《光量子学基础》
说明：习题难度非常低，大多习题均可以在ppt 中直接找到答案。
第一次习题：
1．
计算（1）：de Broglie 波长均为5埃（?）的电子、中子与光子的动量与能量各为多少？ 计算（2）：当电子与中子的速度都为1000m/s 时，它们的物质波（de Broglie 波）波长各为多少？当它们通过一个宽度为10nm 的细缝时，谁的衍射效应强？哪者需要使用量子论研究，哪者可以近似用牛顿力学处理？
普朗克常数34
6.6310h -=?J ·s, 约化（reduced ）普朗克常数
341.05102h
π
-=
=?J ·s, 电子质量300.91110-?Kg, 质子与中子质量接近，可以取27
1.6710-?Kg 。
2． 根据“1-量子力学的提出.ppt ”中的内容，把Compton （康普顿）散射理论独立推导一遍，体会光子的确具有客观实在性，同时锻炼自学能力。 3．
根据“1-量子力学的提出.ppt ”中的内容，把Bohr （波尔）的氢原子结构理论的数学独立推导一遍，体会Bohr 创建原子模型的心路历程，同时锻炼自学能力。
第二次习题：
1．下面各个状态中，哪个与1ψ描写同一个状态？理由是？
2/2/3/1232/(2)/
2/456,,,
,
3,
(42).i x i x i x i x i x i x e e e e e i e π
ψψψψψψ--+====-==+
2．有两个波函数
12sin ()||()1,2,3,
20||sin
()||()1,2,3,
20||n A x a x a x n a
x a n A x a x a x n a
x a
πψπψ?-≤?
==±±±??>?
?
+≤?==±±±??>?
1()x ψ与2()x ψ是否等价？理由是？
对1()x ψ中，2n =±的两个波函数，是否等价？理由是？
3．由薛定谔方程
2
2[]2i V t μ
?ψ=-?+ψ?证明：
2
[]
2i t μ
*
**?ψψ=??ψ?ψ-ψ?ψ?（）， 并与粒子数守恒公式（连续性方程）
0J t
ω
?+??=?比较：如果粒子数密度ω定义为*ψψ，那么流密度J 的表达式是什么？
4．一维谐振子处于状态22()exp(/2)x A x ψα=-。求：归一化系数A （请用α表
示）。
第三次习题：
1．一维无限深势阱，其势能分布是： ,00,0,x V x a x a ?+∞
=≤≤??+∞>?
求势阱中的粒子波函数（包括归一化系数）与对应的能量本征值。
2．大学生应该有相当高的自学能力。根据 “4-力学量的算符表示与氢原子.ppt ”角动量算符（自学部分），独立推导出如下的角动量算符三个分量公式以及角动量算符平方公式（需要比较高的忍耐力。也有助于理解直角坐标系与球坐标系之间的关系，此训练具普适性）：
2
222211?[(sin )]sin sin L θθθθθφ
???=-+???
3．由于氢原子内电子是没有确定的轨道的，电子位置测不准度x ?就是氢原子半径（大约为0.5埃）。根据动量－位置测不准关系2
p x ??≥
，试计算动量不确定度p ?。
再计算()2
/2p μ? （μ为电子质量），看看()2
/2p μ?与氢原子基态能量13.6-eV 是否处于同一数量级？如果处于同一数量级，说明什么？
?[sin cot cos ]?[cos cot sin ]?x
y
z
L i L i L i φθφθφφθφθφφ???=+????
???=-+?????
?=-????
根据动量－位置测不准关系，计算一个宏观小球的动量不确定度p ?（假设小球的质量为10克，位置不确定度是0.01米，小球的速度是5m/s ）。将动量不确定度p ?与小球动量比较，比较结果说明了什么？
4． 证明角动量对易关系[,]y z x L L i L =
5．
选择题：电子显微镜与扫描隧道显微镜获得了1986年Nobel 物理学奖，
它们各自使用了什么量子特性： 电子显微镜原理（ ）；扫描隧道显微镜原理（ ）
A. 电子的波动性
B. 隧道（势垒）贯穿效应
C. 电子具有自旋自由度
D. 电子能量（能级）量子化
（可以使用网络资源，去了解电子显微镜与扫描隧道显微镜的基本原理）
第四次习题： 1．电子自旋算符为：
试证明：它们也满足与角动量对易关系[,]y z x L L i L =类似的式子：
[,]y z x S S i S =。
依次类推，我们还可以得到[,]x y z S S i S =，[,]z x y S S i S =。试证明以上三式可以合并写为：S S i S ?=。
（注意：如果S 是经典物理量，S S ?必然为零，但现在S 是算符，S S ?不为零）
2．Stern －Gerlach 实验对于预言电子自旋概念具有重要的启发性意义。叙述
Stern －Gerlach 实验现象，并对现象进行解释。
3. 求Pauli 矩阵与空间单位矢量的乘积n σ?的本征态与本征值，其中
(s i n c o s ,s i n s i n ,c o n θ?θ?θ=，cos sin sin cos i i e n e ??
θ
θσθθ-??
?= ?-??
。
（答案是： 有两个本征态与本征值λ： 2
2cos 2sin 2i i e e ?
?
θθ
-?? ?
? ? ???
，1λ=+； 2
2s i n 2c o s 2i i e e ?
?
θθ-?? ? ? ?- ???
，
1λ=-）
4. 电子x,y 分量的自旋算符为
???
?
??-=
???
?
??-=
???
? ??=
1001200201102 z y x S i i S S
010,
10022x y i s s i -????== ? ?????。当电子自旋波函数为z s 本征态10??
???
时，计算
()
2
x s ?，()2
y s ?。
提示：()()2
2
2
x x
x
s s s ?=-，答案都为
2
/4。
第五次习题：
（如果有，则由童利民老师提供）