处有定义，lim f(x)
X X o
存在，且X ini f(x)=f(x o )，那么函数f(x)在点x=x o 处连续. 2.?函数f(x)在点x=x o 处连续必须满足下面三个条件.
(1) 函数f(x)在点x=x o 处有定义； (2) lin x f(x)存在；
X
x
o
(3) lim f(x)=f(x o ),即函数f(x)在点x o 处的极限值等于这一点的函
x x o
数值.
如果上述三个条件中有一个条件不满足， 就说函数f(x)在点x o 处 不连续?那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3函数连续性的运算：
① 若 f(x) , g(x)都在点 X o 处连续，则 f(x) 士 g(x) , f(x) ?g(x), 丄凶9(x)半0)也在点x o 处连续。
g(x)
② 若u(x)都在点X o 处连续，且f(u)在u o =u(x o )处连续，则复合函数 f[u(x)]在点X o 处连续。
4?函数f(x)在(a , b)内连续的定义：
如果函数f(x)在某一开区间(a , b)内每一点处连续，就说函数f(x) 在开区间(a , b)内连续，或f(x)是开区间(a , b)内的连续函数.
f(x)在开区间(a , b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函 数f(x)的定义域是]a , b ],若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在 并且等
于f(a),即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a), f(x) 在(a, b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).
5?函数f(x)在［a, b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a, b)内连续，在左端点x=a处有lim f(x)=f(a)，
x a
在右端点x=b处有|im f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间］a, b］上连
x b
续，或f(x)是闭区间］a, b］上的连续函数.
6. 最大值最小值定理
如果f(x)是闭区间［a, b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a, b］上有最大值和最小值?
7. 特别注意：函数f(x)在x=x°处连续与函数f(x)在x=x°处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”
二、问题讨论
?点击双基
1. _________________________________________________ f (x)在x=x o处连续是f (x)在x=X o处有定义的____________________ 条件.
A. 充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分又
不必要
解析：f (x)在x=x o处有定义不一定连续.
答案：A
n cos —
2. f (x ) =―x 的不连续点为
n
cos —
x
A.x=0
B. x= — (k=0,士 1,士 2,…)
2k 1
C. x=0 和 x=2k n( k=0, 士 1, 士 2,…)
D. x=0 和 x=—(k=0, 士 1, 士 2,…)
2k 1
解析：由 cos n =0,得上二k n + 上(k € Z )，二 x=^^(k Z).
x
x
2
2k 1
又x=0也不是连续点，故选D 答案：D
3?下列图象表示的函数在x=x o 处连续的是
D.③④
答案：A
4.四个函数：①f (x )=-;②g (x )二sinx;③f
x
=ax 3+bx 2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是 ______ 正确的代号都填上)
A.①
O x>
②
y
O x o x O x0
③B.②③
④
C.①④
(x ) =|x|;④f (x )
.(把你认为
答案：②③④
例1:讨论下列函数在给定点或区间上的连续性
1
e x 1 (1)f(x)
— (x °)，点 x=0; e x 1
1 (x 0) f(x)在x=0处极限不存在，因此f(x)在
x=0处不连续。
(2) V lim f (x) lim (x 2
2) 3, lim f (x) lim (x 4)
3, f ( 1)
3,
x 1
x 1
x 1
x 1
「?lim f(x) 3 f( 1)，因此函数f(x)在x= — 1处连续。
x 1
【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续(闭区 间的端点例外)。
例2.(优化P208例1)
1 (x>0)
(1讨论函数f(x)=
0 (x=0),在点x 0处的连续性 -1 (x<0)
(2)讨论函数f(x)= △在区问0,3上的连续性 x-3
剖析：(1)需判断 lim f (x ) = lim f (x ) =f (0).
x 0
x 0
(2)需判断f (乂)在(0,3)上的连续性及在x=0处右连续，在
x=3处左连续.
(2)f(x)
x 2 2 x 4
:：11)，点 x =-1
解：(1)当X T °-
时，丄
x
1
丄 J 1 ,lim e x °，因此 lim = — 1,
x 0
x 0
-
e x 1
而lim
x 0
-1 ---------
= lim (1
x 0
e x
1
— )=1,
lim f (x)
lim f (x), e x 1
解:(1)^ lim f (x) = —1, lim f (x) =1,
x 0 x 0
lim f (X)M lim f (x),
x 0 x 0
二lim f ( X)不存在.「? f (X)在x=0处不连续.
x 0
(2)v f (x)在x=3处无定义，
??? f (x)在x=3处不连续.
??? f (x)在区间［0,3］上不连续.
2 彳
练习：讨论函数f(x) - 4的连续性；适当定义某点的函数值，使f(x)
x 2
在区间(一3,3)内连续。
解：显然函数的定义域为(，2) (2,)，当x 2时，f(x) x 2 ,
二f(x)在(,2)上连续，在(2,)上连续。而f(x)在x 2处不连续。
x2 4
又T lim lim (x 2) 4，不妨设 f (2) 4 ,
x 2 x 2 x 2
于是f(x)x
24
x 2 (x 2)此时，f(x)在区间(一3,3)内连续。
4 (x 2)
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
一、多元函数、极限与连续 ㈠二元函数 1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照 一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为 （或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自 变量，为因变量，数集为该函数值域。由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是 一张曲面。例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。 ㈡二元函数的极限 ⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义， 是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正 数，使得对于适合不等式的一切点 ，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当 时的极限，记作或, 这里 。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。
⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数 都无限接近 A 。因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一 条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。 ㈢多元函数的连续性 1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定 义，是 D 的内点或边界点且。如果 ，则称函数 f（x，y）在点连续。如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。 2 ．性质 ⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的； ⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值； ⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两
第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知 的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ② 要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x + 3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→ 多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。 1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+- 二元函数的极限 二元极限存在常用夹逼准则证明 例1 14)23(lim 2 12=+→→y x y x 例2 函数?? ???+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径 例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x y x y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略. 上述二元函数极限)(lim 0 0y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限： 累次极限 定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ?也存在极限，设 B y x f y a x b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，?， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即 C y x f b y a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如： 1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3. 2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2. 多重极限与累次极限之间的关系 定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则 )(lim lim (lim 0 000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=. 二元函数的连续性 定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，) ()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续 知识梳理? ? ? ? 函数极限内容网络图 内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难 一、函数极限的概念 1. 。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。 定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A， 时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数 ，当时，都有。此时也可用或 表示右极限。因此可写成。 定理且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称 时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。 读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。 定理。 其中。 10．若时，都有，称时是有界量。 二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系 设， （这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思） （1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作 。 （2）若，称时是的同价无穷小量。 （3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。 （4）若，称时是的k阶无穷小量。 由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入 若。记作， 如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如 基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、 已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限 （2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续 （3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续 （4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。 其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若a x f x x =→)(lim 0 ，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0 C 、)(x f 在0x x =处可以无意义 D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续 B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 0 0x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00 x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ） A 、1lim 0=→x x x B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→x b ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和 7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3 )(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在 8、=--→33lim a x a x a x （ D ） 函数的极限及函数的连续 性典型例题 Last revision on 21 December 2020 函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。 ④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。 ⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。 二、典型例题 例1．求下列极限 ①② ③④ 解析：①。 ②。 ③。 ④。例2．已知，求m,n。 解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式， ∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根， ∴ m=3代入求得n=-1。 例3．讨论函数的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的， 又， ∴，∴ f(x)在x=1处连续。 由， 从而f(x)在点x=-1处不连续。 ∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。 例4．已知函数, (a,b为常数)。 试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。 解析：∵且， ∴，∴ a=1, b=0。 例5．求下列函数极限 ①② 解析：①。②。 例6．设，问常数k为何值时，有存在 解析：∵，。 要使存在，只需， ∴ 2k=1，故时，存在。 例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限 解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。 三、训练题： 1．已知，则 2．的值是_______。 3. 已知，则=______。 4．已知，2a+b=0，求a与b的值。 5．已知，求a的值。 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 数学分析 第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时 第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) § 1 平面点集与多元函数 一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E . 1. 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >, }|),{(b ax y y x +≥等. ⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1||||),{(≤+y x y x }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分. 极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤. ⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r . ⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 }||0 , ||0|),{(00δδ<-<<- 函数极限与连续知识梳理-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 知识梳理 知识梳理 第一节：函数 第二节：函数极限与连续 第三节：数列极限 2.1 函数极限内容网络图 内容提要与释疑解难 2.2内容提要与释疑解难 一、函数极限的概念 1.。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。 定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A， 时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表示右极限。因此可写成 。 定理且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。 读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。 定理。 其中。 10．若时，都有，称时是有界量。 二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系 设， （这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思） （1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作 。 （2）若，称时是的同价无穷小量。 （3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。 （4）若，称时是的k阶无穷小量。 由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入 若。记作， 如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。 例如，则。 注：A不能为零，若A=0，不可能和0等价。 无穷小量的性质： 1．若均为无穷小量，则 （i） 其中均为常数。 （ii）。 2．若时是有界量，，则。 无穷大量的性质： 1．有限个无穷大量之积仍是无穷大量。 2．有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。 无穷小量与无穷大量之间的关系： 若； 若。 高等数学函数极限与连续习题及答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 第三节函数极限与连续 一、函数极限内容网络图 二、内容与要求 1. 理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 2. 掌握函数极限的性质及四则运算法则 3. 掌握函数极限存在的夹逼准则，并会利用它求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 4. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限. 5. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. 6. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 重点函数极限的性质及四则运算法则、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） 难点函数极限的概念、函数极限的性质、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法、用等价无穷小求极限. 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．函数极限的概念 定义1.10 。 定义1.11 把1中“”换成“”。 定义1.12 把1中“”换成“”。 定理1.4 且 定义1.13 设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 定义1.14 设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 定义1.15设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数 ，当时，都有。此时也可用或 表示右极限。因此可写成。 定理 1.5 且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 定义1.16时，都有。此时称时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 定义1.17 。当时，都有。 读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 定义1.18 。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以 是。 定理1.6 。 其中。 定义1.19 若时，都有，称时是有界量。 第二章.极限概念 函数的连续性 对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。 对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。 这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法） 设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：,....,,321a a a ，或者简单地记成{}a n 。 观察这个数列取值变化， 有的数列变化具有下面的变化规律： 对于数列,....,,321a a a ，假设存在一个确定的常数a ，现在我们考虑变量a a n -（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n 而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N ，使得在这个a N 元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a a n -的值小于ε， 换一句话来说，对于任意的ε，总是存在一个N ，当n>N 时， 总是有ε <-a a n 成立 这时我们就把a 称为数列,...,,321a a a 的极限。并且称数列 ,....,,321a a a 收敛于极限a 。我们使用记号a a n n =∞→lim 来表示该数列极限。 否则我们就说数列{}a n 是发散的。 §2.3 二元函数的极限与连续 定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在 常数A,,当（即）时，都有 则称A是函数当点趋于点时的极限,记作 或 或或。必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方 向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。只要P与充分接近, 就能 使与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多 种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。 图8-7 同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限 存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。这是判断多元函数极限不 存在的重要方法之一。 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二 元函数极 限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。 例如若有, 其中 求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理 来计算。例4 求。解由于 而,根据夹逼定理知 ,所以 例5求（a≠0)。解。例6求。解由于且 ,所以根据夹逼定理知 . 例7 研究函数在点处极限是否存在。解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于 （0，0）的极限，有,。很显然，对于不同的k值，可得到不同的极 限值,所以极限不存在,但 。注意：的区别, 前面两个求极限方式的 本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的 极限,我们称为求二重极限。 例8 设函数。它关于原点的两个累次极限都不存在,因 为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何 时,的第 一项也不存在极限,但是, 由于, 因此 由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存 在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1若累次极限和二重极限 都存在,则 三者相等（证明略）。推论若存在但 第四节函数的连续性及极限的应用 1?函数在一点连续的定义：如果函数f(x)在点x=X o 处有定义，lim f(x) X X o 存在，且X ini f(x)=f(x o )，那么函数f(x)在点x=x o 处连续. 2.?函数f(x)在点x=x o 处连续必须满足下面三个条件. (1) 函数f(x)在点x=x o 处有定义； (2) lin x f(x)存在； X x o (3) lim f(x)=f(x o ),即函数f(x)在点x o 处的极限值等于这一点的函 x x o 数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足， 就说函数f(x)在点x o 处 不连续?那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3函数连续性的运算： ① 若 f(x) , g(x)都在点 X o 处连续，则 f(x) 士 g(x) , f(x) ?g(x), 丄凶9(x)半0)也在点x o 处连续。 g(x) ② 若u(x)都在点X o 处连续，且f(u)在u o =u(x o )处连续，则复合函数 f[u(x)]在点X o 处连续。 4?函数f(x)在(a , b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a , b)内每一点处连续，就说函数f(x) 在开区间(a , b)内连续，或f(x)是开区间(a , b)内的连续函数. f(x)在开区间(a , b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函 数f(x)的定义域是]a , b ],若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在 并且等 于f(a),即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a), f(x) 在(a, b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b). 5?函数f(x)在［a, b］上连续的定义： 如果f(x)在开区间(a, b)内连续，在左端点x=a处有lim f(x)=f(a)， x a 在右端点x=b处有|im f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间］a, b］上连 x b 续，或f(x)是闭区间］a, b］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a, b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a, b］上有最大值和最小值? 7. 特别注意：函数f(x)在x=x°处连续与函数f(x)在x=x°处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、问题讨论 ?点击双基 1. _________________________________________________ f (x)在x=x o处连续是f (x)在x=X o处有定义的____________________ 条件. A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又 关于高等数学函数的极 限与连续习题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所 以()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x §5.1 多元函数的概念、极限与连续性 一、多元函数的概念 1. 二元函数的定义及其几何意义 设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()p x y D ∈，，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x y ，的二元函数，记以()z f x y =，，D 称为定义域。 二元函数()z f x y =，的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。 例如 22: 1z D x y =+≤二元函数的图形为以原点为球心，半径为1 的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心， 半径为1的闭圆。 2. 三元函数与n 元函数。 ()()u f x y z x y z =∈ΩΩ，，，，，，为空间一个点 集则称()u f x y z =，，为三元函数 ()12n u f x x x =，，，，称为n 元函数。 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。 【例1】 求函数arcsin 3 x z = 解 要求13 x ≤，即33x -≤≤； 又要求0xy ≥即00x y ≥≥，或00x y ≤≤， 综合上述要求得定义域300x y -≤≤??≤?或030 x y ≤≤??≥? 【例2】 求函数()2ln 21z y x =-+的定义域。 解 要求2240x y --≥和2210y x -+> 即 2222212x y y x ?+≤??+>?? 函数定义域D 在圆2222x y +≤的内部 （包括边界）和抛物线212y x +=的左侧（不包括抛物线上的点） 【例3】 设()22 f x y x y x y y +-=+，，求()f x y ，。 解 设x y u x y v +=-=，解出()()1122 x u v y u v = +=-， 代入所给函数化简 ()()()()221184 f u v u v u v u v +-+-，＝ 故 ()()()()221184f x y x y x y x y +-+-，＝ 【例4】 设()22 35f x y xy x xy y ++++，＝，求()f x y ，。 解 ()22223525x xy y x xy y xy +++=++++ ()25x y xy =+++ ∴ ()25f x y x y =++， 二、 二元函数的极限 设()f x y ，在点()00x y ，的去心邻域内有定义；如果对任意0ε>，存在0δ>，只要 0δ<，就有()f x y A ε-<， 则记以()00lim x x y y f x y A →→=，或()() ()00lim x y x y f x y A →=，，， 称当()x y ，趋于()00x y ，时，()f x y ，的极限存在，极限值为A ，否则，称为极限不存在.函数的极限及函数的连续性典型例题
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