1．1集__合
1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义
[提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工；
(2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点；
(3)不等式组?
????
x ＋1≥3，
x 2≤9的整数解；
(4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．
问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．
问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？
提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念
[化解疑难]
准确认识集合的含义
(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．
(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.
[提出问题]
问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？
提示：相等．
[导入新知]
1．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．
2．集合元素的特性
集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
[化解疑难]
对集合中元素特性的理解
(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.
[
某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．
问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？
提示：是这个集合的元素．
问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？ 提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素． [导入新知]
1．元素与集合的关系
(1)如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ?A . 2．常用的数集及其记法
[1．对“∈”和“?”的理解
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ?A ”这两种结果．
(2)“∈”和“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的． 2．常用数集关系网
[例1] (1)上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合； ②由1，32，64，????－12，1
2
组成的集合有五个元素； ③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．
[解] (1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．
(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合． ②不正确．由于32＝64，????－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，1
2这三个元素组成的．
③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合． [类题通法]
判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点
(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．
[活学活用]
判断下列每组对象能否构成一个集合． (1)著名的数学家；
(2)某校2017年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；
(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．
解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.
[例2] (1)) A ．0∈A B ．a ?A C ．a ∈A
D ．a ＝A
(2)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；② 3?Q ；③0∈N *；④|－4|?N *. A ．1
B ．2
C．3 D．4
[解析](1)由元素与集合的关系可知，a∈A.
(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3?Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0?N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．[答案](1)C(2)B
[类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．
[活学活用]
给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a?Z；
③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为()
A．0B．1
C．2 D．3
解析：选B实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.
[例3]
[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.
当a＝－1时，
集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.
[类题通法]
关注元素的互异性
根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．
[活学活用]
已知集合A中含有三个元素1,0，x，若x2∈A，求实数x的值．
解：∵x 2∈A ，∴x 2是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x 2＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若x 2＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，此时集合A 中有两个元素1，舍去；当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若 x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.
1.警惕集合元素的互异性
[典例] 若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．
[解析] ∵A ＝B ，
∴????? x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或?????
x ＋1＝x 2
＋x ，1＝x 2
.
解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 [易错防范]
1．上面例题易由方程组求得x ＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．
2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性．
[成功破障]
若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：①若a －3＝－3，则a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．
②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.
当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意； 当a ＝－1时，由②知不合题意． 综上可知a ＝0或a ＝1. 答案：0或1
[随堂即时演练]
1．下列选项中能构成集合的是()
A．高一年级跑得快的同学
B．中国的大河
C．3的倍数
D．有趣的书籍
解析：选C根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．
2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是() A．梯形B．平行四边形
C．菱形D．矩形
解析：选A由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
3．有下列说法：
①集合N与集合N*是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________(填序号)．
解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.
解析：代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0?A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.
答案：2或4
5．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.
由①知x＝0应舍去．
综上知x＝1，y＝0.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列判断正确的个数为()
(1)所有的等腰三角形构成一个集合．
(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合．
(3)素数的全体构成一个集合．
(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合．A．1B．2 C．3 D．4
解析：选C(1)正确；(2)若1
a＝a，则a
2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，－1}，∴(2)
正确；(3)也正确，任何一个素数都在此集合中，不是素数的都不在；(4)不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故选C.
2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是()
A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈M
C．0∈M,2?M D．0?M,2?M
解析：选B从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0?M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.
3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()
A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
解析：选A由于选项A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而选项B，C，D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．
4．已知集合M中的元素x满足x＝a＋b2，其中a，b∈Z，则下列实数中不属于集合M中元素的个数是()
①0；②－1；③32－1；④
2
3－22
；
⑤8；⑥
1
1－2
.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选A 当a ＝b ＝0时，x ＝0；当a ＝－1，b ＝0时，x ＝－1；当a ＝－1，b ＝3时，x ＝－1＋32；2
3－22＝2(3＋22)(3－22)(3＋22)＝6＋42，即a ＝6，b ＝4；当a ＝0，b ＝2时，x
＝22＝8；1
1－2＝1＋2(1－2)(1＋2)＝－1－2，即a ＝－1，b ＝－1.综上所述：0，－1,32
－1，23－22，8，1
1－2
都是集合M 中的元素．
5．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有________个元素．( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a 2
＝|a |＝?
????
a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中最多有两个元素．
二、填空题
6．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________.
解析：∵方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等， ∴a ，b 是方程x 2－2x －3＝0的两个根， ∴a ＋b ＝2. 答案：2
7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ______A ，ab _____A ．(填“∈”或“?”)
解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数， 故a ＋b ?A ，ab ∈A . 答案：? ∈
8．设A 是由满足不等式x ＜6的自然数组成的集合，若a ∈A ，且3a ∈A ，则a 的值为________．
解析：∵a ∈A ，且3a ∈A ，
∴?
????
a ＜6，3a ＜6， 解得a ＜2. 又∵a ∈N ， ∴a ＝0或a ＝1. 答案：0或1
三、解答题
9．已知集合M 由三个元素－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成，若2∈M ，求x . 解：当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，x ＝－2或x ＝1，经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意；当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，x ＝－3或x ＝2，经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.
10．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .
解：(1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3，且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1且x ≠0，且x ≠3. (2)∵－2∈A ，
∴x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴x ＝－
2.
11．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a
1－a
∈M (a ≠±1且a ≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？
解：∵3∈M ， ∴1＋31－3
＝－2∈M ， ∴1＋(－2)1－(－2)＝－13∈M ，
∴1＋????－131－????－13＝2
343＝12∈M .
又∵1＋12
1－12
＝3∈M ，
∴在M 中还有元素－2，－13，1
2
.
12．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1
1－a ∈A (a ≠1)．
(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；
(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道
理”．
解：根据已知条件“若a ∈A ，则1
1－a
∈A (a ≠1)”逐步推导得出其他元素． (1)其他所有元素为－1，1
2
.
(2)假设－2∈A ，则13∈A ，则32∈A .其他所有元素为13，3
2.
(3)A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a
，a －1a ，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
由已知，若a ∈A ，则
1
1－a
∈A 知，11－11－a
＝
a －1
a
∈A ，1
1－
a －1a
＝a ∈A . 故A 中只能有a ，
11－a
，a －1a 这3个元素．
下面证明三个元素的互异性：若a ＝1
1－a
，则a 2－a ＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a ≠
1
1－a
. 同理可证，a ≠a －1a ，1
1－a
≠a －1a .结论得证．
第二课时 集合的表示
[提出问题] 观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合； (2)20的所有正因数组成的集合．
问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？
提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为1,2,4,5,10,20. 问题2：如何表示上述两个集合？ 提示：用列举法表示． [导入新知]
列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
[化解疑难]
使用列举法表示集合的四个注意点
(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，a n}；
(2)元素不重复，满足元素的互异性；
(3)元素无顺序，满足元素的无序性；
(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
[提出问题]
观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x2－1的图象上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
提示：不能．
问题2：如何表示这两个集合？
提示：利用描述法．
[导入新知]
描述法
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
[化解疑难]
1．描述法表示集合的条件
对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．
2．描述法的一般形式
它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.
[例1] (1)( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．9
(2)用列举法表示下列集合：
①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合；
④方程组?
????
x ＋y ＝1，
x －y ＝－1的解．
[解] 选B (1)∵x ∈A ， ∴x ＝1,2,3.
又∵x ?B ，∴x ≠1,3,9，故x ＝2.
(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x 2＝x 的实数解是x ＝0或x ＝1，所以方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}．
④解方程组????? x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得?????
x ＝0，
y ＝1.
∴用列举法表示方程组?
????
x ＋y ＝1，
x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．
[类题通法]
用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． [活学活用]
已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a |∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B .
解：对任意a ∈A ，有|a |∈B . 因为集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，
由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.
又因为B中只有4个元素，
所以B＝{0,1,2,3}.
[例2](1)
①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；
②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
(2)用描述法表示下列集合：
①正偶数集；
②被3除余2的正整数的集合；
③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[解](1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1?A.
②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．
(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，
所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
[答案](1)①∈?②∈
[类题通法]
利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．
[活学活用]
下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？
解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R ；集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．
集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的数对．可以认为集合C 是坐标平面内满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )构成的集合，其实就是抛物线y ＝x 2＋1的图象.
[例3] (1)集合A ) A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N} B ．{x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N} C ．{x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N} D ．{x |x ＝(－1)n －
1(2n ＋1)，n ∈N}
(2)设集合B ＝?
?????
????x ∈N ?
?
62＋x ∈N .
①试判断元素1,2与集合B 的关系； ②用列举法表示集合B .
[解] 选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.
(2)①当x ＝1时，6
2＋1
＝2∈N ； 当x ＝2时，
62＋2＝32
?N. 所以1∈B,2?B . ②∵
6
2＋x
∈N ，x ∈N ， ∴2＋x 只能取2,3,6.
∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}． [类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A ＝{1,9,12}，则0?A,9∈A .
(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后
往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．
[活学活用]
用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x2，－1≤x≤1，且x∈Z}．
解：由－1≤x≤1，且x∈Z，得x＝－1,0,1，
当x＝－1时，y＝1；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1.
∴A＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．
1.集合与方程的综合应用
[典例]集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．
[解]当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－1
2，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
[多维探究]
解答上面例题时，a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：
1．在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．
当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.
当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即a>1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
2．在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．
由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；
当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1.
∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为{a|a≤1}．
3．若1∈A ，则a 为何值？ 解：∵1∈A ，
∴a ＋2＋1＝0，即a ＝－3.
4．是否存在实数a ，使A ＝{1}，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：∵A ＝{1}，∴1∈A ，∴a ＋2＋1＝0，即a ＝－3. 又当a ＝－3时，
由－3x 2＋2x ＋1＝0，得x ＝－1
3
或x ＝1，
即方程ax 2＋2x ＋1＝0存在两个根－1
3和1，此时A ＝????
??－13，1，与A ＝{1}矛盾．
故不存在实数a ，使A ＝{1}．
[随堂即时演练]
1．方程组?
????
x ＋y ＝1，
x 2－y 2＝9的解集是( )
A ．(－5,4)
B ．(5，－4)
C ．{(－5,4)}
D ．{(5，－4)}
解析：选D 解方程组????? x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得?????
x ＝5，
y ＝－4，
故解集为{(5，－4)}． 2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y |y ＝2} B ．{x ＝2}
C ．{2}
D ．{x |x 2－4x ＋4＝0}
解析：选B 集合{x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.
3．给出下列说法：
①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与集合{x |y ＝1－x }是相等的． 其中正确的是________(填序号)．
解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；
方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于????? x －2＝0，y ＋2＝0，即?????
x ＝2，
y ＝－2，
解为有序实数对(2，－2)，解集
为{(2，－2)}或???
(x ，y )????
??
???
?? x ＝2，y ＝－2，故②不正确； 集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
答案：①
4．已知A ＝{－1，－2,0,1}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }，则B ＝________. 解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性， ∴B ＝{0,1,2}． 答案：{0,1,2}
5．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (6)不等式2x －1>5的解集．
解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){x |x ＝3n ，n ∈Z}． (5){1,2}． (6){x |x >3}．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列集合的表示，正确的是( ) A ．{2,3}≠{3,2}
B ．{(x ，y )|x ＋y ＝1}＝{y |x ＋y ＝1}
C ．{x |x ＞1}＝{y |y ＞1}
D ．{(1,2)}＝{(2,1)}
解析：选C {2,3}＝{3,2}，故A 不正确；{(x ，y )|x ＋y ＝1}中的元素为点(x ，y )，{y |x ＋y ＝1}中的元素为实数y ，{(x ，y )|x ＋y ＝1}≠{y |x ＋y ＝1}，故B 不正确；{(1,2)}中的元素为点(1,2)，而{(2,1)}中的元素为点(2,1)，{(1,2)}≠{(2,1)}，故D 不正确．
2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |
xyz 的值所组成的集合是M ，则下列
判断正确的是( )
A ．0?M
B ．2∈M
C ．－4?M
D ．4∈M
解析：选D 当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M .
当x ，y ，z 都小于零时，代数式的值为－4，所以－4∈M .当x ，y ，z 有两个为正，一个为负时，或两个为负，一个为正时，代数式的值为0.所以0∈M .综上知选D.
3．集合{x ∈N *|x －3<2}的另一种表示法是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
解析：选B ∵x －3<2，x ∈N *， ∴x <5，x ∈N *， ∴x ＝1,2,3,4.
4．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z}，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )
A ．x 1·x 2∈A
B ．x 2·x 3∈B
C ．x 1＋x 2∈B
D ．x 1＋x 2＋x 3∈A 解析：选D 集合A 表示奇数集，B 表示偶数集， ∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，
∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．
5．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )
A ．4
B ．5
C ．19
D ．20
解析：选C 由题意知集合P *Q 的元素为点，当a ＝1时，集合P *Q 的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a ＝2,3时，集合P *Q 的元素个数都为5个，当a ＝4时，集合P *Q 中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P *Q 中元素的个数为19.
二、填空题
6．若集合{1，a ＋b ，a }＝?
??
?
??0，b a ，b ，则a －b ＝________.
解析：由题意知a ≠0，a ＋b ＝0，b ＝1，则a ＝－1， 所以a －b ＝－2. 答案：－2
7．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1?A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1?{x |2x ＋a >0}， ∴2×1＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：{a |a ≤－2}
8．已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________． 解析：由－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，得(－5)2－a ×(－5)－5＝0，所以a ＝－4，所以{x |x 2
－4x ＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
答案：2 三、解答题
9．已知集合A ＝{a ＋3，(a ＋1)2，a 2＋2a ＋2}，若1∈A ，求实数a 的值． 解：①若a ＋3＝1，则a ＝－2，
此时A ＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去． ②若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2. 当a ＝0时，A ＝{3,1,2}，满足题意； 当a ＝－2时，由①知不符合条件，故舍去． ③若a 2＋2a ＋2＝1，则a ＝－1， 此时A ＝{2,0,1}，满足题意． 综上所述，实数a 的值为－1或0. 10．用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数；
(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集；
(3)二次函数y ＝x 2－10的图象上的所有点组成的集合． 解：(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．
(2)方程x 2
＋y 2
－4x ＋6y ＋13＝0可化为(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝0，∴?
????
x ＝2，
y ＝－3，
∴方程的解集为{(2，－3)}．
(3)“二次函数y ＝x 2－10的图象上的所有点”用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2－10}．
11．(1)已知集合M ＝?
?????
???
?x ∈N ?
?
61＋x ∈Z ，求M ；
(2)已知集合C ＝?????????
?
??61＋x ∈Z x ∈N ，求C .
2018年高中数学会考题
2018届吉林省普通高中学业模拟考试（数学） 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考号、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡在试卷规定的位置上。考试结束时,将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为120分。答题时间为100分钟。 3.第Ⅰ卷的选择题答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后·再选涂其他答案标号。选择题答案写试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上，注意字迹清楚，卷面整洁。 第Ⅰ卷 选择题（共50分) 一、选择题:本大题共15小题，只有一项是正确的.第1-10每小题3分，第11-15 每小题4分，共50分） 1．已知集合{0,2},{|02}M N x x ==≤<，则M ∩N 等于 （ ） A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0} 2．下列结论正确的是（ ） A ． 若 ac>bc ， 则 a>b B ．若a 2>b 2，则a>b C ．若a>b,c<0，则 a+c C ．65π D ．32π 4．已知奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数，且 最小值为5，那么函数()f x 在区间 [-7，-3]上（ ） A ．是减函数且最小值为-5 B ．是减 函数且最大值为-5 C ．是增函数且最小值为-5 D ．是增 函数且最大值为-5 5. 函数2 ()1log f x x =-的零点是（ ） A. 1 B. (1,1) C. 2 D. (2,0) 6．在等比数列{}n a 中，若3 2 a =，则12345 a a a a a = （ ） A. 8 B. 16 第一章 §1.1 集合 1. 关于集合的元素的特征 （1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流） （2）互异性 （3）无序性 集合相等：构成两个集合的元素完全一样 (1)若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记 作A=B. (2) B A A B B A =???, 例：已知A={1,1+d ，1+2d}，B={1，q ，q 2}，若A=B ，求的，d ，q 的值。 解：d=－，q=－ 2. 元素与集合的关系； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A 子集与真子集：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，或Q 不包含P.记作 Q P ? 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集. B A ?或A B ?. 子集与真子集的性质：传递性：若B A ?，C B ?，则C A ? 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 3. 常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 4. 集合的表示方法 （1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…； （2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{} 内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或 专题02 频率分布直方图及其应用 一、选择题 1．【2017-2018年北京市首都师大附中高二期末】对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h的概率 A. 75，0.25 B. 80，0.35 C. 77.5，0.25 D. 77.5，0.35 【答案】D 故选D. 2．【人教B版高中数学必修三同步测试】根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图(如图),从图中可以看出,该水文观测点平均至少100年才遇到一次的洪水的最低水位是() A. 48 m B. 49 m C. 50 m D. 51 m 【答案】C 【解析】由频率分布直方图知水位为50 m的频率 组距 为0.00520.01,即水文观测点平均至少一百年才遇 到一次的洪水的最低水位是50 m. 本题选择C选项. 3．【福建省三明市A片区高中联盟校2017-2018学年高二上学期阶段性考试】为了解某地区名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区名年龄为~岁的高三男生体重()，得到频率分布直方图如图.根据图示，估计该地区高三男生中体重在kg的学生人数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 点睛：此题主要考查了频率分布直方图在实际问题中的应用，属于中低档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，充分利用频率分布直方图的纵坐标的实际意义，其纵坐标值为：频率/组距，由此各组数据的频率 =其纵坐标组距，各组频数=频率×总体，从而可估计出所求数据段的频数（即人数）. 4．【广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018学年高二3月联考】某商场在国庆黄金周的促销活动中， 对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为 A. 10万元 B. 12万元 C. 15万元 D. 30万元 【答案】D 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___. 本讲主要学习集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有_______和_______两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。 一、重难点知识归纳 (一)元素与集合的含义 元素: 研究的对象 集合概念: 一些________组成的总体(简称集) 属于: 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作________。 (二)列举法与描述法 列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法: 用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法. 在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用_________，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用_________表示。 (三)子集、真子集、空集 子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的_______元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________,读做“A包含于B”(或“__________”). 真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的_________，记作____________ 空集:_________的集合叫做空集，记作________，并规定：空集是任何集合的___________ Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 学习这几个概念时，应注意一下几点： ①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的_________，反之则不一定。 ②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B________。 ③元素与集合之间是__________关系，而集合与集合之间则是___________关系，如设A={a},B={a,b}，则有a____B，A_____B ④集合中元素的特征:_________；_________；_________ 5、如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是__________，真子集个数是___________。 (四)并集、交集、补集 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 1．1集__合 1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义 集合的概念 [提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工； (2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点； (3)不等式组? ???? x ＋1≥3， x 2≤9的整数解； (4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学． 问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定． 问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？ 提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 定义 表示 元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示 集合 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示 [化解疑难] 准确认识集合的含义 (1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 元素的特性及集合相等 [提出问题] 问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？ 提示：相等． [导入新知] 1．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等． 2．集合元素的特性 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． [化解疑难] 对集合中元素特性的理解 (1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的． (2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素． (3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合. 元素与集合的关系及常用数集的记法[ 某中学2017年高一年级20个班构成一个集合． 问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？ 提示：是这个集合的元素． 必修一复习一、知识结构 集合 集合表示法 集 合 的 运 算集 合 的 关 系 列举法描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补 集 函数 函 数 及 其 表 示 函 数 基 本 性 质 单 调 性 与 最 值 函 数 的 概 念 函 数 的 奇 偶 性 函 数 的 表 示 法 映射 映 射 的 概 念 集合与函数概念 基本初等函数(Ⅰ) 幂函数 有理指数幂整数指数幂 无理指数幂 运算性质 定义 对数 指数 对数函数 指数函数 互为反函数 图像与性质 定义定义 图像与性质 函数的应用 函数模型及其应用 函数与方程 对数函数 指数函数 几类不同增长的函数模型 二分法 函数的零点 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 二、考点解析 考点一：集合的定义及其关系 考点分析： 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 例1.定义集合运算：．设 ，则集合的所有元素之和为（ ） A ．0； B ．2； C ．3； D ．6 考点二、集合间的基本关系 ，（） 经典考题： 例2.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A ． B. C. D. 考点三、集合间的基本运算 考点分析 {}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==A B *A B A ?φφB φ≠B B A ?C B ?C B A =I A C B =Y(推荐)高一数学必修一复习资料
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