双基限时练(十五)
1．下列说法中正确的是( )
A ．合情推理就是正确的推理
B ．合情推理就是归纳推理
C ．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D ．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
答案 D
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A ．①
B ．③
C ．①②
D ．①②③
答案 D
3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c)·r ，a ，b ，c 为三角形的边长，
r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为
( )
A ．V ＝13abc
B ．V ＝13Sh
C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)·r(S 1，S 2，S 3，S 4分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)
D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac)·h(h 为四面体的高)
解析 面积与体积，边长与面积，圆与球进行类比，应选C . 答案 C
4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x)′＝－sin x ，又归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A ．f(x)
B ．－f(x)
C ．g(x)
D ．－g(x)
解析 归纳所给出的导函数知，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，根据这一规律可知，f(x)为偶函数，其导函数g(x)必为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案 D
5．已知对正数a 和b ，有下列命题：
①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；
②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；
③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.
根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( )
A ．2
B .92
C ．4
D ．5
答案 B
6．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b ＝1表示在x 轴 ，y 轴上的
截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c(abc ≠0)的直线方程为( )
A .x a ＋y b ＋z c ＝1
B .x ab ＋y bc ＋z ca ＝1
C .xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1
D ．ax ＋by ＋cz ＝1
答案 A
7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…的前4项的值，由此猜测：
a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1的结果为________．
解析 1＝12，
1＋2＋1＝4＝22，
1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，
……
由此可以猜想a n ＝n 2.
答案 n 2
8．圆的面积S ＝πr 2，周长c ＝2πr ，两者满足c ＝S ′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.
解析 球的面积S ＝4πr 2，
球的体积V ＝43πr 3，
则有S ＝V ′(r)＝4πr 2.
答案 V 球＝43πr 3，S 球＝4πr 2，满足S ＝V ′(r)
9．观察以下各等式：
sin 230°＋cos 2
60°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 2
50°＋sin 20°cos 50°＝34，
sin 215°＋cos 2
45°＋sin 15°cos 45°＝34. 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为____________________．
答案 sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos (α＋30°)＝34
10．下图的倒三角形数阵满足：
(1)第1行的n 个数分别是1,3,5，…，2n －1；
(2)从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和；
(3)数阵共有n 行．
则第5行的第7个数是________．
解析 观察倒三角形数阵知，每一行均为等差数列，且第1行的公差为2，第2行的公差为4，第3行的公差为8，第4行的公差为16，第5行的公差为32.又推得第5行第一个数字为80，故第5行第7个数字是80＋32×(7－1)＝272.
答案 272
11．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n 条直线最多有多少个交点．
解 设直线条数为n ，最多交点个数为f(n)，则
f(2)＝1，
f(3)＝3＝1＋2，
f(4)＝6＝1＋2＋3，
f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，
f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＋5，
……
由此可以归纳出，n 条直线交点个数最多为
f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.
12．设a n 是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝
0(n ≥1，n ∈N )，试归纳出这个数列的一个通项公式．
解 当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0，
即2a 22＋a 2－1＝0，解得a 2＝12，
当n ＝2时，由
3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，
即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13，
……
由此猜想：an ＝1n .
13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；
②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；
③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；
④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式计算如下：
sin 215°＋cos 2
15°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34. (2)推广到一般情况有三角恒等式：
sin 2α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α
＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2
α＋34 c os 2α＋14 s in 2α＋32 s in αcos α－32 s in αcos α－12 s in 2α＝34 s in 2α＋34 c os 2α＝34 (sin 2α＋cos 2α)＝34.
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