人教版七年级下册数学第六章实数教案
课题名称：6.1.1平方根
一、教学目标
1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念.
2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示.
二、教学重点和难点
1.重点：算术平方根的概念.
2.难点：算术平方根的概念.
（本节课需要的各种图表要提前画好）
三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
师：从本节课开始我们将学习新的一章：实数（板书：第六章实数）.什么是实数？这还得从算术平方根说起（板书课题：算术平方根），本节课我们就来学习算术平方根.那什么是算术平方根呢？请看下面的例子.
（二）尝试指导，讲授新课
（师出示下面的实例）
学校要举行美术作品比赛，扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？
（师边读题边演示一张面积为25平方分米的纸）
师：谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？
生：5分米.（多让几位同学回答）
师：你是怎么算出来的？
生：……
师：因为52＝25（板书：因为52＝25），所以这个正方形画布的边长应取5分米（板书：所以边长＝5分米）.
师：
分米？
生：3分米.（多让几位同学回答，要从较差学生逐渐喊到较好学生，最后师在边长栏中填3）
（以下师逐个在面积栏中填16、36、1、4
25
，教学过程同上）
师：（指实例和表格）这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，（指准课题）我们就有了算术平方根的概念.
师：（指准表格）正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根.
师：（指准表格）正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根. 师：（指准表格）哪位同学会按老师刚才的说法，说说6和36这两个数？生：……（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正）
师：（指准表格）谁来说说1和1这两个数？
生：……（多让几位同学说）
师：（指52＝25）同桌之间互相说一说5和25这两个数.（同桌互相说）
师：说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？（稍停）还是先在小组里讨论讨论，说说自己的看法.
（生小组讨论，师巡视倾听）
师：谁来说说什么是算术平方根？
生：……（多让几位同学说，教师要注意倾听，肯定学生回答中合理的部分）师：什么是算术平方根呢？（揭开板书：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根）如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a 的算术平方根.
师：请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读）
（师提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，另一面写1－10的平方.师任意抽一张卡片，譬如是7、49这一张）
师：（边演示卡片边问）7的平方是什么？
生：49.
师：（边演示卡片边问）49的算术平方根是什么？
生：7.
（按以上过程抽完所有卡片）
师：现在我们知道了什么是算术平方根.（指准板书）如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根.为了书写方便，我们把a的算术平方根
a
）.
（师出示右图）
师：（指准上图）看到没有？这根钓鱼杆似的符号叫做根号，a
表示a的算术平方根.
（师出示下面的例题）
例求下列各数的算术平方根：
(1)49
64
； (2)0.0001.
（要注意解题格式，解题格式要与课本第40页上的相同）（三）试探练习，回授调节
1.填空：
(1)因为_____2=64，所以64的算术平方根是______
＝______；
(2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是______，
______；
根号
被开方数
a
(3)因为_____2=16
49
，所以
16
49
的算术平方根是______
______.
2.求下列各式的值：
＝______；
＝______；
＝______；
______；
______；
______.
3.根据112＝121，122＝144，132＝169，142＝196，152＝225，162＝256，172＝289，182＝324，192＝361，填空并记住下列各式：
_______，
_______，
＝_______，
＝_______，
_______，
_______，
_______，
_______，
_______.
（学生记住没有，教师可以利用卡片进行检查，并要求学生课后记熟）
4.辨析题：卓玛认为，因为(－4)2＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？
（四）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了什么？你能用一个词来概括吗？
生：算术平方根.
师：什么叫做算术平方根？
生：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根.
师：（指准板书）a
，像钓鱼杆似的东西叫做根号，a叫做
被开方数.
（作业：P
47
习题1.要求学生按课本例题的格式做）
课题名称：6.1.2平方根
【教学目标】
知识与技能：
会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题。
过程与方法：
通过折纸认识第一个无理数2，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用计算器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。
情感态度与价值观：
通过探究2的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点：
①认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。 ②会用算术平方根的知识解决实际问题。 教学难点：
认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 教学过程：
一、通过实验引入：
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？
设大正方形的边长为x ，则22=x ，由算术平方根的意义可知2=x ， 所以大正方形的边长为2。 二、讨论2的大小：
由上面的实验我们认识了2，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特
征呢？下面我们讨论2的大小。
因为,42,1122==21＜2＜22，所以1＜2＜2. 因为96.14.12=，25.25.12=，所以4.1＜2＜5.1。 因为9881.141.12=，0164.242.12=，所以41.1＜2＜42.1
因为999396.1414.12=，002225.2415.12=，所以414.1＜2＜415.1 ……
如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限不循环小数。2=41421356.1……
注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。2=41421356.1……，是个无限不循环小数，但是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如7,5,3等，圆周率π也是一个无限不循环小数。
三、用计算器求算术平方根： 大多数计算器都有“
”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近
似值。
例1、 用计算器求下列各式的值：
3136)1(； 2)2(（精确到)001.0
解：（1）依次按键=3136，显示：56.所以563136=
（2）依次按键
2=，显示：414213562.1，
这是一个近似值。所以.414.12≈ 注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。 四、探索规律：
(2)用计算器计算3（结果保留4个有效数字），并利用你发现的规律写出
03.0，300 ，
30000的近似值。你能根据3的值求出30的值吗？
学生通过计算器可求出（1）的答案，依次是：
250,1.79,25,91.7,5.2,791.0,25.0。
从运算结果可以发现，被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根就扩大或缩小10倍。
由732.13≈可得2.17330000,32.17300,1732.003.0≈=≈，由3的值不能求出30的值，因为规律是被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根才扩大或缩小10倍，而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律求出。
此题学生可独立完成。 五、实际应用：
例1、小丽想用一块面积为2400cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为2300cm
的长方形纸片，使它的长与宽之比为3：2，不知道能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
分析：学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。通过计算和讲解纠正这种错误的认识。
解：设长方形纸片的长为xcm 3，宽为xcm 2。
根据边长与面积的关系可得：30023=?x x ，30062=x ，502=x ，50=x ∴长方形纸片的长为cm 503。因为50﹥49，所以50﹥7，从而503﹥21 即长方形纸片的长应该大于cm 21，而已知正方形纸片的边长只有cm 20，这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长。
答：不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
六、随堂练习：
1.用计算器求下列各式的值：
（1）1369 （2）2036.101 （3）5 （精确到01.0） 2、估计大小：
（1）140与12 （2）
2
1
5-与5.0 3、已知414.12≈，求02.0，0002.0，200，20000的值。 七、课堂小结
1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；
2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；
3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
4、怎样的数是无限不循环小数？
一个正数有一个正的立方根
0有一个立方根，是它本身 一个负数有一个负的立方根 任何数都有唯一的立方根
八、布置作业
课题名称： 6.2.1立方根
教学目标：
1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.
2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.
3、让学生体会一个数的立方根的唯一性.
4、分清一个数的立方根与平方根的区别. 教学重点：
立方根的概念和求法。 教学难点：
立方根与平方根的区别。 教学过程设计： 一、情境导入：
问题：要制作一种容积为27m 3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 设这种包装箱的边长为x m,则3
x =27这就是求一个数，使它的立方等于27. 因为3
3=27，所以x =3. 即这种包装箱的边长应为3m 二、新课：
1、归纳：如果一个数的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根），即如果
3x a =，那么x 叫做a 的立方根
2、探究： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为3
28=，所以8的立方根是（ 2 ）
因为()30.50.125=，所以0.125的立方根是（ 0.5 ） 因为()300=，所以8的立方根是（ 0 ） 因为()328-=-，所以8的立方根是（ 2- ）
因为3
28327??-=- ???
，所以8的立方根是（ 23- ）
【总结归纳】
一个数a 的立方根，3a ，读作：“三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，
表示273=表示27-的
3=-.
3、探究： ____,____,== =
____,____==
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即
)
0a =>。
4、例：求下列各式的值：
（1）364； （2）27-； （3）327102
（4）31000
1
-； （5）64±； （6）64 三、练习：
四、小结：
1.立方根和开立方的定义．
2.正数、0、负数的立方根的特征.
3.立方根与平方根的异同． 五、作业：
课题名称：6.2.2用计算器探究平方根和立方根
一、教学内容解析
本节课题是学完人教版义务教育课程标准教科书七年级下册第六章第二节《立方根》后的内容，是在七年级上册学习了乘方运算的基础上安排的，是学习实数的准备知识．由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，从而完成了初中阶段数的扩展；运算方面，在乘方的基础上引入了开方运算，使代数运算得以完善．因此，本节课是有助于了解n次方根的概念，为今后学习二次根式运算、方程、函数等知识作出了铺垫．
教学重点：
会用计算器求平方根和立方根．
教学难点：
利用计算器探究数学规律．
二、教学目标设置
本节课主要是会用计算器求平方根和立方根的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，因此确定如下的教学目标：
1.会用计算器求平方根和立方根，培养学生的数感．
2.经历运用计算器探究数学规律的活动，发展学生的探究能力和合情推理的能力，并在概念的探索过程中，进一步领会数学的转化思想、从特殊到一般思想和分类讨论思想．
3.体验现代科技产品快捷、精确的功能，体会利用计算器给探求数量间的关系与变化带来的方便，激发学习、探索知识的兴趣．
三、学生学情分析
根据七年级学生的身心发展特点，我从学生已有的知识基础、学习现状等方面分析．
1.学生的已有基础
学生在七年级上学期时已学过了乘方的运算，上节课又学习平方根与立方根，这就是本节课的教学出发点，有助于本节学习活动的进行．学生在七年级上学期已经学过了使用计算器进行简单的计算并利用计算器进行一定的探索活动，积累
了一些活动经验．
2.学习的现状
此阶段的学生具有很强的好奇心、强烈的“自我”和自我发展的意识，因此对新鲜事物或新内容特别感兴趣，但缺乏学习的方法．
学生已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础．在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验与交流的能力．这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，通过计算器的辅助作用，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性．
四、教学过程
（一）创设情境，引入新知
问题：人类从来就没有停止对太空的探索，2016年10月17日07时30分31秒，神舟十一号飞船搭载着长征二号火箭在酒泉发射场成功发射并取得圆满成功．出示长征六号运载火箭首飞成功，一次送20颗卫星入轨的视频．你知道火箭离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度v 1（单位：m/s ）而小于第二宇宙速度v 2（单位：m/s ）．v 1，v 2的
大小满足21v gR =，2
22v gR =,其中g 是物理中的一个常数（重力加速度），
29.8m /s g ≈，R 是地球半径，66.410m R ≈?．怎样求v 1，v 2呢？
师生活动：学生回答1v ===
2v ===．
问题：你能算出这两个算术平方根的结果并感受第一宇宙速度v 1和第二宇宙速度v 2到底有多快吗？
师：要精确地求出第一宇宙速度v 1和第二宇宙速度v 2就要借助数学学习的好帮手－计算器，今天我们就来学习《用计算器探究平方根和立方根》．板书课题．
√25
16
（二）初步探索，理解新知
1．提出问题：你能快速计算√9、、
√3.52吗？
师生活动：学生口答，引出计算器．
2．学习使用计算器求平方根和立方根．
师生活动：师生共同学习计算器使用说明，解决下列问题：（1）对于开平方运算，按键顺序为：
（2）对于开立方运算，按键顺序为：
（3）用计算器计算：
π．
3．解决情境问题，用计算器计算（结果保留到整数）：
1
v===
2
v===
（三）运用新知，深入探究
1．比较33和2的大小．
师生活动：学生利用计算器进行比较，学生代表发言，教师评价．
设计意图：熟悉用计算器进行开方运算．
2．（1）利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？
（2（精确到0.001），并利用你在（1）中发现的规律说
师生活动：学生独立思考后，合作交流讨论，教师根据学生回答的情况进行评价，引导学生总结得出规律．
练习：（1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
(2)
0.001）
．
师生活动：学生合作交流讨论，自主总结得出规律，教师根据学生回答的情况进行评价．
（四）布置作业，巩固新知
1．必做题：
(1)0.01
-
用计算器计算下列各式的值（精确到）.
②③⑤
(2)要生产一种容积为500L的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米（结果保留小数点后两位）？（球的体积公式是，其中R是球的半径．）2．选做题：
(1)①任意找一个正数，利用计算器将该数除以2，将所得结果再除以2……，随着运算次数的增加，你发现了什么？
(2)再用一个负数试一试，看看是否仍有类似规律．
课题名称：6.3.1实数
（第1课时）
教学目标：
1、了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；
2、了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算； 重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律
难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算 教学过程：
探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 35-
，478 ，911 ，119 ，59
我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，30.65-
=- ，47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29= ，5
0.59
= 归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数
观察：通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数
结论：有理数和无理数统称为实数 试一试：把实数分类
???
???????
→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数
π
是正无理数，
，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
0????
??
?
????????
正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
探究：如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
总结：
1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数
2、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大
讨论：当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结：数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 应用迁移，巩固提高
例1：把下列各数分别填入相应的集合里：
3
8，3，－3.141，
3
π，722
，87－，32－，0.1010010001…，1.414，－0.020202…
正有理数{ } 负有理数{ } 正无理数{ } 负无理数{ } 备选例题：下列实数中是无理数的为（ ）
A.0
B. 3.5- 总结反思，拓展升华 小结：
1、什么叫做无理数？
2、什么叫做有理数？
3、有理数和数轴上的点一一对应吗？
4、无理数和数轴上的点一一对应吗？
5、实数和数轴上的点一一对应吗？
课题名称：6.3.2实数
（第2课时）
【教学目标】 知识与技能：
掌握实数的相反数和绝对值； 掌握实数的运算律和运算性质. 过程与方法：
通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识. 情感态度与价值观：
通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展. 教学重点：
会求实数的相反数和绝对值； 会进行实数的加减法运算； 会进行实数的近似计算. 教学难点：
认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充. 【教学过程】
一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律： 1、相反数：有理数的相反数是. 2、绝对值：当≥0时，
，当≤0时，
.
3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律. 二、实数的运算：
1.实数的相反数：数的相反数是.
2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用.
a a -a a
a =a a
a -=a a -
三、应用：
例1、（1）求的绝对值和相反数；
（2）已知一个数的绝对值是，求这个数. 解：（1）因为，所以，
（2）因为
，所以绝对值为的数是或.
例2、计算下列各式的值： （1）
； （2）.
分析：运用加法的结合律和分配律. 解：（1）；
（2）
例3、计算：
（1）（精确到）
（2）（结果保留3个有效数字） 解：（1）； （2）. 四、随堂练习： 1、计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）
. 2、计算：
（1）（精确到0.01）；
（2）（精确到十分位）.
3、在平面内有四个点，它们的坐标分别是. 3
64-34643
-=-4
4643=-=--4
)4(643=--=--333-2
)23(-+3233+3
03)2_2(32)23(=+=+=-+3
53)23(3233=+=+π+501.023?38.5142.3236.25≈+≈+π45.2414.1732.123≈?≈?2624-)23(3+3253+-2
3
)54(198-+--322-3 3 ，
3 3 = -= π
- + 34 2 2 5
. ) 2 ， 2 ( )， 2 ， 5 ( )， 2 2 ， 5 ( )，2 2 ，
2 ( D C B A
（1）依次连接，围成的四边形是一个什么图形？ （2）求这个四边形的面积.
（3）将这个四边形向下平移个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？ 五、课堂小结
1、实数的运算法则及运算律.
2、实数的相反数和绝对值的意义 六、布置作业
D C B A 、、、2
人教版七年级数学第六章实数测试题（附答案） 一、单选题（共12题；共24分） 1.3的算术平方根是（） A. ± B. C. ﹣ D. 9 2.在实数-1.414，，π，，2+ ， 3.212212221…，3.14中，无理数的个数是（）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.化简的值为（） A. 4 B. -4 C. ±4 D. 2 4.（-0.9）2的算术平方根是（） A. -0.9 B. ±0.9 C. 0.9 D. 0.81 5.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a﹣b|的结果是（） A. 0 B. a+b C. a﹣b D. b﹣a 6.如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（） A. a+b＞0 B. ab＞0 C. a-b＞0 D. |a|-|b|＞0 7.如图的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是和﹣1，则点C所对应的实数是（） A. 1 B. 2 C. 2 ﹣1 D. 2 +1 8.估计的值在 A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 9.在-3，-，-1，0这四个实数中，最小的是（） A. -3 B. － C. -1 D. 10.-64的立方根是（） A. -8 B. 8 C. -4 D. 4 11.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A. a>–4 B. bd>0 C. |a|>|d| D. b+c>0 12.若a是的平方根，则=（） A. ﹣3 B. C. 或 D. 3或﹣3 二、填空题（共10题；共20分） 13.已知，则的平方根是________； 14.的小数部分是________． 15. 无理数的个数有________个 16.计算：（﹣）﹣2+（﹣1）0﹣═________. 17. 的算术平方根是________ 18.16的算术平方根为________. 19.已知正数x的两个平方根是m+3和2m-15，则正数x＝________． 20.与最接近的整数是________. 21.比较，，的大小，并用“>”连接________. 22.设[x)表示大于x的最小整数，如[3)＝4，[-1.2)＝-1，则下列结论中正确的是________．①[0)＝0； ②[x)-x的最小值是0；③[x)-x的最大值是0；④存在实数x，使[x)-x＝0.5成立． 三、计算题（共5题；共40分） 23.计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0﹣| ﹣2| 24.+|﹣|﹣（﹣2006）0+（）﹣1 25.计算： 26.计算：. 27.计算： （1）- = （2）= （3）= （4）± = 四、解答题（共3题；共15分） 28.随着神舟计划的进行,中国人对宇宙的探索更进一步,但是你知道吗,要想围绕地球旋转,飞船的速度必须要达到一定的值才行,我们把这个速度称为第一宇宙速度,其计算公式为v= (其中g≈0.009 8 km/s2,是重力加速度;R≈6 370 km,是地球的半径).请你求出第一宇宙速度的值.(结果保留两位小数) 29.已知某数的平方根为，求这个数的立方根是多少？
第六章实数（2） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列各式中无意义的是（ ） A. 6 1- B. 21-）（ C.12+a D.222-+-x x 2.在下列说法中：①10的平方根是±10；②-2是4的一个平方根；③ 94的平方根是3 2 ④0.01的算术平方根是0.1；⑤ 24a a ±=，其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法中正确的是（ ） A.立方根是它本身的数只有1和0 B.算数平方根是它本身的数只有1和0 C.平方根是它本身的数只有1和0 D.绝对值是它本身的数只有1和0 4. 641的立方根是（ ） A.21± B.41± C.41 D.2 1 5.现有四个无理数5，6，7，8，其中在实数2+1 与 3+1 之间的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.实数7- ，-2，-3的大小关系是（ ） A. 237--- B. 273--- C. 372--- D.723--- 7.已知351.1 =1.147，31.15 =2.472，3151.0 =0.532 5，则31510的值是（ ） A.24.72 B.53.25 C.11.47 D.114.7 8.若33)2(,2,3--=--=-=c b a ，则 c b a ,,的大小关系是（ ） A.c b a B.b a c C.c a b D.a b c 9.已知x 是169的平方根，且232x y x =+，则y 的值是（ ） A.11 B .±11 C. ±15 D.65或 3143 10.大于52-且小于23的整数有（ ） A.9个 B.8个 C .7个 D.5个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 3-绝对值是 ，3- 的相反数是 . 12. 81的平方根是 ，364 的平方根是 ，-343的立方根是 ，
一、本章共3小节共8个课时（3.10～3.21第5、6周） 二、本章概念 1.算术平方根 2.被开方数 3.平方根（二次方根） 4.开平方 5.立方根（三次方根） 6.开立方 7.根指数 8.无理数 9.实数 10.实数与数轴上的点一一对应. 三、分类的数学思想 1. 2. 四、估算 下列各数分别界于哪两个整数之间 1
【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”. 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）. 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 联系： （1）被开方数必须都为非负数； （2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根. （3）0的算术平方根与平方根同为0. 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）. 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根. 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）. 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如 =. 25= 50 ,5 2500 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1. 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同. 3≥0a≥0. 4、公式：⑴)2=a（a≥0）=（a取任何数）.
人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总 【知识点一】实数的分类 1、按定义分类： 2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数. 【知识点二】实数的相关概念 1.相反数 (1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0. (2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0. 2.绝对值|a|≥0． 3.倒数（1）0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数. ▲▲平方根【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0 有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩 小）倍，例如. 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 n n50 2500 ,5 25= =
实数 第一课时 教学目标： 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。 教学重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。 教学难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算。 教学过程 一、导入新课： 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 3 5- ，478 ，911 ，119 ，59 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，30.65-=- ， 47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29= ，50.59= 二、新课： 1、 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数；有理数和无理数统称为实数 ??????????→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数
像有理数一样，无理数也有正负之分。 ，π 是正无理数， ，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分， 实数也可以这样分类： ???????????????正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 2、探究 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？ 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 3、例1 （1）求下列各数的相反数和绝对值： 2.5，－7，5π-，0，32，π－3 （2） 一个数的绝对值是3，求这个数。
实数（第1课时） 教学目标： 知识与技能:1、理解无理数和实数的概念及实数的分类。 2、知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。 过程与方法: 1、经历对实数进行分类的过程,培养学生的分类意识。 2、经历从有理数逐步扩充到实数的过程,学生了解人类对数的认识是不断发展的。 3、感受实数可以用数轴上的点来表示，增强学生数形结合的思想。 情感态度价值观:1、通过活动探究，体会数系扩充对人类发展的作用； 2、善于观察、勇于探究，并能有意识地运用已有知识解决新问题. 重 点：1、学生了解无理数和实数的概念。 2、实数的分类。 难 点：对无理数的认识和理解 活动1【导入】激情引趣 1、你了解 2吗？有怎样的认识 ？ 2、2闯“祸”了 “不好了，不好了，保安和2 吵起来了。”数字π急忙去探明真相，原来是刚来到“数字王国”的 2，看到一群数字如：3，847，53-，911，119，95 …自由进入“数字王国”，好奇的2也想进去，却被保安拦住，于是2 就和保安理论，保安说 2 和它们不一样，2 不服气，保安又指了指大门上的标志“××××王国”，于是 2 只好作罢。 【设计意图】一个精彩的故事导入，就能够大大调动学生的积极性，增强学生的求知欲以及对数学学习的兴趣。通过有趣的数学故事，引起学生对数学学习的兴趣，开发他们的智力，提高学生探究问题的积极性，从而提高他们逻辑思考能力。 活动2【探究】探究新知 1、算一算：把下列有理数转换成小数的形式，你有什么发现？ 3，478，91135-，119， 9 5 整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数叫有理数 2、议一议2是整数吗？是分数吗？是有理数吗？那又是什么数呢？ 观察：2=1.41421356237309504880168… 像这种无限不循环的小数叫做无理数 3、 无理数的诞生（微视频） 4、说一说
实数 1.算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 2. 如果a x =2 ，则x 叫做a 的平方根，记作“±a ” （a 称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个且为正。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ” （a 称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 实数：有理数和无理数统称为实数 有理数：有限小数或无限循环小数（分数又可以转化成无限循环小数） 无理数：无限不循环小数（常见无理数有2，3，π等） 10. 数轴上的点和实数一一对应。 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3、a 本身为非负数，有非负性，即a ≥0；a 有意义的条件是a ≥0。 4、公式：⑴(a )2=a （a ≥0）；⑵3a -=3a -（a 取任何数）。 5、区分(a )2=a （a ≥0），与 2a =a 6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 【典型例题】 1.下列语句中，正确的是（ ） A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B ．负数没有立方根 C ．一个实数的立方根不是正数就是负数 D ．立方根是这个数本身的数共有三个 2. 下列说法正确的是（ ） A ．-2是2 )2(-的算术平方根 B ．3是-9的算术平方根 C ．16的平方根是±4 D ．27的立方根是±3
第1课时 实 数 【教学目标】 1、了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力； 2、了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义； 3、了解实数范围内相反数和绝对值的意。 【学难点与重点】 1、难点：理解实数的概念。 2、重点：正确理解实数的概念。 【教学过程】 一、 创设情境 学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类． 试一试 1、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3，5 3 ，847，119，911，95 动手试一试，说说你的发现并与同学交流． （结论：上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式） 可以在此基础上启发学生得到结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式． 2、追问：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？ （课件展示） 阅读下列材料： 设x=0.3 =0.333…① 则10x=3.333…② 则②－①得9x=3，即x=3 1 即0.3 =0.333…=3 1 根据上面提供的方法，你能把0.7 ，0.41 化成分数吗？且想一想是不是任何无限循环小数都可以化成分数？
在此基础上与学生一起得到结论：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数，所以任何一个有限小数或无限循环小数都是有理数。 二、引入新知 1、在前面两节的学习中，我们知道，许多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，它们不能化成分数．我们给无限不循环小数起个名，叫“无理数”．有理数和无理数统称为实数． 例1（1）你能尝试着找出三个无理数来吗？ （2）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 解决问题后，可以再问同学：“用根号形式表示的数一定是无理数吗？” 2、实数的分类 （1）画一画 学生自己回忆并画出有理数的分类图． （2）挑战自己 请学生尝试画出实数的分类图． 例2把下列各数填人相应的集合内： 整数集合｛…｝ 负分数集合｛…｝ 正数集合｛…｝ 负数集合｛…｝ 有理数集合｛…｝ 无理数集合｛…｝ 三、探一探
实数的典型题 1（1）若2m—4与3m—1是同一个数的平方根，求m的值 （2）已知2a—3与5—a是一个数的两个平方根，求a的值 （3）一个正数的两个平方根是a＋1和2a—22，求a的值 2（1）若正数的平方根为x＋1和x—3，求m的值 （2）已知2a—1与—a＋2是m的平方根，求m的值 （3）若某数的平方根是3a—5和21＋a，求这个数 3（1）已知2m＋2的平方根是±4，3m＋n＋1的平方根是±5，求m＋2n的值 （2）已知2a—1的平方根是±3，3a＋b—1的算术平方根是4，求a＋2b的平方根 （3）已知3x＋16的立方根是4，求2x＋4的平方根 （4）x＋3的平方根是±3，2x＋y—12的立方根是2，求＋的算术平方根 （5）2x＋1的平方根是±4，4x—8y＋2的立方根是—2，求—10（x＋y）的立方根 （6）已知2a—1的立方根是3，3a＋b＋5的平方根是7，c是的整数部分，求a＋2b＋的立方根 4（1）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，求＋＋的值
（2）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，求—＋＋1 的值 （3）x、y互为相反数，a、b互为倒数，c的绝对值等于5，—3是z的一个平方根，求（＋）＋ab—的值 （4）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，求— ＋ ＋的值 5（1） —＋（＋）＝0 求—的值 （2）|x—1|+ —）+ —＝0 求x＋y＋z的值 （3）|a—2|+ —＋ —）＝0 求＋—＋2c的值（4） —＋|—3y—13|＝0 求x＋y的值 （5） —＋）＋ —＝0且＝4 求＋＋的值（6）＋）＋ —）＝0 求＋的值 （7）|a＋b＋1|与＋＋互为相反数，求＋）的值（8）＋—（y—1） —＝0 求—的值
教案：实数 目标确定的依据： 1、课程标准相关要求： 了解实数和无理数的概念：知道数轴上的点与实数一一对应。 2、教材分析： 实数是继学生学习了自然数、有理数、无理数之后的内容，通过本节 的学习，使学生逐步经历数系的扩展过程。从而形成新的知识结构， 为后继的学习打下基础。 3、学情分析： 学生已经在七年级上学期学习了《数怎么不够用了》，经历了自然数向有理数的扩展过程，本节课继续使学生经历此过程，从而得出无理数的概念，以及实数的概念，本节课的难点就是实数的分类，及实数 与数轴上的点一一对应，学生往往在分类时遗漏一些东西，或添加一些东西，要使学生互相交流讨论，教师引导予以解决。同时学生对实 数与数轴上的点一一对应弄不明白，要引导学生通过数形结合予以解决。 目标： 1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。 2.理解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。 评价任务： 1、通过计算器，计算出常见的有理数化为小数的形式，归纳出有理 数的特征。
2、通过分析2、3等，得出这些是无限不循环的小数，从而归纳出无理数的定义，进一步归纳出实数的定义。 3、能够通过互相交流，对实数进行分类，并展示结果。 4、能够从圆在数轴上的滚动，找出所表示的数。能够根据正方形的特点，找出数轴上表示的无理数。 5、用自己的语言归纳总结出实数与数轴上的点一一对应。 6、能够利用估算，并利用数轴比较两个无理数的大小。 学习环节评价要点教学流程 探索新知1、通过计算器， 计算出常见的 有理数化为小 数的形式，归纳 出有理数的特 征。 2、通过分析 2、3等， 得出这些是无 限不循环的小 数，从而归纳出 无理数的定义， 进一步归纳出 实数的定义。1、回顾：有理数及分类。 2、举出所常见的有理数，通过计算器化为小数，观察特点。总结出无限循环小数和有限小数是有理数。 3、引出概念：教师引导学生再举出所学的数，2、3使学生分析出特点，把它们归类。从而得到无理数的概念。 4、得出实数的概：念 再探新知1、能够通过互 相交流，对实数 进行分类，并展 示结果。1、思考有理数的分类，你能对实数分类吗？同桌交流，并展示结果。教师总结出实数的分类。 按正负分类： 实数
七年级下册数学第六章实数 一、选择题 1.4的平方根是( ) A.2 B.-2 C.±2 D. 2.下列各式中,正确的是( ) ±6 B. 3.下列各式中,无意义的是( ) 4.请选出下列估算较准确的一组( ) 299.6 5.下列各组数中,互为相反数的一组是( ) A.-2与-1 2 D.│-2│与2 6. 下列说法正确的是 ( ) A.1的平方根是1; B.1的算术平方根是1; C.-2是2的平方根; D.-1的平方根是-1 二、填空题 7.16的平方根记作_______,等于________. ________. 9. _______. 11.两个无理数的和为有理数,这两个无理数可以是______和_______. 12.0.0009的算术平方根是________. 13.若│x2-25│则x=_______,y=_______. 14.如果正方形的面积为3,则它的边长是整数吗?______,它是_____________(填：无理数或有理数)，它最 接近的整数是_______. 15.已知x的平方根是±8，则x的立方根是________. 16.有一个边长为的正方形,其面积为_________;若有一面积与它相等的圆,求此圆的半径为 _________.
三、简答题 17.求下列各数的平方根:(1)81;(2)1625;(3)1.44;(4)21418.求下列各式中的x:①x 2=1.21; ②27(x+1)3+64=0. 19.a ≥0a 的算术平方根.由此你会求下列各式有意义时x 的取值范围吗？试试看: （1 （2; （3 （4 20.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b 的平方根. 21.用大小完全相同的200块正方形地砖铺一间面积为50米2的客厅,求每块正方形地砖的边长. 22.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期,?其计算公式为T=2π其中T 表示周期(单位:秒),L 表示摆长(时间:米),g=9.8米/秒2.假如一台座钟的摆长为0.5米,它每摆动一个来回发出一次滴答声,那么在1分内,?该座钟大约发出了多少次滴答声?
第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
沪科版七年级数学第一章知识点复习以及例题讲解 1、平方根 （1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。 来表示，（读做“根号a”） 对于正数a 负的平方根用”表示（读做“负根号a” ） 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。 （2）平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ②0只有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根. （3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方. （4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。 （50有意义的条件是a≥0。 （6）公式：⑴)2=a（a≥0）； 2、立方根 （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。 即X3=a,把X叫做a的立方根。数a的立方根用符号”表示，读作“三次根号a”。 （2）立方根的性质： 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 （3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、规律总结 （1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 （2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 二、平方根、立方根例题。 例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ①（-3）2②0 2③-0.01 2 （2）下列说法对不对？为什么？ ①4有一个平方根②只有正数有平方根
七年级数学（下）辅导资料（4） 知识整理：石怿成华丽
【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如 25= =. ,5 2500 50 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a≥0。 4、公式：⑴2=a（a≥0）a取任何数）。 5、区分2=a（a≥0），与2a=a
实数 一、本章知识结构 二、基础知识 1．算术平方根。 （1）定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根. 记为a ”,a 叫做被开方数。 （2）规定：0的算术平方根是0 （3）性质：算术平方根a 具有双重非负性： ①被开方数a 是非负数，即a ≥0. ②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。 也就是说， 任何正数的算术平方根是一个正数， 0的算术平方根是（ 0 ）， 负数没有算术平方根。 2．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根或二次方根 （2）非负数a 的平方根的表示方法: a ± （3）性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
0 只有一个平方根，它是0 。 负数没有平方根。 说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。要特别注意： a ≠±a 。 3.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：①定义不同算术平方根要求是正数 ②个数不同平方根有2个，算术平方根1个 ③表示方法不同：算术平方根为a ，平方根为±a 联系：①具有包含关系：算术平方根平方根? ②存在条件相同：0≥a ③0的平方根和算术平方根都是0。 4．a 2的算术平方根的性质 a (a ≥0) 2a =│a │= -a (a<0) 从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0) 5．立方根 （1） 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根 （2） 数a 的立方根的表示方法:3a （3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关系：互为相反数 （4） 两个重要的公式 为任何数） 为任何数）a a a a a (()3(3333== 6．开方运算： （1）定义： ①开平方运算：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方。 ②开立方运算：求一个数立方根的运算叫做开立方 （2）平方与开平方是互逆关系，故在运算结果中可以相互检验。 7．无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数 8．有理数与无理数的区别
七年级数学下册《实数》练习题 一、选择题 1、下列说法不正确的是（ ） A 、251的平方根是15 ± B 、－9是81的一个平方根 C 、0.2的算术平方根是0.04 D 、－27的立方根是－3 2、若a 的算术平方根有意义，则a 的取值范围是（ ） A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 3、若x 是9的算术平方根，则x 是（ ） A 、3 B 、－3 C 、9 D 、81 4、在下列各式中正确的是（ ） A 、2)2(-＝－2 B 、＝3 C 、16＝8 D 、22＝2 5、估计76的值在哪两个整数之间（ ） A 、75和77 B 、6和7 C 、7和8 D 、8和9 6、下列各组数中，互为相反数的组是（ ） A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－ 21与2 D 、︱－2︱和2 7、在－2，4，2，3.14， 327-，5 π，这6个数中，无理数共有( ) A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、下列说法正确的是（ ） A 、数轴上的点与有理数一一对应 B 、数轴上的点与无理数一一对应 C 、数轴上的点与整数一一对应 D 、数轴上的点与实数一一对应 9、下列运算中，错误的是（ ） ①1251144251=，②4)4(2±=-，③3311-=- ④20 95141251161=+=+ A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10、若有理数a 和b 在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则2b －︱a －b ︱等于（ ） A 、a B 、－a C 、2b ＋a D 、2b －a 二、填空题 1、在数轴上表示的点离原点的距离是 ；设面积为5的正方形的边长为x ,那么x = . 2、9的算术平方根是 ； 94的平方根是 ,27 1的立方根是 , －125的立方根是 . 3、81的平方根是 ，364 的平方根是 ，-343的立方根是 ，256的平方根是 . 4、25-的相反数是 ，32-= . 5、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= .
第六章实数知识点归纳 一、实 数的 概念（3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不 循环”这一 时之起 （1）开方开不尽的数，如 7,等；（2）有特定结构的数，如0.1010010001,等；32 32 （3） π 3 +8等； 3.实数与数轴上点： 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反 过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的 实数大 二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分） 1、相反数 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数， 则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 一 个 数的绝 对值就是表示这 个数的 点 与原 | a | ≥ 。 零 |a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个 负数，绝对值大小。 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有 倒数。 4、无限小数是有理数（×）无限小数是无理数（×） 有理数是无限小数（×）无理数是无限小数（√） 数轴上的点都可以用有理数表示（×）有理数都可以由数轴上的点表示（√） 数轴上的点都可以用无理数表示（×）无理数都可以由数轴上的点表示（√） 数轴上的点都可以用实数表示（√）实数都可以由数轴上的点表示（√） 三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根
__________________________________________________ 1）25— 3 27 ＋2- 2）3 2- ＋ 2 - 3）33 008.0127 26 --- 3）22 ＋12- 327 4）（15-）（53+） 5）3231)3(27---+- 4）25—327＋2- ---
__________________________________________________ 5）32- ＋ 2- 6）33 008.0127 26 --- 6）22 ＋12- 327 7）（15-）（53+） 8）3231)3(27---+- 9）3353+- 10）4 1083- + ---
__________________________________________________ 11）2332-+- 12）316273--+- 13）32)3223(-+ 14）3 1 ×（1—81）＋31- 15）3353+- 16）4 1083- + 17） 2332-+-
__________________________________________________ 18）316273--+- 19）32)3223(-+ 20）3 1 ×（1—81）＋31- 21）123221-+-+- 22）52233221-+-+-+- 23） 1664)13(233+-+---
__________________________________________________ 24）（-2）3×2)4(-＋33)4(-×（-2 1）2—3 27 25）（- 2 1）×（-2）2 —381-＋2)21(- 26）123221-+-+- 27）52233221-+-+-+ - 28）1664)13(233+-+---
七年级数学下册第一章《实数》知识点整理 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、严重概念 ．数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）初中数学复习提纲2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）初中数学复习提纲 多见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;c.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;c.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;c.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：
奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数） 初中数学复习提纲7．绝对值：①定义（两种）：代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 ． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律） 3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左” 到“右”（如5÷初中数学复习提纲×5）;c.由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例（略） 附：典型例题 ． 初中数学复习提纲已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a.
人教版七年级数学下册实数知识点归纳及常见考题 【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如 50 2500 ,5 25= =. 10.平方表：（自行完成） 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a≥0。 4、公式：⑴2=a（a≥0a取任何数）。 5、区分)2=a（a≥0），与 2 a=a 6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。【典型例题】
第六章 实数单元同步测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列语句中正确的是 （ ） A.49的算术平方根是7 B.49的平方根是-7 C.-49的平方根是7 D.49的算术平方根是7± 2.下列实数3 3,9,15.3,2,0,8 7,3-- π中，无理数有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.8-的立方根与4的算术平方根的和是 ( ) A.0 B.4 C.2± D.4± 4.下列说法中：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数可以用数轴上的点来表示,共有（ ）个是正确的. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.下列各组数中互为相反数的是 （ ） Ａ. 2-与2)2(- Ｂ. 2-与38- Ｃ. 2-与2 1- Ｄ.2-与2 6.圆的面积增加为原来的n 倍，则它的半径是原来的 （ ） A. n 倍； B. 倍2 n C. n 倍 D. n 2倍. 7.实数在数轴上的位置如图16--C ，那么化简2 a b a - -的结果是 （ ） A.b a -2 B.b C.b - D.b a +-2 8.若一个数的平方根是它本身，则这个数是 （ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、1或0 9.一个数的算术平方根是x ，则比这个数大2的数的算术平方根是 （ ） A.22 +x B 、2+x C.22 -x D. 22 +x 10.若03 3=+ y x ，则y x 和的关系是 （ ） A.0==y x B. y x 和互为相反数 C. y x 和相等 D. 不能确定
第六章《实数》测试题 一、单选题（每小题只有一个正确答案） 1．25的平方根是（ ） A ．±5 B ．﹣5 C ．5 D ．25 2．下列式子中，正确的是（ ） A ．3388-=- B ． 3.60.6-=- C ．2(3)3-=- D ．366=± 3．要使代数式2x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x≠2 B ．x≥2 C ．x>2 D ．x≤2 4．下列说法正确的是 ( ) A ．一个数的平方根有两个,它们互为相反数 B ．一个数的立方根不是正数就是负数 C ．负数没有立方根 D ．如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是-1或0或1 5．在下列各数322 2,3,8, , ,36,0.10100100013 π--?? （两个1之间，依次增加1个0），其中无理数有（ ） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 6．下列说法正确的是（ ） A ．正有理数和负有理数统称为有理数 B ．符号不同的两个数互为相反数 C ．绝对值等于它的相反数的数是非正数 D ．两数相加，和一定大于任何一个加数 7．下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．－2与2（-2) B ．－2与38- C ．2与（-2）2 D ．|-2|与2 8．估计56﹣24的值应在（ ） A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 9．如图，若 A 是实数 a 在数轴上对应的点，则关于 a ， a ，1的大小关系表示正确的是（ ）
A B C D 10a的值为( ) A．-1 B．1 C．-2 D．2 11( ) A B C D 12．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2020所对应的点是（） A．点A B．点B C．点C D．点D 二、填空题 13________________． 14__________，__________. 15,． 16． 17。 三、解答题 18．把下列各数分别填在相应的集合里： ﹣2.4，3，﹣，0.333…，0，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣2|，1.010010001…， 正有理数集合{_____…} 整数集合{_____ …}