高阶方程
1734年12月‘Bernoulli Da niel 在给当时在圣彼得堡的 端固定在墙上而另一端自由的弹性横梁的横向位移问题 分方程
4
1，
其中k 是常数，x 是横梁上距自由端的距离，y 是在x 点的相对于横梁为弯曲位置的垂直位 移.Euler 在1735年6月前的回信中说道，他也已经发现了这个方程，对这个方程，除了用级 数外无法积分?他确实得到了四个级数解，这些级数代表圆函数和指数函数 ，但在当时Euler 没有了解到这一点?
1739年9月，Euler 在给Bernoulli John 的信中指出，上述方程的解可以表示成
x x 1 x
x
y=a[(cos cosh-)
(s in si nh-)], k kb
k k
其中b 可由条件y(l) =0来确定?
弹性问题促使Euler 考虑求解常系数一般线性方程的数学问题 ? 1739年9月，Euler 在给
Bernoulli John 的信中首次提到了常系数齐次常微分方程
，并说他已取得了成功.
在1743年至1750年间，Euler 考虑了 $n$阶常系数齐次线性方程
y (n) a 1y (n 勺亠 亠 a n 」y ' a* = f (x),
第一次引入了特解、通解的概念 ，指出通解必包含n 个任意常数，而且是由n 个特解分别乘 以任意常数后相加而成的，创立了求解$n$阶常系数线性齐次微分方程的完整解法 --特征方
程法.讨论了特征根是单根、重根、共轭复根和复重根的情形 ，这样Euler 完整解决了常系
数线性齐次方程求解问题.
1750年至1751年，Euler 讨论了 n 阶常系数线性非齐次方程，他又提出了一种降低方程 阶的解法.Euler 还是微分方程近似解的创始人 ，他提出了的 ''欧拉折线法”不仅解决了
常微分方程解的存在性的证明
，而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一
1750 年，Euler 又给出了求解微分方程的级数解法 .1768年至1769年，Euler 还将积分因 子法推广到高阶方程，以及利用变换可以将变系数的 Euler 方程化为常系数线性方程. 在Euler 工作的基础上，1763年D'Alembert 给出了求非齐次线性方程通解的方法 ，即非
齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解
1762年至1765年间，Lagrange J 对高阶变系数线性齐次方程的研究也迈出了一步 ，并引
出伴随方程(这个名字是1873年Fuchs Lazarus 取的，Lagrange 并未给它取名)，同时发 现一个
定理：非齐次线性常微分方程的伴随方程的伴随方程
，就是原来方程对应的齐次
方程.Lagrange 把Euler L 在1743年至1750年间关于常系数线性齐次微分方程的某些结 果推广
第二讲常微分方程发展简史 论阶段
适定性理
Euler 的信中说，他已经解决了一 ,他得到了一个四阶线性常微
到了变系数线性齐次方程? Lagrange发现,齐次方程的通解是由一些独立的特解
分别乘以任意常数后相加而成的，而且若已知高阶方程的m个特解就可以将方程降低
m阶.
1774-1775年，Lagrange提出了“常数变易法”，解出了一般$n$阶变系数非齐次线性常微分方程?这是18世纪微分方程求解的最高成就?
Newt on I在创建微积分时就给出了求解微分方程的“级数展开法”和“待定系数法”
1842年Cauchy A完善了“待定系数法”
探索常微分方程的一般积分方法大概到1775年就停止了，此后100年没有出现新的重
大的新方法，直到19世纪末才引进了Laplace变换法和算子法.
从总体上看，17世纪的微分方程仍然是微积分的一部分，并未单独形成一个分支学科
在18世纪，由解决一些具体物理问题而发展起来的微分方程，已经成为有自己的目标和方
法的新的数学分支?这段时期，数学家把注意力主要集中在求常微分方程的解上，并且取得了一系列重大进展?对解的理解和寻求，在本质上逐渐起了变化.最初，数学家们用初等函数找解，接着是用一个没有积出的积分来表示解?在用初等函数及其积分来寻求解的巨大努
力失败之后，数学家们转向用无穷级数求解了?但后来人们逐渐发现，很多常微分方程求解
是非常困难的，甚至是不可能的?
2、常微分方程适定性理论：19世纪初期和中期
19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期。数学分析的基础、群的概念、复变函数的开创等都在这个时期。常微分方程深受这些新概念和新方法的影响，进入了它发
展的第二个阶段。
Riccati 方程
在微分方程早期研究中出现的一类重要的非线性方程就是所谓的Riccati方程d^ =
p(x)y2? q (x y r X )它最早是由研究声学的威尼斯的Riccati Jacopo Grancesco伯dx
爵于1723年至1724年间通过变量代换从一个二阶方程降阶得到的一个一阶方程? Riccati的工作之所以者的重视，不仅由于他处理了二阶微分方程，而且由于他有把二阶方程化到一阶方程的想法，使降阶法成为处理高阶方程的主要方法之一?
1686年, Leibniz向数学界推出求解方程y'x y (Riccati方程的特例)的通解的这
一挑战性问题，且直言自己研究多年而未果?如此伟大的数学家，如此简单的方程，激发了
许多数学家的研究热情?虽然此方程形式简单，但经过几代数学家的努力仍不得其解?1725年，Daniel Bernoulli用初等方法求解了一个特殊的Riccati方程，他证明了Riccati
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论 与定性理论阶段 3、常微分方程解析理论阶段：19世纪 19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。 级数解和特殊函数 这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数. 常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程. 222 ()0x y xy x n y '''++-= 其中参数n 和x 都可以是复的. 对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20 ()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-? 1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式 11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+= 和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式. 后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。 解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2 (1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到
第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段 一、引 言 Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家. Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了. 在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题. 作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型. 给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设: 模型假设: 121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的； 221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)； 321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. 421()H 环境资源是无限的. 确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数: t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度, b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率. 模型的建立与求解: 考查时间段[,]t t t +? (不失一般性, 设0t ?>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足: t t ?+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ?内新出生个体数 – t ?内死亡个体数,
常微分方程初值问题数值解法 朱欲辉 （浙江海洋学院数理信息学院, 浙江舟山316004） [摘要]：在常微分方程的课程中讨论的都是对一些典型方程求解析解的方法.然而在生产实 际和科学研究中所遇到的问题往往很复杂, 在很多情况下都不可能给出解的解析表达式. 本篇文章详细介绍了常微分方程初值问题的一些数值方法, 导出了若干种数值方法, 如Euler法、改进的Euler法、Runge－Kutta法以及线性多步法中的Adams显隐式公式和预测校正 公式, 并且对其稳定性及收敛性作了理论分析. 最后给出了数值例子, 分别用不同的方法计算出近似解, 从得出的结果对比各种方法的优缺点. [关键词]：常微分方程;初值问题; 数值方法; 收敛性; 稳定性; 误差估计 Numerical Method for Initial-Value Problems Zhu Yuhui (School of Mathematics, Physics, and Information Science, Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316004) [Abstract]:In the course about ordinary differential equations, the methods for analytic solutions of some typical equations are often discussed. However, in scientific research, the problems are very complex and the analytic solutions about these problems can’t be e xpressed explicitly. In this paper, some numerical methods for the initial-value problems are introduced. these methods include Euler method, improved Euler method, Runge-Kutta method and some linear multistep method (e.g. Adams formula and predicted-corrected formula). The stability and convergence about the methods are presented. Some numerical examples are give to demonstrate the effectiveness and accuracy of theoretical analysis. [Keywords]:Ordinary differential equation; Initial-value problem; Numerical method; Convergence; Stability;Error estimate
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
微分方程应用 1 引言 常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助． 建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介
贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告 课程名称： 数值分析 班级： 实验日期： 年 月 日 学 号： 姓名： 指导教师： 实验成绩： 一、实验名称 实验六: 常微分方程初值问题数值解法 二、实验目的及要求 1. 让学生掌握用Euler 法, Runge-Kutta 法求解常微分方程初值问题. 2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境 每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容 1. 取步长h=0.1,0.05,0.01, ,用Euler 法及经典4阶Runge-Kutta 法求解初值 问题 ?? ?=≤≤++-=1 )0() 10(2222'y t t t y y 要求: 1) 画出准确解(准确解22t e y t +=-)的曲线,近似解折线; 2) 把节点0.1和0.5上的精确解与近似解比较,观察误差变化情况. 2. 用 Euler 法,隐式Euler 法和经典4阶R-K 法取不同步长解初值问题 ?? ? ??= ∈-=21 )0(],1,0[,50'y x y y 并画出曲线观察稳定性. 注：题1必须写实验报告 五、算法描述及实验步骤 Euler 法： 输入 000),(,,,),,(y a x x h b a y x f = 输出 Euler 解y 步1 ),,2,1(;m n h n a x h a b m n =?+=-? 步2 对1,,2,1,0-=m n 执行),(1n n n n y x f h y y ?+?+
步3 输出T m y y y y ),,,(21 = 经典4阶R-K 法： 输入 000),(,,,),,(y a x x h b a y x f = 输出 4阶R-K 解y 步1 ),,2,1(;m n h n a x h a b m n =?+=-? 步2 对1,,2,1,0-=m n 执行),(1n n y x f K ?，)5.0,(15.02hK y x f K n n +?+， )5.0,(25.03hK y x f K n n +?+，),(314hK y x f K n n +?+ )22(6 43211K K K K h y y n n ++++?+ 步3 输出T m y y y y ),,,(21 = 六、调试过程及实验结果 >> shiyan6 Y1 = 0.8000 0.6620 0.5776 0.5401 0.5441 0.5853 0.6602 0.7662 0.9009 1.0627 Y2 = 0.8287 0.7103 0.6388 0.6093 0.6179 0.6612 0.7366 0.8419 0.9753 1.1353
浅谈微分方程的起源与发展史 摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。 引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。比如，我们可以 试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。最后再通过微分方程求出未知函数。 关键字：微分方程起源发展史 一、微分方程的思想萌芽 微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。 1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布 尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。 1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根 据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,简称微分方程。 例1 传染病模型 传染病（瘟疫）经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总 x，在t时的健康人数为)(t y，染病人数不变，为常数n，最开始的染病人数为 人数为)(t x。 因为总人数为常数n
第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程
2dy y dx = 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3）
常微分方程的发展史 摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”. 关键词：常微分方程，发展，起源 正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)
提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。雅可比·伯努利自己解决了前者。翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。 有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。因此，最初人们的注意力放在某些类型的微分方程的一般解法上。 1691 年，莱布尼兹给出了变量分离法。他还把一阶齐次方程使其变量分离。1694 年，他使用了常数变易法把一阶常微分方程化成积分。 1695 年，雅可比·伯努利给出著名的伯努利方程。莱布尼兹用变换，将其化为线性方程。约翰和雅可比给出了各自的解法，其本质上都是变量分离法。 1734 年，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)给出了恰当方程的定义。他与克莱罗(A.C. Clairaut，法国，1713-1765)各自找到了方程是恰当方程的条件，并发现：若方程是恰当的，则它是可积的。那么对非恰当方程如何求解呢？1739 年克莱罗提出了积分因子的概念，欧拉确定了可采用积分因子的方程类属。这样，到 18 世纪 40 年
第5章定性和稳定性理论简介 在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时) 一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳 定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零 解的稳定和渐近稳定性。 二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分 方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程：
1．稳定性的定义 考虑微分方程组 (,)dx f t x dt = （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈?和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。 设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x = 。 现在的问题是：当01x x -很小是，差 0001(,,)(,,) x t t x t t x ?-的变化是否也很小？本章向量1 2 (,,,)T n x x x x = 的范数取 1 221n i i x x =?? = ? ?? ∑。 如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。 定义 5.1 如果对于任意给定的0 ε>和00t ≥都存在0(,)0 t δδε=>, 使得只要 01x x δ -<，就有 0001(,,)(,,)x t t x t t x ?ε -< 对一切0t t ≥成立，则 称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是稳定的。否则是不稳定的。 定义5.2 假定01(,,)x t t x ?=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要 011x x δ-< ，就有 0001l i m ((,,) (,,))0t x t t x t t x ?→∞ -= ，则称 （5.1）的解01(,,)x t t x ?=是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ?=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,) x t x t t x =01()(,,)t t t x ??=作如下变量代换. 作如下变量代 换.
常微分方程发展简史 经典阶段
第一讲常微分方程发展简史——经典阶段一、引言 Newton 和Lebinitz创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家. Newton和Lebinitz都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一 个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了. 在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题. 作为例子, 我们介绍著名的Malthus模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型.
常微分方程初值问题 12.1引言 在数学模型中经常出现的常微分方程在科学的许多分支中同样出现，例如工程和经济学。不幸的是却很少出现这些方程可得到表示在封闭的形式的解的情况，所以通常采用数值方法来寻找近似解。如今，这通常可以非常方便的达到高精度和在解析解和数值逼近之间可靠的误差界。在本节我们将关注一阶微分方程（12.1）形式关于实值函数y的实变 量x的结构和数值分析方法，其中和f是一个给定的实值函数的两个变量。为了从解曲线的无限族选择一个特定的积分构成（12.1）的通解，微分方程将与初始条件一起考虑：给定两个实数和，我们寻求一个（12.1）的解决方案，对于有 （12.2） 微分方程（12.1）与初始条件（12.2）被称为一个初值问题。如果你认为任何（12.1），（12.2）形式的初始值问题具有一个唯一解，看看以下例子。 例12.1考虑微分方程，初始条件，其中α是一个固定的实数，α∈（0，1）。 这是一个关于上述想法的简单验证，对于任何非负实数C， 是初值问题在区间[ 0，∞）上的一个解。因此解的存在性是肯定的，但解不一定唯一；事实上，初始值问题的解有一个无限族，当参数。 我们注意到，在与α∈（0，1）相反的情况下，当α≥1，初值问题，具有唯一解y（x）≡0。 例12.1表明函数f必须遵循相对于它的第二个参数的一定的增长性条件，以保证（12.1），（12.2）有唯一解。精确的保证初始值问题（12.1），（12.2）假设f解的存在惟一基于下面的定理。 定理12.1（Picard theorem）假定实值函数是连续的矩形区域D定义 ；当时；且f 满足Lipschitz条件：存在L＞0则 。
如何求解常微分方程？ 常数变易法、积分因子法，函数变换法。 大致与微积分同时产生。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微 分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定. 命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元 素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”. 关键词：常微分方程，发展，起源 正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。17 世纪，牛顿，英国，1642-1727)和莱布尼兹，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。雅可比·伯努利自己解决了
前者。翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。 有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。因此，最初人们的注意力放在某些类型的微分方程的一般解法上。 1691 年，莱布尼兹给出了变量分离法。他还把一阶齐次方程使其变量分离。1694 年，他使用了常数变易法把一阶常微分方程化成积分。 1695 年，雅可比·伯努利给出著名的伯努利方程。莱布尼兹用变换，将其化为线性方程。约翰和雅可比给出了各自的解法，其本质上都是变量分离法。 1734 年，欧拉，瑞士，1707-1783)给出了恰当方程的定义。他与克莱罗. Clairaut，法国，1713-1765)各自找到了方程是恰当方程的条件，并发现：若方程是恰当的，则它是可积的。那么对非恰当方程如何求解呢1739 年克莱罗提出了积分因子的概念，欧拉确定了可采用积分因子的方程类属。这样，到 18 世纪 40 年代，一阶常微分方程的初等方法都已清楚了，与此相联系，通解与特解的问题也弄清楚了。
第三章 一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地， 函数 20 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）
常微分方程考试大纲 Ⅰ. 课程性质 本课程是高等师范院校数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门重要的核心基础课，是进一步学习泛函分析、数学物理方程、微分几何的必要准备，本身在工程力学、流体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化工，生物、医学、经济、管理等领域有广泛的应用。通过本课程的学习，不仅为后续课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力。是数学系数学与应用数学、信息与计算科学两个本科专业的必修课。 Ⅱ. 课程设置目的与要求 通过常微分方程的教学，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的了解，培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。 Ⅲ. 课程内容与考核目标 第一章 绪论 （一）学习目的和要求 通过本章的学习，掌握从实际问题建立常微分方程模型的基本过程和常用方法，理解初值条件的实际含义。掌握微分方程的基本概念，特别是解、通解、初值问题、特解等概念及其关系。理解一阶常微分方程的积分曲线与方向场之间的关系，并初步了解其中所包含的定性思想。 （二）课程主要内容 1．微分方程：某些物理过程的数学模型 2．基本概念 （1）常微分方程和偏微分方程。
（2）线性和非线性。 （3）解和隐式解。 （4）通解和特解。 （5）积分曲线和方向场。 （三）考核知识点 1．微分方程的数学模型。 2．微分方程的基本概念。 （四）考核要求 1．微分方程：某些物理过程的数学模型 （1）理解：微分方程的数学模型。 2．基本概念 （1）理解：微分方程的基本概念。 第二章 一阶微分方程的初等解法 （一）学习目的和要求 通过本章的学习，掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法。理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程。掌握四类典型的一阶隐方程的解法。 （二）课程主要内容 1．变量分离方程与变量变换 （1）变量分离方程。 （2）可化为变量分离方程的类型、应用举例。 2．线性方程与常数变易法 3．恰当方程与积分因子法 4．一阶隐方程与参数表示 （三）考核知识点 1．变量分离方程与可化为变量分离方程的解法。 2．线性方程的常数变易法。 3．恰当方程与积分因子法。 4．一阶隐方程的参数方法。 （四）考核要求