第三章 习题及答案 传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少? 解： 41min, =0.25min T T = 1111()=1-e 0.1, =ln 0.9t h t t T -=-T 21T 22()=0.9=1-e ln 0.1t h t t T -=-， 210.9 ln 2.20.55min 0.1 r t t t T T =-=== 2.已知某系统的微分方程为)(3)(2)(3)(t f t f t y t y +'=+'+''，初始条件2)0( , 1)0(='=--y y ，试求： ⑴系统的零输入响应y x (t )； ⑵激励f (t ) (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )； ⑶激励f (t ) e 3t (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )。 解：(1) 算子方程为：)()3()()2)(1(t f p t y p p +=++ ) ()e 2 5e 223()()()( ) ()e 2 1e 223()()()( )()e e 2()(2 112233)( )2(; 0 ,e 3e 4)( 34 221e e )( 2x 2222x 212 121221x t t y t y t y t t t h t y t t h p p p p p p H t t y A A A A A A A A t y t t t t t t f f t t t t εεεε------------+=+=+-==-=?+-+= +++= -=??? ?-==????--=+=?+=∴* ) ()e 4e 5()()()( )()e e ()(e )()( )3(2x 23t t y t y t y t t t h t y t t t t t f f εεε------=+=-==* 3.已知某系统的微分方程为)(3)(')(2)(' 3)(" t f t f t y t y t y +=++，当激励)(t f =)(e 4t t ε-时，系统
习 题 2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统? (1) x x x x x i o o o o 222=++ (2) x tx x x i o o o 222=++ (3) x x x x i o 222o o =++ (4) x tx x x x i o o o 222o =++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。 2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有
x m x c x x c i o o 2 o 1 )(=-- 即 x c x c c x m i 1 2 1 o o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有 )1()()(1 x x c k x x o i -=- )2()(2 x k x x c o o =- 消除中间变量有 x ck x k k x k k c i o 1 2 1 o 2 1 )(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x k x x k x x c o o i o i 2 1 )()(=-+- 即 x k x c x k k x c i i o o 1 2 1 )(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。 图（题2.3） 解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有 ?+=idt C i R u o 12 2 i R u u o i 1 1=-
第三章 习题及答案 传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值， 试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少? 解： 41min, =0.25min T T = 2.已知某系统的微分方程为)(3)(2)(3)(t f t f t y t y +'=+'+''，初始条件2)0( , 1)0(='=--y y ，试求： ⑴系统的零输入响应y x (t )； ⑵激励f (t ) (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )； ⑶激励f (t ) e 3t (t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )。 解：(1) 算子方程为：)()3()()2)(1(t f p t y p p +=++ 3.已知某系统的微分方程为)(3)(')(2)(' 3)(" t f t f t y t y t y +=++，当激励)(t f =)(e 4t t ε-时，系统的全响应)()e 6 1e 27e 314()(42t t y t t t ε-----=。试求零输入响应y x (t )与零状态响应y f (t )、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。 解： 4. 设系统特征方程为：0310126234=++++s s s s 。试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的 稳定性。 解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=6，a 2=12，a 1=10，a 0=3均大于零，且有 所以，此系统是稳定的。 5. 试确定下图所示系统的稳定性. 解：210 110(1)(1)(). ()210(21) 1(1) s s s s a G s s s s s s s +++=?=?+++ 系统稳定。 满足必要条件，故系统稳定。 6.已知单位反馈系统的开环传递函数为) 12.001.0()(2++= s s s K s G ξ，试求系统稳定时，参数K 和ξ的取值关系。 解：2()(0.010.21)0D s s s s k ξ=+++=
若系统输入为不同频率ω的正弦函数t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(?ω+t B ，求该系统的频率特性 解：由频率特性的定义有：? ωj e A B j G =)(（P119） ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试求下列系统的幅频特性)(ωA 、相频特性)(ω?、实频特性)(ωu 、虚频特性)(ωv （P120， 121） 1 305 )(+= s s G 解：1 305 1305)(+= += ωωωj s j G j )(ωA = 1 90051 3052 += +ωωj )(ω?=1 30arctan )130()5(1 305 ω ωω-=+∠-∠=+∠ j j )(ωj G 可以展开为实部与虚部的形式，即：1 90015051305 )(2+-= += ωω ωωj j j G 所以，实频特性)(ωu = 1 90052 +ω 虚频特性)(ωv =1 9001502+-ωω ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 设系统的闭环传递函数为：1 ) 1()(12++=s T s T K s G B ，当输入信号为t R t x i ωsin )(=，试求该系 统的稳态输出。 解：系统的频率特性函数为： ()()) () arctan (arctan 21221212)() 1()1(1 )1(1 )1()(12ωωωω ωωωωωωj G j B T T j j B B e j G e T T K j T j T K s T s T K j G ∠-?=?++= ++= ++= 系统的对于特定频率的输入信号，其稳态输出为：（P118） )](sin[)()(ωωωj G t j G X t x B B i oss ∠+??= 因此，对于该系统，有： ()())]arctan (arctan sin[) 1()1()(122 122ωωωωωT T t T T K R t x oss -+?++?=
参考答案 一、填空题 1. 非本质；本质 2. 自持振荡 3. 初始条件；输入信号大小 4. 饱和非线性；死区非线性；间隙非线性；继电器非线性 5. 不稳定 6. 稳定；不稳定；半稳定 7. 自左向右；自右向左 二、分析与计算题 1. 求3()()y t ax t =的描述函数。 解：由于3()()y t ax t =是单值奇函数，所以其傅里叶级数展开式中A 0=0、A 1=0、φ1=0，将()sin x t A t ω=代入B 1的计算公式，可得 2102330340 3203203 03031()sin 1sin sin 2sin 21cos 2()2 212cos 2cos 24 1cos 412cos 22242311(cos 2cos 4)828 231 (sin 284 B y t td t aA t td t aA td t aA t d t aA t t d t t t aA d t aA t t d t aA π π π ππππωωπωωωπωωπωωπωωωπωωωπωωωπππ===-=-+=+-+==-+=-???????3 1sin 4) 003234 t t aA ππωω+= 所以 32 133()44 B aA N A aA A A === 2．设具有滞环继电器非线性特性的非线性系统结构如题图8.1所示，已知b =1，a =0.3，试判断系统是否存在自持振荡，若存在，则求出自持振荡的幅值和频率。 题图8.1 解：具有滞环的继电器非线性特性的描述函数为 2 4()j ()ab N A A a A π=≥ 其描述函数负倒数特性为 1j ()()4a A a N A b π-=≥ 可见，描述函数负倒数特性的虚部为常数4a b π-，即1()N A -曲线为一条虚部为4a b π-的直线。 由于10 ()(21)(0.41) G s s s =++，所以
2007机械工程控制基础第四章习题答案 第4章 频率特性分析 4.1什么是系统的频率特性？ 答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。 4.4若系统输入为不同频率ω的正弦t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(?ω+t B 。求该系统的频率特性。 解：由系统频率特性的定义知：?ωj e A B j G = )( 4.5已知系统的单位阶跃响应为)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t x t t o ，试求系统的幅频特性与 相频特性。 解：由已知条件得：s s X i 1)(=，9 8 .048.11)(+++-=s s s s X o 得系统传函为：) 9)(4(36)()()(++== s s s X s X s G i o 得系统频率特性：) 9)(4(36 )(ωωωj j j G ++= ，其中 幅频特性为：2 2 811636 )()(ω ωωω+?+= =j G A 相频特性为：9 arctan 4 arctan )(ω ω ω?--=4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。已知m=1kg ，k 为弹簧刚度，c 为阻尼系数。若外力tN t f 2sin 2)(=，由实验得到系统稳态响应为)2 2sin(π -=t x oss 。试确定k 和c 。 解：由系统结构知系统的动力学方程为： 当m=1时，得系统传函为： k cs s s G ++= 2 1 )(，得系统频率特性为： ω ωωjc k j G +-= 21 )(。 图（题4.6）
题目：时间响应由和两部分组成。 分析与提示：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。 答案：瞬态响应、稳态响应 题目：系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程，称为。 分析与提示：瞬态响应，指系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。 答案：瞬态响应 题目：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为与。 分析与提示：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为自由响应与强迫响应。 答案：自由响应、强迫响应 题目：系统的时间响应可从两方面分类，按振动来源可分为与。 分析与提示：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为自由响应与强迫响应；按振动来源可分为零输入响应(即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应)与零状态响应(即仅由输入引起的响应)。 答案：零输入响应、零状态响应 题目：系统微分方程的特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为。 分析与提示：初始条件及输入信号产生的时间响应就是微分方程的全解。包含通解和特解两个部分。通解完全由初始条件引起的，它是一个瞬态过程，工程上称为自然响应 (如机械振动中的自由振动)。特解只由输入决定，特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为强迫响应 (如机械振动中的强迫振动)。 答案：强迫响应 题目：系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加的形式有关。 分析与提示：系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。 答案：输入信号 题目：单位阶跃信号???<>=000t t t u 1)(的拉氏变换为【 】 A 、 s 1 B 、21 s C 、1 D 、s 分析与提示：熟练掌握典型信号的拉氏变换。B 为单位斜坡信号的拉氏变换，C 为单位冲击信号的拉是变换。 答案：A 题目：选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有，能够反映系统工作的大部分实际情况。 分析与提示：选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。 答案：典型性 题目：选取输入信号时，输入信号的形式应当尽可能。 分析与提示：选取输入信号时，输入信号的形式应当尽可能简单。 答案：简单 题目：是使用得最为广泛的常用输入信号。 分析与提示：单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数 都为常用输入信号时，单位脉冲函数是使用得最为广泛的常用输入信号。 答案：单位脉冲函数 题目：设一阶系统的传递函数为 5 23 +s ，则其时间常数和增益分别是【】 A ． 2，3 B ．2，3/2 C ． 2/5，3/5 D ． 5/2，3/2
第2章系统的数学模型(习题答案) 2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？ 解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。 2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？ 解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。 2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。 题图2.3 解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得 整理得 将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得
[] 于是传递函数为 ②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程： 消去中间变量x，可得系统微分方程 对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为 ③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程： 移项整理得系统微分方程
对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即 则系统传递函数为 2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。 +-+- u ) t f C ) +- +- f )(a ) (b ) (c ) (d R 题图2.4 【解】：)(a 方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组： ???? ?=+=?i R u u dt i C u c c r 1 消去中间变量，整理得： dt du RC u dt du RC r c c =+
题目：线性定常系统对正弦信号(谐波输入)的 称为频率响应。 答案：稳态响应 题目：频率响应是系统对_____________的稳态响应；频率特性G(jω)与传递函数G(s)的关系为____________。 答案：正弦输入、s=ωj 题目：以下关于频率特性、传递函数和单位脉冲响应函数的说法错误的是【 】 A ． ω ωj s s G j G ==)()( B ． [])()(t F s G ω= C ． [])()(t L s G ω= D ． [])()(t F j G ωω= 分析与提示：令传递函数中ωj s =即得频率特性；单位脉冲响应函数的拉氏变换即得 传递函数；单位脉冲响应函数的傅立叶变换即为频率特性。 答案：B 题目：以下说法正确的有 【 】 A ．时间响应只能分析系统瞬态特性 B ．系统的频率特性包括幅频特性和相频特性，它们都是频率ω的函数 C ．时间响应和频率特性都能揭示系统动态特性 D ．频率特性没有量纲 E ．频率特性反映系统或环节对不同频率正弦输入信号的放大倍数和相移 分析与提示：时间响应可分析系统瞬态特性和稳态性能；频率特性有量纲也可以没有量纲，其量纲为输出信号和输入信号量纲之比。 答案：B 、C 、E 题目：通常将 和 统称为频率特性。 答案：幅频特性、相频特性 题目：系统的频率特性是系统 响应函数的 变换。 答案：脉冲、傅氏 题目：频率响应是系统对_____________的稳态响应；频率特性G(jω)与传递函数G(s)的关系为____________。 答案：正弦输入、s=ωj 题目：已知系统的单位阶跃响应为()()0,8.08.1194≥+-=--t e e t x t t o ，试求系统的幅 频特性和相频特性。 分析与提示：首先由系统的输入输出得到系统传递函数；令s=ωj 即可得到频率特性，进而得到幅频特性和相频特性。 答案：由已知条件有 ()()9 18.0418.11, 1 +++-= =s s s s X s s X o i 传递函数为 ()()()()() 9436++== s s s X s X s G i o 则系统的频率特性为 ()()() 9436 ++= ωωωj j j G
6-1 (a)G c (S )=V 0(S )V i (S ) = Z 1 Z 1+Z 2= R R +1 = RCS RCS +1= TS TS +1 (b)G c (S )=1CS 1 CS +R =1 RCS +1=1 TS +1 6-2 (a) V i (S )R 1 =- V 0(S )R 2 ? R 22R 2 2+R 2 →G c (S )=- R 2+R 3R 3 (1+ R 3R 2 R 2+R 3 CS )=-K p (1+TdS ) 小区中间变量V p (S)得到G c (S )=V 0(S )V i (S ) =- R 12+R 1R 3RCS +R 3R 2 R 1R 2 (b)V i (S ) R 1 1+R 1C 2S =- V 0(S ) R 2+ 12∴G c (S )=V 0(S ) V i (S )=-(R 1C 1S +1)R 2C 2S R 1C 2S =- (T 2S +1)(T 1S +1) T 2S (c) V i (S )R 1 =- V 0(S ) R 2 2∴G c (S )= V 0(S )V i (S ) =- R 21+R 2CS R 1 =-R 2R 1? 1 1+R 2CS =-K c ?11+TS K c =R 2R 1 T=R 2C 6-3 G C 1(S )= S +1S +10 =10?01S +10.1S +1 ?1 10 α=10 G C 2(S )=S +1S +20 = 20?0.05S +10.1S +1 ?1 20 α=20 G C (S )= S +10.02S +10 = 50?0.02S +10.02S +1 α=50 αm =sin ?1α?1α+1=sin ?110?1 10+1=54.90 64.80 73.90 W m = 1√α?T =1√10?0.1=3.16 1√20?0.05=4.47 1 √50?0.02=7.07 L(W m )=10log α=10log 10=10分贝 13分贝 17分贝 6-4 G C 1 S =S +1 5S +1α=0.2 T=5 幅值5倍 10倍 20倍 φ(w)=-90 -4.550 -2.410 G C 2 S =S +1 10S +1α=0.1 T=10 幅值20log α=?20分贝 相角 -10.150 -5.130 -2.160 G C 3 S =20S +1 20S +1α=0.05 T=20 幅值20log 20+20log 0.05=0分贝 相角φ(w)=-10.60 -5.40 -2.760 6-5 G C (S )=（2.5S +1）（S+1） (25S +1)(0.1S +1)α=10 T 1=0.1T 2=25 φ m =sin ?1 α?1α+1 =550 W m = 1√α?T 1 =3.16 L(W m )=-10log α=-10分贝
控制工程基础习题解答 第六章 6-1．已知单位反馈系统的开环传递函数为()()() 16.013.0++=s s s K s G 。 试求： （1）. 静态误差系数K p 、K v 、K a 。 （2）. 系统对阶跃输入的稳态误差。 （3）. 系统对输入为r(t)=2t 时的稳态误差。 解：稳定性验算： 特征方程：09.018.02 3 =+++K s s s K K K s s s s 2.019.01 18.00 123- 当50< K K e v ssv 212 == 6-2．已知开环传递函数()() 400 320 22++= s s s s G ,试求单位反馈系统对输 入信号为()22 1t t r =时的稳态误差。 解：稳定性验算： 特征方程：02040032 3 4 =+++s s s 20 15.020 400032040010 1234s s s s s - 第一列有小于零的数，符号变化了两次，故存在两个闭环右极点。系统不稳定，求解误差无意义。 6-3．设单位反馈系统的开环传递函数为 ()() 12.0300 += s s s G 输入信号为()225t t t r ++=试求系统的稳态误差。 解：稳定性验算：为两阶系统，系统稳定。 Ⅰ型系统。 K p =∝ K v =K=300 K a =0 ∞=+++= ++=0 2 300215225p ssa ssv ssp ss K e e e e 6-4．某系统框图如图6-8所示。试求该系统的位置、速度和加速度误差系数并说明速度内反馈的存在对稳态误差的影响。 解：开环传递函数为： ()()()() ()? ?? ? ??++++= +++=+++= 1111110 1110110122s K s s K K s s s s K s s s s s G f f f f 稳定性验算： 特征方程： 0110 1101123=++++++f f f K s K s s K f f f f f f f K s K K s K s s K K K s s s s +++=+++1101101101101110 1110 1101 2 3 1 2 3 当0>f K 时，系统稳定，求解误差有意义。 控制工程基础考卷带答案复习资料 一、填空题：（每空1分，共20分） 1．对控制系统的基本要求一般可归结为_________稳定性，准确性，快速性____、____________、___________。 2．自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是瞬态响应分量，另一个是____________响应分量。 3．在闭环控制系统中，通过检测元件将输出量转变成与给定信号进行比较的信号，这个信号称为_________________。 4．若前向通道的传递函数为G(s)，反馈通道的传递函数为H(s)，则闭环传递函数为__________________ 。 5 函数f(t)=的拉氏变换式是 _________________ 。 6 开环对数频率特性的低频段﹑ 中频段﹑ 高频段分别表征了系统的 稳定性，动态特性，抗干扰能力 ﹑ ﹑ 。 7．Bode 图中对数相频特性图上的－180°线对应于奈奎斯特图中的___________。 8．已知单位反馈系统的开环传递函数为： 20 ()(0.51)(0.041) G s s s = ++求出系统在单位阶跃输入时的稳 态误差为 。 9．闭环系统稳定的充要条件是所有的闭环极点 t e 63- 均位于s 平面的______半平面。 10．设单位反馈控制系统的开环传递函数为 10()1 G s s = +，当系统作用有x i (t ) = 2cos(2t - 45?)输入 信号时，求系统的稳态输出为_____________________。 11．已知传递函数为2 ()k G s s =，则其对数幅频特性 L （ω）在零分贝点处的频率数值为_________ 。 12 在系统开环对数频率特性曲线上，低频段部分主要由 环节和 决定。 13．惯性环节的传递函数11+Ts ，它的幅频特性的数学式是__________,它的相频特性的数学式是____________________。 14．已知系统的单位阶跃响应为()1t t o x t te e --=+-，则 系统的脉冲脉冲响应为__________。 一、填空题 （每空1分，共20分）： 1 稳定性，准确性，快速性；2 稳态；3 反馈； 4 ) ()(1) (s H s G s G ±；5 3 ()6 F s s = + 6 稳定性，动态特性，抗干扰能力； 7 负实轴； 8 1 21 9 右半平面； 10 3-1 已知某单位反馈系统的开环传递函数为1 )(+=Ts K s G k ，试求其单位阶跃响应。 解法一，采用拉氏反变换： 系统闭环传递函数为：()()()()1()1k k G s C s K s R s G s Ts K Φ=== +++ 输入为单位阶跃，即：1()R s s = 故：1()()()1 1K A B C s s R s K Ts K s s s T =Φ= ?=+ ++++ 可由待定系数法求得：,11 K K A B K K ==-++ 所以，1111 ()()111K K K K K C s K K s K s s s T T ++=-=-+++++ 对上式求拉氏反变换： 1 ()(1)1 k t T K c t e K +-=-+ 解法二，套用典型一阶系统结论： 由式(3-15)，已知典型一阶系统为：()1 ()()1 C s s R s Ts Φ= =+ 由式(3-16)，其单位阶跃响应为：1()1t T c t e -=- 若一阶系统为()()()1 C s K s R s Ts Φ==+，则其单位阶跃响应为：1()(1)t T c t K e -=- 现本系统闭环传递函数为：()()(1)()()1()1(1)11 k k G s C s K K K K s R s G s Ts K Ts K T s ' +Φ===== '++++++ 其中，,11 T K T K K K ''= =++ 所以，1 1()(1)(1)1 k t t T T K c t K e e K +--' '=-=-+ 采用解法二，概念明确且解题效率高，计算快捷且不易出错，应予提倡。 3-2 设某温度计可用一阶系统表示其特性，现在用温度计测量容器中的水温，当它插入恒温水中一分钟时，显示了该温度的98%，试求其时间常数。又若给容器加热，水温由0℃按10℃/min 规律上升，求该温度计的测量误差。 解： （1）由题意知，误差为2%，因此调节时间：41min s t T ==，即时间常数T ： 1 0.25min 15sec 4 s T t === 第四章传递函数 第一节传递函数 一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换之比。 ) () ()]([)]([)()()()(s R s Y t r L t y L s G s G t y t r = =，则为，系统传递函数 、系统输入、输出分别为 二、求法： 1、由微分方程求取。 若系统的微分方程为 ) ()()()()()()()(01) 1(1) (01) 1(1)(t x b t x b t x b t x b t y a t y a t y a t y a m m m m n n n n +'+++=+'+++---- 对微分方程的两端求拉氏变换 11 1011 1011 1011 1011 1011 1)() ()() ()() ()() ()()()()()()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s G s X b s b s b s b s Y a s a s a s a s X b s sX b s X s b s X s b s Y a s sY a s Y s a s Y s a n n n n m m m m m m m m n n n n m m m m n n n n +++++++==+++=++++++++=++++------------ 例1：系统微分方程为)()() ()(2 2t f t kx dt t dx c dt t x d m =++，求系统的传递函数。 解：由给定的微分方程， k cs m s s F s X s G s F s X k cs m s s F s kX s csX s X m s t f t kx dt t dx c dt t x d m ++= ==++=++=++2222 21 )()()()()()()()()()()()() ()( 例2：求R-C 电路的传递函数。 解： 1 1 )()()()1()()()(00000+= =+=+=+Rcs s G s U s U Rcs s U s U s RcsU u u dt du Rc i i i 三、性质 1、系统的传递函数取决于系统的本身，与系统的输入、输出及其它外界因素无关。 2、对于实际的物理系统，m n ≥ 四、概念 1、零点、极点： 零点：系统传递函数分子s 多项式为零的根。 极点：系统传递函数分母s 多项式为零的根。 2、传递系数： 值定义为传递系数)0(G 。 3、特征方程：传递函数分母s 多项式。 4、阶：系统特征方程s 的最高指数。 例3、以例1、例2的结果为例。 第二节典型环节及其传递函数 习 题 2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统? (1) x x x x x i o o o o 222=++ (2) x tx x x i o o o 222=++ (3) x x x x i o 222o o =++ (4) x tx x x x i o o o 222o =++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。 2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有 x m x c x x c i o o 2 o 1 )(=-- 即 x c x c c x m i 1 2 1 o o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有 )1()()(1 x x c k x x o i -=- )2()(2 x k x x c o o =- 消除中间变量有 x ck x k k x k k c i o 1 2 1 o 2 1 )(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x k x x k x x c o o i o i 2 1 )()(=-+- 即 x k x c x k k x c i i o o 1 2 1 )(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。 图（题 2.3） 解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有 ?+=idt C i R u o 1 2 2 第八章 非线性控制系统分析习题与解答 7-1 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为 (1) G s s s ()(.)= +1011 (2) G s s s ()()=+2 1 (3) G s s s s s ()(.) ()(.) =+++21511011 试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？ 解 线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图所示。 由对数幅频特性曲线可见，L 2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。 7-2 将图示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。 解 (a) 将系统结构图等效变换为图(a)的形式。 G s G s H s ()()[()]=+111 (b) 将系统结构图等效变换为图(b)的形式。 G s H s G s G s ()() () () =+1111 7-3 判断题7-41图中各系统是否稳定；)(1A N -与)(ωj G 两曲线交点是否为自振点。 解 （a ） 不是 (b) 是 (c) 是 (d) c a 、点是，b 点不是 (e) 是 (f) a 点不是，b 点是 (g) a 点不是，b 点是 (h) 系统不稳定 (i) 系统不稳定 (j) 系统稳定 7-4 已知非线性系统的结构如图所示 图中非线性环节的描述函数为N A A A A ()()=++>6 2 试用描述函数法确定： （1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。 解 （1） -=-++126N A A A ()(), -=--∞=-101 3 1 1N N (),() dN A dA A ()()=-+<4 202 N(A)单调降，)(1A N -也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线)(1A N -和 G j ()ω曲线如图所示，可看出，当K 从小到大变化时， 系统会由稳定变为自振，最终不稳定。 求使 Im[G j ()]ω=0 的ω值： 令 ∠=-?-=-?G j arctg ()ωω902180 得 arctg ωω=?=451, 4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：10 ()1 G s s =+。当系统作用有下列输入信号时：()sin(30)r t t =+?，试求系统的稳态输出。 解： 系统的闭环传递函数为：10 ()() 11()()1()1 11 C s G s s s R s G s Φ===++ 这是一个一阶系统。系统增益为：1011K =，时间常数为：1 11 T = 其幅频特性为：()A ω=其相频特性为：()arctan T ?ωω=- 当输入为()sin(30)r t t =+?，即信号幅值为：1A =，信号频率为：1ω=，初始相角为：030?=?。代入幅频特性和相频特性，有： 1 (1)A == = = 11 (1)arctan arctan 5.1911 T ω?ω==-=-=-? 所以，系统的稳态输出为： [ ]()(1)sin 30(1)24.81)c t A A t t ?=??+?+= +? 4-2 已知系统的单位阶跃响应为：49()1 1.80.8(0)t t c t e e t --=-+≥。试求系统的幅频特性和相频特性。 解： 对输出表达式两边拉氏变换： 1 1.80.8361 ()49(4)(9)(1)(1)49 C s s s s s s s s s s =-+== ++++++ 由于()()()C s s R s =Φ，且有1 ()R s s = （单位阶跃）。所以系统的闭环传递函数为： 1()(1)(1)49 s s s Φ= ++ 可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为： 1211 ,49 T T == 系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和： 8 非线性控制系统 前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。 8.1非线性控制系统概述 在物理世界中，理想的线性系统并不存在。严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。 图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。 图8-1 伺服电动机特性 8.1.1控制系统中的典型非线性特性 组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。 实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。 8.1.1.1饱和非线性 控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。如图8-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为引入饱和非线性特 题目：时间响应由 和 两部分组成。 分析与提示：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。 答案：瞬态响应、稳态响应 题目：系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程，称为 。 分析与提示：瞬态响应，指系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。 答案：瞬态响应 题目：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为 与 。 分析与提示：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为自由响应与强迫响应。 答案：自由响应、强迫响应 题目：系统的时间响应可从两方面分类，按振动来源可分为 与 。 分析与提示：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为自由响应与强迫响应；按振动来源可分为零输入响应(即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应)与零状态响应(即仅由输入引起的响应)。 答案：零输入响应、零状态响应 题目：系统微分方程的特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为 。 分析与提示：初始条件及输入信号产生的时间响应就是微分方程的全解。包含通解和特解两个部分。通解完全由初始条件引起的，它是一个瞬态过程，工程上称为自然响应 (如机械振动中的自由振动)。特解只由输入决定，特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为强迫响应 (如机械振动中的强迫振动)。 答案：强迫响应 题目：系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加 的形式有关。 分析与提示：系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。 答案：输入信号 题目：单位阶跃信号? ??<>=000t t t u 1)(的拉氏变换为【 】 A 、 s 1 B 、21 s C 、1 D 、s 分析与提示：熟练掌握典型信号的拉氏变换。B 为单位斜坡信号的拉氏变换，C 为单位冲击信号的拉 是变换。 答案：A 题目：选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有 ，能够反映系统工作的大部分实际情况。 分析与提示：选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。 答案：典型性 题目：选取输入信号时，输入信号的形式应当尽可能 。 分析与提示：选取输入信号时，输入信号的形式应当尽可能简单。 答案：简单 题目： 是使用得最为广泛的常用输入信号。 分析与提示：单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数 都为常用输入信号时，单位脉冲函数是使用得最为广泛的常用输入信号。 答案：单位脉冲函数 题目：设一阶系统的传递函数为 5 23 +s ，则其时间常数和增益分别是【 】控制工程基础考卷带答案复习资料
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