第七讲
连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布
3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布
设连续型随机变量X 具有概率密度
)5.4(,,
0,,1
)(???
??<<-=其它b x a a
b x f
则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).
X 的分布函数为
)6.4(.
,
1,,
,,0)(????
???≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F
（2）指数分布
设连续型随机变量X 的概率密度为
)7.4(,
,
0,0,e
1)(/?????>=-其它x x f x θ
θ
其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.
容易得到X 的分布函数为
)8.4(.
,
0,0,1)(/??
?>-=-其它x e x F x θ
如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有
第二章 随机变量及其分布
§4 连续型随机变量
及其概率密度
1
=2
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上
}.
{e e
e
)(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=
>>?+>=
>+>--+-θ
θθ
性质(4.9)称为无记忆性.
指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布
设连续型随机变量X 的概率密度为
)
10.4(,,e
21)(2
22)(∞<<-∞=
--
x x f x σ
μσ
π其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).
显然f(x)≥0, 下面来证明
1d )(=?
+∞
∞
-x x f
令t x =-σμ/)(, 得到
dx e
dx e
t x 2
2)(2
2
22121-
∞
+∞
---
∞
+∞
-?
?
=
π
σ
πσ
μ
.
1d 21d 21
)
11.4(π
2d d e
,,
d d ,d
e 2
2)(20
2
22
/)(22
/2
2
2222
2
==
====?
???
?
?
?∞
∞
--
∞
∞
---∞
-
+∞∞-+∞
∞
-+-∞
∞--x e
x e r r I u t e I t I t x r u t
t
π
σ
πθσμπ
于是
得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:
（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意
f (x )的图形:
1.5
0.5
h>0有
P{μ-h .π21 )(σ μ= f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。在x=μσ±处曲线有拐点。曲线以Ox 轴为渐近线。 X 的分布函数为 )12.4(,d e π21)(2 22)(? ∞ --- = x t t x F σμσ 特别:当μ=0, σ= 1时称X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用?(x)和 Φ(x)表示, 即有 ) 14.4(.d e π 21)() 13.4(,21 )(2 /2/22?∞ ---=Φ= x t x t x e x π ? 易知 Φ(-x)=1-Φ(x) (4.15) 人们已经编制了Φ(x)的函数表, 可供查用(见附表2). 引理 若 X~N( μ,2 σ), 则 )1,0(~N X Z σ μ -= 证明：的分布函数为σ μ -= X Z 得 令,, d e π21} {}{2 22)(u t t x X P x X P x Z P x t =-= +≤=? ?? ???≤-=≤? +∞ --- σ μ σσμσμσμσμ ),(d e π 21}{2/2 x u x Z P x u Φ== ≤? ∞ -- 由此知Z~N(0,1). 若X~N(μ,2σ), 则它的分布函数F(x)可写成: ) ( )16.4(}{} {)(σ μ σ μ σ μ -Φ=-≤ -=≤=x x X P x X P x F 则对于任意区间(x1,x2], 有 )17.4(. }{122121?? ? ??-Φ-??? ??-Φ=?? ? ???-≤-<-=≤<σμσμσμσμσ μx x x X x P x X x P 例如, 设X~N(1,4), 查表得 . 3094.06915.016179.0)]5.0(1[6179.0)5.0()3.0(210216.1}6.10{=+-=Φ--=-Φ-Φ=? ? ? ??-Φ-??? ??-Φ=≤ 设X~N(μ,2σ), 由Φ(x)的函数表还能得到: P{σμ- 3 2 2 3 =2 (1)-1=68.26% P{ σμ2- =95.44% P{σμ3- =99.74% 我们看到, 尽管正态变量的取值范围是(∞∞-,), 但它的值落在(σμ3-,σμ3+)内几乎是肯定的事. 这就是人们所谈的"3σ"法则. 例１ 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在d °C, 液体的温度X(以°C 计)是一个随机变量, 且X~N(d, 0.52). (1) 若d=90, 求X 小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99, 问d 至少为多少? 解 (1)所求概率为 .0228.09772.01)2(1) 2(5.090895 .090}89{=-=Φ-=-Φ=??? ???-<-= . 1635.81. 327.25 .080),327.2()327.2(199.015.0805.08015.0805.015.0805.0}80{99.0>-≤--Φ=Φ-=-≤?? ? ??-Φ?? ? ??-Φ-=??????-<--=?? ? ? ??-≥-=≥≤d d d d d d X P d d X P X P 故需亦即 设X~N(0,1), 若z a 满足条件 P{X>z a }=a, 0 则称点z a 为标准正态分布的上a 分位点.由 ?(x)的对称性知z 1-a =-z a 常用的几个z a 值： 1.282 1.645 1.960 2.327 2.576 3.090 z 0.100.050.0250.010.0050.001 （课间休息） 随机变量的函数的分布 例１ 设随机变量X 具有以下的分布律, 试求Y=(X-1)2的分布律. 0.40.1 0.3 0.2 p k 2101X 解 Y 所有可能值为0,1,4, 由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X=-1}=0.2, 0.2 0.7 0.1 p k 410Y 例２ 设随机变量X 具有概率密度 ?????<<=. , 0,40, 8 )(其它x x x f X 求变量Y=2X+8的概率密度. 解：分别记X,Y 的分布函数为F X (x),F Y (y). 下面先来求F Y (y). .2828} 82{}{)(?? ? ??-=??????-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y 将F Y (y)关于y 求导数, 得Y=2X+8的概 §5 随机变量的函数的分布 在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 例如, 在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量圆轴的直径d, 而关系的却是截面积A=pd2/4. 这里, 随机变量A 是随机变量d 的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X 的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g(?)是已知的连续函数)的概率分布. 率密度为 ??? ??<<-=?????<- ??-=' ? ? ? ??-??? ??-=. , 0,168,328 ,0,42 8 0,2128812828)(其它其它y y y y y y f y f X Y 例３ 设随机变量X 具有概率密度f X (x), ∞<<∞-x , 求Y=X 2的概率密度. 解 分别记X,Y 的分布函数为F X (x), F Y (y). 由于Y=X 2≥0, 故当y ≤0时F Y (y)=0. 当y>0时有 ). ()(}{} {}{)(2y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤= 将F Y (y)关于y 求导数, 即得Y 的概率密度为 ?? ???≤>-+=. 0,0,0)],()([21 )(y y y f y f y y f X X Y 例３结论的应用： 设X~N(0,1), 其概率密度为 ∞<<-∞= -x x x ,e π 21)(2 /2? 则Y=X 2 的概率密度为 ??? ??≤>=--.0,0,0,e π21 )(2/2/1y y y y f y Y （5.1） (特注：y=0时概率为零，但并非不可能事件。) 此时称Y 服从自由度为1的2χ分布. 定理 设随机变量X 具有概率密度f X (x), ∞<<∞-x , 又设函数g(x)处处可导且 恒有g'(x)>0 (或恒有g'(x)<0), 则Y=g(X)是连续型随机变量, 其概率密度为 ） （其它2.5, 0,)()]([)(?? ?<<'=β αy y h y h f y f X Y 其中α=min(g(∞-),g(∞)), β=max(g(∞-),g(∞)), h(y)是g(x)的反函数. 证 先设g'(x)>0. 此时g(x)在(∞-， ∞)严格单调增加, 它的反函数h(y)存在, 且在(βα,)严格单调增加, 可导. 分别记X,Y 的分布函数为F X (x),F Y (y). 因Y 在(βα,)取值, 故 当α≤y 时, F Y (y)=P{Y ≤y}=0; 当y ≥β时, F Y (y)=P{Y ≥y}=1. 当βα< F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y} =P{X ≤h(y)}=F X [h(y)]. 将F Y (y)关于y 求导数, 即得Y 的概率密度 ) 3.5(.,0, ),()]([)(???<<'=其它βαy y h y h f y f X Y 对于g'(x)<0的情况同样可以证明, 有 )4.5(., 0, )],()][([)(???<<'-=其它βαy y h y h f y f X Y 当g'(x)<0时,g(x)在(∞-，∞)严格单调递减, 它的反函数h(y)存在, 且在(βα,)严格单调递减, 可导. 分别记X,Y 的分布函数为F X (x),F Y (y). 当βα< F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y} =P{X ≥h(y)}=1-F X [h(y) ]. 特别声明： 如果f X (x)在有限区间[a,b]以外等于零, 只需假设在[a,b]上恒有 )(x g '>0 (或恒有)(x g '<0), 上述定 理依然成立, 但此时有 α=min[g(a),g(b)], β=max[g(a), g(b)]. 合并(5.3),(5.4)式，命题得证。 例４ 设随机变量X~N(2,σμ). 试证明X 的线性函数Y=aX+b(a ≠0)也服从正态分布. 证 X 的概率密度为 .,e π21 )(2 22)(∞<<∞-= -- x x f x X σμσ 现在Y=g(X)=aX+b, 由这一式子解得 .1 )(,)(a y h a b y y h x ='-==且有 由(5.2)式得Y=aX+b 的概率密度为 .,||1)(∞<<∞-?? ? ??-= y a b y f a y f X Y ∞ <<-∞= = +-- ---y e a e a y f a a b y a b y Y ,21 211 )(2 2 2 2)(2)]([2)(σμσ μπ σσπ即即有 Y=aX+b~N(a μ+b, (a σ)2). ). 1,0(~,/,/1,N X Y b a σ μ σμσ-=-==得 在上例中取特别 这就是上一节引理的结果. 例５ 设电压V=Asin Θ, 其中A 是一个已知的正常数，相角Θ是一随机变量，且 有?? ? ??-Θ2,2~ππU 。试求电压V 的概率密 度. 解 现在v=g(θ)=Asin θ， 2 11)]'[arcsin(x x -= ,1 )(,arcsin )(,0cos )(2π,2π2 2v A v h A v v h A g -='==>='??? ??-θθθ且有反函数上恒有在 又，Θ的概率密度为 ??? ??<<-=Θ. ,0,2π2π,π1)(其它θθf 由（5.2）式得V=Asin Θ的概率密度为 ?? ???<<--?=.,0,1π1)(2 2其它A v A v A v ψ 作业 第二章 习题 第69页开始 第1,6,12,14,16,19,23,28题 友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！
相关主题
文本预览