(6,3)线性分组码编码分析与实现.

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数字通信原理章 (5)

第5章信道编码技术
5.1.2 差错控制编码的基本思想差错控制编码的基本实现方法是在发送端给被传输的
信息附上一些监督码元，这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联。在接收端按照既定的规则校验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输发生错误，则信息码元与监督码元的关系就受到破坏，从而使接收端可以发现错误，进而纠正错误。因此，各种编码和译码方法是差错控制编码所要研究的问题。 5.1.3 差错控制方式
距应满足
dmin≥t+e+1 (e>t)
(5-3)
第5章信道编码技术图 5-2 纠错码纠错能力图示一
第5章信道编码技术图 5-3 纠错码纠错能力图示二
第5章信道编码技术
5.2.3 奇偶监督码奇偶监督码(又称为奇偶校验码)是一种最简单的检错
码，它的基本思想是在n－1位信息码元后面附加一位监督码元，构成(n，n－1)的分组码，监督码元的作用是使码长为n的码组中“1” 的个数保持为奇数或偶数。码组中“1” 的个数保持为奇数的编码称为奇数监督码，保持为偶数的编码称为偶数监督码。
的一种改进形式，它不仅对每一行进行奇偶校验，同时对每一列也进行奇偶校验。如表5-2所示的例子采用的是偶校验。
发送时，该码是按11001100、00100111、00011110、 11000000、01111011、00100111、01101001的顺序发送，而在接收端将所接收的信号以列的形式排列，可得表5-2所示的阵列。
(5-5)
奇偶监督码最小码距为2，无论是奇校验还是偶校验，
都只能检测出单个或奇数个错误，而不能检测出偶数个错
误，因此检错能力低，但编码效率随着n的增加而提高。

编码理论(第二版)(田丽华)-第6章

第6章线性分组码如上所述，信道编码就是给已知信息组按预定规则添加监
督码元，以构成码字。在k个信息元之后附加r(r＝n－k)个监
督码元，使每个监督元是其中某些信息元的和。例如，信息分
组长度k＝3，在每一信息组后加上4个监督元，构成(7，3)线
性分组码。设该码的码字为c6c5c4c3c2c1c0，其中c6、c5、c4为信息元;c3、c2、c1、c0为监督元，每个码元取值为“0”或 “1”，即ci∈GF(2)。监督元可按下面方程组计算：
c3 u2 u0
c2
c1
u2 u2
u1
u1
u0
c0 u1 u0
（6－１）
第6章线性分组码
式(6－1)为一线性方程组，它确定了由信息元得到监督元的规则，所以称为监督方程或校验方程。由于所有码字都按同一规则确定，因此式(6－1)称为一致监督方程或一致校验方程，所得到的监督元称为一致监督元或一致校验元，这种编码方法称为一致监督编码或一致校验编码。因为一致监督方程是线性的，亦即监督元和信息元之间是线性运算关系，所以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码。利用式(6－1), 每给出一个3位的信息组，就可编出一个码字，如表6－1所示。
第6章线性分组码图6－1 线性分组码编码器
第6章线性分组码
n-k个附加码元是由信息码元的线性运算产生的,此码叫做（n,k）线性分组码。如果一个(n，k)线性分组码的数域为 GF(p)，即每一个码元可能有p种取值，则信源可发出pk种不同的消息组。为使接收端对码字惟一可译,即当从n位长的码字中译出k位的消息时，消息组与码字之间应有一一对应的关系，因此编码器至少要存储pk个码字才能实现消息到码字的变换 (当k比较大时，这种编码器就显得有些不切实际)。为了压缩编码器的存储容量，通常对编码器附加一个线性约束条件，使得线性码的校检位与信息位之间呈线性关系。对于二进制码， (n，k)线性分组码(以后简称为(n，k)码)共有2k个码字，它们构成k维子空间的主要特征是：在加法运算下满足封闭性；在 2k个码字中只有k个是线性独立的。

61线性分组码

码矢：一个 n 长的码字可以用矢量来表示

C = (Cn－1,Cn－2,…,C1,C0 )
所以码字又称为码矢。

( n, k ) 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。
编码效率/编码速率/码率：R=k /n。它说明了信道的利用效率， R是衡量码性能的一个重要参数。

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线性分组码的编码：线性分组码的编码过程分为两步：
面 k 位为信息数字，后面 r=n－k 位为校验字，这种信息数字在前校验数字在后的线性分组码称为线性系统分组码。
信息数字校验数字
图6.2.1 系统码的码字结构

当生成矩阵 G 确定之后，(n,k) 线性码也就完全被确定了，只要找到码的生成矩阵，编码问题也同样被解决了。

[ 参见下面有关（7，4）线性码例子 ]

设码字矢量为C = (C6 C5C4C3C2C1C0) 码的监督矩阵为
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6.3.4 线性分组码的编码

根据方程组可直接画出 (7,3) 码的并行编码电路和串行编码电路，如图。
m2 m1 m0 C6 C5 C4 C3
C m
C2
C1
C0
(a)并行编码电路（b）串行编码电路
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6.3.2 线性分组码的监督方程和监督矩阵
(1) 监督方程

编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以构成码字。在 k 个信息码元之后附加 r(r=n－k) 个监督码元，使每个监督元是其中某些信息元的模2和。举例：k=3, r=4，构成 (7,3) 线性分组码。设码字为
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线性分组码的编码与译码

实践教学大学计算机与通信学院2014年秋季学期计算机通信课稈设计题目：线性分组码（9 , 4）码的编译码仿真设计专业班级：_______________________________姓名：_________________________________________学号：_______________________________________指导教师：______________________________________成绩：______________________________________________摘要该系统是（9, 4）线性分组码的编码和译码的实现，它可以对输入的四位的信息码进行线性分组码编码，对于接收到的九位码字可以进行译码，从而译出四位信息码。

当接收到的九位码字中有一位发生错误时，可以纠正这一位错码；当接收到的码字有两位发生错误时，只能纠正一位错误，但同时能检测出另一位错误不能纠正。

只有特定位有两位错误时，才能纠正两位错误。

这样就译出正确的信息码组，整个过程是用MATLAB语言实现的。

关键词：编码；译码;纠错摘要目录1. 信道编码概述2.•…1.1信道模型 ............................................................... 2•…1.2抗干扰信道编码定理及逆定理 ............................................ 3…1.3检错与纠错的基本原理 .................................................. 4•…1.4限失真编码定理 ........................................................ 5•…2. 线性分组码的编码 ........................................................... 6 _2.1生成矩阵 ............................................................... 6•…2.2校验矩阵 ............................................................... 9•…2.3伴随式与译码 ......................................................... 1.0....3. 线性分组码编码的 Matlab 仿真 ............................................... 1.2..3.1程序流程图 ............................................................ 1.2....3.2程序执行结果 ......................................................... 12....3.2线性分组码译码的 Matlab 仿真 .......................................... 1.3.3.3结果分析 .............................................................. 1.5.... 参考文献 .................................................................... .1.6..... 总结 ......................................................................... 1.7.... 致谢 ......................................................................... 1.8.... 附录目录19刖言由于计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛的应用，数字信号在传输中往往由于各种原因，使得在传送的数据流中产生误码，从而使接收端产生图象跳跃、不连续、出现马赛克等现象，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出来了越来越高的要求，经过长时间的努力，通过编译码来控制差错、提高可靠性的方式在信道传输中得到了大量的使用和发展，并形成了一门新的技术叫做纠错编码技术，纠错编码按其码字结构形式和对信息序列处理方式的不同分为两大类：分组码和卷积码。

信息论与编码理论-信道编码-线性分组码2剖析

个错误
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第六章信道编码

6.2.6 线性分组码的译码
对纠两个错误的 (n,k) 线性码，必须能纠误图样，所以个错

依此类推，一个纠 t 个错误的 (n,k) 线性码必须满足

对于完备码，由码的纠错能力所确定的伴随式数恰好等于可纠的错误图样数，所以完备码的 (n－k) 个监督码元得到了充分的利用。
t

dmin dmin t t
t
图6.2.8 以码字为中心、半径t=INT [(dmin－1)/2]的差错控制球体示意图
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第六章信道编码
6.2.6 线性分组码的译码

举例：对纠一个错误的 (7,4) 汉明码，
可见，(7,4)汉明码是一个完备码。

所有汉明码都是完备码（满足2n－k = 2m=n+1）。
第六章信道编码
To choose time is to save time
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第六章信道编码
6.2 线性分组码
一般概念一致监督方程和一致监督矩阵线性分组码的生成矩阵线性分组码的编码线性分组码的最小距离、检错和纠错能力线性分组码的译码线性分组码的性能汉明码由已知码构造新码的方法线性分组码的码限

p(C)：发送码字C 的先验概率 p(C/R)：后验概率

若码字数为 2k，对充分随机的消息源有p(C)=1/ 2k，所以最小化的 pwe等价为最小化p(C’≠C│R )，又等价为最大化p(C’=C│R)；
3
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第六章信道编码

6.2.6 线性分组码的译码

分组编码

标准阵：例子(6,3)线性码
令Dj表示标准阵的第j列， vj是码字，ei是陪集首
标准阵

码字vj通过有噪信道传输，若信道引起的错误模式是陪集首，则接收向量r在Dj中，此时接收向量可被正确译码为vj 若错误模式没有在陪集首中出现，则译码有误假设错误模式x在第l行而非陪集首，不妨设在第i>1列，则x=el+vi，接收向量为r=vj+x= el+(vi+vj)=el+vs，接收向量出现在Ds中，r被译码为vs，出现译码错误故当且仅当错误模式是陪集首时译码是正确的，这些陪集首称为可纠正错误模式

校正子

依据公式(3)(4)可以得到：

从上述式子看出，校正子s就是接收到的消息位重新计算校验位和接收到的校验位的向量和
校正子

上式子给出了校正子s和错误模式e的关系，若 H的表示如公式(3)所示系统形式，则有校正子为错误模式的线性组合：
小结

找到错误模式e，利用v=r+e就可将v视为实际传输的码字，但是错误模式e不容易找到，需要在2k个错误模式（待证明）中找到唯一正确的错误模式

码C称为H的零空间，H称为码的奇偶校验矩阵矩阵H的行向量有2n-k中组合方式，构成(n,n-k)线性码Cd，这个码是G的零空间 Cd是C的对偶码，dual code 一个线性码的奇偶校验矩阵是其对偶码的生成矩阵
奇偶校验矩阵

若(n,k)线性码的生成矩阵公式(2)所示，则其奇偶校验矩阵为公式(3) (3)
陪集首的重量分布

令

表示重量为i的陪集首的个数，则称为陪集首的重量分布若陪集首的重量分布已知，当且仅当错误模式不是陪集首时，会发生译码错误，故对转移概率为p的BSC信道，误码率为：

6.3 循环码

⎡ x k −1 g ( x) ⎤ ⎢ k −2 ⎥ ⎢ x g ( x) ⎥ ⎥ G ( x) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ xg ( x) ⎥ ⎢ g ( x) ⎥ ⎣ ⎦
6
生成矩阵G
• ( n , k ) 循环码的生成矩阵在 g(x) 确定后可以表示为G
⎡0 0 ... 0 g 0 g1 ... g r −1 g r ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ G=⎢ ⎢ ⎥ g 0 g1 ... g r − 2 g r −1 g r ... 0 ⎥ ⎢0 ⎢ g 0 g1 g 2 ... g r −1 g r 0 ... 0 ⎥ ⎣ ⎦ k ×n ⎡ x k −1 g ( x) ⎤ ⎢ k −2 ⎥ ⎢ x g ( x) ⎥ ⎥ ∼⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ g ( x) ⎥ ⎣ ⎦
R ( x ) C ( x ) + e( x ) e( x ) = = p ( x) + g ( x) g ( x) g ( x)
• 定义伴随多项式为 S(x) = e(x) mod g(x)
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循环码的检纠错
• 根据伴随式的定义，若无错误传输，则 S(x) = 0 ，否则S(x)≠0，由此可实现循环码的检错。 • 因为g(x)的次数为n－k，e(x)的次数为n－1，所以伴随式的最高次数为n－k－1，那么S(x)共有n－k项，故有 2n-k种可能的伴随式。若满足2n-k ≥n+1，则循环码具有纠错能力。
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循环码的伴随多项式
• 假设发送的码多项式C(x) 和错误图样多项式e(x) 以及接收端接收的码多项式R(x) 分别为
C ( x) = ∑ ci x
i =1
n
n −i
； e( x) = ∑ ei x
i =1

线性分组码

C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中，任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的最小值，称为码的最小重量，表示为：
限，性能界限，即码的译码错误概率的上、下限。对码距限而言，最重要的限是汉明限，普洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C

线性分组码(免费)

线性分组码8.3.1 基本概念是一组固定长度的码组，可表示为（n, k），通常它用于前向纠错。

在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。

在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。

当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种分组码就称为。

对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择M=个码组（k<n）组成一种码。

这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。

线性分组码是建立在代数群论基础之上的，各许用码的集合构成了代数学中的群，它们的如下：（1）任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模二和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；（2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。

在8.2.1节中介绍的奇偶监督码，就是一种最简单的线性分组码，由于只有一位监督位通常可以表示为（n,n-1），式（8-5）表示采用偶校验时的监督关系。

在接收端解码时，实际上就是在计算：（8-6）其中，…表示接收到的信息位，表示接收到的监督位，若S＝0，就认为无错；若S＝1就认为有错。

式（8-6）被称为监督关系式，S是校正子。

由于校正子S的取值只有“0”和“1”两种状态，因此，它只能表示有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。

设想如果监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式（8-6）的监督关系式，计算出两个校正子和，而共有4种组合：00，01，10，11，可以表示4种不同的信息。

除了用00表示无错以外，其余3种状态就可用于指示3种不同的误码图样。

同理，由r个监督方程式计算得到的校正子有r位，可以用来指示-1种误码图样。

对于一位误码来说，就可以指示-1个误码位置。

对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n - k位的分组码（常记作（n，k）码），如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能，则要求：（8-7) 下面通过一个例子来说明的。

6.2线性分组码

线性特性：码字c的各位码元是消息m各位的线性组合
一个（一个（n,k）线性分组码的码字 c可以表示为）可以表示为
c=mG
其中m：长度为的消息或的消息或k维的消息向量其中：长度为k的消息或维的消息向量 Gk*n：k行n列的生成矩阵列的生成矩阵行列的矩阵运算采用模二加和模二乘。矩阵运算采用模二加和模二乘。
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 G = 0 1 0 1 1 R2 + R3 → R3 →0 1 0 1 1 R1 + R3 → R1 → 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 R1 ← → R 3 →0 1 0 1 1 = G S 0 0 1 1 1
线性分组码的性质
（1）零向量一定是一个码字，记作 θ = (0,0,L ,0) ）零向量一定是一个码字，（2）任意两码字的和仍是一个码字。）任意两码字的和仍是一个码字。都可以表示为G的行向量的线性组合（3）任意码字都可以表示为的行向量的线性组合。）任意码字c都可以表示为的行向量的线性组合。
G的行向量是码集合中的码字（它们线性无关）的行向量是码集合中的码字（它们线性无关）的行向量是码集合中的码字
（4）线性分组码的最小距离等于最小非码的码重：码的码重：）线性分组码的最小距离等于最小非0码的码重码重：码字中的非0符号个数。
d min = min w(c)
c ≠θ
例：c = (0101) d = w(c)
系统码。（1）则该码称为系统码。）则该码称为系统码
容易发现，若系统线性分组码的生成矩阵G 的左（右）半部分是Ik*K的单位阵，则线性分组码的前（后）k位是信息位，后n-k位是校验位。若不是系统码，则可以通过简单行变换得到系统码生成矩阵。

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吉林建筑大学电气与电子信息工程学院信息理论与编码课程设计报告

设计题目：线性分组码编码的分析与实现专业班级：电子信息工程学生姓名：学号：指导教师：设计时间： 2014.11.24－2014.12.5

1.1 教师评语：

成绩评阅教师日期 1

第1章概述 1.1 设计的作用、目的《信息论与编码》是一门理论与实践密切结合的课程,课程设计是其实践性教学环节之一，同时也是对课堂所学理论知识的巩固和补充。其主要目的是加深对理论知识的理解，掌握查阅有关资料的技能，提高实践技能，培养独立分析问题、解决问题及实际应用的能力。通过完成具体编码算法的程序设计和调试工作，提高编程能力，深刻理解信源编码、信道编译码的基本思想和目的，掌握编码的基本原理与编码过程，增强逻辑思维能力，培养和提高自学能力以及综合运用所学理论知识去分析解决实际问题的能力，逐步熟悉开展科学实践的程序和方法。 1.2 设计任务及要求设计一个（6, 3）线性分组码的编译码程序：完成对任意序列的编码，根据生成矩阵形成监督矩阵，得到伴随式，并根据其进行译码，同时验证工作的正确性。 1．理解信道编码的理论基础，掌握信道编码的基本方法； 2．掌握生成矩阵和一致校验矩阵的作用和求解方法； 3．针对线性分组码分析其纠错能力，并能够对线性分组码进行译码； 4．能够使用MATLAB或其他语言进行编程，实现编码及纠错，编写的函数要有通用性。

1.3设计内容已知一个（6,3）线性分组码的Q矩阵：设码字为(c5, c4, c3, c2, c1, c0) 011101110Q



求出标准生成矩阵和标准校验矩阵，完成对任意信息序列（23个许用码字）的编码。当接收码字R分别为(000000), (000001), (000010), (000100), (001000), (010000), (100000), (100100)时，写出其伴随式S，以表格形式写出伴随式与错误图样E的对应关系。纠错并正确译码，当有两位错码时，假定c5位和c2位发生错误。 2

第2章写所设计题目 2.1设计原理 1. 线性分组码的标准生成矩阵和标准校验矩阵（1）（n，k）线性分组码的性质 1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。 2、码的最小距离等于非零码的最小码重。对于长度为n的二进制线性分组码，它有种2n可能的码组，从2n种码组中，可以选择M=2k个码组（k码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=2k个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n－k位的分组码，常记作（n，k）码，如果满足2r－1≥n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。（2）生成矩阵和校验矩阵线性分组码码空间C是由k个线性无关的基底1kg，…1g0g，张成的k维n重子空间，码空间的所有元素都可以写成k个基底的线性组合，即 C001111gmgmgmkk

这种线性组合特性正是线性分组码。为了深化对线性分组码的理论分析，可将其与线性空间联系起来。由于每个码字都是一个二进制的n重，及二进制n维线性空间Vn中的一个矢量，因此码字又称为码矢。用ig表示第i个基底并写成n1矩阵形式01)2()1(,,,,iininiiggggg再将k

个基底排列成k行n列的G矩阵，得：

GT

kggg011,,,=0001)1(01011)1(10)1(1)1()1)(1(gggggggggnnkknk

k个基底即G的k个行矢量线性无关，矩阵G的秩一定等于k，当信息元确定后，码字仅由G矩阵决定，因此称这nk矩阵G为该kn线性分组码的生成矩阵。 3

基底不是唯一的，生成矩阵也就不是唯一的。事实上，将k个基底线性组合后产生另一组k个矢量，只要满足线性无关的条件，依然可以作为基底张成一个码空间。不同的基地有可能生成同一个码集，但因编码涉及码集和映射两个因素，码集一样而映射方法不同也不能说是同样的码。基底的线性组合等效于生成矩阵G的行运算，可以产生一组新的基底。利用这点可使生成矩阵具有如下的“系统形式”：









0001)1(01011)1(10)1(1)1()1)(1(1000010001pppppppppPIG

knkn

kkknkk





这里P是knk矩阵；kI是kk单位矩阵，从而保证了矩阵的秩是K。与任何一个kn,分组线性码的码空间C相对应，一定存在一个对偶空间D。事实上，码空间基底数k只是n维n重空间全部n个基底的一部分，若能找出另外kn个基底，也就找到了对偶空间D。既然用k个基底能产生一个kn,分组

线性码，那么也就能用kn个基底产生包含kn2个码字的knn,分组线性码，称knn,码是kn,码的对偶码。将D空间的kn个基底排列起来可构成一个nkn矩阵，将这个矩阵称为码空间C的校验矩阵H，而它正是knn,对偶

码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码字。C和D的对偶是互相的，G是C的生成矩阵又是D的校验矩阵，而H是D的生成矩阵，又是C的校验矩阵。由于C的基底和D的基底正交，空间C和空间D也正交，它们互为零空间。因此，kn,线性码的任意码字c一定正交于其对偶码的任意一个码字，也必定正交

于校验矩阵H的任意一个行矢量，即0TcH。由于生成矩阵的每个行矢量都是一个码字，因此必有0TGH。对于生成矩阵符合“系统形式”G的系统码，其校验矩阵也是规则的，必为： knTIPH 上式中的负号在二进制码情况下可以省略，因为模2减法和模2加法是等同的。 4

（3）信息码元及对应码字的关系（n，k）码字中的任一码字ic，均可以由这组基底的线性组合生成，即 12iinnnkcmGmmmG

式中12innnkmmmm的是k个信息元组的信息组，因此其信息码元及对应码字的关系如表一所示：信息组码字 000 0000000 001 0011101 010 0100111 011 0111010 100 1001110 101 1010011 110 1101001 111 1110100

表一信息码元及对应码字关系

2. 线性分组码的伴随式与译码 (2)码的距离及检错能力两个码字之间，对应位取之不同的个数，称为汉明距离，用d表示。一个码的最小距离mind定义为),(,,,min),(minknccjjddjicjci,两个码字之间的距离表示了它们之间差别的大小。距离越大，两个码字的差别越大，则传送时从一个码字错成另一码字的可能性越小。码的最小距离愈大，其抗干扰能力愈强。任何最小距离mind的线性分组码，其检错能力为1mind纠错能力t为



21mindINTt

最小距离mind表明码集中各码字差异的程度，差异越大越容易区分，抗干扰能力自然越强，因此成了衡量分组码性能最重要的指标之一。估算最小距离是纠错码 5

设计的必要步骤，最原始的方法是逐一计算两两码字间距离，找到其中最小者。含k2个码字的码集需计算2122kk个距离后才能找出mind，费时太多，实用中还有一些更好更快的方法。线性分组码的最小距离等于码集中时非零码字的最小重量，即 iCwdminmin 0iiCCC及

这里利用了群的封闭性，由于分组码是群码，任意两码字之和仍是码字，即CCCCikj。因此任意两码字间的汉明距离其实必是另一码字的重量，表示

为ikjikjkiCwCCdCwCCwCCdmin,min,,。于是可将最小距离问题转化为寻找最轻码字问题，含k2个码字的码集仅需计算k2次。码的检错能力取决于码的最小距离，但还需说明的另一点是码的总体检错能力不仅仅与mind有关。检错能力t只是说明距离t的差错一定能纠，并非说距离大于t的差错一定不能纠。事实上，如果有2k个码子，就存在2212kk 个距离，这并非相等的。比如最小距离min3d ，检错力1t ，是由码21CC的距离决定，只要2C 朝1C 方向偏差大于1就会出现译码差错；然而若2C朝3C方向偏差3，译码时仍可正确地判断为2C而非3C。可见，总体的、平均的纠错能力不但与最小距离有关，而且与其余码距离或者说与码子的重量分布特性有关，把码距（码重）的分布特性称为距离（重量）谱，其中最小的重量就是mind。正如信息论各符号等概时熵最大一样，从概念上可以想象到:当所有码距相等时是（重量谱为线谱）码的性能应该最好；或者退一步说，当各码距相当不大时（重量谱为窄谱）性能应该叫好。事实证明确实如此，在同样的mind条件下，窄谱的码一般比宽谱的码更优。纠错重量谱的研究具有理论与现实意义，不仅仅是计算各种译码差错概率的主要依据，也是研究码的结构、改善码集内部关系从而发现新的好码的重要工具。但目前除了少数几类码如汉明码、极长码等的重量分布已知外，还有很多码的重量分布并不知道，距离分布与性能之间确切的定量关系对于大部分码而言尚在进一步研究当中，特别当n 和k 较大时，要得出码重分布是非常困难的。