求函数最值常用的方法及经典例题讲解
知识点：
一、函数最大（小）值定义
最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；
（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．
那么，称M 是函数()y f x =的最大值．
思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义．
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．
)
二、求函数最大（小）值常用的方法．
案例分析：
例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征
①()3f x x =-+ ②()3
[1,2]f x x x =-+∈-
？
③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-
，
类型一、直接观察法
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例 1、求函数
1
,[1,2]
y x
x
=∈
的值域
A、单调递减，无最小值
B、单调递减，有最小值
B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值—
小试牛刀：
1、求函数
2
1
y
x
=
-
在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
2
|
类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
例： 求函数3456x y x +=
+值域。
'
实战训练场：
1) 求函数2
13-+=x x y 的值域；
2) 函数.11的值域是x x y +-=
类型三、倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
^
()5522++=x x x f 例1
、求函数
y =
的值域。
例2、求函数
的值域。
类型四、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一
(二次函数）（02
≠++=a c bx ax y ]44(0);44[022a b ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时)。 例、求函数
225,y x x x R =-+∈的值域。 ！
实战训练场：
1、]53(2
32，求函数-∈+-=x x x y 的值域；
-
2、求562---=
x x y 函数 的值域；
类型五、根判别式法
—
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
例1、求222231
x x y x x -+=-+的最值
例2、求函数x
x y 1+=的值域；
例3、已知函数)(1
2R x x b ax y ∈++=的值域为[],4,1-求常数b a ,
<
实战训练场：
（1）求函数1
22+--=x x x x y 的值域
(2) 求函数3
274222++-+=x x x x y 的值域
| 二、[]),(2f e x n
mx c bx ax y ∈+++=类型 解法：用代定系数法将它化为2()()()p mx n q mx n k k y p mx n q mx n mx n
++++==+++++ (),k b pt q t mx n y ax t x
=++=+=+再利用函数的图象和单调性来解。 例1、求2335(2)22
x x y x x -+=<≤-的最小值 三、2([,])mx n y x e f ax bx c
+=∈++类型 解法：用代定系数法将它化为：
211(),()()()mx n y t mx n k k p mx n q mx n k p mx n q pt q mx n t +====+++++++
++++ 再利用函数b y ax x =+
的图象和单调性来解。
例1、求22(56)36
x y x x x -=
≤≤-+的最值
{
变式训练：
1、求函数. )2
5(42542的值域≥-+-=x x x x y
2、函数4522++=
x x y 的最小值
,
类型六、换元法：“;)0(d cx t ac d cx b ax y +=≠+±+=的函数，可令形如
例1、求函数x x y -+=142的值域
,
例2、求函数y x =+
练习：
(1) 求函数. 12的值域x x y --=
—
类型七、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例1：求函数1
1+-=x x
e e y 的值域。
例2、求出下列函数的值域：
1、y=
x
sin 11+ 2、 y=x cos 2-
~
例 3、求函数x
x y cos 2sin 2--=的最大值和最小值
例4、求函数θ
θθθcos 11sin 2,sin 11sin 2+-=+-=
y y 的值域。 【
类型八、 函数单调性法
例1. 求函数
)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
#
类型九、一一映射法
原理：因为
)0c (d cx b ax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求
另一个变量范围。
例1、求函数
1x 2x 31y +-=的值域。
'
例2、设函数y=|x 2-x|+|x+1|，求-2≤x≤2时，y 的最大值和最小值．
#
例3、已知函数,2
1log 321-
≤≤-x 求函数4log 2log 22x x y ?=的最大值和最小值。
例3、已知,1log 12
1≤≤-x 求函数2214411+??? ??-??? ??=-x
x y 的最大值和最小值。 ：
1、求函数|3||1|y x x =--+的最大值和最小值．
~
2、求函数的值域|4||1|++-=x x y
3．已知直线012:=+-y x l 和点A （-1，2）、B （0，3），试在l 上找一点P ，使得PB PA +的值最小，
并求出这个最小值。
;
4. 已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 2
1=上，求2
2PB PA +取得最小值时P 点的坐标。
:
5. 求函数()f x =
的最小值。
—
6、求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域。
8、求函数
5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域。
?
9、 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域。
-
10、求函数()481482
2----=x x x x x f 的最小值和最大值。
11、若R y x ∈,且满足:,022
2=-+++y x xy y x 则=max x =min y 。 ~
12、若.41,,22≤+≤∈y x R y x 求2
2y xy x u ++=的最值。
13、设，且2120,0=+y x y x 求当y x ,为何值，)148(log 231++=y xy u 取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。
14、已知,0623,22=-+∈x y x R y x 且求222y x +的值域。