专题16 数列问题
考情分析
真题再现
1.(2019·江苏卷)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M?数列”.
(1)已知等比数列{a n}(n∈N?)满足:a2a4=a5,a3?4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M?数列”;
(2)已知数列{b n}(n∈N?)满足:b1=1,1
S n =2
b n
?2
b n+1
,其中S n为数列{b n}的前n项和.
①求数列{b n}的通项公式;
②设m为正整数,若存在“M?数列”{c n}(n∈N?),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.
2.(2018·江苏卷)设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.
(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n?b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;
(2)若a1=b1>0,m∈N?,q∈(1,√2
m],证明:存在d∈R,使得|a n?b n|≤b1对n=2,3,…,m+1
均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).
3.(2017·江苏卷)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n?k+a n?k+1+?+a n?1+a n+1+?a n+k?1+
a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.
(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;
(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.
核心要点
数列是刻划离散现象的数学模型,是高中代数的重要内容之一,数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要意义。历年来,江苏高考对数列的考查比较全面,有关数列的试题经常是探
索性的综合题。数列问题中蕴含着丰富的数学思想,如函数与方程、转化与化归、分类讨论等,另外还涉及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。对数列知识的研究和复习,要关注以下几点:(1)在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题。
(2)理解和掌握等差、等比数列通项与求和公式推导中蕴含的基本方法,如倒序相加法、错位相减法、裂项法等。
(3)在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力。
(4)善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高用函数的思想、方程的思想研究数列问题的能力,注重培养主动探究和科学理性的思维方法。
拔高训练
1.(2019·苏州模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得S n=a m,
则称{a n}是“H数列”.
(1)若数列{a n}的前n项和为S n=2n(n∈N?),证明:{a n}是“H数列”;
(2)设{a n}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0,若{a n}是“H数列”,求d的值;
(3)证明:对任意的等差数列{a n},总存在两个“H数列”{b n}和{c n},使得a n=b n+c n(n∈N?)成立.
2.(2019·南京模拟)若数列{a n}是递增的等差数列,它的前n项和为T n,其中T3=9,且a1,a2,a5成
等比数列.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设b n=1
,数列{b n}的前n项和为S n,若对任意n∈N?,4S n≤a2?a恒成立,求a的取值范围.
a n a n+1
3.(2019·无锡模拟)数列{a n}的前n项和记为A n,且A n=n(a1+a n)
,数列{b n}是公比为q的等比数列,
2
它的前n项和记为B n.若a1=b1≠0,且存在不小于3的正整数k,m,使a k=b m?
(1)若a1=1,a3=5,求a2,
(2)证明:数列{a n}为等差数列;
(3)若q=2,是否存在整数m,k,使A k=86B m,若存在,求出m,k的值;若不存在,说明理由.
4.(2019·常州模拟)已知数列{a n}满足对任意的n∈N?,都有a n(q n a n?1)+2q n a n a n+1=a n+1(1?
q n a n+1),且a n+1+a n≠0,其中a1=2,q≠0.记T n=a1+qa2+q2a3+?+q n?1a n.
(1)若q=1,求T2019的值.
(2)设数列{b n}满足b n=(1+q)T n?q n a n.
①求数列{b n}的通项公式;
②若数列{c n}满足c1=1,且当n>2时,c n=2b n?1?1,是否存在正整数k,t,使c t,c k?c t,c t?c k
成等比数列?若存在,求出所有k,t的值;若不存在,说明理由.
5.(2019·徐州模拟)已知数列{a n},其中n∈N?.
(1)若{a n}满足a n+1?a n=q n?1(q>0,n∈N?).
①当q=2,且a1=1时,求a4的值;
②若存在互不相等的正整数r,s,t,满足2s=r+t,且a r,a s,a t成等差数列,求q的值.
(2)设数列{a n}的前n项和为b n,数列{b n}的前n项和为?n,?n=b n+2?3,n∈N?,若a1=1,a2=2,
2?a n a n+2|≤k恒成立,求k的最小值.
且|a n+1
6.(2019·南通模拟)数列{a n}中,对任意给定的正整数n,存在两个不相等的正整数i,j(i a n=a i a j,则称数列{a n}具有性质P. (1)若仅有3项的数列1,a,b具有性质P,求a+b的值; (2)求证:数列{n n+2019 }具有性质P; (3)正项数列{b n}是公比不为1的等比数列,若具有性质P,则数列{b n}至少有多少项?请说明理由. 7.(2019·连云港模拟)已知数列{a n}满足a 1?a2?…?a n=2n(n+1) 2(n∈N?),数列{b n}的前n项和S n= n(b1+b n) 2 (n∈N?),且b1=1,b2=2. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)求数列{b n}的通项公式; (3)设c n=1 a n ?1 b n?b n+1 ,记T n是数列{c n}的前n项和,求正整数m,使得对于任意的n∈N?均有T m≥T n. 8.(2019·镇江模拟)已知数列{a n}满足(na n?1?2)a n=(2a n?1)a n?1(n≥2),b n=1 a n ?n(n∈N?). (1)若a1=3,证明:{b n}是等比数列; (2)若存在k∈N?,使得1 a k ,1 a k+1 ,1 a k+2 成等差数列. ①求数列{a n}的通项公式; ②证明:lnn+1 2a n>ln(n+1)?1 2 a n+1. 9.(2019·徐州模拟)在数列{a n}中,a1=0,且对任意k∈N?,a2k?1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差 为d k. (1)若d1=2,求a2,a3的值; (2)若d k=2k,证明a2k,a2k+1,a2k+2成等比数列(k∈N?); (3)若对任意k∈N?,a2k,a2k+1,a2k+2成等比数列,其公比为q k.设q1≠1,证明数列{1 q k?1 }是等差数列. 10.(2019·宿迁模拟)已知无穷数列{a n}的各项都不为零,其前n项和为S n,且满足a n?a n+1=S n(n∈N?), ,其中t为正整数. 数列{b n}满足b n=a n a n+t (1)求a2018; 2 (2)若不等式a n2+a n+1 (3)若首项a1是正整数,则数列{b n}中的任意一项是否总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积?若是, 请给出一种表示方式;若不是,请说明理由. 11.(2019·淮安模拟)从数列{a n}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列{a n} 的一个子数列.设数列{a n}是一个首项为a1、公差为d(d≠0)的无穷等差数列. (1)若a1,a2,a5成等比数列,求其公比q. (2)若a1=7d,从数列{a n}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是 否为{a n}的无穷等比子数列,请说明理由. (3)若a1=1,从数列{a n}中取出第1项、第m(m≥2)项(设a m=t)作为一个等比数列的第1项、第2 项,试问当且仅当t为何值时,该数列为{a n}的无穷等比子数列,请说明理由. n?1.12.(2019·扬州模拟)已知数列{a n}各项均为正数,且对任意n∈N?,都有(a1a2…a n)2=a1n+1a n+1 (1)若a1,2a2.3a3成等差数列,求a2 的值; a1 (2)①求证:数列{a n}为等比数列; ②若对任意n∈N?,都有a1+a2+?+a n≤2n?1,求数列{a n}的公比q的取值范围. 13.(2019·泰州模拟)对于数列{a n},定义数列{a n+1?a n}为{a n}的“差数列”. (I)若{a n}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列,试写出{a n}的一个通项公式; (II)若a1=2,{a n}的“差数列”的通项为2n,求数列{a n}的前n项和S n; (III)对于(II)中的数列{a n},若数列{b n}满足a n b n b n+1=?21?28(n∈N?),且b4=?7. 求:①数列{b n}的通项公式;②当数列{b n}前n项的积最大时n的值. 14.(2019·南通模拟)定义:从数列{a n}中抽取m(m∈N,m≥3)项按其在{a n}中的次序排列形成一个新 数列{b n},则称{b n}为{a n}的子数列;若{b n}成等差(或等比),则称{b n}为{a n}的等差(或等比)子数列. (1)记数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=2n?1. ①求数列{a n}的通项公式; ②数列{a n}是否存在等差子数列,若存在,求出等差子数列;若不存在,请说明理由. (2)已知数列{a n}的通项公式为a n=n+a(a∈Q+),证明:{a n}存在等比子数列. 15.(2019·常州模拟)已知S n是数列{a n}的前n项和,a1=3,且2S n=a n+1?3(n∈N?). (1)求数列{a n}的通项公式; (2)对于正整数i,j,k(i (3)设数列{b n}前n项和是T n,且满足:对任意的正整数n,都有等式a1b n+a2b n?1+a3b n?2+?+ a n b1=3n+1?3n?3成立.求满足等式T n a n =1 3 的所有正整数n. 16. (2019·南京模拟)定义:若有穷数列a 1,a 2,…,a n 同时满足下列三个条件,则称该数列为P 数列.① 首项a 1=1;②a 1 a i 仍是该数列中的项. (1)问等差数列1,3,5是否为P 数列? (2)若数列a ,b ,c ,6是P 数列,求b 的取值范围; (3)若n >4,且数列b 1,b 2,…,b n 是P 数列,求证:数列b 1,b 2,…,b n 是等比数列. 17. (2019·苏州模拟)已知数列{a n }的首项a 1=2a +1(a 是常数,且a ≠?1),a n =2a n?1+n 2?4n + 2(n ≥2),数列{b n }的首项b 1=a ,b n =a n +n 2(n ≥2). (1)证明:{b n }从第2项起是以2为公比的等比数列; (2)设S n 为数列{b n }的前n 项和,且{S n }是等比数列,求实数a 的值; (3)当a >0时,求数列{a n }的最小项. 18.(2019·无锡模拟)已知数集A={a1,a2,…,a n},其中0≤a1 意的i,j(1≤i≤j≤n,i,j∈N?),a j+a i与a j?a i两数中至少有一个属于A,则称数集A具有性质P. (1)分别判断数集{0,1,3}与数集{0,2,4,6}是否具有性质P,说明理由; (2)已知数集A={a1,a2,…,a8}具有性质P. ①求证:0∈A; ②判断数列a1,a2,…,a8是否为等差数列.若是等差数列,请证明;若不是,请说明理由. 19.(2019·盐城模拟)已知数列{a n},其中n∈N?. (1)若{a n}满足a n+1?a n=q n?1(q>0,n∈N?). ①当q=2,且a1=1时,求a4的值; ②若存在互不相等的正整数r,s,t,满足2s=r+t,且a r,a s,a t成等差数列,求q的值. (2)设数列{a n}的前n项和为b n,数列{b n}的前n项和为c n,c n=b n+2?3,n∈N?,若a1=1,a2=2, 2?a n a n+2|≤k恒成立,求k的最小值. 且|a n+1 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]高考数学数列题型专题汇总