14
【模拟试题】
一. 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1. 给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2. 下列四个命题：
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。正确的命题有
个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为 1：2：3，它的表面积为 88，则它的对角线长为（
） A. 12
B. 24
C. 2
D. 4 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为 24cm ，深为 8cm 的空穴，则该球的半径是（
）
A. 8cm
B. 12cm
C. 13cm
D. 8 2cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是
（
）
1+ 2 1+ 4 1+ 2 1+ 4
A. 2
B. 4
C.
D. 2
6. 已知直线l ⊥平面，直线m ? 平面，有下面四个命题： ①
/ /
? l ⊥m ；②⊥? l / /m ；③ l / /m ? ⊥；④l ⊥m ? / /。其
中正确的两个命题是（ ） A. ①②
B. ③④
C. ②④
D. ①③
7. 若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （
）
14
3 A.
6 3cm B. 6cm C. 22 18 D. 33 12
8.设正方体的全面积为24cm2 ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）
A.6cm3
32
cm3
B.3
8
cm3
C.3
4
cm3
D.3
9.对于直线m、n 和平面、能得出⊥的一个条件是（）
A. m⊥n，m / /，n/ /
B. m⊥n， =m，n ?
C. m//n，n⊥，m?
D. m / /n，m⊥，n⊥
10.如果直线l、m 与平面、、满足：l= ，l//，m?，m⊥，那
么必有（）
A. ⊥和l⊥m
B. //，和m//
C. m / /，且l⊥m
D. ⊥且⊥
11.已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（）
A. 1：
B. 1：2
C. 2：3
D. 1：3
12.向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）
二. 填空题（每小题 4 分，共16 分）
13.正方体的全面积是a 2 ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是
。
14.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14cm3 ，则棱台的高为。
15.正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b 的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为。
2 16. 已知、是两个不同的平面，m 、n 是平面及之外的两条不同的直线， 给出四个论断：
①m ⊥n ，②
⊥
，③ n ⊥
，④ m ⊥
。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题
。
三. 解答题（共 74 分）
17. （12 分）正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，E 、F 、G 分别是棱 DA 、DC
、
DD 1 的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面 EFG 平行的平面，并证明之。
18. （12 分）球内有相距 1cm 的两个平行截面，截面的面积分别是5cm 2 和8cm 2 ，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19. （12 分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
3
20. （12 分）直角梯形的一个内角为 45°，下底长为上底长的 2 ，这个梯形 绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（ 5 + ），求这个旋转体的体积。
21. （12 分）有一块扇形铁皮 OAB ，∠AOB=60°，OA=72cm ，要剪下来一
个扇形 ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形 OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求
（1） AD 应取多长？
（2） 容器的容积。
22.（14 分）如图，正四棱柱ABCD -A1 B1C1 D1 中，底面边长为2
长为4，E、F 分别为AB、BC 的中点，EF BD =G 。
（1）求证：平面B1 EF⊥平面BDD1 B ；
（2）求点D1 到平面B1 EF 的距离d；
（3）求三棱锥B1 -EFD1 的体积V。
【试题答案】
一.
，侧棱
1. B
2. B
3. C
4. C
5. A
6. D
7. B 8. D 9. C 10. A 11. D 12. B
二.
a 2
13. 2 14. 2cm 15. 3ab
16. m⊥n，m⊥，n⊥?⊥（或m⊥，n⊥，⊥?m⊥n）
2
R 2 - r 2 1 R 2 - r 2 2 R 2 -5 R 2 -5 三.
17. 证明：过 A 、C 、D 1 的平面与平面 EFG 平行，由 E 、F 、G 是棱
DA 、DC 、 DD 1 的中点可得 GE// AD 1 ，GF// CD 1 ， GE ? 平面 EFG ， GF ? 平面 EFG
∴ AD 1 //平面 AEG ， CD 1 //平面 EFG 又 AD 1 CD 1 = D 1 ∴平面 EFG//平面 ACD 1
18. 解：如图，设两平行截面半径分别为r 1和
r 2 ，且r 2 > r 1
r 2 = 5
，
r 2 = 8
依题意，
1
2
∴ r 2 = 5，r 2 = 8
1
2
OA 1和OA 2 都是球的半径R
OO 1 = = OO 2 = =
∴ - R 2 - 8 = 1 解得R 2 = 9
∴ R = 3
∴ S 球 = 4R 2 = 36(cm 2 ) V = 4 R 2
= 36(cm 3 ) 球
3
19. 解：由三视图知正三棱锥的高为 2mm 由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为2 3mm
设底面边长为 a ，则 a = 2 2
∴ a = 4
3
R 2 -8
3
2 =
5 + 2 x 2
AD ∴正三棱柱的表面积
1
S = S 侧 + 2S 底 = 3 ? 4 ? 2 + 2 ? ? 4 ? 2 2
= 24 + 8 3(mm 2 )
20. 解：如图，梯形 ABCD ，AB//CD ，∠A=90°，∠B=45°，绕 AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。
CD = x ，AB = 3
x
设
2 AD = AB - CD = x
，BC = x
2 2
S 全面积 = S 圆柱底 + S 圆柱侧 + S 圆锥侧
= ? A 2 D 2 + 2? AD ? CD +? AD ? BC = ? x + + ? x ?
2? ? x x
2 x 4 2 2 2
4
5 + 2 ? x 2 = (5 + 根据题设 4
所以旋转体体积 )，则x = 2
V =
? AD 2 ? CD + 3 2 ? ( AB - CD )
= ?12 ?2
= 7 3
+ ?12? (3 - 2) 3
21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为 r 、R 、AD=x ，则OD = 72 - x
2 3
x 2 - ( R - r ) 2 362 - (12 - 6) 2
由题意得 ? ⌒
60 ? ?AB = 2R = ? 72
?
? ?CD = 2r =
?
?
180 60? 180
? (72 - x ) ?OD = 72 - x = 3R
∴ R = 12，r = 6，x = 36
∴ AD = 36cm
（2）又圆台的高 h= = = 6 ∴V = 1
h ( R 2 + Rr + r 2 )
3 1
= ?6 3
35 ? (122 + 12 ? 6 + 62 ) = 504 35(cm 3 ) 22. 证明：（1）如图，连结 AC
∵正四棱柱 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的底面呈正方形
35 ⌒
2 2
4
17
16
17 1 1
∴AC⊥BD
又AC⊥D1 D
∴AC⊥平面BDD1 B1
∵E、F 分别为AB、BC 的中点
∴EF//AC
∴EF⊥平面BDD1 B
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1
解（2）在对角面BDD1 B1 中，作D1 H⊥B1G ，垂足为H
∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF 平面BDD1B1=B1G ∴ D1H⊥平面B1EF，且垂足为H
∴ D1 H 为点D1 到平面B1 EF 的距离
在Rt△ D1HB1中，D1H =D1B ? sin ∠D1B1H
D1B1= 2 A1B1=?2 = 4
sin ∠D B H = sin ∠B GB =B
1
B
=
1 1 1
GB1∴D H = 4 ?
117
（2）V =V
B1-EFD1
=V
D -B EF
=
1
?D H ?S
3 1 ?B1EF
=
1
??
1
? 2 ?
3 2
=
16
3
4
17
17
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!