2018---2019学年度第一学期八县（市）一中期中联考
高中二年 数学 科试卷（理科）
考试日期： 11 月16 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分
一、
二、
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1．不等式0)2)(1(<-+x x 的解集为 （ ）
A ．(,1)(2,)-∞-?+∞
B ． (,2)(1,)-∞-?+∞
C ．(1,2)-
D ． (2,1)-
2．在ABC ?中，若C B A 2
22sin sin sin <+，则角A 是（ ）
A ．钝角
B ．直角
C ．锐角
D ．不能确定 3．对于任意实数x ，不等式022
<++k x kx 恒成立，则实数k 取值范围( ) A ．)0,1(- B ． (]0,1- C ．(]1,-∞- D ．()1,-∞- 4．设0,10<<< b c a c >；②c c b a <； ③)(log )(log c b c a a a ->-．其中所有的正确结论的序号是 ( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．①②③ 5．若变量x ，y 满足约束条件?? ? ??-≥≤+≤1122y y x x y 则z ＝2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．5 C ．-3 D ．-2 6．已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n +4r ，则 r=( ) A ． 41 - B ．21- C. 3 1- D. 1- 7．已知满足条件34=a ，x b =，060=A 的ABC ?的个数有两个，则x 的取值范围是 ( ) A. 3424< B. 834< C. 934< D. 734< 8．设{}n a 是等差数列,下列结论中一定成立的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若10a <，则()()21230 a a a a --> D ．若120a a <<，则2a 9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且641381110=+a a a a ，则 =+++2022212log log log a a a （ ） A ．60 B ．50 C ．40 D ．20+log 2 5 10．如图，一艘船上午10：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午11：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距92n mile,则此船的航速是（ ） A ．16 n mile/h B ．18 n mile/h C ．32 n mile/h D ．36 n mile/h 11．等差数列{a n }中，0100a ,且100a <101a ，n S 为其前n 项 之和，则使0 12．ABC △中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若C B A sin ,sin 2,sin 成等差数列，且 15tan =A ，则 =b a （ ） A ． 21 B ．3 2 C ． 2 D ． 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．公差为2的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为 . 14．?ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ?的面积为3 42 22b c a -+，则角 B= , 15．设0>a ，若关于x 的不等式93 ≥-+x a x 在）∞+∈,3(x 恒成立， 则a 的取值范围为 . 16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20 ，接 下来的两项是20 ，21 ，再接下来的三项是20 ，21 ，22 ，依此类推.记此数列为{}n a ，则 =2018a 。 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =， 1 cos 4 B = ． (1) 求b 的值； (2) 求sin C 的值． 18．（本小题满分12分）设函数k x k ax x f 2)32()(2--+=，其中R k a ∈, 。 (1)若不等式0)(≤x f 的解集为{} 51≤≤x x ，求实数k a ,值。 (2)当3=a 时，解关于x 的不等式0)(>x f 。 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的前n 项和n S ； (2)设22log 1n n b a =-，求数列? ?? ???n n a b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）如图，已知圆内接四边形ABCD 中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200 (1)求线段BD 的长与圆的面积。 (2)求四边形ABCD 的周长的最大值。 D C B A 21．（本小题满分12分）闽越水镇是闽侯县打造闽都水乡文化特色小镇核心区，该小镇有一块1800平方米的矩形地块，开发商准备在中间挖出三个矩形池塘养闽侯特色金鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植柳树，形成柳中观鱼特色景观。假设池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米． (1)试用x 表示a 及S ； (2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 22．定义 n p p p n ++21为n 个正数n p p p ,,21的“均倒数”。已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为 n 1。 （1）求数列{a n }的通项公式。 （2）设数列? ??????+-12121 n n a a 的前n 项和为n T ，若4n T <442--m m 对一切*N n ∈恒成立试 求实数m 的取值范围。 (3)令n n n a b ?=)10 9(，问：是否存在正整数k 使得n k b b ≥对一切*N n ∈恒成立，如存在求出k 值，否则说明理由。 2018---2019学年度第一学期八县（市）一中期中联考 高中二年 数学 科（理科） 参考答案及评分参考 1.C 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7. B 8. D ． 9．B 10 D 11. B ．12． C ． 13．170 14. 6π 15． [)+∞,9 16． 2 17．解：（I ）由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-， 得222 1 23223104 b =+-??? =， ……3分 ∴b = ……5分 （II ）方法1 ……8分 ∵C 是ABC ?的内角， ……9分 ∴sin C == …10分 方法2：∵1 cos 4 B = ，且B 是ABC ?的内角， ∴sin B ==． ……6分 根据正弦定理， sin sin b c B C =， 3sin sin 8c B C b = ==． ……10分 18.解：(1)由于不等式0)(≤x f 的解集为{} 51≤≤x x ，所以1与5为方程0)(=x f 的两根， ∴? ? ?==0)5(0 )1(f f 即?? ?=-?-+?=--+0 25)32(502322 k k a k k a ……………………2分 ∴a=3,k=2 15 - ………………………4分 (用韦达定理计算同样得分) (2)a=3时，k x k x x f 2)32(3)(2--+=，解方程0)(=x f 得 3 2,121k x x - ==…………………5分 由于1-)32(k -=323k +所以 当23- >k 时，321k ->此时不等式0)(>x f 的解集为()+∞???? ??-∞-,132,k ………7分 当23-=k 时，321k -=此时不等式0)(>x f 的解集为()()+∞?∞-,11,………9分 当23- ? ??+∞-?∞-,321,k ………11分 综上 当23- >k 时，不等式0)(>x f 解集为()+∞???? ?? -∞-,132,k 当2 3 -=k 时，不等式0)(>x f 解集为()()+∞?∞-,11, 当23- ? ??+∞-?∞-,321,k ………12分 (如果误用第一结论，结果正确，可酌情给2分) 19.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ， 因为24a =，所以34a q =，24 4a q =．…………………………………………1分 因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分 即()224244q q +=+，化简得2 20q q -=． 因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分 所以22 1==q a a ,所以数列{}n a 的前n 项和2 1)21(21)1(1--=--= n n n q q a S =221-+n …6分 （Ⅱ）因为2n n a =，所以22log 121n n b a n =-=-． 所以 n n n n a b 2 1 2-=．…………………8分 则n n n T 21 225232132-++++= ， ① =n T 21 1322 122322321+-+-+++n n n n ②………………9分 ①- ②得13221 22222222121+--++++=n n n n T =112212212 121211+----++++n n n =1212212 11211+----? ?? ??-n n n 123223++-=n n ……………11分 所以n n n T 2 3 23+- =…………12分 20.解：(1)由于四边形ABCD 为圆内接四边形，所以∠BCD+∠BAD=1800 由题设知∠BCD=1200 ，所以∠BAD=600 ……………1分 在BAD ?中由余弦定理得0 2 2 2 60cos 2AD AB AD AB BD ?-+= =0 2260cos 23223??-+=7 ∴7=BD ……………4分 由正弦定理得= ∴== R BD R 2 3760 sin 20 3 7 2R π=∴圆的面积π37 =………6分 (2)解法一：设∠CBD=θ，那么00 <θ<600 ……………7分 在BCD ?中有正弦定理得 120sin sin sin BD CD BDC BC ==∠θ ∴)120sin(3 72sin 2 370θ+= ∠= BDC BC ……………8分 θsin 3 72= CD ……………9分 ∴四边形ABCD 的周长=5+ )120sin(3 720θ+θsin 372+ =)60sin(3 7250θ++ …………11分 由于00 <θ<600 ，所以600 <θ+600 <1200 所以θ+600 =900 即所以θ=300 时四边形ABCD 的周长取得最大值5+3 21 2……………12分 解法二： 设x BC =，y CD =，在BCD ?中由余弦定理得0222120cos 2y x y x BD ?-+=…7分 ∴722=?++y x y x ∴y x y x ?+=+7)(2…………8分 2)2( y x y x +≤? ………9分7)2(432≤+∴y x 3 21 2≤+∴y x ∴四边形ABCD 的周长3 21 255+ ≤++=y x ………11分 当且仅当321==y x 时上式取等号， ∴四边形ABCD 的周长最大值为3 21 25+ ……12分 (没有取等条件扣一分) 21.(1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －6 3 .………2分 则总面积S ＝? ????1 800x －4·a ＋2a ? ?? ? ?1 800x －6………4分 ＝a ? ????5 400x －16＝x －63? ?? ??5 400x －16 ＝1 832－? ????10 800x ＋16x 3， 即S ＝1 832－? ????10 800x ＋16x 3(x ＞0)．……… 6分 （定义域没写扣一分） (2)由S ＝1 832－? ?? ??10 800x ＋16x 3， 得S ≤1 832－2 10 800x ·16x 3 ……… 8分 ＝1 832－2×240＝1 352(平方米)．……… 9分 当且仅当10 800x ＝16x 3 ，此时，x ＝45. ………11分 即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．……… 12分 22．解：(1)设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 由于数列{a n }的前n 项的“均倒数”为 n 1 ，所以 n S n n 1= ∴n S =2n ……2分 当1111===S a n 时 当221)1(2--=-=≥-n n S S a n n n n 时 12-=n （对当1=n 成立） ∴12-=n a n ……4分 (2) 12121 +-?n n a a =)14()34(1+?-n n =)1 41341( 41+--?n n ……5分 ∴n T =)1413419151511(41+--++-+-?n n =41)1411(4 1<+-?n ……6分 n T 4<442--m m 对一切*N n ∈恒成立 ∴4412--≤m m 解之得51≥-≤m m 或 即m 的取值范围是{} 51≥-≤m m m 或…8分 (3)解法一： n n n a b ?=)109(=)12()109(-?n n ……9分 由于)12()10 9()12()109(11-?-+?=-++n n b b n n n n =)219()10 9(911 n n -?+……10分 ∴9,,2,1 =n 时n n b b >+1， ,,11,10=n 时n n b b <+1 ∴10=n 时n b 取得最大值，即存在正整数k=10使得n k b b ≥对一切*N n ∈恒成立 ……12分 解法二：n n n a b ?=)109( =)12()10 9 (-?n n ……9分 假设存在正整数k 使得n k b b ≥则k b 为数列{}n b 中的最大项 由???≥≥-+11k k k k b b b b 得???????-?≥-?+?≥-?-+)32()109()12()10 9()12()10 9()12()109(11k k k k k k k k …10分 ∴2 21219≤≤k …11分 又*N k ∈ ∴k=10即存在正整数k=10使得n k b b ≥对 一切*N n ∈恒成立…12分
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