第
10章 线性方程组
一、填空题 ⒈ 线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为
????
??????+-→110000012401021d A
则当d 时，方程组AX b =有解，且有 解.
⒉ 当=λ 时，齐次方程组???=+=-0
02121x x x x λ有非0解.
3．若线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，则AX =0 .
二、单项选择题
⒈ 线性方程组???=+=+01
4321x x x x 解的情况是（ ）.
A . 无解
B . 只有0解
C . 有唯一非0解
D . 有无穷多解 ⒉ 线性方程组AX =0只有0解，则AX b b =≠()0（ ）.
A . 有唯一解
B . 可能无解
C . 有无穷多解
D . 无解
3. 当（ ）时，线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，其中n 是未知量的个数。
（A ）秩秩()()A A = （B ）秩秩()()A A =-1
（C ）秩秩()()A A n == （D ）秩秩(),()A n A n ==+1
三、解答题
⒈ 求解线性方程组
?????=+-=+--=-+-05404203431
43214321x x x x x x x x x x x
⒉ 求解线性方程组
?????=--+=--+=--+023232212432143214321x x x x x x x x x x x x
第二章 线性方程组的数值解法 在科技、工程技术、社会经济等各个领域中很多问题常常归结到求解线性方程组。例如电学中的网络问题，样条函数问题，构造求解微分方程的差分格式和工程力学中用有限元方法解连续介质力学问题，以及经济学中求解投入产出模型等都导致求解线性方程组。 n 阶线性方程组的一般形式为 ?? ???? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L K K K K L L 22112 222212********* （1.1） 其矩阵形式为 b Ax = （1.2） 其中 ????? ???????=??? ?????????=? ? ????? ?????= n n nn n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a A M M L K K K K L L 2121212222111211 ),,2,1,(n j i a ij L =，),,2,1(n i b i L =均为实数，i b 不全为0，且A 为非奇异。 关于线性方程组的数值解法一般分为两类： 1．直接法 就是不考虑计算机过程中的舍入误差时，经有限次的四则运算得到方程组准确解的方法。 而实际中由于计算机字长的限制，舍入误差的存在和影响，这种算法也只能求得线性方程组的近似解。本章将阐述这类算法中最基本的消去法及其某些变形。这些方法主要用于求解低阶稠密系数矩阵方程组。 2．迭代法 从某个解的近似值出发，通过构造一个无穷序列，用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。本章主要介绍迭代法与迭代法。迭代法是解大型稀疏矩阵（矩阵阶数高而且零元素较多）的线性方程组的重要方法。 §1 高斯)(Gauss 消去法 1.1 Gauss 消去法 Gauss 消去法是将线性方程组化成等价的三角形方程组求解。首先举例说明Gauss
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
实验5 矩阵运算和解线性方程组一、实验题目 用Mathematica软件进行矩阵运算和解线性方程组。 二、预期目标 利用Mathematica进行： 1. 矩阵运算. 2. 矩阵的行列式与逆. 3. 矩阵的秩. 4. 线性方程组求解. 三、常用命令 方阵A的行列式： 给出方阵A的逆矩阵： 矩阵A的转置矩阵： 用初等行变换将矩阵A化成的行最简阶梯形矩阵： 将矩阵A在工作区中以矩阵格式输出： 求矩阵方程XA B,AX B ==的解： 求线性方程组b AX=的解： 求代数方程的解： 四、练习内容 1．计算： （1） 1 2 3 4 2 1 4 10 1 0 2 1 10 1 2 0 2 1 1 2 50 2 3 2???? ? ?-+- ? ? ? ?--???? 命令：
结果： （2） 1 0 5 1 0 3 1 2 10 2 0 1 5 0 3 1 0 1 0 1 0 2 0 3 0 ?? - ?? ? - ?? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?? 命令： 结果： 2．求矩阵 1 2 0 0 1 1 1 2 3 ?? ? ? ? - ?? 的秩。 命令： 结果： 3．判断下列矩阵是否可逆，如可逆，求其逆矩阵。 （1） 2 2 1 1 2 4 5 8 2 -?? ? - ? ??? 命令： 结果： （2） 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 1 1 0 2 6?? ? ? ? - ? --??命令： 结果：
（3） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1?? ? -- ? ?-- ?-- ??命令： 结果： 4．设 1 1 1 1 1 3 2 1 0 4 3 2 1 1 1 1 2 5 X - ???? ? ? = ? ? ? ? ???? ，求X。 命令： 结果： 5．设 1 0 21 0 1 31 1 1 11 X ???? ? ? -= ? ? ? ? ???? ，求X。命令： 结果： 6．解线性方程组 1234 1234 1234 1234 224 4326 833412 33226 x x x x x x x x x x x x x x x x +-+= ? ?+-+= ? ? +-+= ? ?+--= ? 。 命令：结果：
线性方程组的数值解法 实验 题目 用Gauss消元法和Seidel迭代法求线性方程组的解。 实验目的 通过本次实验了解Gauss消元法和Seidel迭代法的基本原理，掌握其算法,学会用Matlab编程进行计算，并能用这些方法解决实际问题。 Gauss 顺序消元法的基本原理算法： （1）输入：,. A b （2）对1,2,,1 k n =???-做 1）if0 kk a=then输出算法失败信息，停机； 2）对1,, i k n =+???做 1/; ik ik ik kk a l a a ←= 2; i i ik k b b l b =- 3对1,, j k n =+???做; ij ij ik kj a a l a =- （3）if0 nn a=then输出算法失败信息，并停机else做 1）/; n n n nn b x b a ←= 2）对1,,2,1 i n =-???做 1 ()/; n i i i ij j ii j i b x b a x a =+ ←=-∑ （4）输出方程组的解.X
流程图见附页 Seidel 迭代法的基本原理算法： （1）输入：,; A b （2）输入：初始解向量 ;x （3）对1,2,, i n =???做 1） 1 ()/; n i i ij j ii j j i y b a x a = ≠ =-∑ 2）; i i i e y x =- 3）; i i x y = （4）if 1 {||} max i i n eε ≤≤
西京学院数学软件实验任务书
实验五实验报告 一、实验名称：最速下降法与共轭梯度法解线性方程组。 二、实验目的：进一步熟悉理解掌握最速下降法与共轭梯度法解法思路，提高matlab 编程能力。 三、实验要求：已知线性方程矩阵，应用最速下降与共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。 四、实验原理： 1．最速下降法： 从某个初始点)0(X 出发，沿)(X f 在点)0(X 处的负梯度方向 )0()0()0()(AX b X f r -=-?= 求得)(X f 的极小值点)1(X , 即 )(min )0()0(0 r X f λλ+> 然后从)1(X 出发，重复上面的过程得到)2(X 。如此下去，得到序列{)(k X } )(...)()()()1()0(k X f X f X f >>> 可以证明，从任一初始点)0(X 出发， 用最速下降法所得到的序列{)(k X }均收敛于问题使X 最小化)(X f 的解，也就是方程组b AX =的解。其收敛速度取决于 1 1 λλλλ+-n n ，其中1λ ,n λ分别
为A 的最小,最大特征值。最速下降法迭代格式：给定初值)0(X ， )(k X 按如下方法决定： ()) ()(1)(k )()()()(k ) ()(X ,,)(k k k k T k k T k k k k r X Ar r r r AX b X f r λλ+=> <><=-=-?=+ 2．共轭梯度法 其基本步骤是在点)(k X 处选取搜索方向)(k d , 使其与前一次的搜索方向)1(-k d 关于A 共轭，即 (1)()(1),0k k k d d Ad --<>= 然后从点)(k X 出发，沿方向)(k d 求得)(X f 的极小值点 )1(+k X , 即 )(min )() ()(0 )1(k d X f X f k k λλ+=>+ 如此下去, 得到序列{)(k X }。不难求得0,)1()(>=<-k k Ad d 的解为 ) () 1()1()()() () 1(,,k k k k k k k d Ad d d AX b X X > <>-<+=--+ 注意到)(k d 的选取不唯一，我们可取
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
西华数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法A 年级： 上机实践成绩： 指导教师：严常龙 姓名： 上机实践名称：解线性方程组的迭代法 学号： 上机实践日期： 上机实践编号：1 上机实践时间：16:00-17:40 一、目的 1．通过本实验加深对Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、松弛迭代法的构造过程的理解； 2．能对上述三种迭代法提出正确的算法描述编程实现，进一步理解迭代法的改进过程； 二、内容与设计思想 自选线性方程组，编制一个程序，分别用Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 和松弛迭代法求解，比较三 种迭代法收敛速度的快慢。 三、使用环境 操作系统：Windows XP 软件环境：Microsoft Visual C++ 四、核心代码及调试过程 题目要求，求解下面的方程组，分别用Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法求解 ???????=+++=-++=+-+=+-+9 .369.57.34.05.16 .163.11.89.06.58.18.25.33.63.11.155.04.43.22.74321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 1.Jacobi 迭代法 #include
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
实验五线性方程组 一实验目的 通过本课程的实习，学会编写全主元消去法的计算程序。掌握解线性方程组的最基本算法及其运用，进一步了解该解法的功能、优缺点，领会系数矩阵对解的影响。 二实验内容 本实验将线性方程组的高斯－赛德尔迭代法和高斯列主元消去法实现为类CLinear_Equations，调用该类实现线性方程组的求解。该类结构如下 class CLinear_Equations { public: CLinear_Equations(void); CLinear_Equations(float **ppA,float *pB,int D); //向类中公有变量和指针传递数据~CLinear_Equations(void); float * Adjust(float * pX);//一步迭代 float * Gauss_Seidel(float * pX0,float e); float Distance_Vector(float * pX0, float * pX1);//计算两个向量之差的范数 int Search_Pricipal_Element(int Col);//寻找第Col列的主元 void Exchange(int Row1, int Row2);//交换第Row1行与第Row2行的元素 void Slash(int Row);//削去第Row列对角线以下的元素 float * Elimination(void);// 回代过程，返回值为最终解向量 float * Gaussian_Elimination(void); float **pp_A,*p_B; //分别存放系数矩阵、常数项向量 int m_D; //方程组的维数 }; 为了方便，使用二维动态数组。可调用下面的函数为二维指针分配动态存储空间和销毁空间。为了方便程序的移植和重复利用，可将这两个函数写在一个文件MatrixAllocate.h中。 template
实验1.1 用matlab 求解线性方程组 第一节 线性方程组的求解 一、齐次方程组的求解 rref （A ） %将矩阵A 化为阶梯形的最简式 null （A ） %求满足AX ＝0的解空间的一组基，即齐次线性方程组的基 础解系 【例１】 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解： 我们可以通过两种方法来解： 解法1： >> A=[1 -1 1 -1;1 -1 -1 1;1 -1 -2 2]; >> rref(A) 执行后可得结果： ans= 1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 由最简行阶梯型矩阵，得化简后的方程 ??? ??=+--=+--=-+-0 22004321 43214321x x x x x x x x x x x x
取x2，x4为自由未知量，扩充方程组为 即 提取自由未知量系数形成的列向量为基础解系，记 所以齐次方程组的通解为 解法2： clear A=[1 -1 1 -1;1 -1 -1 1;1 -1 -2 2]; B=null(A, 'r') % help null 看看加个‘r’是什么作用, 若去掉r ，是什么结果？ 执行后可得结果： B= 1 0 1 0 0 1 0 1 ?? ?=-=-0 04321x x x x ?????? ?====4 4432221x x x x x x x x ??? ??? ??????+????????????=????? ???????1100001142 4321x x x x x x , 00111????? ? ??????=ε, 11002????? ???????=ε2 211εεk k x +=
1．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有（ ）A (A) 12312,,,k αααββ+线性无关； （B ）12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关 2．n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ D ） (A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα (B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关 (C) s ααα ,,21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示 (D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示 3. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同； （2）若向量组}{21r ααα，，， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关； （3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关； （4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ A ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个 4．向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为（ C ）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =； C ．()()(,)R A R B R A B ==； D .m n = 5．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。 1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b +++=??+++=??++=??+++=?。 答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。 (-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’ 6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:
实验报告 ——线性方程组的数值解法 姓名： 班级： 学号： 日期：
一 实践目的 1. 熟悉求解线性方程组的有关理论和方法。 2. 会编列主元消去法，全主元消去法，雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的程序。 3.通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。 4. 进一步应用数学知识，扩展数学思维，提高编程能力。 二 问题定义及题目分析 1.求解线性方程是实际中常遇到的问题。而一般求解方法有两种，一个是直接求解法，一个是迭代法。 2.直接法是就是通过有限步四则运算求的方程准确解的方法。但实际计算中必然存在舍入误差，因此这种方法只能得到近似解。 3.迭代法是先给一个解的初始近似值，然后按一定的法则求出更准确的解，即是用某种极限过程逐步逼近准确解的方法。 4.这次实践，将采用直接法：列主元高斯消去法，全主元高斯消去法；迭代法：雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。 三 详细设计 设有线性方程组 11112211n n a x a x a x b +++= 21122222n n a x a x a x b +++= 1122n n nn n n a x a x a x b +++=
令A= 1112121 2221 2 n n n n nn a a a a a a a a a ?????????? ?? x= 12n x x x ???? ???????? b= 12n b b b ???????????? 一. 上三角方程组的求解很简单。所以若能将方程组化为上三角方程组，那就很容易得到方程的解，高斯消去法则是一种简洁高效的方法，可以将方程组化为上三角方程组，但是这种方法必须满足每一步时0kk a =才能求解，还有当kk a 绝对值很小时，作分母会引起较大的舍入误差。因此在消元过程中应尽量选择绝对值较大的系数作为主元素。 1.列主元消去法很好的解决这一问题。 将1x 的系数1(1)k a k n ≤≤中绝对值最大者作为主元素，交换第一行和此元素所在的行，然后主元消去非主元项1x 的系数，。一般的，在k x 的一些相关系数之前，先从,1,,,k k k k n k a a a + 中选出绝对值最大者作为主元素，交换第k 行和次主元素所在的行，再消去k x 的一些相关系数，只要方程组A 非奇异，则每个主元定不为0，故消元过程一定能将方程组化为上三角方程组。 将方程用增广矩阵[](1)()ij n n A b a ?+= 表示。 （1） 消元过程 对01,2,1k n =- ，； 1. 选主元，找{},1,k i k k n ∈+ ,使得,max ()k i k ik a a k i n =≤≤ 2. ,=0k i k a ，则矩阵A 奇异，程序结束，否则执行下一步。 3. 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应的元素位置，即 (,1,,1)k kj i j a a j k k n ?=++
课程设计阶段性报告 班级：学号：姓名：申报等级： 题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include
//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i 线性方程组求解 习题课 一、给定方程组123211*********x x x -???????????? =? ???????????-?????? 试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。 解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为 -1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-?? ??--?????? 因为3 5 04 J I B λλλ-=+=，得特征值 1230,,22i i λλλ===- 得( )12J B ρ=> ，由定理知 Jacobi 迭代法发散。 对Seidel 迭代法，迭代矩阵为 ()1 S B D L U -=-=1 20001100.50.511000100.50.5112000000.5---?????? ??????-=--?? ??????????--?? ???? 显然，其特征值为1230,0.5λλλ===- 故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。 二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ?????? = ??? ??????? ，11220a a ≠， 112221120a a a a -≠。证明：解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。 证明： 121 1111 122221 21 22 0000 00J a a a a B a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ?-????- ??? ()2 1221 1122det J a a I B a a λλ-=-，故( )J B λ= ( )J B ρ= 。 1211111 1221 2212211122000000S a a a a B a a a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ????? ?? ? 好久没来论坛，刚刚发现以前的帖子现在那么火很欣慰，谢谢大家支持！ 今天趁着不想做其他事情，把线性方程组的数值解法总结下，有不足的地方希望大神指教！数学建模中也会用到线性方程组的解法，你会发现上10个的方程手动解得话把你累个半死，而且不一定有结果，直接用matlab的函数，可以，关键是你不理解用着你安心吗？你怎么知道解得对不对？ 我打算开个长久帖子，直到讲完为止！这是第一讲，如有纰漏请多多直接，大家一起交流！线性方程组解法有两大类：直接法和迭代法 直接法是解精确解，这里主要讲一下Gauss消去法，目前求解中小型线性方程组（阶数不超过1000），它是常用的方法，一般用于系数矩阵稠密，而有没有特殊结构的线性方程组。 首先，有三角形方程组的解法引入Gauss消去法，下三角方程组用前代法求解， 这个很简单，就是通过第一个解第二个，然后一直这样直到解出最后一个未知数，代码如下：前代法： function [b]= qiandai_method(L,b) n=size(L,1); %n 矩阵L的行数 for j=1:n-1 %前代法求解结果存放在b中 b(j)=b(j)/L(j,j); b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j); end b(n)=b(n)/L(n,n); 上三角方程组用回代法，和前面一样就是从下面开始解x，代码： 后代法： function [y]=houdai_method(U,y) n=size(U,1); %n 矩阵L的行数 for j=n:-1:2 %后代法求解结果存放在y中 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j); end y(1)=y(1)/U(1,1); Gauss消去的前提就是这两个算法： 具体思想是把任何一个线性方程组的系数矩阵A，分解为一个上三角和一个下三角的乘积，即A=LU，其中L为下三角，U为上三角。 那么具体怎么做呢？ 有高斯变换，什么是高斯变换？由于时间有限我不可能去输入公式，所以我用最平白的话把它描述出来。 你先想一下怎么把一个矩阵的某一列的从第j个分量后全部变0？ 高斯变换就是通过每次一个矩阵Li把A的第i列对角线元素以下的都变为0，最后把这么多Li一次左乘起来就是一个矩阵L’=L(n-1)L(n-2)…L2L1，而L’A=U, 那么L=L’的转置，这样就得到了A得分解。 我们要求Ax=b A=LU 3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断 1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=() 线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．判断下列向量组是否线性无关： （1）????? ??-11 2，????? ??-840，????? ??-311； （2）??????? ??01014，??????? ??1521，??????? ??1202，?????? ? ??7024。 2．讨论下面向量组的线性相关性： ???????? ??12211，???????? ??-15120，???????? ??-141b a 。 3．设????? ??=1111a ，????? ??=3211a ，???? ? ??=t 311a 。 （1）问当t 为何值时，321,,a a a 线性相关？ （2）问当t 为何值时，321,,a a a 线性无关？ （3）当321,,a a a 线性相关时，问3a 是否可以由1a ，2a 线性表示？若能，写出具体表达式。 4．设有向量组 ??????? ??+=11111t a ，??????? ??+=22222t a ，??????? ??+=33333t a ，?????? ? ??+=t 44444a 。 问：（1）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？ （2）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性无关？ 5．设321,,a a a 线性无关，问当参数l ，m 满足何种关系时，12a a -l ，23a a -m ，31a a -也线性无关？ 6．设m a a a ,,,21 线性无关，作 211a a b +=，322a a b +=，…，m m m a a b +=--11，1a a b +=m m 。 判别m b b b ,,,21 的线性相关性。 7．设21,a a 线性无关，b a b a ++21,线性相关，问b 能否由21,a a 线性表示？ 8．设321,,a a a 线性相关，432,,a a a 线性无关。问： （1）1a 能否由32,a a 线性表示； （2）4a 能否由321,,a a a 线性表示。 9．若T k k ),,0(2=b 能由T k )1,1,1(1+=a ，T k )1,1,1(2+=a ，T k )1,1,1(3+=a 唯一 本科实验报告 课程名称：数值计算方法B 实验项目：线性方程组的直接解法 最小二乘拟合多项式 实验地点：ZSA401 专业班级：学号：201000 学生姓名： 指导教师：李志 2012年4月13日 线性方程组的直接解法 一、实验目的和要求 实验目的：合理利用Gauss 消元法、LU 分解法或追赶法求解方程组。 实验要求：利用高斯消元法，LU 分解法或追赶法进行编程，求解题中所给的方程组。 二、实验内容和原理 实验内容：合理利用Gauss 消元法、LU 分解法或追赶法求解下列方程组： ① ?? ?? ? ?????=????????????????????13814142210321321x x x ②??? ? ?? ??????=????????????????????? ?? ? ??--?-2178.4617.5911212592.1121130.6291.513 14 .59103.043 2115x x x x ③?? ??? ??? ? ???????----=????????????????????????????????-55572112112112121 n n x x x x （n=5,10,100,…） 实验原理：这个实验我选用的是高斯消元法。高斯消元法：先按照 L ik =a ik^(k-1)/a kk^(k-1) , a ij^(k)=a ij^(k-1)-l ik a kj^(k-1) [其中k=1,2,…,n-1;i=k+1,k+2,…,n;j=k+1,k+2,…,n+1] 将方程组变为上三角矩阵，再经过回代，即可求解出方程组的解。 三.计算公式 通过消元、再回代的求解方法称为高斯消元法。特点是始终消去主对角线 下方的元素。 四、操作方法与实验步骤 #include "Stdio.h" #define N 3 main() { double a[N][N+1],b[N]; int i,j,k,x=0; for(i=0;i 《线性代数》第三章练习题 一、思考题 1、设有线性方程组b AX =，其中A 为n 阶方阵，j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值，判断下列命题是否正确？ （1）若0≠A ，则b AX =有唯一解； （2）若0=A ，且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠，则b AX =无解； （3）若0=A ，且),,2,1(0n j A j ==，则b AX =有无穷多解。 2、判断下列命题是否正确？其中A 为n m ?矩阵。 （1）非齐次线性方程组b AX =，当n m <时，有无穷多解；当n m =时，有唯一解；当n m >时，无解； （2）齐次线性方程组0=AX ，当n m <时，必有非零解； （3）非齐次线性方程组b AX =，当m A r =)(时，必相容。 3、设向量组4321,,,αααα线性无关，判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。 4、判断下列命题是否正确？ （1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ，使得 02211=+++m m k k k ααα ； （2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，且有02211=+++m m k k k ααα ，则 m k k k ,,,21 必不全为零； (3)若当数021====m k k k 时，02211=+++m m k k k ααα ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （4）若02211=+++m m k k k ααα ，必有021====m k k k ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （5）向量β不能由m ααα,,,21 表示，则βααα,,,,21m 线性无关； （6）若向量组m ααα,,,21 线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合； （7）若向量组m ααα,,,21 线性无关，向量组s βββ,,,21 线性无关，则向量组 m ααα,,,21 ，s βββ,,,21 线性无关。 二、单项选择题 1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解，则下列哪个也是b AX =的解 （ ） （A ）332211X k X k X k ++； （B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ； （C ）321)(X X X k ++ ； （D ） 32211)(X k X X k +-。 2．设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系，则下列哪组也是0=AX 的一基础解系（ ） （A ）133221,,,ξξξξξξ+-； （B ）312321,,ξξξξξξ++-； （C ） 13321,ξξξξξ-++ ； （D ） 3121,,ξξξξ- 。 3．设A 是n 阶矩阵，并且0=A ，则A 的列向量中 （ ） （A ）必有一个向量为零向量 ； （B)必有两个向量的对应分量成比例； （C ）必有一个向量是其余向量的线性组合 ； （D ）任一向量是其余向量的线性组合。 4．如果4),,,(21=m r ααα ，则下列正确的是 （ ） （A ）如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ，则该部分组包含的向量个数一定不超过4；线性方程组习题课
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3线性方程组典型习题解析
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线性方程组的直接解法 实验报告
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