线段的垂直平分线教案
一．创设现实情境，引入新课
教师用多媒体演示：
如图，在107国道的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得该医院到两个工厂的距离相等，问医院的院址应选在何处？
师107国道是贯通我国南北的公路交通大动脉，在107国道的岳阳段某处同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得该医院到两个工厂的距离相等，问医院的院址应选在何处？
这个实际问题常常出现在生活中，通过今天的学习，我们将用数学知识来解决这个问题。
§2.4 线段的垂直平分线(一)
二、探究一
师每位同学手上都有一张A4纸，将它对折，要求两宽重合，再用笔描出这条折痕。我们可以得到一条？
生线段。
师将这条线段的两端标上字母A，B。再将白纸对折，使得点A与点B重合，这条折痕用字母l表示，l与AB交于点C。在这里我们把l看作是一条可以无限延伸的直线，请描述直线l与线段AB的关系。
生l平分线段AB，使得AC=BC，l垂直于AB。l是AB的对称轴等。（写在白板上）
师总结：直线l垂直于线段AB，且平分AB，交点C是AB的中点。我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。这句话中既有直线又有线段，大家描述一下，谁是谁的垂直平分线？
生直线是线段的垂直平分线。
师数学语言是l⊥AB，AC=BC。前者是位置关系，后者是数量关系。垂直平分线有哪些特性呢？
三、活动一
师请在直线l上任取一点P，连接PA、PB，线段PA、PB之间有怎样的关系？并说明你是如何发现这个关系的。
生动手操作并进行说明。（折叠法，测量法等）
师既然P是任意一点，就要想到P的位置有哪些可能。（点P在线段AB 上这个特殊位置时也要进行说明）
师无论P在线段AB的哪个位置，都有PA=PB。
师我们通过合情推理猜想这是一条真命题，也是垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。我们看到这句命题非常简练，但也包含了两部分，条件和结论分别是什么呢？
生条件：一个点在一条线段的垂直平分线上。结论：这个点到线段两端的距离相等。
师你们看这么长的条件和结论就被我们的数学定理缩减成如此简短的一句话了。所以在数学中我们不但可以解决各种问题，还可以学习如何精简地表示你想说的话。如果用几何语言表示条件和结论就更为简洁明了。把“已知”“求证”改为“如果”“那么”。如图，如果l⊥AB,AC=BC，那么PA=PB。垂直平分线的性质可以为我们解决那些问题呢？
四、基础练习
1、如图,线段MN被直线AB垂直平分,图中有哪些相等的线段?（师说出判断它们相等的依据）
2、如图所示，在ΔABC中，边BC的垂直平分线MN分别交AB于点M,
交BC于点N, ΔBMC的周长为23,且
C A
第1题图第2题图
3、现在我们可以解决课前的实际问题了。抽象出简单的几何图形，医院是点P，即要求AP=BP。那么P应该在何处？
五、探究二
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
[生]这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．
[师]谁来分析逆命题的条件和结论呢？注意表述时要流畅，完整．
[生]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上．
[师]这句话描述得更简洁，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
[师]当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果是假命题，该如何说明？
生找一个点到两端距离相等，但不在垂直平分线上。
师如果真，则需证明它，写出已知和求证。导学案上有多个图可供你们使用，现在小组讨论并用你们的方法去求证命题的真假。
证明过点P作直线l垂直于线段AB并交于点C
∵PA=PB
∴△PAB是等腰三角形
又∵PC⊥AB
∴PC是底边AB上的高，也是底边AB上的中线
∴PC⊥AB且AC=BC
∴PC是线段AB的垂直平分线
∴点P在线段AB的垂直平分线上
（如果学生没说P在AB上这种情况时，先肯定他的证明，再问他的证明完
师 可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，就可称作性质定理的逆定理。即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。已经分析了条件是点P 到线段AB 两端的距离相等；结论是点P 在线段AB 的垂直平分线上。那用几何语言表示：如果PA=PB ，那么点P 在线段AB 的垂直平分线上。
六、随堂练习
1、在△ABC 中，设AB 、BC
求证：P 点在AC 的垂直平分线上．
2、某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。
师 如何通过尺规作图画一条线段的垂直平分线呢？我们下节课见分晓。
六、课堂小结 七、板书
§2.4 线段的垂直平分线 垂直平分线：l ⊥AB 且AC=BC 性质定理
已知：l ⊥AB 且AC=BC （如果） 求证：PA=PB 。 （那么）
C
A
B
C
已知：PA=PB
（如果）
求证：l⊥AB且AC=BC。（那么）