招式四：共线向量问题
1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2
定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=?=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围.
解：（1）.0,2=?=AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|
又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点
C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a
焦距2c=2. .1,1,22
===∴b c a ∴曲线E 的方程为.12
22
=+y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12
,222
=++=y x kx y 代入椭圆方程
得.2
3
0.
034)2
1(22
2>>?=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G
)2(216
2
13),1(2182142
2212221k k x x k k k k x x +=+=+-=+-=
+则)2,()2,(,
2211-=-∴=y x y x λλ 又,,
2
1
21x x x x =
∴=∴λλ，)21
(332
)
21(33221)2()1(222
2+=+=++?k
k k λλ
.33
1
.31621
4.316
)21(3324,2
3
22<<<
++
<∴<+<∴>
λλ
λ解得k k .13
1
,10<<∴<<λλ 又
又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0==
=λx )1,3
1[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2
14
y x =
的焦点，离心率为1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.
解：设椭圆C 的方程为22221x y a b
+= （a ＞b ＞0）抛物线方程化为2
4x y =，其焦点为(0,1)，
则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即 1b =
由c e a ===，∴2
5a =，椭圆C 的方程为 2
215
x y +=（2）证明：右焦点(2,0)F ，设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 (2)y k x =-，代入方程2
215x y += 并整理，得2222(15)202050k x k x k +-+-=∴21222015k x x k +=+，2122
205
15k x x k
-=+ 又110(,)MA x y y =-，220(,)MB x y y =-，11(2,)AF x y =--，22(2,)BF x y =--，
而 1MA AF λ=， 2MB BF λ=，即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--，220222(0,)(2,)x y y x y λ--=--
∴1112x x λ=
-，2222x x λ=-，所以 121212
12121212
2()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++ 3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m =?。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ，
2)14
6
(
,||c m c -==，当||取得最小值时，求此双曲线方程。 解：设双曲线方程为122
22=-b
y a x ， Q （x 0, y 0）。
),(00y c x FQ -= ， S △OFQ =
62||||210=y OF ，∴c
y 6
40±
=。 ),)(0,(00y c x c -=?=c(x 0－c)=c x c 4
6
)146(
02=?-。
,3296
832220
2
≥+=+c
c y x
当且仅当)6,6()6,6(,||,4,96
8322-==或此时最小时即Q OQ c c
c ，
所以1124.12
4161662222
222
2=-?????==???
???=+=-y x b a b a b
a 故所求的双曲线方程为。 类型1——求待定字母的值
例1设双曲线C ：)0(12
22>=-a y a
x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交于
点P ，且PA=
PB 12
5
，求a 的值 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a 的值。 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(0,1)
),1,(125)1,(,2211-=-∴y x y x PB ∴x 1=212
5x .
联立，???
??=-=+112
22y a
x y x 消去y 并整理得，(1－a 2)x 2+2a 2x －2a 2=0 (*)
∵A 、B 是不同的两点，∴?????>-+≠-，
，
0)1(84012242
a a a a
∴0 2 12a a --， 即222222212125,121217a a x a a x --=--=且，消去x 2得，2 212a a --=60289 ， ∴a=1317± ，∵0 17 。 类型2——求动点的轨迹 例2如图2 ，动直线1+=kx y 与y 轴交于点A ，与抛物32 -=x y 交于不同的两点B 和C, 且满足BP=λPC ， AB=λAC ，其中.R ∈λ。求ΔPOA 的重心Q 的轨迹。 思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q 的轨迹方程，再运用判别式确定实数k 的取值范围，从而确定轨迹的形状。 解：由???-=+=3 1 2x y kx y 得，k 2x 2+(2k －1)x+4=0. 由?? ?>?≠0 0k ?.061 21≠<<-k k 且 设P(x’,y’)，B(x 1，y 1)，C(x 2,y 2)， （图2） 则x 1+x 2= 221k k -, x 1.x 2=2 4k . 由PC BP λ=?),(11y y x x -'-'=),(22y y x x '-'-λ ? 1x x -'=λ)(2x x '- 由)1,()1,(2211-=-?=y x y x AC AB λλ?1x =λ2x 。 .218 2021212211k x x x x x x x x x x x -=+='?'-=-'∴≠λ A B C O P x y ?.211 612181k k k k x k y -+=+-= +'=' 消去k 得， x’－2 y’－6=0 (*) 设重心Q(x,y)，则?? ?-='='???? ????+'='=133313 y y x x y y x x ，代入(*)式得，3x －6y －4=0。 因为3 8 434812406121≠< x x x x k k 且且且 故点Q 的轨迹方程是3x －6y －4=0（ 3 8 434≠< ，其轨迹是直线3x －6y －4=0上且不包括点)3 2 ,38(),34,4(),0,34(C B A 的线段AB 。 类型3——证明定值问题 例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线。设M 为椭圆上任意一点，且OB OA OM μλ+=，其中.,R ∈μλ证明：2 2 μλ+为定值。 思路：设A 、B 、M 三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。 解：设椭圆方程为).0,(),0(122 22c F b a b y a x >>=+ 则直线AB 的方程为 .c x y -=代入椭圆方程中，化简得，.02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则.,22 22 2222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由 +与)1,3(-=共线，),(2121y y x x ++=+得， 0)()(32121=+++x x y y 。又,,2211c x y c x y -=-= .3,232,23,0)()2(3222 22212121b a c b a c a c x x x x c x x =∴=+=+∴=++-+∴即 而,222 b a c -=于是2 222 2 1,23c b c a == 。 因此椭圆方程为.33,132 222222b y x b y b x =+=+即 设M(x, y), 由μλ+=得，),(),(),(2211y x y x y x μλ+=， .2121y y y x x x μλμλ+=+=∴且 因M 为椭圆上一点，所以.3)(3)(2 2 212 21b y y x x =+++μλμλ 即2 21212 22 22 2 12 12 3)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ ① 又2 2222121,23,23c b c a c x x ===+，.8322 2222221c b a b a c a x x =+-= 则 2 2121212121213)(34))((33c c x x x x c x c x x x y y x x ++-=--+=+ .032 923222=+-= c c c 而,3322121b y x =+,332 2222b y x =+ 代入①得，2 2 μλ+=1，2 2 μλ+为定值。 类型4——探索点、线的存在性 例4在△ABC 中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD ⊥BC 于D ，△ABC 的垂心H 分有向线段AD 。所成的比为3 1 设 P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H | |||||HQ PQ HP 成等差数列，为什么？ 思路：先将AC ⊥BH 转化为代数关系，由此获得动点H 的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。 解： 设H(x, y), 由分点坐标公式知)3 4, (y x A ∵H 为垂心 ∴AC ⊥BH ，∴0),2)(3 4, 2(=+-y x y x ， 整理得，动点H 的轨迹方程为 13 42 2=+y x )0(≠y 。 22)1(||y x ++= ， 2||=， 22)1(|y x HQ +-=。 + = 即 1)1(1)1(12 2 2 2 =+-+ ++y x y x ① ∵H 在椭圆上 a=2, b=3, c=1，P 、Q 是焦点， ∴42==+a HQ HP ，即∴4)1()1(2 222=+-+++y x y x ② 由①得，= +-?++2 222)1()1(y x y x 4)1()1(2222=+-+++y x y x ③ 联立②、③可得，2)1()1(222 2=+-= ++y x y x ， ∴,3,0±==y x 显然满足H 点的轨迹方程13 42 2=+y x ， 故存在点H （0，±3）| |||||HQ PQ HP 类型5——求相关量的取值范围 例5给定抛物线C ：x y 42 =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且 []9,4∈=λλAF ，求l 在y 轴上截距的变化范围。 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l 在y 轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由AF FB λ=得，),1(),1(1122y x y x --=-λ，即 ?? ?-=-=-② ①1 212)1(1y y x x λλ 由②得，.2 1222y y λ= ,4121x y =12222 2,4x x x y λ=∴=③ 。 联立①、③得，λ=2x 。 而).2,(),2,(,0λλλλλ-∴>B B 或当直线l 垂直于x 轴时，,1=λ不符合题意。 因此直线l 的方程为)1(2)1(-=-x y λλ或).1(2)1(--=-x y λλ 直线l 在y 轴上的截距为 12-λλ或.12--λλ由1 2 1 2 1 2-+ +=-λλλλ 知， 1 2-λλ 在[]9,4∈λ上递减的，所以 ,341243≤-≤λλ.4 31234-≤--≤-λλ 于是直线l 在y 轴上截距的变化范围是.34,4343,34??? ???????? ?-- 存在、向量 例6、双曲线()()0,20,01:22 2 2a Q x A b a b y a x C 轴上存在一点，的右顶点为>>=-，若C 上存在一点 ，求离心率的取值范围使PQ AP P ⊥。 解：点的轨迹P PQ PA ∴⊥ 方程为42322 2 a y a x =+?? ? ??-， 即2 2 2 23a ax x y -+-=)2(a x a x ≠≠且。由???-+-==-2 222 2222223a ax x y b a y a x b ，消去y 得()() 02302322432222222222=-+-+=--+--b a a x a x b a b a a ax x a x b 即 ()()( )[] ()() ?? ? ??-=-=+-=∴≠=--+-∴1332,,022 22222222 2 2 2 e a c c a a b a b a a x a x b a a x b a a x 的右支上在双曲线12222=-b y a x P ，解得,13,2a e a a x >?? ? ??-∴>∴261 例7：,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，满足OA OB ⊥（O 为坐标原点），求证：（1）,A B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线AB 经过一定点。 分析：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2 2 2 2 112212122,2()4y px y px y y p x x ==?= 又由 121200OA OB OA OB x x y y ⊥??=?+= 22 12124,4x x p y y p ?==- （2）22 1212121212 22()AB y y p y y p x x K x x y y --=-?= = -+ 直线AB 的方程为1111121212 222()px p p y y x x y x y y y y y y y -= -?=-++++ 21112121212 222(2)y px y y p p x x p y y y y y y -+=+=-+++，故直线过定点(2,0)p 。
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