初中数学特殊平行四边形的证明 一．解答题（共30小题） 1．（2015?泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE． （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论． 2．（2015?福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． 求证：四边形BCFE是菱形． 3．（2015?深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD 交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由． 4．（2015?济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC． 5．（2015?临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？ 6．（2015春?宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE． 7．（2014?雅安）如图：在?ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC 的延长线交于E． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形． 8．（2014?贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC． （1）求证：四边形ADCF是菱形；
初三数学 平行四边形经典例题【练习】 一、选择题 1.下列命题正确的是（） (A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (B)、对角线相等的四边形一定是矩形 (C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 2. 已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为( ) A. 6 R P D C B A E F 第12题图 (第7题） （第8题） （第9题） （第10题） 8.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AC 将梯形分成两个三角形，其中△ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )． (A)9 cm (B)12cm (c) 2 9 cm (D)18 cm 10.如图，在周长为20cm 的□ABCD中，AB≠AD，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 11. 如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）８ 12.如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是 AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论 成立的是 （ ) A 、线段EF 的长逐渐增大 B 、线段EF 的长逐渐减小 C 、线段EF 的长不变 D 、线段EF 的长与点P 13. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5 ，BD=12c m ，则梯形中位线的长等于（ ） A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm 14. 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是 平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花． 如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（ ） A B C D E F 图 2 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A G E D H C B 第14题 数学活动——平行四边形中的图形变换 雄县第二中学 张坤 学习目标：1、熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形性质。 2、在解决问题过程中综合运用平移、轴对称、旋转的数学方法。 3、培养动手动脑能力，提高综合运用知识解决问题的能力。 课前准备 （一）图形之间的变换关系：在轴对称、平移、旋转这些图形变换中，线段的长度不变，角的大小不变，图形的大小和形状不变。 （二） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对 角线 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 活动一：学生用所学知识独立解决下面问题，把解题思路和困惑在班内展示。（注意展示时说清利用的那些性质作为解题依据。） （2012 枣庄）如图，矩形 ABCD 的对角线AC= 10，BC= 8，则图中五个小矩形的周长之和为 。 活动二： （一）先自学例题的解题方法，在独立完成思考问题，最后把解决问题中的成果和困惑在师友中讨论，共同解决问题后在班内展示。（学友展示解题，其他组质疑，师傅解疑。） 例题：四边形ABCD 是平行四边形，把平行四边形沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 相交于点O ． 求证BO=DO 证明：∵在平行四边形ABCD 中 ∴AB=CD,∠A=∠C （平行四边形的对边相等对角相等。） 又∵图形折叠 ∴AB=CD=DE , ∠A=∠C=∠E 又∵∠AOB= ∠EOD （对顶角相等） ∴△ABO ≌△EDO （AAS ）∴BO=DO 整理和复习 ——平行四边形和梯形 教学内容：义务教育课程标准实验教科书四年级上册第四单元《平行四边形和梯形整理和复习》 教学目标： 1、通过复习使学生进一步理解垂直与平行的概念，会用直尺、三角尺画垂线和平行线。 2、通过对平行四边形和梯形的整理与复习，使所学的知识条理化、系统化，提高计算的熟 练程度。 3、培养良好的学习兴趣，学会归纳、整理和应用。 教学重点：对各知识点的知识的整理与复习。 教学难点：如何有序整理知识。 教学过程： 一、回忆梳理、构建网络 课前让学生对第四单元的知识进行整理，上课以后小组交流。 师：四人小组讨论、交流。 （1）小组内交流 （2）汇报：展示学生所写的，并引导说教师板书。 师：我们这一单元主要学习了什么内容？（板书：平行四边形和梯形的整理和复习）知识结构网络： 垂直 同一平面内两条直线的位置关系 平行四边形和梯形平行 的整理和复习平行四边形：两组对边分别平行的四边形。 梯形：只有一组对边平行的四边形。 二、典型例题、沟通联系 1、下面的各组直线，哪组互相平行？哪组互相垂直？该用什么方法检验呢？ 你在日常生活中还见过哪些互相垂直或互相平行的例子？ 2、复习画垂线和平行线。 画一个长5厘米，宽3厘米的长方形。 画完以后让学生说一说是如何画垂线和平行线的。 3、在下面的点子图上画出平行四边形和梯形，并画出它们的高。 让学生来说一下平行四边形和梯形的特征，以及他们的联系和区别，并让孩子们说说在画高时注意什么？ 三、知识应用、能力拓展 1、从下面的图形中找出平行四边形和梯形，并画出它们的高。 2、给下面每条直线作两条垂线。看一看这两条垂线有什么关系？ 3、判断下面各题，对的画“√”，错的画“×”。 （1）长方形是特殊的平行四边形。（） （2）两个高相等的平行四边形拼在一起还是一个平行四边形。（） （3）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（） （4）一个梯形中只有一组对边平行。（） 4、想一想，选一选。 (1)、长方形是特殊的（）。 ①梯形②平行四边形③方形 (2)、在梯形中，互相平行的一组对边叫做梯形的（）。 ①腰②上底和下底③高 (3)、下面图形中，4个角的度数同样大的是（）。 练习1 一、选择题（3′×10=30′） 1．下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）． A．内角和为360° B．外角和为360° C．不确定性 D．对角相等2．ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（）． A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125° 3．下列正确结论的个数是（）． ①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等； ③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补． A．1 B．2 C．3 D．4 4．平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）． A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm 5．在ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S ABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（）． A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm 6．在下列定理中，没有逆定理的是（）． A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等; B．直角三角形两个锐角互余; C．全等三角形对应角相等; D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 7．下列说法中正确的是（）． A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题 8．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）． A．1：2：1 B．1：1 C．1：4：1 D．12：1：2 9．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个． A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN ⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为（）． A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 二、填空题（3′×10=30′） 11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的 比为3：4，短边的比为________，长边的比为________． 12．已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，?周长都是18cm，则这条对角线长是_________cm． 13．在ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，?若ABCD?的周长为38cm，△ABD的周长比ABCD的周长少10cm，则ABCD的一组邻边长分别为______．14．在ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠ 初中数学《平行四边形》教案 课题:《平行四边形》(第一课时) 课型：新授课 教学目标： 1.知识与技能目标 (1)理解平行四边形的定义及有关概念 (2)能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质 (3)了解平行四边形在实际生活中的应用,能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明 2.过程与方法目标 (1)经历用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维 (2)在进行性质探索的活动过程中,发展学生的探究能力. (3)在对性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,培养学生的推理能力和演绎能力 3.情感、态度与价值观目标 在探究讨论中养成与他人合作交流的习惯;在性质应用过程中培养独立思考的习惯;在数学活动中获得成功的体验,提高克服困难的勇气和信心。 教学重点: (1)平行四边形的性质 (2)平行四边形的概念、性质的应用 教学难点：平行四边形的性质的探究 教学过程： 一、设置疑问，导入新课 教师活动：介绍四边形与我们生活的密切联系，指出长方形、正方形、梯形都是特殊的四边形。 提出问题(1)四边形与平行四边形(教材91页章前图)(2)四边形与平行四边形有怎样的从属关系?学生活动：(1)利用章前图寻找四边形 (2)说说四边形与平行四边形的关系 【设计意图】指明学习任务，理清四边形与特殊的四边形之间的关系，引出课题 二、问题探究 (1)教师活动：教师用多媒体展示图片，庭院的竹篱笆，电动伸缩门，活动衣架等学生活动：欣赏图片并举例结合小学已有的知识以及对图片的观察和思考，归纳：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再动手根据定义画出平行四边形 【设计意图】由现实生活入手，使学生获得平行四边形的感性认识，同时能调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲，发展学生的抽象思维能力 (2)教师活动：提出问题根据定义画一个平行四边形，观察这个四边形，除了“两组对边分别平行以”外它的边角之间还有其他的关系吗?度量一下，是否和你的猜想一致?然后深入到小组中参与活动与指导 学生活动动手画图，猜想，度量，验证，得出 ①平行四边形的对边相等 ②平行四边形的对角相等，邻角互补 (3)教师活动:你能证明你发现的结论吗? 《平行四边形和梯形》整理和复习 一、知识点回顾 垂直与平行 例1 认识垂直与平行 认识同一平面内两条直线的位置关系：相交和不相交（也就是平行）。相交有成直角和不成直角的情况。 平行：在同一平面内不相交的两条直线叫平行线，也可以说这两条直线互相平行。垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 例2 学习画垂线。 画垂线的方法：1.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。2.沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点（或另一条直角边和已知点所在的直线）重合。3.从直角的顶点起沿另一条直角边画一条直线。4.拿走三角尺在垂足处标出垂直符号。（现在有些同学还是随手画，在家请家长监督。） 灵活运用：可以利用此法检验两条直线是否互相垂直。 例3： 1.从直线外一点到这条直线所画线段中垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。 2.与两条平行线互相垂直的线段的长度都相等。 例4：利用画垂线的方法画长方形、正方形。如：画一个长3厘米、宽2厘米的长方形。 方法：1.先画一条3厘米长的线段。 2.过两个端点在线段的同侧画两条与它垂直的线段，每条线段长2厘米。 3.把这两条线段的端点连接起来． 注意事项：做图题一定要借助三角板，用铅笔画（画错好改）。 平行四边形和梯形 例1 ： 四边形：由四条线段首尾相连围成的图形叫做四边形。四边形分为不规则四边形和特殊四边形。特殊四边形包括长方形、正方形、平行四边形和梯形。 平行四边形：两组对边分别互相平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形容易变形，生活中的伸缩门、升降机都应有了这一特性。 梯形：只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 正方形是特殊的长方形，正方形、长方形是特殊的平行四边形。 四边形之间的关系可以表示为： 二、巩固练习完善提高 （一）、填一填。 1、两组对边分别平行的四边形叫做（）。 2、（）的四边形叫做梯形。 3、两腰相等的梯形叫做( )。有一个角是（）的梯形叫做直角梯形。 第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形用“□”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD 记作“□ABCD”. 18.1.1 平行四边形的性质 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 例、已知：□ABCD 求证：AD=BC ，AB=DC ；∠A=∠C ，∠B=∠D. 证明：连接AC ，//,//AD CD AD BC 12,34∴∠=∠∠=∠ 又AC 是△ABC 和△CDA 的公共边， ∴△ABC ≌△CDA ， ,,AD CB AB CD B D ∴==∠=∠ 平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等. 平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等. 例、已知：如图：□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O. 求证：OA=OC ，OB=OD. 证明：四边形ABCD 是平行四边形 ∴ AD=BC ，AD ∥BC. ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∴△AOD ≌△COB （ASA ）. ∴ OA=OC ，OB=OD. 平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等. 平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等. 平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分. 例、如图，□ ABCD 中，BD ⊥AB ，AB=12cm ，AC=26cm ，求AD 、BD 长． 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=2 1AC ，OB=OD ． ∵BD ⊥AB ，∴在Rt △A BO 中，AB=12cm ，AO=13cm ． ∴BO=522=-AB AO ．∴BD=2B0=10cm ． ∴在Rt △ABD 中，AB=12cm ，BD=10cm ． ∴AD=61222=+BD AB (cm)． 例、如图，在□ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长 为25，AB=12，求对角线AC 与BD 的和. 解：∵△AOB 的周长为25， ∴OA+BO+AB=25， 又AB=12，∴AO+OB=25-12=13， ∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26 18.1.2 平行四边形的判定 平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 例、如图，在□ABCD 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE=CF ，连结 CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ， ∵点E 在AD 上，点F 在BC 上， ∴AE//CF ， 又∵AE=CF ， ∴四边形AFCE 是平行四边形. 例、如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ． 求证：（1）△AFD ≌△CEB ． （2）四边形ABCD 是平行四边形． 课时34．平行四边形 【课前热身】 1．平行四边形ABCD 中，若∠A ＋∠C ＝130 o ，则∠D 的度数是 . 2．ABCD 中，∠B =30°，AB ＝4 cm ，BC =8 cm ，则四边形ABCD 的面积是_____. 3．平行四边形ABCD 的周长是18，三角形ABC 的周长是14，则对角线AC 的长 是 . 4．如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ， ∠Ｃ＝70°，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝ 度． （第4题） 5．平行四边形ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（ ） A ．1:2:3:4 B. 3:4:4:3 C. 3:3:4:4 D. 3:4:3:4 6．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=o ，那么下列各式中，不能．． 成立的是（ ） A ．60D ∠=o B ．120A ∠=o C ．180C D ∠+∠=o D ．180C A ∠+∠=o 【考点链接】 1．平行四边形的性质 （1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______. （2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相 ______．（填“平行”或“垂直”） （3）平行四边形的面积公式____________________. 2．平行四边形的判定 （1）定义法：________________________. （2）边：________________________或_______________________． （3）角：________________________． （4）对角线：________________________． A B C D E 北师大二年级数学下册平行四边形教案 长方形与正方形 教学目标 1．通过观察、测量、比较、归纳，能够用自己的语言描述长方形、正方形的特征。 2．能够按要求在之上画出长方形和正方形。 3．回用正方形、长方形设图案，发展学生空间想象力和审美意识。 教学重点 1．在活动中尝试归纳出长方形、正方形的特征。 2．用自己的语言描述长方形、正方形的特征。 教学准备 教具：长方形、正方形。 学具：①附页2上的长方形、正方形；②放一张长方形彩纸的信封；③三角尺、直尺、剪刀。 切入举偶 谈话引入 同学们，在你们的桌面上放一些几何图形，请你认一认，它们都是谁？ 告诉大家，你是怎样认得这么准确的？ 对话平台 玩中学 1．活动一。 学生分组探索长方形和正方形的特征。 （1）教师出示若干图形，请同学们说出几号图是正方形，辨认长方形和正方形。 （2）利用学具在小组内探索长方形、正方形有什么特点。先研究用什么方法，再进行操作。 （3）学生以小组为单位汇报本小组的研究结果。 （4）完成“填一填”。拿着手中的长方形、正方形，同桌之间用自己的话互相说一说长方形、正方形的特征。 2．活动二。 通过小游戏探索长方形和正方形之间的关系。 （1）猜一猜。 信封里装一张长方行纸，露出一部分。请同学们猜一猜：信封里装的彩纸是什么形状的？ （2）拉一拉。 请两个同学到前面拉一拉，（拉动要慢）其他同学认真观察彩纸露出部分的变化，长方形——正方形——长方形。 （3）请同学们先自己想一想：为什么一会是长方形，一会是正方形，一会又变成长方形呢？然后把你的想法和同桌互相说一说。 平行四边行 教学目标 1．通过生活情景与实践操作，直观认识平行四边形。 2．在观察与比较中，使学生在头脑里建成长方形与四边形间的区别与联系。3．体会平行四边形与生活的密切联系。 教学重点 通过生活情景与实践操作，直观认识平行四边形。 教学准备 教具：活动长方形框架点子图。 学具：七巧板。 切入举偶 课件引入。 请同学们找一找，你在这幅图上找到了什么你认识的图形？ 对话平台 玩中学 1．做一做。 引出平行四边形，同时渗透了平行四边形与长方形的联系与区别。 师示“活动长方形框架”。 老师要拉动框架两角，猜猜会是什么结果。用你的小手比一比，和同桌说一说。谁愿意来试一试？ 请学生到前面来拉动长方形框架两角，将其变成平行四边形。 这个图形的名字是什么？请同学们自己说一说。 2．说一说。 平行四边形在生活中的应用也是十分广泛的。请同学们说一说，你在什么地方见过平行四边形。 （1）先对你的好朋友说说。 （2）谁愿意告诉老师？ 学中做 1．画一画。 教师出示点子图。 书上附页3有点子图，请同学们是这在上面画一个平行四边形吧！ 请一名同学在黑板上画。 你觉得自己画得棒不棒？说说你是怎样画的？ 2．拼一拼。 让学生用七巧板拼出平行四边形，巩固对平行四边形的直观认识。 （1）每个同学都认识了平行四边形，我们的七巧板着急了，它也想和平行四边形做朋友，请你帮帮它，用七巧板拼出平行四边形，快动手试一 试！ （2）拼完的同学可以将你的平行四边形展示在前面。 （3）看一看，评一评，你最喜欢谁的平行四边形？ 第五单元平行四边形与梯形 1、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线 互相平行。其中一条直线是另一条直线的平行线。（同一平面内，两条直 线不平行就相交）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线（互相平行）。 2、画平行线应先放三角尺，再放直尺，平移三角尺。（一贴，二靠，三移，四画） 3、如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂 线，这两条直线的交点叫做垂足。如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这 两条直线也（互相垂直）。 4、画垂线应先放直尺，再放三角尺，平移三角尺。（一对，二移，三画） 5、点到直线之间垂直线段最短。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 6、两条平行线之间所有的垂直线段的长度相等。（平行线间的距离处处相等） 7、两组对边分别平行的四边行叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。（1）平行四边形 ①平行四边形的对边（平行且相等）。平行四边形相对的角（对角）度数相等，相邻的角（邻角）度数和是180度，四个角的度数和是360度。 ②平行四边形容易变形，具有不稳定的特性。 ③从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高，同一底上的高长度都相等。 （2）梯形 ①在梯形中，平行的两条边分别叫做梯形的上底和下底（其中短的叫上底，长的叫下底）。不平行的两条边叫做梯形的腰。从梯形上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 ②梯形有无数条高，所有的高长度都相等。 ③两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形的两个底角相等。 ④两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 7、正方形是特殊的长方形，长方形和正方形是特殊的平行四边形。长方形和正方形的对边互 相平行，邻边互相垂直。可以用画垂线或平行线的方法画长方形和正方形。 特殊平行四边形测试题 一、 精心选一选，想信你一定能选对！（每题4分，共24分） 1．不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） （A ）AB 平行且等于CD 。 （B ）∠A=∠C ，∠B=∠D 。 （C ）AB=AD ，BC=CD 。 （D ）AB=CD ，AD=BC 。 2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ） （A ）邻角互补（B ）内角和为360°（C ）对角线相等 （D ）对角线互相垂直 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） （A ）四条边相等 （B ）对角线互相垂直平分 （C ）对角线平分一组对角 （D ）对角线相等 4、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 5.如图,□ABCD 中,∠C=108°,B E 平分∠ABC,则∠ABE 等于( ) A.18° B.36° C.72° D.108° 6．下列命题中，真命题是（ ） A 、有两边相等的平行四边形是菱形 B 、对角线垂直的四边形是菱形 C 、四个角相等的菱形是正方形 D 、两条对角线相等的四边形是矩形 二、细心填一填，相信你填得又快又准！（每题4分，共24分） 7、□ABCD 中，∠A =50°，则∠B =__________，∠C =__________。 8．已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm ． 9、菱形ABCD 的周长为36，其相邻两内角的度数比为1:5，则 此菱形的面积为_________。 10、对角线长为22的正方形的周长为___________，面积为__________。 11．如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP E D C B A 平行四边形经典例题（附带详细答案） 1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥， 求证：AF CE =． 【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥， BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF = 2．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=A D C B D C A B E F 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长 解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍， 求∠A ，∠B ，∠C 的大小． 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠． 根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ． 解得，70=x ． AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=A D C B A D C B 初三数学 平行四边形专题练习 1 ?如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等， 那么这个正方 形的边长为 _______ c m. 2 2.如图1,正方形ABCD 的边长为4cm 则图中阴影部分的面积为 cm . 3若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 _______________________ （写一个即可），使四边形ABCD 是菱形. 4.在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点0, △ ABO 的周长 为17，AB = 6,那么对角线AC + BD = ____________________ 7?以正方形 ABCD 的边BC 为边做等边△ BCE ，贝U / AED 的度数 为 . 5.已知菱形ABCD 的边长为6，Z A = 60°如果点P 是菱形内一点，且 PB = PD = 2、那么AP 的长为 _____________________ . 6 .在平面直角坐标系中，点 A 、B 、C 的坐标分别是A （ — 2, 5）， B （ — 3，— 1），C （1，— 1），在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点 D 的坐标是 二、选择题（每题3分，共30分） 7. 如图2在平行四边形ABCD 中，/ B=110°,延长AD 至F ,延长CD 至E ， 8. 菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ） A .对角相等 B .四边相等 C .对角线互相平分 D .四角相等 9. 如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、 的中点.若OE=3 cm ,则AB 的长为 （ ） A . 3 cm B . 6 cm C . 9 cm D . 12 cm 10 .已知：如图4,在矩形ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点.若 AB = 2, AD = 4, 则图中阴影部分的面积为 （ BD 交于点O ,点E 是BC 图1 连结 EF ,贝U/ E +Z F =( ) .70 A H 图4 人教版四年级数学上册第五单元《平行四边形的认识》 黄岗镇罗楼小学梁坤 一、教学目标 1、在联系生活实际和动手操作的过程中认识平行四边形，发现平行四边形的基本特征。 2、认识平行四边形的高，明白高与底的对应关系，能测量和画出平行四边形的高。 3、通过观察、动手操作，培养学生抽象概括能力和初步的空间观念． 二、教学重难点 教学重点：理解平行四边形的概念及特性。 教学难点：画平行四边形的高，明白底和高的对应关系。 三、教学方法 教法：通过教师引导、启发，引导学生理解和总结平行四边形的概念及特征。 学法：通过学生自主探究、小组合作、动手操作等结合的方法认识平行四边形的底和高及平行四边形的特性。 四、教学准备 课件、平行四边形纸片、三角板等 五、教学过程 （一）谈话导入 1、生活中你见过平行四边形吗?在哪见过，能给大家说一说吗？ ①学生尝试举例。 ②教师课件出示生活中与平行四边形有关的实例。 2、课件出示不同的平行四边形，让同学们仔细观察。 师：同学们你能说说你知道平行四边形的什么知识？（指名学生） 3、揭题、导入 那今天我们就一起来深入研究平行四边形，板书课题 （二）合作交流、动手操作，探究新知 1、小组活动，探究平行四边形的特征。 （1）出示学具（两个平行四边形、学生用三角板、直尺、量角器等） 师：刚才有的同学已经谈到了平行四边形的相关知识，那现在我们分小组仔细观察，看看你还发现了平行四边形的什么知识？然后把你的发现写下来。（看一看哪个小组最认真、完成的最快、发现的最多？） （2）学生小组合作，利用三角板、直尺等学具研究平行四边形的特征。 （3）小组汇报: 预设: 量一量:发现平行四边形两组对边分别相等、对角相等。 画一画：分别在对边之间画垂线段，经过测量发现垂线段的长度都一样。说明平行四边形的两组对边分别平行。 （4）在汇报的过程中，教师要及时总结并适时板书在黑板上。 2、抽象概括平行四边形的定义。 （1）学生尝试概括平行四边形的定义。 师：平行四边形的边有什么特点？如果请你说一说什么是平行四边形，你想怎么说？你们先四人一组互相说一说，推荐一个你们组认为说的最好的，到前面来说给大家听，让大家一听就能明白是平行四边形。 （2）师总结并板书在黑板上。 1.平行四边形的定义：平行四边形是有两组对边分别平行的四边形。 2.平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等 ②平行四边形的对角相等，两邻角互补。 ③平行四边形的两条对角线互相平分 ④平行四边形是空间图形 3.平行四边形的判断方法：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ②对角线互相平分的四边形是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形 4.特殊的平行四边形：矩形(长方形)，菱形，正方形。 5.平行四边形的面积公式为：底×高（能够看作是矩形。） 6.梯形：指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ①上底、下底：平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底，短边叫上底； ②腰：不平行的两边叫腰； ③高：夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 7.梯形中常见的一些判定： ①一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（一组对边平行且不相等的四边形是梯形） ②两腰相等的梯形是等腰梯形 ③同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ④有一个内角是直角的梯形是直角梯形 ⑤对角线相等的梯形是等腰梯形． ⑥梯形的中位线等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底。 8.特殊梯形的一些性质：①等腰梯形的两条腰相等 ②等腰梯形在同一底上的两个底角相等 ③等腰梯形的两条对角线相等 ④等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线 ⑤梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一 ⑥直角梯形有两个角是直角 ⑦对角线互相垂直的梯形面积可用两条对角线积的一半计算。 9.梯形的面积：（上底+下底）×高÷2 初中数学平行四边形知识归纳总结及解析 一、解答题 1．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由． （2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长． 2．已知正方形ABCD ． （1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=?． ①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形． ②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数． （2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当1 3 AE CF =时．请直接写出HC 的长________． 3．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接 DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ． （1）求证：GF GC =； （2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明． 4．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论． 拓展与延伸： (1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________； (2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半] ① ② 5．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线． (1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积； (2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，． ①求证：13h h =； ②设正方形ABCD 的面积为S ，求证2 22211 2 2 S h h h h =++． 6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ． 九年级数学上册《特殊平行四边形》 一、填空题： 1.判定一个四边形是矩形，可以先判定它是__________，再判定这个四边形有一个__________或再判定这个四边形的两条对角线__________. 2.菱形的面积为24cm 2，边长为5cm ，则该菱形的对角线长分别为 。 3.正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少_______度可以与原图形重合. 4.正方形的对角线长为10 cm ，则正方形的边长是_________. 5.矩形的两条对角线的一个交角是60°,一条对角线与较短边 的和是12 cm ，则对角线长是_ __. 6.如图，矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上，如果 ∠BAE=50°，则∠DAF=_______. 7.顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连接平行四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________；顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________；顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是_________。由此猜想：顺次连结___ ____的四边形四边中点所得四边形是矩形，顺次连结_ _ _______的四边形四边中点所得四边形是菱形。即新四边形的形状与原四边形的____ _____有关。 8.已知菱形ABCD 的两条对角线长分别是6 cm 和8 cm ，则菱形的周长是_________. 9.如图，正方形ABCD ，以AB 为边分别在正方形内、外作等边△ABE 、△ABF ，则∠CFB=_______，若AB=4，则AFBE 四边形S =_________. 10.如图，E 为正方形ABCD 边BC 延长线上一点，且CE=BD ，AE 交DC 于F ，则∠AFC=________. 11.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L ”型图案， 则FAC ∠= ，FCA ∠= 。 12.边长为a 的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b 正方形， 则所剩余图形的周长为 。 13.已知菱形一个内角为120，且平分这个内角的一条对角线 长为8cm ，则这个菱形的周长为 。 14.如图，矩形纸片ABCD ，长AD ＝9cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折 叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长为 ，折痕EF 的长为 。 二、选择题： 1.能判定一个四边形是菱形的题设是（ ） A.有一组邻边相等 B.对角线互相垂直 C.有三边相等 D.四条边都相等 2.□ABCD 是正方形需增加的条件是（ ） A.邻边相等 B.邻角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等 3.矩形边长为10cm 和15cm ，其中一个内角的角平分线分长边为两部份，这两部份的长为（ ） A.6cm 和9cm B. 5cm 和10cm C. 4cm 和11cm D. 7cm 和8cm 4.从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点， 则菱形的内角中钝角的度数是（ ） A.150 B. 135 C. 120 D.100 5.如图，在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD=90°， 若矩形ABCD 的周长为30 cm ，则AB 的长为( ) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.7.5 cm 6.矩形各内角的平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 7.若菱形ABCD 的周长为16，∠A ∶∠B=1∶2，则菱形的面积为（ ） A.23 B.33 C.43 D.83 8.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点， 使该点到各顶点距离相等的图形是（ ） A.平行四边形和菱形 B.菱形和矩形 C.矩形和正方形 D.菱形和正方形 9.如图，过矩形ABCD 的顶点A 作对角线BD 的平行线交CD 的延长线于E ，则△AEC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.等腰直角三角形 10.矩形的对角线长10 cm ，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（ ） A.40 cm B.10 cm C.5 cm D.20 cm 11.如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边， 则∠FAB 等于( ) A.135° B.45° C.22.5° D.30° 12.如图矩形ABCD 中,AB=2AD,E 是CD 上一点,AE=AB,则∠CBE 等于( ) A F D C B E B D A F 9题图 E B C D A F 10题图 E B C D A G F 11题图 14题图 D C B A F E G 5题图 A C B D A D C B E 9题图 11题图 12题图数学活动——平行四边形中的图形变换
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