第八章 常微分方程数值解
由常微分方程理论可知，我们只能求一些特殊类型的常微分方程。而实际上许多常微分方程求解非常困难。
本章主要讨论一阶常微分方程的初值问题：
()()?????==0
,y a y y x f dx dy
b
x a ≤≤ （8
－1）
从理论上讲只要方程中的()y x f ,连续且关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L ，使
()()2
1
2
1
,,y y L y x f y x f -≤-
则常微分方程存在唯一解)(x y y =。 微分方程数值解：就是求微分方程的解()x y 在一系列离散节点
b x x x x a n
n =<<<<=-1
1
处的近似值i
y （i=1，2，…，n ） i
i i
x x h -=+1
称为由i
x 到1
+i x 的步长，通常取为常数h 。
求数值解，首先将微分方程离散化，常用方法有： （1） 用差商代替微
商
若用向前差商代替微商，即
()
()
()()()
i i i i i x y x f x y h
x y x y ,1='≈-+ （i=1，2，…，
n ）
则得()1
+i x y ()()()i
i
i
x y x hf x y ,+≈ 即()i
i
i
i y x hf y y ,1
+=+
（2） 数值积分法
利用数值积分法左矩形公式
()()
i i x y x y -+1=()()()
i i x x y x hf dx x y x f i i
,,1
≈?
+
可得同样算法()
i i i i y x hf y y
,1
+=+ （3）
用泰勒（Taylor ）
公式
()()h x y x y i i +=+1()()i i x y h x y '+≈()()()i i i x y x hf x y ,+=
得离散化计算公式()
i i i i y x hf y y
,1
+=+
§1 欧拉（Euler ）方法
1.1欧拉方法
对一阶微分方程（8—1），等分区间[]b a ,为n 份，b x x x x a n
n =<<<<=-1
1
，
则
ih
a x i +=
n
a b h -=
n
i ,2,1=
由以上讨论可知，无论用一阶向前差商，还是用数值积分法左矩形公式，或者用泰勒公式取前两项都可得到同样的离散化计算公式
()i
i
i
i y x hf y y ,1
+=+
代入初值则得到数值算法：
()()?
?
?=+=+a y y y x hf y y i i i i 01, （i=1，2，…，
n －1） （8－2）
称其为欧拉方法。
几何上欧拉方法就是用一条折线近似表示曲线()x y y =。（如图）：
1.2欧拉方法的误差估计
定义1 局部截断误差：假设)(i
i
x y y =为准确值，用某数值算法计算1
+i y 产生的误差
()1
11+++-=i i i y x y R ，称为该数值算法的局部截
断误差。
定义2 整体截断误差：准确解)(i
x y 与数值解i y 的误差，()i
i i y x y e -=。
设()x y 有二阶导数，由泰勒公式有：
()()
h x y x y i
i +=+1=()()()i i i y h x y h x y ξ''+'+22
1
=
()()i i i i y h y x hf y ξ''++22
1
,
所以
()1
11+++-=i i i y x y R =
)(2
12
i y h ξ''，
1+<
（8－3）
当h 充分小时，欧拉方法的局部截断误差与h 2是同阶无穷小，称其为一阶方法。 定义 3 如果一数值解法的局部截断误差为)(1
+p h O ，则称该算法为p 阶算法。
1.3 改进的欧拉方法
由微分方程数值解的三种基本构造方法知，若取不同的差商（如向后），不同的
数值积分公式（如梯形公式），以及泰勒公式取前三项、四项等可得不同的算法。
如果用梯形公式计算积分：
()()()()()()[]1
1
,,2
,1+++≈?+i i i
i
x x x y x f x y x f h
dx x y x f i i
()()[]111,,2
+++++
=i i i i i i y x f y x f h
y y （8
－4） 且
()111+++-=i i i y x y R
=
()ξy h '''-
3
12
1 （8
－5）
由于此方程为1
+i y 的隐式方程，不易求解。一般将其与欧拉方法联合使用。
可得算法 ()()()()()
(
)[]
??
?
??++=+=+++++k i i i i i k i i i i i y x f y x f h y y y x hf y y 111101,,2, （8－6）
（k=0，1，2，…；i=1，2，…，
n －1）
实际计算中，当h 比较小时，常取一次迭代后的近似值()11
+i y 为1
+i y ，于是有改进的欧拉方
法
??
???++=+=++++)]~,(),([2),(~1111i i i i i i i i i i y x f y x f h y y y x hf y y
（i=0,1,2,…,n -1）
例 1 用欧拉方法和改进的欧拉
方法求微分方程
()[]7.0,0,1
03
22∈?????==x y xy
dx dy
的数值解（取h=0.1）。
解：由欧拉方法（8－2），得数值计算公式
1
+i y =i
y ＋0.1×
2
3
2
i
i
y x 计算结果如表8-1 由改进的欧拉方法（8－6），
得数值计算公式
??
???++=+=++++]
~32
32[05.03
21.0~2112121i i i i i i i i i i y x y x y y y x y y
计算结果如表8-2
表8-1
x i 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 y i 1.0000 1.0069 1.0208 1.0391 1.0628 1.0923 1.1269 1.1643 误差 0.0000 0.0037 0.0077 0.0993 0.0120 0.0151 0.0189 0.0222
表8-2
x i 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 y i 1.0000 1.0033 1.0132 1.0292 1.0506 1.0773 1.1079 1.1422 误差 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0020 0.0101 0.0122 0.0053
例 2 用欧拉法、改进欧拉法求微分方程数值解（h=0.1）。
??
?
?
?=-='
1)0(y y x y y
解 由欧拉方法（8－2），得数值计算公式
1
+i y =i
y ＋0.1?
??
? ?
?-i
i
i
y x y 由改进的欧拉方法（8－6），得
数值计算公式
???
?
???-+-+=-+=+++++)]~~()[(05.0)(1.0~11111i i i i i i i i i i i i i y x y y x y y y y x y y y
计算结果如下
表8-3
§2 龙格－库塔（Runge －
Kutta ）方法
2.1 泰勒展开法
由于欧拉方法为一阶方法，为了提高
算法的阶，有必要讨论更高阶的方法。在泰勒展开式中取更多的项，如取p ＋1项可得p 阶算法。
()
p i
p i i i i y p h y h y h y y !!221++''+'+=+
()()
()i p p i y
p h R ξ111!
1++++=
其中()
k i
y ）
可用复合函数求导法则计算。 如p=2时得二阶泰勒方法
())
,(2
21
][2
,!2i i y x y x i i i i i i i f f f h y x hf y y h y h y y '+'++=''+'+=+
2.2 龙格－库塔法
为了避免计算高阶导数龙格－库
塔方法利用()y x f ,某些点处的值的线性组合构造计算公式，使其按泰勒公式展开后与初值问题解的泰勒展开式比较，有尽可能多的项相同。
龙格－库塔法的一般形式为：
()()()()????
?
???
?++=++==++++=+h y h x f K h y h x f K y x f K K a K a K a h y y m i m i m i i i m m i i μλμλ,,,222122111 （8－7）
下面以二阶龙格－库塔法为例说明龙格－库塔法的构造过程。
（8－8）
将K 2在()i
i
y x ,处按泰勒公式展开，则 ()i
i
i
i
i y x hf a y hK a hK a y y ,1
2
2
1
1
1
+=++=+
＋
()()()()()],,,,[2222h O y x f y
y x hf y x f x h
y x f h a i i i i i i i i +??
+??+λλ
=()()()()()()3
2
2
2
1
1
,,,,h O y x f y
y x f y x f x h a y x hf a a y i
i i i i i i
i
i
+??
???
???
+??+++λ =()()()()()3
2
2
2
2
1
h O x y h
a x y h a a x y i i
i
+''+'++λ
另一方面
()()
h x y x y i i +=+1=()()()()3
2
2
1h O x y h x y h x y i
i
i
+''+'+ 所以为使局部截断误差的阶尽可能高，应使
??
?
??==+211
2221λa a a
()()()??
?
?
?++==++=+1
2
2
2
12
2
1
1
1
,,hK y h x f K y x f K K a K a h y y i
i
i
i
i
i λλ
方程组有无穷多组解，取定参数则得到许多具体的二阶龙格－库塔公式。
如取
2
1a a ==2
1， 2
λ=1 则得龙格－库塔法即改进的欧拉公式。
同理可得更高阶的龙格－库塔法。常用的四阶（经典）龙格－库塔法：
()()()????
?
??
????
++=?
?? ??++=??? ??++==++++=+342312143211
,2,22,2,226
hK y h x f K k h y h x f K K h y h x f K y x f K K K K K h y y i i i i i i i i i i （8
－9）
例 3 用二阶龙格－库塔法求例1（[]5.0,0∈x ，h 取0.1）的数值解。
解 由（8－9）得
()()()
()()()()?????
?
??
?????
++=++=++==++++=+234
2
2
32
122
1432111.01.032
05.005.03205.005.0323222601K y x K K y x K K y x K y x K K K K K y y i i i i i i i i i i
计算得结果见表8-4
表8-4
____________________________________________________________________ x i 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y i 1.000000 1.003322 1.013159 1.029124 1.050718 1.077217 误差 0.000000 0.000002 0.000008 0.000011 0.000024 0.000031 ____________________________________________________________________
§3 阿达姆斯（Adams ）方法
将初值问题写成等价形式
()()()()()??
???=+=?+--+0011
,y x y dx
x y x f x y x y i k
i x x k i i
记()()()x y x f x F ,=，当k 取不同的值以及对()x f 用不
同的插值多项式近似时得到不同的数值算法。
3.1阿达姆斯外插公式
上式中取k=0，并取3
2
1
,,,---n n n n
x x x x 为节点，作
函数
()
x F 的三次插值多项式
()
x p 3=()∑=-30
i i
n x
F ∏
≠=-----3
0i
j j j
n i n j n x x x x
其插值余项为()x R 3
则()x F =()x p 3
＋()x R 3
()1
+n x y ()()dx x P x y n n
x x n
?++≈1
积分后得阿达姆斯外插公式
n
n y y =+1＋()()()()[]
332211
,9,37,59,5524-------+-n n n n n n n
n
y x f y x f y x
f y x f h
（n=3，4，5…） （8
－10）
其局部截断误差为 R n =
()
()n y h η55720
251
[]
1,+∈n n n x x η
（8－11）
由于积分区间为[]1
,+n n
x x ，插值区间为[]n
n x x ,3
-，因
此称其为阿达姆斯外插公式。
3.2 阿达姆斯内插公式 同样取k=0，并取2
1
1
,,,--+n n n
n x x x x 为节点，作函数()
x F 的三次插值多项式可得
n
n y y =+1＋[]
211
519924
--++-+n n n n f f f f h （8－
12）
余项R n
()
()n y h η55720
19-
=
（8－13）
由于阿达姆斯内插公式是隐式公式，故用它
计算时也需用迭代法。
例4 用四阶阿达姆斯外插公式求初值问题
()[]5.0,0,0
0∈?????=-=x y y
x dx
dy
的数值解，取h=0.1。
解 由（8－10）得
n
n y y =+1＋
()()()()[]332211,9,37,59,5524
-------+-n n n n n n n n y x f y x f y x f y x f h
=()
12.024.09.07.39.55.1824
1
321+++-+---n y y y y n n n n
（n=3，4，5）
计算结果见表8-5
表8-5
__________________________________________________________________ x i 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y i 0 0.004837 0.018731 0.040818 0.070323 0.106535
误差 2.87×10-6 4.82×10-6 ____________________________________________________________________
§4 收敛性与稳定性
4.1收敛性
定义4 如果一数值方法对任意固定的
点ih
x
x i
+=0，当h=0
→-
i
x
x i
时有)
(i i
x y y
→，则称
该方法是收敛的。
定理1 如果()y x f ,关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L ，使 ()()2
1
2
1
,,y y L y x f y x f -≤-，且()x y ''有界，则欧拉方法的整体截断误差满足
()()()()
()120
-+-≤---a
b L a
b L i
i
e L
Mh y x y e y x y 其中M=()x y b a x ''∈]
,[max 。（证略）
由整体截断误差估计式知，当初值误差为
0时有
()()
()12-≤--a
b L i
i
e L
Mh y x y 当0→h 时，)(i
i
x y y →，欧拉方法收敛。
4.2 稳定性
一个即使收敛的数值方法，由于初值一般带有误差，且计算过程中不断产生舍入误差，随着误差的传播，对计算结果可能
产生很大的影响。
定义5 设用某数值方法计算i
y 时，所得实际结果为*i
y ，且由误差*-=i
i
i y y δ引起以后各节点处j y （j>i ）的误差为j δ，如果总有i
j δδ≤，则称该算法是绝对稳定的。
由于稳定性的讨论比较复杂，常用试验方程y '=λy (其中λ为常数)，并把能使某一数值方法绝对稳定的h λ的允许取值范围称为该方法的绝对稳定域。
对试验方程应用欧拉算法得 1+i y =（1＋λh ）i
y 设i y 上有误差i δ，它的传播使1
+i y 产生误差δi
＋1，设y *
i =i y ＋i
δ
按欧拉公式计算得y *i ＋1=1+i y ＋1
+i δ时不产生新的误差，则
y *i ＋1=（1＋λh ）y *i 两式相减，可得
δi ＋1=（1＋λh ）i
δ
为保证误差在以后的计算中不至增大，应选h 使
1
1≤+h λ 即λ2
0-≤≤h （8
－14）
当h 满足上式时，则称欧拉方法是条件稳定的。上式称为稳定条件。
对一般方程()y x f dx
dy ,=，可近似地取()
i i y x y f
,??-
=λ
以便判断稳定性，并确定计算1
+i y 时的步长
h 。
例5 对初值问题
()??
?=-='1
020y y y 求欧拉方法的稳
定条件。
解： 因为λ=-20 所以取步长为
λ2
0-
≤≤h =202--=0.1时欧拉方法是条件稳定的。
§5 方程组与高阶方程的数值解法
5.1 一阶方程组的数值解法
设初值问题
()()()()??
?=='=='0
000,,,,,,z x z z y x g z y x y z y x f y
由单个方程的经典龙格－库塔法可得
()()
??
???
++++=++++=++4321143211
226226
L L L L h
z z K K K K h y y i i i i
其中 ()i
i
i
z y x f k ,,1
=
()i
i
i
z y x g L ,,1
=
f
k =2（1
1
2
,2,2L h
z K h y h x i
i
i
+++）
g
L =2（1
1
2
,2,2L h z K h y h x i
i
i
+++） f
k =3（2
2
2
,2,2L h z K h y h x i
i
i
+++） g
L =3（2
2
2
,2,2L h z K h y h x i
i
i
+++）
()
334,,hL z hk y h x f k i i i +++= ()
334,,hL z hk y h x g L i i i +++=
5.2 高阶方程的数值解法
对于高阶常微分方程初值问题，原则
上总可转化为一阶方程组来来解。 例如，二阶常微分方程初值问题 ()()()??
?
'='='=''0
000,,,y x y y x y y y x f y 作变换z=y ' 则方程化为一阶方程组
()()()????
?'=='=='0
00
0,,,,y x z z y x f z y x y z y
则可用一阶方程组的数值解法来计算。
习 题 八
1 用欧拉方法和改进欧拉方法求初值问题
[]()?
?
?=∈='002,0,2y x x y
的数值解（取h=0.5），并将计算结果与
准确解比较。 2 对于初值问题
()??
?=+='0
0y b ax y （x>0）
分别导出欧拉方法和改进欧拉方法的表达式。
第一章一阶微分方程 1、1学习目标: 1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、 2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、 3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、 4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、 5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、 6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、 7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、 1、2基本知识: (一)基本概念 1.什么就是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是 指等式),称之为微分方程、 2.常微分方程与偏微分方程: (1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例 如, 、 (2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微 分方程、例如, 、 本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、 3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如, 就是二阶常微分方程; 与就是二阶偏微分方程、 4.n阶常微分方程得一般形式: , 这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、 5.线性与非线性: (1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、
第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
利用MATLAB求解常微分方程数值解
目录 1. 内容简介 (1) 2. Euler Method(欧拉法)求解 (1) 2.1. 显式Euler法和隐式Euler法 (2) 2.2. 梯形公式和改进Euler法 (3) 2.3. Euler法实用性 (4) 3. Runge-Kutta Method(龙格库塔法)求解 (5) 3.1. Runge-Kutta基本原理 (5) 3.2. MATLAB中使用Runge-Kutta法的函数 (7) 4. 使用MATLAB求解常微分方程 (7) 4.1. 使用ode45函数求解非刚性常微分方程 (8) 4.2. 刚性常微分方程 (9) 5. 总结 (9) 参考文献 (11) 附录 (12) 1. 显式Euler法数值求解 (12) 2. 改进Euler法数值求解 (12) 3. 四阶四级Runge-Kutta法数值求解 (13) 4.使用ode45求解 (14)
1.内容简介 把《高等工程数学》看了一遍，增加对数学内容的了解，对其中数值解法比较感兴趣，这大概是因为在其它各方面的学习和研究中经常会遇到数值解法的问题。理解模型然后列出微分方程，却对着方程无从下手，无法得出精确结果实在是让人难受的一件事情。 实际问题中更多遇到的是利用数值法求解偏微分方程问题，但考虑到先从常微分方程下手更为简单有效率，所以本文只研究常微分方程的数值解法。把一个工程实际问题弄出精确结果远比弄清楚各种细枝末节更有意思，因此文章中不追求非常严格地证明，而是偏向如何利用工具实际求解出常微分方程的数值解，力求将课程上所学的知识真正地运用到实际方程的求解中去，在以后遇到微分方程的时候能够熟练运用MATLAB得到能够在工程上运用的结果。 文中求解过程中用到MATLAB进行数值求解，主要目的是弄清楚各个函数本质上是如何对常微分方程进行求解的，对各种方法进行MATLAB编程求解，并将求得的数值解与精确解对比，其中源程序在附录中。最后考察MATLAB中各个函数的适用范围，当遇到实际工程问题时能够正确地得到问题的数值解。 2.Euler Method(欧拉法)求解 Euler法求解常微分方程主要包括3种形式，即显式Euler法、隐式Euler法、梯形公式法，本节内容分别介绍这3种方法的具体内容，并在最后对3种方法精度进行对比，讨论Euler法的实用性。 本节考虑实际初值问题 使用解析法，对方程两边同乘以得到下式
第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截
实验4 常微分方程的数值解 【实验目的】 1．掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例用微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。 【实验内容】 题3 小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。 模型及其求解 火箭在上升的过程可分为两个阶段，在全过程中假设重力加速度始终保持不变，g=s2。 在第一个过程中，火箭通过燃烧燃料产生向上的推力，同时它还受到自身重力（包括自重和该时刻剩余燃料的重量）以及与速度平方成正比的空气阻力的作用，根据牛顿第二定律，三个力的合力产生加速度，方向竖直向上。因此有如下二式： a=dv/dt=/m=/(1400-18t) dh/dt=v 又知初始时刻t=0，v=0，h=0。记x(1)=h，x(2)=v，根据MATLAB 可以求出0到60秒内火箭的速度、高度、加速度随时间的变化情况。程序如下： function [ dx ] = rocket( t,x ) a=[*x(2)^2)/(1400-18*t)]; dx=[x(2);a]; end ts=0:1:60;
x0=[0,0]; [t,x]=ode45(@rocket,ts,x0); h=x(:,1); v=x(:,2); a=[*(v.^2))./(1400-18*t)]; [t,h,v,a]; 数据如下： t h v a 000
第七章 常微分方程数值解法 常微分方程中只有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解)，大部分的方程是求不出初等解的。另外，有些初值问题虽然有初等解，但由于形式太复杂不便于应用。因此，有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的欧拉法、龙格-库塔法、阿达姆斯方法，在此基础上推出一阶微分方程组与高阶方程初值问题的 数值解法；此外，还将简要介绍求解二阶常微分方程值问题的差分方法、试射法。 第一节 欧拉法 求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy （1） 的数值解，就是寻求准确解)(x y 在一系列离散节点 <<<< 第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ '''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)； (3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=< 第一章 绪论 定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+ = 1=，3121x x x --=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+- 以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x = 二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210 x y z ++-=等等 根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算 一、引例 例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意 1d 2(1)d 2(2)x y x x y =?=???=? 由（1）得2d y x x =?，即2y x C =+ （3） 把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221 C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+ 例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式 00 220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t s v t s ===?=-???==???=??（） 把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t = =-+ （6） 151 第八章 常微分方程数值解 在工程和科学技术的实际问题中，常常需求解常微分方程。但由常微分方程理论可 知，常微分方程中往往只有少数较简单和典型的方程可求出其解析解。在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解。这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等；另一类则是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似解。 本章主要讨论一阶常微分方程的初值问题： ()()?????==0 ,y a y y x f dx dy b x a ≤≤ （8.1） 从理论上讲，只要方程中的()y x f ,连续且关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L ，使 ()()2121,,y y L y x f y x f -≤- 则常微分方程存在唯一解)(x y y =。 所谓微分方程数值解，就是求微分方程的解()x y 在一系列离散节点 b x x x x a n n =<<<<=-110 处()i x y 的近似值i y ),,1,0(n i =. 相邻的两个节点之间的距离i i i x x h -=+1称为由i x 到1+i x 的步长，通常取为常数h 。 求数值解，首先应将微分方程离散化，常用的方法有： （1） 用差商代替微商 若用向前差商代替微商，即 ()() ()()()i i i i i x y x f x y h x y x y ,1='≈-+ )1,,1,0(-=n i 代入（8.1）中的微分方程，则得 ()1+i x y ()()()i i i x y x hf x y ,+≈ 152 记)(i x y 的近似值i y ，则由上式右端可计算出)(1+i x y 的近似值，即 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ )1,,1,0(-=n i （8.2） （2） 数值积分法 利用数值积分法左矩形公式 ()()i i x y x y -+1=()()()i i x x y x hf dx x y x f i i ,,1 ≈? + 可得同样算法 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ （3） 用泰勒（Taylor ）公式 将函数)(x y 在i x 处展开，取一次Taylor 多项式近似，则得 ()()h x y x y i i +=+1()()i i x y h x y '+≈()()()i i i x y x hf x y ,+= 从而也得到离散化得计算公式 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ §1 欧拉（Euler ）方法 1.1欧拉方法 对一阶微分方程（8.1），把区间[]b a ,作n 等分：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 则分点为 ih a x i +=， n a b h -= ),2,1(n i = 由以上讨论可知，无论用一阶向前差商，还是用数值积分法左矩形公式，或者用泰勒公式取前两项都可得到同样的离散化计算公式 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ 并将初值条件代入，则得到数值算法： () ()? ? ?=+=+a y y y x hf y y i i i i 01, ),2,1(n i = （8.3） 称其为欧拉方法。 几何上欧拉方法就是用一条折线近似表示曲线()x y y =（如图8-1）。因此欧拉方法又称为欧拉折线方法。 第七章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ?=xdx y 2, 即y =x 2 +C , (3) 常微分方程初值问题数值解法 朱欲辉 （浙江海洋学院数理信息学院, 浙江舟山316004） [摘要]：在常微分方程的课程中讨论的都是对一些典型方程求解析解的方法.然而在生产实 际和科学研究中所遇到的问题往往很复杂, 在很多情况下都不可能给出解的解析表达式. 本篇文章详细介绍了常微分方程初值问题的一些数值方法, 导出了若干种数值方法, 如Euler法、改进的Euler法、Runge－Kutta法以及线性多步法中的Adams显隐式公式和预测校正 公式, 并且对其稳定性及收敛性作了理论分析. 最后给出了数值例子, 分别用不同的方法计算出近似解, 从得出的结果对比各种方法的优缺点. [关键词]：常微分方程;初值问题; 数值方法; 收敛性; 稳定性; 误差估计 Numerical Method for Initial-Value Problems Zhu Yuhui (School of Mathematics, Physics, and Information Science, Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316004) [Abstract]:In the course about ordinary differential equations, the methods for analytic solutions of some typical equations are often discussed. However, in scientific research, the problems are very complex and the analytic solutions about these problems can’t be e xpressed explicitly. In this paper, some numerical methods for the initial-value problems are introduced. these methods include Euler method, improved Euler method, Runge-Kutta method and some linear multistep method (e.g. Adams formula and predicted-corrected formula). The stability and convergence about the methods are presented. Some numerical examples are give to demonstrate the effectiveness and accuracy of theoretical analysis. [Keywords]:Ordinary differential equation; Initial-value problem; Numerical method; Convergence; Stability;Error estimate 郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课 第八章常微分方程数值解法 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使 对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾 §8.2 欧拉(Euler)法 通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 ) §8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′ 第一章 初等积分法 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数. 然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等. 物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数. 在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为： 5=dt ds ，x dx dy 2=） ，这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法. 1.1 微分方程的基本概念 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一 i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。 第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1．欧拉法、改进欧拉法. 2．龙格-库塔法。 3．单步法的收敛性与稳定性。 重点、难点 一、微分方程的数值解法 在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。本章我们主要 讨论常微分方程初值问题?????==00 )() ,(y x y y x f dx dy 的数值解法。 数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内，取n+1个节点a=x 0＜x 1＜…＜x N =b （其中差h n = x n –x n-1称为步长，一般取h 为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。 二、欧拉法与改进欧拉法 欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。 将常微分方程),(y x f y ='变为() *+=?++1 1))(,()()(n x n x n n dt t y t f x y x y 1．欧拉法（欧拉折线法） 欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。 欧拉法的基本思想：用左矩阵公式计算（＊）式右端积分，则得欧拉法的计算公式为：N a b h N n y x hf y y n n n n -= -=+=+)1,...,1,0(),(1 欧拉法局部截断误差 11121 )(2 ++++≤≤''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O （h 2）。 第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)． 解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='； 例1 微分方程221y x y xy '=-+-满足1)0(=y 的特解为 ． 解：2 2 2(1)(1)(1)(1)11dy dy y x y x dx x dx y y '=-+? =-?=-++?? 解得 2 arctan 2 x y x C =-+，由0 14 x y C π ==?= 则方程的特解为 2arctan 24 x y x π=-+ 或 2tan()24x y x π =-+ 例2 解微分方程3 23 x xy y y -='． 解：323x xy y y -='即为3 2 1y x y y x ?? ???'=?? - ??? ，为齐次微分方程.令y u y xu y u xu x ''=?=?=+， 由已知321 u y u '=-，整理得211 u du dx u x -=， 两边积分得 2 22ln ln ln ln 2ln 22u u y u x C Cy Cy x ?? -=+?=?= ??? 则方程的通解为 2 2ln y Cy x ?? = ??? . 例3 微分方程x y y x ln =+'满足1)1(=y 的特解为 ． 解：原方程整理得1ln x y y x x '+ =，为一阶线性非齐次微分方程. 由通解公式得 11 ln 1ln ln 1dx dx x x x C y e e dx C xdx C x x x x - ??????=+=+=-+???????? 由1)1(=y 解得2C =，所以微分方程x y y x ln =+'满足1)1(=y 的特解为2 ln 1.y x x =-+ 例4 微分方程3 1 y xy y += '的通解为 ． 解： 3 3dx dx xy y yx y dy dy =+? -=， 通解为 2 22 32 22232y y y ydy ydy e y e dy C Ce y x e y e dy C --???? +????? ???? =-?-? ?=+=?? 例5 解微分方程y x y y x 24=-'． ……① 解 原方程可化为y x y x y =?- '4 （2 1 =α的贝努里方程），即 x y x y y =?-'4 1 ……② 作换元y u = ，则 y y dx du 2' = ，②可化为 22x u x dx du =-（一阶线性非齐次方程） ……③ 由常数变易法可得③的通解为： )2ln (2x C x u + =， 故原方程通解为 )2 ln (2x C x y + =． 例6 已知函数(),()f x g x 满足x e x g x f x f x g x g x f 2)()(),()(),()(=+='='，且()00f =， 求)()()(x g x f x F =所满足的一阶微分方程，并求)(x F 的表达式． 解：(1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(2 2x f x g + =)()(2)]()([2 x g x f x g x f -+)(242x F e x -=, 可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为 2()2()4(0)0 x F x F x e F '?+=? =?． 常微分方程学习活动3 第一章 初等积分法的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1．微分方程0)(4 3 ='-'+''y y y x y xy 是 二 阶微分方程． 2．初值问题00 d (,) d ()y f x y x y x y ?=???=?的解所满足的积分方程是 0 0(,)d x x y y f s y s =+? ． 3．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是 一阶线性非齐次微分方程 ．（就方程可积类型而言） 4．微分方程0d )2e (d e =++y y x x y y 是 全微分方程 ．（就方程可积类型而言） 5．微分方程03)(2 2 =+'+''x y y y 是 恰当导数方程 ．（就方程可积类型而言） 6．微分方程 y x x y sin d d 2=的所有常数解是 …±±==210k ，， π，k y ． 7．微分方程21d d y x y -=的常数解是 1±=y ． 8．微分方程x x y y x 122 e -=-'的通解为 ）（﹣C x x 1 +=e y ． 9．微分方程2)(21 y y x y '+ '=的通解是 22 1C Cx y += ．. 10．一阶微分方程的一个特解的图像是 二 维空间上的一条曲线． 二、计算题 1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程： （1） 22d d x y x y += 答：一阶，非线性第8章常微分方程边值问题的数值解法
常微分方程第1章教案
第八章常微分方程数值解
第七章微分方程
常微分方程初值问题数值解法
郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章 常微分方程数值解法
常微分方程第一章初等积分法
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第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1.欧拉法、改进欧拉法 2
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