放缩法技巧及经典例题讲解(1)

放缩法技巧及经典例题讲解 一．放缩技巧

所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，

由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2）

<

>

，11>

n >=

（3）

21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n

-=<<=->++-- （4

）=

<=<=

（5）若,,a b m R +

∈，则,a a a a m

b b m b b

+><

+ （6）21111111

112!3!!222

n n -+++???+<+++???+

（7）22211111111

11(1)()()

232231n n n

+

++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n <-） （7）

1111111112321111n

n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++

或11111111

123222222n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8

）1???+>???+== （9）

)1(11)1(12-<<+k k k k k ，??

????--≤！！（！k k k 1)11211

（10） 1

211

2-+<

<++k k k k k

【经典例题】

例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n

（1） 求{}n a 的通项公式； （2） 若11111,1,1++-=-=

-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ?的前n 项和3

1

分析：（1）此时我们不妨设)

(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++

即

B

A An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-=

B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又}

{,211n a a n -∴=-是首项为2，公比为2的等比数列。

n

a n a n n n n +==-∴2,2即.

（3） 由（1）知

n n n n b n a 21

,2=

∴+=. 当2≥n 时,

.2122

1121121...21211......1)(...)()(112121123121-----=--

=++++=++++=-++-+-+=n n n n n n n b b b c c c c c c c c

当n=1时，1c =1也适合上式，所以11

22

n n c -=-，

故1

1

11111

()112(22)(21)2222

n n n n n n n

b d ++-=-=---- 方法一：n n 222

1

≥-+ ，312

1

≥-+n (这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有

执果索因的分析才可推测出.)

3

1)211(31211)21

(161231...231231,2312<-?=--?=?++?+?≤∴?≤∴n n

n n n n n S d b .

方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n ≥3时,我们看:

121)]221121(...)301151()14171[(31121

221 (1511417161617)

1

31)12()22(1 (151417613211)

11111-----++-+--=---++-+-+=--?-++?+?+?=

++++++n n n n n n n n n n S S S 我们可重新加括号得

这样由前二项会得到 .

..31

0121

,02211211

1也易让学生接受步想法这样也实现了我们的初得证故显然

<>->---++n n n n s

易验证当n=1，2时 31<

n s . 综上31

<

n s

例2、已知正项数列{}n a 满足()

()

*

2

1111,1N n a n a a a n n n ∈?++

==+ （1） 判断数列{}n a 的单调性； （2） 求证：

()

2

111

112111+<-<+-++n a a n n n n 分析：（1）n

n n n a a n a a >>+=

-++12

10)1(1

故 ，即n n a a >+1

故数列{

n

a }为递增数列.

(2) 不妨先证

21)

1(1

11+<-+n a a n n

.)

1(1

)1(1)1(1

12

121

21

11

+

+=

-=-+++++n a a n a a n a a a a a a a n n n n n

n n n

n n n

再证：1

1

12111+-<+-+n n a a n n

原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法

1

11111...3121211).)

1(1

)1(1()1(1...321211)1(1...3121)11(...)11()11(1122

221

322111+-

=+-++-+-=+<++++?+?<++++<-++-+-=-++n n n n n n n n n a a a a a a a a n n n 这种常用的放缩手段用到了累差迭加法及

1

11

21

2

21111)1(1])

1(1[)1(1

1++++++-=-∴

++=∴++=++=+<∴n n n

n n n n n n n n n n n n a a a a a a n a a a n a a a n a a n a

])1(1[)1(1

)1(1)1(2

21

2

1

2++

+=

+=

+=

++n a n a a n a a n a n

n

n n n n

.

,)1

1)(1(1

也易让学生接受的这种证法还是比较自然++

++=

n a n n n

.

当2≥n 时，11<<+n a n a n n 2

1

11)2)(1(1111+-+=++>-∴

+n n n n a a n n .

易验证当n=1时,上式也成立.

综上,故有2

1)

1(1

112111+<-<+-++n a a n n n n 成立.

经典方法归纳：

一．先求和后放缩

例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a s ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=

n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为,n B ，求证：2

1

114(1)n n S a --=+，作差得：

1

2

12224----+=n n n n n a a a a a ，所以

)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为

{}n a 为正数数列，所

以

2

1=--n n a a ，即

{}n a 是公差为2的等差数列，由12

11+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n

（2）

)

121

121(21)12)(12(111+--=+-==

+n n n n a a b n n n ，所以

21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=

n n n B n

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}

n a 满足条件

()

n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来

求和．

例2、已知*

21().n n a n N =-∈求证：

*12

231

1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明：

111211111111

.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k

k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->-

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k

-，从而是使和式得到化

二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和

例1．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n n as a a 22

=+.

(1) 求证：4

2

21

++<

n a a S n n ；

(2) 求证：

2

1

21

321-<+???+++<+n n n s s s s s s 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112

122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有1

12

12+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到

n

n n S S a -=++11得

0)1)((11=--+++n n n n a a a a

01>+∴>+n n n a a a ∴

11

n n a a +-=

所以，

n

n a n =-?+=)1(11，

(1)

2n n n S +=

所以42)1(212)1(2

1

2

22++=

++?<+=n n n a a n n n n S

（2）因为

1)1(+<+

2)1(2

+<+<

n n n n

，所以

2)

1(23222121++

+?+?=++n n S S S n 212322++++

2

12

2312-=

+=

+n S n n ；

22

2)1(2

2

22

121n n S n n n S S S =

+=

+

++

>

++

例2．已知数列{}n a 满足：()???=??? ?

?

+

==+3,2,121,111n a n a a n n n ．求证:1

12

1

3-++-≥≥n n n n a a . 证明：因为

n n n a n

a )21(1+

=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，

即

021>=

-+n n n n a n

a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即

n n n n n n a n a a 221≥=

-+，累加得：121

212221--+++≥-n n n a a ．

令

12212221--+++=

n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得：

n

n n n S 212121212121132--++++=- ，所以

1212-+-=n n n S ，所以121

3-+-≥n n n a ， 故得1121

3-++-

≥>n n n n a a ．

2．放缩后成等比数列，再求和

例2．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：()()n n

n

a a a a

12+≥--；

（2）等比数列{a n }中，211-=a ，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设n

n

n a a b -=12

，

数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：3

1

a a a a a a

?+≥+=--)1()1()(2．

当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是

n n n n n n n a a a a a a a a a a a ?+≥?-+=?-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．

（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比

9812

a q a =

=-．

∴

n

n a )21

(-=． n

n n n

n n b 231

)2(41)2

1(141

?≤

--=

--=

．

∴n

n b b b B ++=2131)211(31211)

211(213123123123122<-=--?

=?++?+?≤n n ．

3．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某 数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列()()32111???-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数

.63=a ．

（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令,1

1n

n n n n a a a a b +++=

，证明,32221+<+???++

,1054==a a ，

2)1(12)1(+=

+++-+=n n n n a n .

（2）因为 ,2,1,22

222211==+?+>+++=+=

++n n n n n n n n n a a a a b n n n n n ，

所以

n

b b b n 221>+++ .

又因为

,2,1,222222=+-+=+++=

n n n n n n n b n ，

所以

)]

21

1()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =3222

1232+<+-+-

+n n n n .

综上，

,2,1,32221=+<++

注：常用放缩的结论：（1）)

2(1

11)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k k k k k k k k k k

（2）．)

2)(11

1(

21

211

2)1

11(

2≥-

-=-+<

<

++=

+-

k k

k k k k

k k k k

三. 裂项放缩

1、若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例1. 已知n ∈N*，求n n

2131211<+???++

。 证明：因为122

121n n n n n n n =++-=--＜（）

，则11213+++ …＜（）（）…（）＜+

+-+-++--=-1122123221212n

n n n n

，证毕。

例2、已知a n =n ，求证：∑n

k=1

k

a 2k ＜3． 证明：∑n

k=

1

2

k a =∑n

k=1

＜1＋∑n

k=2

1

(k －1)k (k ＋1)

＜１＋∑n

k=2

2

(k －1)(k

＋1) ( k

＋1 ＋k

－1 ) =2

1n

k =+

=1＋ ∑n

k=2

(

1(k －1) －

1

(k ＋1)

) =1＋1＋

2

－1(n ＋1) ＜2＋2＜3．

本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.

例3. 已知*

N n ∈且)1(3221++???+?+?=n n a n ，求证：

()()2

1212

+<<+n a n n n 对所有正整数

n 都成立。

证明：因为

n n n n =>+2

)1(，所以

2)1n (n n 21a n +=

+++> ，

又

2)

1()1(+<

+n n n n ，

所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2

n +=

++++=++++++< ，综合知结论成立。

2、固定一部分项，放缩另外的项； 例4、求证：

222

2111

171234

n ++++

< 证明：

21111(1)1n n n n n

<=--- 2

22221111111115117

1()().123

223

1424

n n n n ∴

++++

<++-++

-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

例5、设+

+

=a n a 21

1.2,131≥++a n a a

求证：.2

31211131222n

n a a ++++≤++ 又2),1(2≥->?=k k k k k k

（只将其中一个k 变成1-k ，进行部分放缩），k k k k k 1

11)1(112--=-<∴，

于是)111()3121()211(11312112

22n n n a n --++-+-+<++++≤ .21

2<-=n

例10 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 12

1，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有

2)(+≥n a i n ；2

1

111111)

(21≤++++++n a a a ii （02年全国高考题） 解析 )(i 用数学归纳法：当1=n 时显然成立，假设当k n ≥时成立即2+≥k a k ，则当

1+=k n 时312)2(1)2(1)(1+>+?+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ，成立。

)(ii 利用上述部分放缩的结论121+≥+k k a a 来放缩通项，可得

?+≥++)1(211k k a a .2

1

11242)1(2111111++--≤+?

=?≥+≥≥+k k k k k k a a a

.212

11)21(14

12111

11

1

≤--?

=≤++==∑∑

n

i n

i i n

i a 注：上述证明)(i 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：

31)2)(2(1+>+-++≥+k k k k a k ；证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121+≥+k k a a 。

3. 添减项放缩

例11 设N n n ∈>,1，求证)

2)(1(8

)32(++

简析 观察n

)3

2

(的结构，注意到n

n

)2

11()2

3(+=，展开得

86)2)(1(8)1(212

121211)211(33

221+++=

-++≥+?+?+?+=+n n n n n C C C n n n n ， 即8

)2)(1()2

11(++>+n n n ，得证.

四. 公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6. 已知函数(),1212+-=x x x f 证明：对于*N n ∈且3≥n 都有()1

+>n n

n f 。 证明：由题意知

)12)(1()

12(212211)111()1

221(112121)(+++-=

+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f ，又因为*N n ∈且3≥n ，所以只须证122+>n n ，又因为

1n 21n 2

)

1n (n n 1C C C C C )11(2n

n 1

n n

2

n 1

n 0

n n n +>+++-+

+=+++++=+=- 所以

1)(+>

n n n f 。

巩固练习： 1．设1n b n =

（n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T < 1．证：1

n b n

= 21111

()(2)22

n b b b n n n n +=

=-++

1324352n n n T b b b b b b b b +=+++

11111111111[()()()()()]2132435462

n n =-+-+-+-+

+-+ 11113(1)22124n n =+--<++

2．设2

22111123

n S n

=+

+++

（1）求证：当2n ≥时，

21

n n

S n <<+； （2）试探究：当2n ≥时，是否有

65

(1)(21)3

n n S n n <<++？说明理由.

2．解：（1）∵当2n ≥时，

21111(1)1n n n n n

<=--- ∴2

2211

11111111[(1)()(

)]23

223

11

n n n ++++

<+-+-++--+＝1

21n -+2<

又∵

21111

(1)1

n n n n n >=-++ ∴11111(1)()()2

231

n S n n >-+-++-+1111n

n n =-

=++ ∴当2n ≥时，

21

n n

S n <<+. （2）∵

22144112()4(21)(21)2121

n n n n n n =<=--+-+ ∴222111111111

112[()()(

)]2335572121

n n n +

+++<+-+-++--+ ＝52321n -

+5

3

< 当2n ≥时,要6(1)(21)n n S n n >

++只需61(1)(21)

n n

n n n >+++

即需216n +>，显然这在3n ≥时成立 而215144

S =+

=,当2n ≥时

6624(1)(21)(21)(41)5n n n ?==++++ 显然54

45> 即当2n ≥时6(1)(21)

n n

S n n >

++也成立

综上所述：当2n ≥时，有65

(1)(21)3

n n S n n <<++.

3．设135

21

246

2n n b n

-=????

，求证：

（1）

n b <

（2）1231n b b b b ++++<

3．证法一：∵2

2

414,n n -<∴2

2

2

(21)(21)4(21)(21)4(21).n n n n n n n -+

∴

212n n -< ∴

1352135

21246

2357

2121

n n n n n --????

=

++………………10分

证法二：

212n n -<=，下同证法一. …………10分

证法三：（利用对偶式）设135

21246

2n n A n -=??，246235721

n n

B n =??+， 则121n n A B n =+.又22414n n -<，也即212221n n n n -<

+，所以n n A B <，也即2

121

n n n A A B n <=+， 又因为0

n A >，所以n A <

.即 13521

246

2n n -????

< ………………10分 证法四：（数学归纳法）①当1n =时,

112x =

<命题成立;

②假设n k =时,命题成立,

即

135212462k k -??<

则当1n k =+

时,

135

21212124622(1)2(1)2(2)

k k k k k k k -++???<=

+++ 2

2

22

2

22211(21)(23)4(1)4(1)234(23)(1)(483)(484)1

4(23)(1)4(23)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k +++-+-=+

+++++-

++-=

=<++++

22114(1)23k k k +∴

<

++ <

即

1352121246

22(1)k k k k -+

???<+故当

1n k =

+时，命题成立.

综上可知，对一切非零自然数n

，不等式②成立. ………………10分

②由于

<< 所以

k b <

<， 从而12(31)(53)(2121)1n b b b n n ++<-+-+

++--=.

也即1221n b b b a +

+<………………14分

4．设n a n =，21

2

(

)n n n b a a +=+

求证（1）

12n n a a +<

+ （2）*123()1

n n

b b b b n N n ++++<

∈+

4． 证明：（法一）

111211232

2(1)211

(

),9(1)(1)

111

1223(1)

n n n n n n n n

n n n n a a a a a a a a n n b a a n n n n b b b n n +++++>?∴<=

+?+∴<<

+++∴+++

+<

+++??+即分

b

11111111223111

n

n n n n =-+-++-=-=

+++ ………………12分 （法二）（1）当21241

1,(),21192

n b =====?+时右右，显然成立 …………5分

（2）假设n k =时，

2

1212()123

k k b b b k k +++

+<

+++ ………………7分 22222222221()1232

(2)(23)4(1)(2)(1)(23)(1)(23)(2)

(23)[(2)(1)]4(32)(1)(23)(2)

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++-++++++++-++=++?+++-++++=

++?+

221211

(1)(23)(2)21()1232

11

112(1)1k k k k k k k k k k k b b b k k +-=

<++?++∴+<+++++∴+++<=

+++分

即当1n k =+时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。…………12分

5． 设2

(1)n b n =+，(1)n a n n =+， 求证:

11221115

12n n a b a b a b +++<+++…

5．证明: 当1n =时，11115

612

a b =<+．

当2n ≥时.

(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．

11111

()2(1)21

n n a b n n n n <=-+++

故

112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??

+++<++++ ?+++??+??

……

111111116223341n n ??=

+-+-++- ?+?? (111111562216412)

n ??=+-<+= ?+?? 综上，原不等式成立．

6．设n S 为数列}{

n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．

（1）求证：数列}{

n a 是等比数列；

（2）设数列}{

n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)， 求数列{}n b 的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}

2n b 的前n 项和89

18

n T <

． 6．（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ． 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-． 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴

11n n a m

a m

-=+()2n ≥． ∴数列}{n a 是首项为1，公比为1m

m +的等比数列． （2）解：由（1）得，()m f q =1m

m

=+，1122b a ==．

∵()1

11

1n n n n b b f b b ---==

+，

∴

1111n n b b -=+，即1111

=--n n b b ()2n ≥． ∴?

?????n b 1是首项为1

2，公差为1的等差数列．

∴

()11211122n n n b -=+-?=，即221

n b n =-（∈n N *

）． （3）证明：由（2）知221n b n =

-，则()

2

2

421n b n =-．…所以2222123n n T b b b b =++++

()

2

444

4925

21n =+++

+-，

当2n ≥时，

()

()2

4

411

222121n n n n n <

=----，

所以()

2

444

4925

21n T n =+

+++

-

411111

14923341n n ??????<++-+-++- ? ? ?-??????

4011899218

n =+-<．

7.在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122,,n n n a a a ++成等比数列，

1,2,3,

n =．

（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；

（3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42n n S n <+，n *∈N ．

解：（1）由已知，得33a =，56a =，49

2

a =

，68a = . （2）（证法1）121222a ?==，362322a ?==，51234

22a ?==

，……； 2222a =，2432a =，2

642

a =，…….

∴猜想21

(1)2

n n n a -+=,22(1)2n n a +=，*n N ∈，

以下用数学归纳法证明之． ①当1=n 时，21111a a ?-==，2

21

222

a ?==，猜想成立； ②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，猜想成立，即21(1)

2

k k k a -+=,22(1)2k k a +=，

那么

[]22(1)121221

(1)(1)1(1)(1)22222

k k k k k k k k k a a a a +-+-+++++==-=?-=, []

[]2

2

2

2

2

12(1)22

2

2(1)(2)(1)1(2)22

2

(1)2

k k k k

k k k a k a a a k ++++++++====

=

+.

∴1+=k n 时，猜想也成立．

由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，猜想成立．

∴当n 为奇数时，8

)

3)(1(212121++=???

??+++=n n n n a n ；

当n 为偶数时，8

)2(21222

+=

?

?? ??+=n n a n ． 即数列}{n a 的通项公式为???

????+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8

)

3)(1(2

． （注：通项公式也可以写成16

)1(721

812n n n n a -+++=）

（证法2）令1

21

2-+=

n n n a a b ，*n N ∈，则 1222212121

22212

1

21

22212321-=-?=-==

++++++++++k

k k k k k k k k k k n a a a a a a a a a a a b

11411412

21

21

212121

2121

2-+=-+?

=-+=

-+-++-+n n

k k k k k k k b b a a a a a a a ．

∴n n n b b b +-=

-+1)1(211，1121)1(22)1(111-+=-+-=-+n n n n b b b b ．

从而

21111

11=--

-+n n b b （常数），*n N ∈，又2

1111=-b ，

故}11{

-n b 是首项为21，公差为2

1

的等差数列，∴221)1(2111n n b n =?-+=-， 解之，得n n b n 2+=

，即n

n a a n n 2

1212+=-+，*n N ∈． ∴3

2125232573513112-----??????

=n n n n n a a a a a a a a a a a a 2

)

1(1123524131+=

-+?-?????=n n n n n n ， 从而2

)1(22)

2)(1(2)1(2

21

2122+=

+++

+=+=

+-n n n n n a a a n n n ．（余同法1） （注：本小题解法中，也可以令n n n a a b 222+=

，或令1

22-=n n n a a

b ，余下解法与法2类似） （3）（法1）由（2），得???

?

??

?

+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8

,)3)(1(812

． 显然，2

11

4341111+?=<==

a S ； 当n 为偶数时，

???

???+++?+++?++?++?=2222)2(1)2(181861616414

14218n n n S n ?????????? ??+++?++??? ???+?+??? ???+?+??? ?

??+?<)2(1

)2(18618616416414214218n n n n ????????? ??+-++??? ??-+??? ??-+??? ?

?-=2118161614141218n n

2

421218+=

??? ??+-=n n n ； 当n 为奇数（3≥n ）时，)

3)(1(82)1()1(411++++--<+

=-n n n n a S S n n n 2

4)3)(2)(1(8242)3)(1(211424+<+++-+=??????+-++++-++=

n n

n n n n n n n n n n n n n . 综上所述，2

4+<

n n

S n ，*n N ∈．

（解法2）由（2），得???

?

??

?

+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8

,)3)(1(812

． 以下用数学归纳法证明2

4+

S n ，*n N ∈． ①当1=n 时，2

114341111+?=<==a S ； 当2=n 时，2

22422321111212+?=<=+=+=

a a S ．∴2,1=n 时，不等式成立．…… ②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即2

4+

S k ， 那么，当k 为奇数时，

2

1

1)3(8

241+++<

+

=++k k k a S S k k k 2

2)3)(2(8

3)1(431)3(2243)1(4++-++=??

????++-++++++=

k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++

当k 为偶数时，

)

4)(2(8

2411

1++++<

+

=++k k k k a S S k k k )4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=??

????++-+++++++=

k k k k k k k k k k k k k

2

)1()1(4+++<

k k ．

∴1+=k n 时，不等式也成立．

由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，不等式2

4+

S n 成立． (14)

2021年典型例题：用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式 欧阳光明（2021.03.07） 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证 143 ＜＋＜a b 。 证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋ b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14 （a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14 （a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： 证明：因为 a a b b a b b a b a b a b 22222 2342 22++= +++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。

所以 a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证： 12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞ ，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以 a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角 形的边，故b +c ＞a ，则a b c +为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c +++＜2， 故a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 131211＜…+ +++。 证明：因为，则11213+ ++

用“放缩法”证明不等式的基本方法

2 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放 缩） n a =n ，求证：k=1 例3、已知 a k n 证明：苕 1 V (k — 1)k(k + 1) _________ 二［+￡莖壬匹 ^/(k — 1)(k + 1) ( >/k + 1 +寸 k — 1 ) k z2 (二 学习必备 欢迎下载 用放缩法”证明不等式的基本方法 近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生 逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提 的是，高考中可以用 放缩法”证明不等式的频率很高， ,对它的运用往往能体现出创造性。 放缩法”它可以和很 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察， 例谈 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的 需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩 k 时就舍去了 2 -2，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例 2、函数 f (x )= 一，求证：f (1) +f (2) + …+f (n ) 1 +4x f(n)=二=1--^A 1-丄 1 +4n 1+4 2 *2 1 1 1 +f (2) + …+f (n ) >1—+1屮"+1— 2 21 2 22 2 2n +1 +1 +…=n + 丄一1 (n 迂 N *). 2 4 2n 2n '1 2 此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数， 再对分母进行放缩，从而对左边可以进行 求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。女口 它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 ，有极大的迁移性 多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标, 放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题, 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 例1、已知 a n =2“ -1(n 亡 N ）.求证: n 1 2—3 a 2 a 3 + a n 证明：，— a k + 2k -1 =2^ 1 2 "2(22-1) _ 1 "2"3.2k +2k -2 >1-1.l^,k=1,2,..., n, 2 3 2k 玉+更+ +旦 a 2 a 3 「-1(1 +-+...+丄)」-丄(1二)「-1 , 2 3 2 22 2n 2 3 2n 2 3 2 3 a 2 a 3 + <-(n 迂 N *). a n + 2 证明：由 需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可; 如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

用放缩法证明不等式的方法与技巧

用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12 112-+<<++k k k k k 3．22k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ （待学） 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> ，n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111123222222 n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1+???+>???+== 三．常见题型 （一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N * ∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T < （二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：111 12112123 123n ++++

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的

数列数学归纳法测试题

数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题： 1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ） (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ） (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ） (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ） (A )n S >n na >1na (B ) n S 45a a (D ) 36a a ≥45a a 10、一个等比数列前n 项和为21n -，则它的前n 项的各项平方和为……………………………（ ） (A )2(21)n - (B ) 122(21)n - (C )41n - (D )1(41)3 n - 11、据市场调查，预测某种商品从2004年初开始的几个月内累计需求量n S （万件）近似满足n S =2(215)90 n n n --，则本年度内需求量超过1.5万件的月份是……………………………（ ）

放缩法证明不等式的基本策略

放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一 提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。 放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n J k 例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3- 它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运 用往往 对应变能力有较高的要求。 因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。下面结合一 例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明：Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 （ 1 1 二（二 二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2，从而是使和式得到化简 例2、函数f (x ) =±- 1 4x ，求证: （1）+f （ 2） +…+f (n ) 证明：由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分

典型例题：用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143 ＜＋＜a b 。 证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以 a ＋ b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 证明：因为a ab b a b b a b a b a b 222 22 234 2 22++=+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以

(完整版)放缩法典型例题

放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：

解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．

∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，

数学归纳法典型例习题

欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。

? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?

例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T <<

例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++<

数学归纳法例题讲解

数学归纳法例题讲解 例1．用数学归纳法证明： ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?n n n n ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边3 13 11=?= ，右边3 11 21= += ，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?k k k k ． 那么当n =k +1时，有： ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ?? ??????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ??-= 321121121121 7151513131121k k k k 3 22 221321121++? =??? ??+-= k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ()() 321211 2+++ += k k k k

()() ()()()() 321211232121 322 ++++= ++++= k k k k k k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ??? ??=++=+=60 3224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…

用放缩法证明不等式word版本

利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法 主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3,n =L 。设2n n n T S =，1,2,3,n =L ，证明： 1 3 2 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--11 32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231 11 3113111111 ()()221212212121212121n n i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑L = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ， 2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥ 。 证明：（I ）1111111 ()2322122n n T T n n n n n n +-=+++-++++++++L L 11121221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+Q L 1221122n n T T T T S --=+++++L 由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥L ，又11217,1,212T S T = ==， 12211222n n n S T T T T S --∴=+++++L 21171711 (1)(1)112212 n n T T S n +≥-++=-++= 即当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+L 的

导数应用于不等式证明之放缩法一例

导数应用于不等式证明之放缩法一例 的单调区间； 求轴垂直，处的切线与，在点（曲线是自然对数的底数），为常数，已知函数)()1())1(1)(...718.2(),2(ln )(.21x f y f x f y e k k x e x f x ==-=- 2)()1(,0)1(ln 1)(2-+<+>+-=x x x e e x g x x e x x x g 证明：，对任意）设（ ()()()】式成立。证毕。恒成立，【所以所以）递增 ，）递减，在（，在（划分单调区间如下：解得令】 【只需证再用放缩法 ， ）即证明（）（】，只需证 ，要证【）（） （），所以（放缩，由于以下对】 【证明：结论20)(011132 ln 2)(0)(,,0ln 3)(,ln 31ln 2)(2),0(,0ln 2x )(,0ln 2x ln 1x 1 )]1(ln 1[)1(1)], 1(ln 1[1)1(11)1(1)1()(111),1()()]1(ln 1[1)0(,)1(ln 11323232332 3333min 33322222222222222222>>-=+-=+-=+-=++==∞+>>+='+=? ++='>>++=>+++?-->+++?+->+++-?+>++++≥++≥+≥+<+-?+?>+<+-?+?------------------------x h e e e e e e e e e e e e e e h h e e x h e x x x h x x x x x h x e x x x h x e e x x x x x x e e x x e x x x x e x e x e e x e x e e e e x x x x e e e x x x x x x x x x x x

不等式放缩法

利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 点评： 关键是将12(21)(21) n n n +--裂项成111 2121n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成 1122 112222n n n n S S S S S S S ----+-+ +-+的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。 例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。 若 3 *3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的* n ∈N ，不等 式 12111 (1)(1+)(1+)n c c c +??>恒成立． 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。33 131(1+ )()32 n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131 ()323231332 n n n n n n n n n n --++>??=----，而通项式为31 { }32 n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结

1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ，若5 4)1(= f ，且 )(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证： .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例4 已知222121n a a a +++=L ，222 121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2 211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ） 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+

高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解(可编辑修改word版)

A. n －1 B. n ＋1－1 C. n ＋1－2 D. n ＋2－2 高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解 一、选择题 1 1 . 已知a ＝ ，数列{a }的前n 项和为S ，已计算得S ＝ 2－1， S ＝ 3－1，S ＝1， n n ＋1＋ n n n 1 2 3 由此可猜想 S n ＝( ) [答案] B 1 1 1 1 2．已知 S k ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ (k ＝1,2,3，…)，则 S k ＋1 等于( ) k 1 k 2 k 3 2k 1 A. S k ＋ ＋ 2(k 1) 1 1 B. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 k 1 1 1 C. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 2k 2 1 1 D. S k ＋ ＋ ＋ ＋ 2k 1 2k 2 [答案] C 1 1 1 1 1 1 1 [解析] S k ＋1＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ (k 1 1 1 1) 1 1 (k 1) 2 1 2(k 1) 1 1 k 2 k 3 2k 2 k 1 ＋…＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋ ＋ ＝S k ＋ ＋ － ＋ . k 2 2k 2k 1 2k 2 k 1 2k 1 2k 2 3. 对于不等式 1°当 n ＝1 时， n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 12＋1≤1＋1，不等式成立. 2°假设 n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即 k 2＋k

数学归纳法典型例题

实用文档 文案大全数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n= k（）时命题成立，

证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步 实用文档 文案大全各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016421） 、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值n 0 （如n 0 1或2等）时结论正确; （2）假设当n k （k N , k n °）时结论正确，证明n k 1时结论也正确. 综合（1）、（ 2）, 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤，一结论 、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 用数学归纳法证明: 当n=k+1时. k 1 2k 3 由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立. 证明：①n=1时，左边 ②假设n =k 时, 2n 1 1 2n 1 n 2n 1 1 3 等式成立，即: -，右边 3 -，左边=右边，等式成立. 3 2k 1 2k 1 k 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 2k 3 2k 1 2k 1 2k 3 2k 2 2k 1 3k 1 2k 3 2k 1 k 1 2k 1 2k 3 这就说明, 当n=k+1时，等式亦成立,

题型2.证明不等式 11 1 _ 例2 ?证明不等式1 2打（n € N ）. V 2 <3 V n 证明：①当n=1时，左边=1，右边=2. 左边 <右边，不等式成立. 那么当n=k+1时， 2 .k 2k 1 2.k 1 这就是说，当n=k+1时，不等式成立. 由①、②可知，原不等式对任意自然数 n 都成立. 说明：这里要注意，当 n=k+1时，要证的目标是 1 1 1 1 ---------------------------------------- 1 — — — ------------ 2 \ k 1，当代入归纟纳假设后，就是要证明: ■. 2 3 . k 、k 1 2、、k 1— 2 k 1 . -k 1 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标. 题型3.证明数列问题 例 3 (x + 1)n = a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + …+ a n (x — 1)n (n > 2, n € N *). (1)当 n = 5 时，求 a o + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 的值. a 2 十 ⑵设b n = 2厂3， T n = b 2 + b 3 + b 4+…+ b n .试用数学归纳法证明：当 n 》2时，T n = n(n +1)( n — 1) 3 . 解：(1) 当 n = 5 时， 原等式变为(x + 1)5= a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + a 4(x — 1)4+ a 5(x — 1)5②假设n=k 时，不等式成立，即 1 'I 1 .3 1 . 2 1 ■- 3