领航两个变量之间的关系
表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法
◆要点1 变量、自变量、因变量
(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。
(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。则T为自变量，路程为因变量。
◆要点2 列表法与变量之间的关系
(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小
◆要点3 用关系式表示变量之间的关系
(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。
(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。
(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；
②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。
◆要点4 用图象法表示变量的关系
(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。
(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。
(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。
(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象
★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向
右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不
变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。
★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”①表示物
体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动，“下降的线段”③
表示物体反向运动。如图BL—01(1)、(2)：
二、例题讲解
（一）列表法表示变量之间的关系
例1、果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？
BL—01
例2、在弹性限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：
(1) 弹簧不挂物体时的长度是多少？
(2) 如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？请写出y与x之间的关系式。
(3) 如果此弹簧的最大挂重为25千克，您能够预测当挂重为14千克时，弹簧的长度是多少吗？
（二）、用关系式表示两个变量之间的关系
例1、一辆汽车正常行驶时每小时耗油8升，油箱现有52升汽油。(1) 如果汽车行驶时间为t(时)，那么油箱中所存油量Q (升)与t(时)的关系式是什么？(2) 油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？(3) 当t 的值分别为1，2，3时，Q相应的值是多少？
例2、一个梯形，它的下底长比上底长长2cm，它的高为3cm，设它的上底长为x cm，它的面积为y cm2。
(1) 写出y与x之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量？
(2) 当x由5变到7时，y如何变化？
(3) 用表格表示当x从3变到10时(每次增加1)，y的相应值；
(4) 当x每增加1时，y如何变化？并说明你的理由；
(5) 这个梯形的面积能等于9cm2吗？能等于2cm2吗？为什么？
例3、长方形的长是20cm，当宽由小到大地变化时，长方形面积也随之变化。
(1) 在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是___________。
(2) 如果长方形的宽为a cm，面积为S cm2，则S与a之间的关系式为_________。
(3) 当a=15cm时，S是__________。
(4) 当面积S是280时，这时的宽a是______________。
例4、某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果校长买全票一张，则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”，若全票价甲乙旅行社均为240元。
(1) 设学生为x，甲乙旅行社收费分别为y甲(元)和y乙(元)，分别写出两个旅行社收费的关系式；
(2) 哪家旅行社收费更优惠？
例5、某移动通信公司开设了“全球通”和“金卡快捷通”两种业务，前者每月先缴
30元月租费，每通话1分钟付费0.4元，后者不缴月租费，但每分钟付费0.6元，若某人的每月通话时间在200分钟左右，则他应选用哪种业务比较合算？并简明叙述理由。（思路1：直接计算200分钟应付的话费进行比较；思路2：先求出付费相同的通话时间，再看200分钟比这个时间多还是少。）
（三）用图像法表示两个变量之间的关系
例1、小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。
(1) 小丽一开始就跑，跑累了便走着去，小明开始走着，当他快到学校时跑了起来，他们同时到达学校。图BL —02中，图________表示小丽的行程，图______表示小明的行程最好。
(2) 若小丽在上学的路上以固定的速度前进，如图BL —03中虚线所示，小明在上学的路上以小丽速度的2倍行进，小名的速度以实线表示，他们先后到达学校，则图______可以描述这种情况。
例2、小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，如图BL —04中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用的时间t （分）之间的关系（ ）
提高训练一
1、一棵树苗栽下去时高0.8m ，以后10年内每年平均长高0.4m ，x 年后树高y m 。 (1) 这个问题中，常量是_________，变量是_________； (2) 这个问题中x 值是________量，y 值是_________量； (3) 生长5年后树高_______m ，生长了10年树高__________m ； (4) 请你写出y 随x 变化而变化的关系式_______________。
2、长方形的长为a cm ，宽为6 cm ，则它的周长C 与长a 之间的关系为______。 BL —02
BL —03
BL —04
3、某种情况下，声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x (℃
)之间存在如下关系：331
5
3
+
=x
y，
(1) 当气温x=15℃时，声音的速度y=________ m/s；
(2) 当气温x=22℃时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距________m。
4、某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x与售价y的关系如下表：
数量x(kg) 1 2 3 4 5
售价y(元) 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5 则y与x的关系式为___________。
5、如图BL—05，一个矩形推拉窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积a(平方米)与拉开长度b(米)之间的
关系式为__________。
6、某电影院有1000个座位，门票每张3元可达客满，若每张票提高x元，将有200x张门票不能售出，
提价后每场电影票房收入y元与提高的票价x元之间的关系是_______________。
7、小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，形成情况如图BL—06所示，若返回时上坡、下坡的速度仍
保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是________分钟。
8、根据河道的剩水量Q(m3)与水泵抽水时间t (h)的关系图象如图BL—07，回答下列问题：
(1) 水泵抽水前，河道内有_________的水，水泵最多抽________小时；
(2) 水泵抽8小时后，河道剩水量为_________ m3；
(3) 当河道剩水量为100 m3时，水泵已抽水__________小时；
(4) 水泵平均每小时抽水_________ m3。
9、有一边长为2 cm的正方形，若边长增加x cm，面积就增加y (cm2)，则y =________。
10、一杯开水10分钟后冷却下来，在这个变化过程中，自变量是_________，因变量是________。
11、亮亮拿6元钱去邮局买面值为0.80元的邮票，买邮票所剩钱数y(元)与买邮票的枚数x(枚)的关系式
为______________，最多可以买________枚。
12、根据图BL—08所示的程序计算，若输入的x的值是
2
3
，
则输出的结果是（）
A.
2
7
B.
4
9
C.
2
3
D.
2
9
13、在关系式y=3x+5中，下列说法：①x是自变量，y是因
变量；②x的数值可以任意选择；③ y是变量，它的值与x无关；④用关系式表示的不能用图象表示；
⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示。其中说法正确的是（）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③⑤
D. ①②⑤
14、中国工程院院士袁隆平研究的超级杂交水稻以单季亩产1138kg创世界纪录，农户王文清家有x亩地，
BL—05 BL—06 BL—07
BL—08
今年晚稻改种超级杂交水稻，如果每亩产量达到1130kg ，那么王文清家水稻的总产量y 与
x 之间的关系为（ ）
A. y=1130x
B. y=1138x
C. y=(1138-1130)x
D. y=(1130+1138)x
15、 托运行李p 千克(p 为整数)的费用为c 元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克(不足
1千克按1千克计)需增加费用5角，则计算托运行李费用c 的公式是（ ） A. c=0.5p B. c=0.5p+1 C. c=0.5p+1.5 D. c=0.5p+2
16、 在地球某地，温度T(℃)与高度d (m)的关系可近似地用150
10d
T -
=来表示，则当高度d=900 m
时，温度T 为（ ）
A. 4℃
B. 3℃
C. 2℃
D. 1℃
17、 如图BL —09是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最
大的一天是（ ）
A.5月1日
B. 5月2日
C. 5月3日
D. 5月5日
18、 从山顶上滚到山脚下的一块石头，图BL —10中能大致描述速度v 随时间t 变化的图象是（ ）
19、 某礼堂的座位排列呈弧形，横排座位按下列方式设置： 则第n 排有座位( )个
A. 10n+4
B. 20+4n
C. 20+4(n-1)
D. 20+3(n-1)
20、 丽丽放学回家进门后觉得口渴，可家里没有凉开水，于是她用水壶接了水，放在炉子上烧开，烧开后
又倒入水杯中晾凉后才喝到嘴里，如图BL —11中，可以近似地刻画出水的温度随时间的变化而变化的
排数 1 2 3 4 … 座位数
20
24
28
32
…
BL —09
BL —11
BL —10
图象是（ ）
21
、 三峡工程在2003年6月1日至10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人
间，假设水库水位匀速上升，那么如图BL —12所示的图象中，能正确反映这10天水位h(米)随时间t (天)变化的是（ ）
22、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用s 1、s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图BL —13的图象中与故事情节相吻合的是（ ）
23、 小明早上7:00点出发到社区作义务劳动，开始匀速步行，后碰上小亮，小明就停下和小亮聊了一会
儿，为了保证能准时到达，他加快了速度，但仍然保持匀速步行，结果准时到达，如图BL —14中，以下四个图象中能准确描述小明离家的距离与时间的关系的是（ ）
24、 下表给出了桔农老李去年卖桔子的收入随桔子卖出的质量变化的有关数据。
质量(千克) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 收入(元) 2
4
6
8
10
12
14
16
18
(1) 上表反映了那两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2) 当桔子卖出5千克时，收入是多少？当桔子卖出50千克时，收入又是多少？ (3) 如果用x 表示桔子卖出的质量，y 表示收入，按表中的关系，用一个式子表示出来。
25、 在课堂45分钟内，什么时候学生的接受能力最强?心理学家发现，学生对概念的接受能力与老师提出
概念所在的时间(单位：分钟)之间，有如下关系： BL —13
BL —14
BL —12
2.3变量间的相互关系（一）、（二） 问题提出 1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 2. 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 3. 这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义. 知识探究（一）：变量之间的相关关系 思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄. 思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？ 你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？ 思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.思考4：函数关系与相关关系之间的区别与联系. 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系. 函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. 3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化. 例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 练习 1.已知下列变量，它们之间的关系是函数关系的有①，是相关关系的有②③. ①已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式△=b2－4ac; ②光照时间和果树亩产量； ③每亩施用肥料量和粮食产量.
变量之间的关系济宁学院附中李涛 【基础知识】知识网络 自变量 变量的概念 因变量 变量之间的关系 1.表格法 2.关系式法 变量的表达方法速度时间图象 3.图象法 路程时间图象 知识点一、变量、自变量、因变量 1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 3、自变量与因变量如何确定：（方法技巧） （1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。 （2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。 （3）利用具体情境来体会两者的依存关系。 知识点二：变量的表示方法 1.列表法 1.定义：表格是采用数表相结合的形式，运用表格表示两个变量之间的关系，从中获取信息、研究不同量之间的关系。（1）首先要明确表格中所列的是哪两个变量； （2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；列表时一般第一行代表自变量，第二行代表因变量. （3）自变量从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。结合实际情境理解它们之间的关系。 特点：优点：直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，缺点：具有局限性，只能表示因变量的一部分。2.关系式法（又叫解析式法） 1、定义：关系式（即解析式）是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学等量关系式叫做关系式。 2、本质：是数学等量关系式 3.写法注意，必须将因变量单独写在等号的左边。 3、求关系式的方法：--（就是找等量关系） 类型：（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据等量关系，并最终写成关系式的形式。 （2）根据表格中所列的数据相同的变化关系写出变量之间的关系式；（例如：y变化一样都和第一个比） （3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式； （4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。 注：有些表达式要分段写出（分类讨论思想），例如：分段收水费（煤气费、电话费）等. 4、关系式的应用：（代入法） （1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；代入法格式：当x= ，y= （2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；当y= ，x= 5.特点：优点：关系简洁，清楚、准确，知一变量可求另一变量。缺点：不直观，形象，不能直接读出变量的值。 3.图象法 1.定义：对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。 注意1、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法。 2首要：要明确图象问题中中所表示的是哪两个变量；
第四章 《变量之间的关系》复习题（B 卷） 1、某产品生产流水线每小时生产100件产品，生产前无产品积压，生产3小时后，安排工人装箱，若每小时装150件，则未装箱产品数量y 与时间t 关系图为（ ） B C D ． 2、小明一出校门先加速行驶，然后匀速行驶一段后，在距家门不远的地方开始减速，最后停止，下面的图（ ）可以近似地刻画出他在这一过程中的时间与速度的变化情况. （A ） （B ） （C ） （D ） 3、“健康重庆”就是要让孩子长得壮，老人寿命更长，全民生活得更健康．为了响应“健康重庆”的号召，小明的爷爷经常坚持饭后走一走．某天晚饭后他慢步到附近的融侨公园，在湖边亭子里休息了一会后，因家中有事，快步赶回家．下面能反映当天小明的爷爷所走的路程y 与时间x 的关系的大致图象是（ ） 4、柿子熟了从树上自然掉落下来，下面哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况（ ） . 时间 时间 时间 时间 （C ） （D ） 时间 （B ） 时间 时间 （A ）
5、如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶12345A A A A A →→→→爬行，那么蚂蚁爬行的高度．．h 随时间t 变化的图象大致是（ ） 5、百舸竞渡，激情飞扬. 为纪念爱国诗人屈原，长寿区在长寿湖举行了龙舟赛. 如图是甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程s （米）与时间t （分钟）之间关系的图象，请你根据图象回答下列问题： （1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先地位? （2）在这次龙舟比赛中，哪支龙舟队先到达终点? （3）比赛开始多少时间后，先到达终点的龙舟队就开始领先? 6．为了鼓励小强勤做家务，培养劳动意识，小强每月的总费用等于基本生活费加上奖 励(奖励由上个月他的家务劳动时间确定)．已知小强4月份的家务劳动时间为20小时， 他5月份获得了400元的总费用．小强每月可获得的总费用与他上月的家务劳动时间之 间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题． （1）上述变化过程中，自变量是_______， 因变量是_______； （2）小强每月的基本生活费为________元． （3）若小强6月份获得了450元的总费用， 则他5月份做了_______小时的家务． （4）若小强希望下个月能得到120元奖励， 则他这个月需做家务________小时． 3.4 1A 2A 3A 4A 5A A ． B ． C ． D ．
变量间的相关关系同步练习题 1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与体重 C. 匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D. 球的半径与体积 2. 两个变量成负相关关系时，散点图的特征是（ ） A. 点散布在从左下角到右上角的区域内 B. 点散布在某带形区域内 C. 点散布在某圆形区域内 D. 点散布在从左上角到右下角的区域内 3. 由一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ），得到回归方程a bx y +=∧ ，那么下面说法不正确的是（ ） A. 直线a bx y +=∧ 必经过点（x ，y ） B. 直线a bx y +=∧至少经过点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）中的一个点 C. 直线a bx y +=∧的斜率为 ∑∑==--n 1 i 2 2i n 1 i i i x n x y x n y x D. 直线a bx y +=∧ 和各点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）的偏差 ()[]∑=+-n 1 i 2 i i a bx y 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线 4. 若施化肥量x （单位：kg ）与水稻产量y （单位：kg ）的回归方程为250x 5y +=∧ ，则当施化肥量为80kg 时，预计水稻产量为___________。 5. 相关关系与函数关系的区别是___________。 （1）作出这些数据的散点图； （2）通过观察这两个变量的散点图，你能得出什么结论？ 7. 某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究回收率y 和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得： ∑==8 1 i i 52x ， ∑==8 1 i i 228y ， ∑=8 1 i 2 i x 478=， ∑==8 1 i i i 1849y x ，则y 与x 的回归方程是（ ） A. x 62.247.11y +=∧ B. x 62.247.11y +-=∧ C. x 47.2262.2y +=∧ D. x 62.247.11y -=∧
期末总复习第六章《变量之间的关系》2011.6 基本概念：变量、自变量、因变量 表示变量关系的三种方法及特征是 他们各自的优点 一、填空题 1.在变化过程中，我们把变化着的量叫做变量，其中一个叫__________，一个叫_________. 2.表示两个变量之间的关系有______种，分别是_ . 3.在△ABC中，当面积S一定时，底边BC的长度a与底 边BC上的高h之间的关系式为________. 4.每周一，我们仰望国旗冉冉升起，请在图6－27中画出 国旗升高的高度h与时间t的大致图象. 5.图6－28表示一辆汽车行驶的速度和时间的图象，你能 用语言描述汽车的行驶情况吗？________ ________ 图6－27 图6－28 6.已知关系式y=kx+2，且自变量x=－3时，因变量y=0,则当自变量x=9时，因变量y的值是________. 7.声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系如下： 气温（x℃）0 5 10 15 20 音速y（米/秒）331 334 337 340 343 从表中可知音速y随温度x的升高而__________.在气温为20 ℃的一天召开运动会，某人看到发 令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米. 二、选择题 1.汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（时）的关系用图象表示应为图中的（） 2.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系如图6－29所 示，由图可知不挂重物时弹簧的长度为（） A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm 3.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm,燃烧时剩 下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的关系用下图 中___ ____图象表示 图6－29 4.长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规 定，则需要购买行李票，行李费用y（元）与行李重量x（千克）之间的 图象如图6－30所示，当携带________千克的行李不收费用. A.20 B.30 C.40 D.50 5.土地沙漠化是人类生存的大敌，某地现有绿地4万公顷，由于人们环保 意识不强，植被遭到严重破坏.经观察土地沙化速度为0.2万公顷/年，那 么t年后该地所剩绿地面积S（万公顷）关系图为（）图6－30 三、解答题 1.如图6－31，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相 同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是 100千米，请根据图象回答或解决下面的问题. （1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地早？早 到多长时间？ （2）两人在途中行驶的速度分别是多少？ （3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段 时间内，①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托 车相遇；③自行车行驶在摩托车后面？ 2.小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有 意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图6－32 所示）. 图6－31 （1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？ 哪个是因变量？ （2）10时和13时，他分别离家多远？ （3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （4）11时到12时他行驶了多少千米？ （5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？ 图6－32
课题：§2.3.1变量之间的相关关系 一．教学任务分析: （1）通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断. (3) 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用. 二．教学重点与难点： 教学重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系. 教学难点：理解变量间的相关关系. ↓ ↓ ↓ 1．创设情景，揭示课题 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度,所以说，函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系. 生活中存在着许多相关关系的问题: 问题1：商品销售收入与广告支出之间的关系. 问题2:粮食产量和施肥量之间的关系. 问题3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系. 由上述问题我们知道,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变量取
值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系. 2.两个变量的线性相关 问题4: 在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 问题5:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 根据上述数据,气温与热茶销售量之间的有怎样的关系? 学生活动:为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下
变量间的相关关系 一、教材分析 本节知识内容不多，但分析本节内容，至少有下列特点： 1、知识的联系面广，应用性强，概念的真正理解有难度，教学既要承前启后，完成统计必修基础知识的构建；也要知道知识的来龙去脉，提升学生运用统计知识解决实际问题的能力，更要抓住本质，正确理解统计推断的结论。 2、通过典型案例进行教学，使知识形成的过程中具有可操作性，易于创设问题情境，引导学生参与，而学生借助解决问题，通过自主思维活动，会产生感悟、发现，能提出问题，思考交流，不仅能正确、全面地理解基础知识和基本方法，而且能促进、发展学生的统计意识、统计思想。 二、学生分析 本节是一种对样本数据的处理方法，但侧重的是由样本推断总体，其方法是学生初识的、知识的作用也是学生初见的。知识量并不大，但涉及的数学方法、数学思想较充分，同时，在教材中留有供发现的点，设有开放性问题，既具有体验数学方法、数学思想的功能，也具有培养学生从具体到抽象能力、锻炼创造性思维能力的作用。 三、教学目标 1、通过收集现实问题中两个有关联变量的数据做出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2、知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 四、教学环境 简易多媒体教学环境 五、信息技术应用思路 1、使用哪些技术？ （1）用几何画板画散点图； （2）用PPT动画效果制作线性回归直线。
2、在哪些教学环节如何使用这些技术？ （1）在讲解人体脂肪含量和年龄关系时，根据表中给出的数据，用几何画板画出 两者关系的散点图；在讲热饮的杯数与气温关系时，同样用几何画板直观的画出 散点图。 （2）根据散点图画线性回归直线时，用PPT动画制作。 3、使用这些技术的预期效果 （1）用几何画板画散点图，容易操作，容易改变数据，互动性很好，能激发学生 的求知欲； （2）用PPT动画制作线性回归直线，更直观，动态效果好，能调动学生的学习积 极性。 教学重点、难点 重点：做出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 难点：对最小二乘法的理解。 教学方法 1、自主探究，互动学习 2、新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作 探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 课前准备 1、学生的学习准备：预习课本，初步把握必须的定义。 2、教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后 延伸拓展学案。 课时安排：1课时 六、教学流程设计 〖复习回顾〗 标准差的公式为：______________________________________________________ 〖创设情境〗 1、函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系
第3节变量间的相关关系与统计案例 【最新考纲】 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 【高考会这样考】考查回归分析、独立性检验的基本思想和简单应用． 要点梳理 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)， 其回归方程为y^＝b^x＋a^__，则b^＝∑ n i＝1 （x i－x－）（y i－y－） ∑ n i＝1 （x i－x－）2 ＝ ∑ n i＝1 x i y i－nx－y－ ∑ n i＝1 x2i－nx－2 ，a^＝y－－b^x－.其中， b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心(x－，y－). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
学科：数学 教学内容：变量之间的关系单元知识总结 【基本目标要求】 —、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感． 二、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，能用关系式表示某些变量之间的关系，会根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的对应关系． 三、能用表格表示变量之间的关系，会根据表格中的数据对变化趋势进行预测. 四、经历从图象中分析变量之间关系的过程，能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述． 【基础知识导引】 一、变量、自变量、因变量的概念 在—个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，数值保持不变的量叫做常量.例如在表示路程关系式s=50t中，速度50恒定不变为常量，随t取不同数值时也取不同数值，s 与t都为变量．t是自变量，s是因变量． 二、变量之间关系的表示法 【重点难点点拨】 本章主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念，用表格、关系式、图象表示变量本章重点是理解变量、自变量、因变量的概念．本章难点是掌握用关系式表示变量之间的关系．要掌握上述重点、难点，必须注意以下问题： 1．通过丰富的现实情境引入变量和对变量之间关系的讨论，并通过对变量之间关系的分析解决问题、进行预测. 2．体验探索和表示变量之间关系的过程，获得对表格、关系式、图象等多种表示方法的体验，能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，还能运用表格或关系式刻画一些具体情境中变量之间的关系． 3．能用自己的语言大致描述表格、关系式和图象所表示的关系． 【发散思维分析】 本章引导学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式．本章的主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念．用表格、关系式、图象表示变量之间的关系．尤其是认关系式、图象中分析变量之间的关系，获得信息，对变化关系进行预测．本章安排—定数量的题型发散，转化发散题．题型发散可增大知识点的覆盖面，训练计算的正确性和熟练程度，培养严密的逻辑推理能力及简明、正确的书面表达能力，转化发散促进数形结合解题．可发挥“形”的直观作用和“数”的思路规范优势．由数思形，由形定数，数形渗透，互相作用．扬长避短，直入捷径．综上所述，发散思维启迪我们注重观察、分析问题，利用形数转化，寻觅解决问题的方法，为提高综合运用数学知识的能力奠定坚实的基础.
“变量间的相关关系”中的核心概念和思想方法解读及教学建议 河北师范大学数学与信息科学学院程海奎 《变量间的相关关系》的主要内容为采用定性和定量相结合的方法研究变量之间的相关关系，主要研究线性相关关系．主要概念有“相关关系”、“散点图”、“回归直线和回归直线方程”、“相关系数”等．研究方法为先绘制散点图，直观表示观测数据，定性描述变量间相关关系的类型、方向、相关程度．然后应用最小二乘法确定变量间相关关系的具体表达形式，描述变量间的数量规律，并由一个变量的取值去推测另一个变量的取值． 这部分内容涉及到一些重要的统计思想和方法，对学生的学习和教师的教学都有一定的难度．本文就研究对象、核心概念、研究方法、统计思想及相关应用进行简单的解读，提出一些教学建议，希望对教学能提供一些帮助． 一、相关概念及统计思想方法 1．相关关系——变量间的不确定关系 两个变量之间的数量关系有两种不同的类型：一种是函数关系，一种是相关关系．当一个变量取一定的值时，另一个变量有确定的值与之对应，我们称这种关系为确定的函数关系．一般把作为影响因素的变量称为自变量，把与之对应变化的变量称为因变量． 当一个变量取一定的数值时，与之对应的另一个变量的值虽然不确定，但它按某种规律在一定的范围内变化，变量间的这种关系称为不确定性的相关关系．或者说两个变量之间确实存在某种关系，但不具备函数关系所要求的确定性． 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的数量关系．函数关系是两个非随机变量之间的一种确定关系，是一种因果关系．而相关关系是两个变量之间的一种不确定的关系，这两个变量中至少有一个是随机变量．两个相关变量之间可能有内在联系（真实相关），也可能完全不存在内在联系（虚假相关）．之所以X和Y之间是相关关系，原因是变量X是影响变量Y的主要因素，但不是唯一因素，还有其他种种因素，而这些因素我们又不能完全把握．
北师大版七年级数学下册《变量之间的关系》知识点汇总 一、变量、自变量、因变量、常量 变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。 常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 二、函数的三种表示方法： 列表法 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。 首先要明确表格中所列的是哪两个量；
分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量； 结合实际情境理解它们之间的关系。 绘制表格表示两个变量之间关系 列表时首先要确定各行、各列的栏目； 一般有两行，行表示自变量，第二行表示因变量； 写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位； 在行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。 一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。 解析法 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量的代数式表示因变量，这样的数学式子叫做关系式。 关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。 求两个变量之间关系式的途径： 将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。 根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
期末总复习第六章《变量之间的关系》基本概念：变量、自变量、因变量 表示变量关系的三种方法及特征是 他们各自的优点 一、填空题 1.在变化过程中，我们把变化着的量叫做变量，其中一个叫__________，一个叫_________. 2.表示两个变量之间的关系有______种，分别是_ . 3.在△ABC中，当面积S一定时，底边BC的长度a与底 边BC上的高h之间的关系式为________. 4.每周一，我们仰望国旗冉冉升起，请在图6－27中画出 国旗升高的高度h与时间t的大致图象. 5.图6－28表示一辆汽车行驶的速度和时间的图象，你能 用语言描述汽车的行驶情况吗________ ________ 图6－27 图6－28 6.已知关系式y=kx+2，且自变量x=－3时，因变量y=0,则当自变量x=9时，因变量y的值是________. 7.声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系如下： 气温（x℃）05101520 音速y（米/秒）331334337340343 令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米. 二、选择题 1.汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时 间t（时）的关系用图象表示应为图中的（） 2.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系如图6－29所 示，由图可知不挂重物时弹簧的长度为（） A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm 3.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩 下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的关系用下图 中___ ____图象表示 图6－29 4.长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规 定，则需要购买行李票，行李费用y（元）与行李重量x（千克）之间的 图象如图6－30所示，当携带________千克的行李不收费用. .30 C 5.土地沙漠化是人类生存的大敌，某地现有绿地4万公顷，由于人们环保 意识不强，植被遭到严重破坏.经观察土地沙化速度为万公顷/年，那么t 年后该地所剩绿地面积S（万公顷）关系图为（）图6－30 三、解答题 1.如图6－31，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相 同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是 100千米，请根据图象回答或解决下面的问题. （1）谁出发的较早早多长时间谁到达乙地早早到多长 时间 （2）两人在途中行驶的速度分别是多少 （3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段 时间内，①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托 车相遇；③自行车行驶在摩托车后面 2.小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有 意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图6－32 所示）. 图6－31 （1）图象表示了哪两个变量的关系哪个是自变量哪个 是因变量 （2）10时和13时，他分别离家多远 （3）他到达离家最远的地方是什么时间离家多远 （4）11时到12时他行驶了多少千米 （5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐 （6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少 图6－32
领航两个变量之间的关系 一、知识要点 表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法 ◆要点1 变量、自变量、因变量 (1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。 (2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行，路程S 、速度V 、时间T 三个量中，速度V 一定，路程S 则随着时间T 的变化而变化。则T 为自变量，路程为因变量。 ◆要点2 列表法与变量之间的关系 (1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。 (2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小 ◆要点3 用关系式表示变量之间的关系 (1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。 (2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。 (3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。 ◆要点4 用图象法表示变量的关系 (1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。 (2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。 (3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。 (4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象 ★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。 ★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”①表示物体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动，“下降的线段”③表示物体反向运动。如图BL —01(1)、(2)： 二、例题讲解 （一）列表法表示变量之间的关系 例1、果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系： （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ BL —01
变量间的相关关系的教学设计 本节教学设计主要是使用TI92图形计算器，对普通高中课程标准实验教科书数学③第二章《统计》中的“两个变量的线性相关”进行有益的教与学探究。学生通过对 TI图形计算器的操作，具体形象地利用散点图等直观图形认识变量之间的相关关系，同时，经历描述两个变量的相关关系的过程。学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程。与此同时，教师在落实新课程标准的相关理念上作了一些有益的探讨。 教学设计与实践： [教学目标]： 1、明确事物间的相互联系。认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。 2、通过TI技术探究用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系的过程，学会用数学的有关变量来描述现实关系。 3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推导。会用TI图形计算器来求回归方程，相关系数。 [教学用具]： 学生每人一台TI图形计算器、多媒体展示台、幻灯 [教学实践情况]： 一、问题引出：请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ） 然后回答如下问题：①“你的数学成绩对你的物理成绩有无影响？”②“ 如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。”对你来说，是这样吗？同意这种说法的同学请举手。 根据同学们回答的结果，让学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。）教师总结如下：
物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示（幻灯片给出）： （影响你的物理成绩的关系图） 因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。 二、引出相关关系的概念 教师提问：“像刚才这种情况在现实生活中是否还有？” 学生甲：粮食产量与施肥用量的关系； 学生乙：人的体重与食肉数量的关系。 …… 从而得出：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。 三、探究线性相关关系和其他相关关系 问题：在一次对人体脂肪和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 人体的脂肪百分比和年龄
讲义 学员姓名：年级：第（9）次讲课 辅导课目：数学教师：教学主管签字：课题：变量之间的基本关系授课时间：2014/8/9 3:50-6:00 教学目标1、能发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量或因变量。2、能根据具体问题，选取用表格或代数式来表示某些变量之间的关系。3、进一步提高学生符号感和抽象思维。 重点，难点重点：分清变量、自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。难点：两个变量关系的理解。 考点及考试要求1、掌握变量、自变量和因变量的意义。 2、会用列表法表示两个变量之间的关系。 教学内容 一、认图；（展示从13岁以后不同年龄段男生和女生的身高情况图） 从图中能够得到什么？①自身比不同年龄平均身高如何？②男、女生不同年龄身高的比情况如何？③大致描述青春期男、女生平均身高的变化情况？现在只研究一个量（比如男生的平均身高）与另一个量（男生的年龄）之间的关系呢？ 二、探索新知识； 研究：小车从斜坡上下滑时高度与时间数据之间的关系？给出一组高度对应的时间表。 思考：①表中数据告诉你什么？②当高度为70时，小车下滑时间是？③如果用H表示高度，T表示下滑时间，随着H逐渐变大，T是如何变化的？④H增加10，T的变化情况相同吗？ ⑤估计H等于90时，T的值是多少？怎样估计的？ 三、课堂练习，巩固知识； 例：给出我国从1949年到2013年人口统计数据图，①如果用X表示时间，Y表示我国人口总数，那么随着X的变化，Y的变化趋势是什么？②从1949年以后，每10年人口变化怎样？ 四、课堂小结；（变量、自变量和因变量的意义？列表法表示两个变量之间的关系？） 五、课后作业；
两个变量间的相关关系 变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势. 对相关关系的理解可以从下面三个角度把握： 相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系. 对相关关系的理解应当注意以下几点： 其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系. 相关关系与函数关系的异同点为： 相同点：均是指两个变量的关系. 不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系. 其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. 其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断. 我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子： 【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？ 解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”. 【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？ 解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.
变量之间的关系 一、 基础知识回顾： 1、表示两个变量之间关系的方法有（ ）、（ ）、（ ）． ２．图象法表示两个变量之间关系的特点是（ ） ３．用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示（ ），用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示（ ）． 专题一、速度随时间的变化 1、 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用 一句话来描述： （1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢。 （ ） （2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变。 （ ） （3）在某段时间里，汽车速度越来越快。 （ ） （4）在某段时间里，汽车速度越来越慢。 （ ） 2、描述一名跳水运动员从起跳到落水这一运动过程中，速度v 与时间t 之间关系的图象大致是（ ） 3、李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误时间，于是加快了车速．如用s 表示李明离家的距离，t 为时间．在下面给出的表示s 与t 的关系图6—41中，符合上述情况的是 ( ) 时间 速度 A o 速度 D 速度 时间 C 速度 时间 B o o o O O V ｔ O V O V ｔ V ｔ
4、一辆轿车在公路上行驶，不时遇到各种情况，速度随之改变，先加速，再匀速又遇到情况而减速，过后再加速然后匀速，下公路、上小路，到达目的地．图6—43哪幅图象可近似描述上面情况 ( ) 5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） 6、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s （米）与散步所用 的时间t （分）之间的关系，依据图象下面描述符合小红散步情景的是（ ） A.从家出发，到了一个公共阅读报栏，看了一会儿报，就回家了.B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了.C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回. 7、A 、B 两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时的速度由A 地驶向B 地.汽车距B 地的距离y(千米)与行驶时间t(之间)的关系式为 .在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 . 时间/时 0 4 8 12 16 20 24 超警戒水位/米 +0.2 +0.25 +0.35 +0.5 +0.7 +0.9 +1.0 ⑴时间从0时变化到24时，超警戒水位从 上升到 ; ⑵借助表格可知，时间从 到 水位上升最快 s t S 1 S 2 A s t B S 1S 2 s t S 1 S 2 C s t S 2 S 1 D
变量间的相关关系 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。 例1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 结论：随着年龄增长，脂肪含量在增加。用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。一组样本数据就对应着一个点。
2、散点图 这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。 3、判断正、负相关、线性相关： 请观察这4幅图，看有什么特点？ 图1呈上升趋势，图2呈下降趋势。这就像函数中的增函数和减函数。即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。图2中的两个变量的相关关系，称为负相关。 后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。这条直线叫做回归直线。图3、4中的两个变量是非线性相关关系 1、找回归直线 下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图， 图1 2 图图3 图4