2010上海专题：数形结合
构造斜率
例1、 已知实数x 、y 满足()2269x y -+=，则1y u x =
-的最大值是 。 分析：构造斜率 答案：
34
例2、求y =的值域。
分析：设,v u x ==则y 表示定点()1,3A --与动点(),P u v 连线的斜率，而P
的轨迹方程为()()2
2210u v v -+=≥，问题转化为求半圆弧上的动点P 与定点A 连线斜率的取值范围。
答案：34????
构造距离：
例3、 已知函数(),,f x a b R a b =∈≠，求证()()f a f b a b -<- 分析：()f x 表示平面上点(),1P x 到原点距离，则()()()(),1,,1,A a B b f a f b OA OB AB a b -=-<=-
此外还有构造直线、圆（主要涉及参数方程），比较简单，不加说明。
构造直线
例4、 一游泳池长90米，甲乙两人分别在游泳池相对两边同时朝另一边游泳，甲的速度是3
米/秒，乙的速度是2米/秒，若不计转向时间从开始到3分钟为止，他们相遇多少次数？
答案：5次
变式：设{}n a 是由正数组成的等比数列，前n 项和为n S ，证明：21lg lg lg 2
n n n S S S +++<。 分析：11n n S a qS +=+，()()112,,,n n n n A S S B S S +++，OA OB k k >，221n n n S S S ++<
构造圆
例5、已知()()()
()2,0,2,2,2cos 02OB OC CA αααπ===≤<，则OA OB 与的夹角的取值范围为 。
答案：5,1212ππ???
???
构造二次曲线
例6、若x =2u x y =+的取值范围。
答案：?-?
变式训练：
1、求函数u =
分析：令22,216x y x y u x y ==→+=+=
答案：??
2、求y =
答案：(
例7、设函数()f x ax =，其中0a >，解不等式()1f x ≤。
分析：法1，两边同时平方
法21ax ≤+，左为双曲线上支，右为直线，求交点
答案：[)2201,0,;1,0,1a a a a ??<<>+∞??-??
变式训练：
()
20
x a a
<+>。
答案：(]
0,a
例8、求函数()
sin2
2sin
x
y x
x
π
=+<<的最小值。
分析：可以用耐克函数，但非基本不等式；
()()()
2
2
sin4
,2sin,sin0,4
2sin0
x
y P x x A
x
--
=
-
与的斜率，P在()
2402
x y x
=<≤上运动；
答案：
5
2
构造指对函数
例9、使()
2
log1
x x
-<+成立的x的取值范围是。
分析：左右分别作图像。
答案：()
1,0
-
变式训练：
若{}
2
|log2x
x x x-
∈=，则有（）
A．21
x x
>> B．21
x x
>> C．2
1x x
>> D．2
1
x x
>>
答案：A
构造平面图形
例10、求()
2
2,1
u y x x y
=-+≤
其中的值域。
分析：构造抛物线()
2
1
2
y x u
=+，则-u表示抛物线在x轴上截距
答案：[]
1,2
-
变式训练：
已知,,,,,a b c x y z R +∈满足条件：,a x b y c z k +=+=+=
求证：2ay bz cx k ++<。
分析：构造ABC ?，则APQ BPM MCQ ABC S S S S ????++<， 即21111sin 60sin 60sin 60sin 602222
ay bz cx k ++<
构造空间图形
例11、设,,,a b c R +∈求证222222a b ab b c a c ac +-++>++。 分析：60,90,120ASB BSC CSA ∠=∠=∠=，
则ABC ?满足AB+BC >CA
变式训练：
已知,,αβγ均为锐角，且222
cos cos cos 1αβγ++=，求证：tan tan tan 22αβγ??≥。 分析：设三条侧棱长为a 、b 、c ，BD ’与过B 点的三条棱所成角为,,αβγ，则满足题意，222222
222tan tan tan 22c b a b c a bc ab ac αβγ+++??=??≥??=
能力训练：
一、选择题
1、如果不等式()241x x a x ->-的解集是{}|02x x <<，则实数a 的值是（ ） A 、12
B 、1
C 、2
D 、以上都不是 2、如果对一切实数x ，总有1x kx -≥成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A 、[]1,0-
B 、(]1,0-
C 、()1,0-
D 、()0,1
3、若()1lg ,1f x x a b c
=>>>，则（ ） A 、()()()f a f b f c >> B 、()()()f c f a f b >>
C 、()()()f c f b f a >>
D 、()()()f b f a f c >>
4、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（ ）
A 、[]0,2
B 、[]0,1
C 、10,2?? ???
D 、10,2??????
5、已知,x y R ∈，命题22
:194
x y M +<，命题:623N xy x y +>+，则M 是N 的（ ） A 、充要条件 B 、充分条件 C 、必要条件 D 、既不是充分条件也不是必要条件
二、选择题
1、不等式12x x ->的解集是 。
2、若不等式22
16x a x -≥-的解区间长度为6，则实数a 的值为 ，及此不等式的解集为 。
3、函数()()()21 1 1x x f x x x ?-≤?=?≤??，如果方程()f x a =有且只有一个实根，那么
a = 。
4、求函数2sin 62sin 1
x y x -=+的值域是 。 5、设函数()()3lg 23lg 3 2x x f x x x ???≥ ?????=????-< ?????
，若(){}|A x f x k ==≠?，则实数k 的取值范围是 。
三、 解答题
1、 若关于x 的方程()()()21210,2x i x ab a b i a b R -++
--=∈至少有一个实根，求方程实根的取值范围。
2、 已知集合()(){}(){}()2
24
,|log 3,,|log ,3,4A x y y x a B x y y x x ==+-==∈，是否存在实数a ，使得A
B ≠?，若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
3、 解不等式41211x x +-≥。
4、 已知0,1a a >≠，试求使方程()()222log log a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围。
5、 已知向量()()2cos ,3sin 02a θθθπ=≤<，向量()5,b m m =-，求a b -的最小值。