. 学习.第四章 根轨迹法习题及答案
4-1 系统的开环传递函数为
)
4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *
+++=
试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件
π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。
对于31j s +-=，由相角条件
=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0
=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(
ππ
π
π
-=-
-
-
6
3
2
满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件：
14
3j 123j 113j 1K s H )s (G *
11=++-?++-?++-=
）（
解出 ： 12K *
= ， 2
3
8K K *==
4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++=
（2）)
b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=
解 (1) )
4j 2s )(4j 2s ()
4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++=
'
. 学习. 28
s 6s 20
)s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ
(2) )
10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2
2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )
19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40
s 14s 4s )
4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+=
Φ
4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)
b s )(4s (s
2)s (G ++=
，试绘制参数b 从零变
化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 )
6s (s )
4s (b )s (G ++=
'
根轨迹如图。 2s -=时4b =， )
8s )(2s (s
216s 10s s 2)s (2
++=++=Φ
4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )
1s 5.0)(1s 2.0(s k
)s (G ++=
(2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++=
(3) )3s )(2s (s )
5s (k )s (G *+++= (4) )
1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=
解 ⑴ )
2s )(5s (s K
10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=
三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]
5,-∞-, []0,2-
. 学习.② 渐近线： ???
????ππ±=π+=?-=--=σ,33)1k 2(3
73520a a
③ 分离点：
02
d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为
0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=
令 ?
??=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[3
2 解得??
?==ω7
k 10
与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图所示。
⑵ )
2
1s (s 2)
1s (K )
1s 2(s )1s (K )s (G ++=
++=
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：
1
d 1
5.0d 1d 1+=
++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。 根轨迹如图所示。
⑶根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-
. 学习.
② 渐近线： ???
????±=+==----=22)12(02
)5(320ππ?σk a a
③ 分离点：
5
1
31211+=
++++d d d d 用试探法可得
886.0-=d 。
根轨迹如图所示。
(4) 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：
2
d 1
1d 11d 1d 1++
+=-+ 求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。
4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )
101s .0)(102s .0(s k
)s (G ++=
要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。 解 (1) )
100s )(50s (s k
5000)1s 01.0)(1s 02.0(s k )s (G ++=++=
① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞] ② 分离点：
0100
d 150d 1d 1=++++ 求解得87.78d 13.21d 21-=-=，
③ 渐近线：o o
a a 1806050，
，±=?-=σ
. 学习.
根轨迹如图所示。
(2) 系统临界稳定时150k 750000k *
==， (3) 系统临界阻尼比时62.9k 5.48112k *==，
4-6 已知系统的开环传递函数为)
20s 8s (s k )s (H )s (G 2
*
++=，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值围。
解 )
20s 8s (s K )s (H )s (G 2++=*
① 实轴上的根轨迹： (]0,∞-
② 渐近线：
???
???
?ππ±=π+=?-=--++-+=σ,33)1k 2(3
83)2j 4()2j 4(0a a ③分离点：
02
j 4d 1
2j 4d 1d 1=-+++++ 解之得：33.3d ,2d -=-=。 ④与虚轴交点：*+++=k
s 20s 8s )s (D 2
3
把ω=j s 代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：
?
??=ω-ω=ω=ω-=ω*020))j (D Im(0
8k ))j (D Re(3
2 解得：???==ω*0
k 0
?????=±=ω*
160
k 5
2
⑤起始角：
由相角条件
632p -=θ，
633p =θ。
. 学习.
根轨迹如图所示。
所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时，16k 8.14*
≤≤ 所以8.0k 74.0≤≤
4-7 单位反馈系统的开环传递函数为)
1s 7
4
()1s ()
1s 2(k )s (G 2-++=
，
试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k 值围。
解 ：根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： []4/75.0，
- ② 渐近线：
???
????
π±=π+=?=--+--=σ22)1k 2(8
12)5.0(4/711a a
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
01k s )7
10
k 2(s 71s 74)s (D 23=-+-++=
把ω=j s 代入上方程，
令??
???=ω-ω-=ω=ω--=ω0
74)710K 2())j (D Im(0711K ))j (D Re(3
2
解得： ?
??==ω1K 0
，
??
???=
±=ω79K 2
根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K 值围为 79K 1<<。
4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。
. 学习.
2
2)
9s 4s (2s K )s (H )s (G +++=*）
（ 解 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： []2,-∞-
② 渐近线：
???
???
?ππ±=π+=?-=--+---=σ,33)1k 2(323)2(5j 25j 2a a ③ 分离点：
2
d 1
5
j 2d 25
j 2d 2+=
-++
++ 解之得：29.3d -= 71.0d = (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
02s K )9s 4s ()s (D 22=++++=*
）（
把ωj s =代入上方程，
令?????=ω-ω+=ω=++ω-ω=ω**
8)K 72())j (D Im(0K 28134))j (D Re(3
24
解得： ??
?=±=ω*
96
K 21
⑤ 起始角： π+=?-θ-）（）（1k 29022901p
解出
135,4521p p -=θ=θ 根轨迹如图所示。
4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和T 为变化参数的根轨迹。 (1) )
1s (s )a s (4/1)s (G 2
++=
，0a >；(2) )1Ts )(11s .0(s 6
.2)s (G ++=，0T >
. 学习.解 (1) 2
)5.0s (s 4
/a )s (G +=
'
① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞
② 渐近线：o o
a a 180603/1，
，±=?-=σ ③ 分离点：6/1d -= 根轨迹如图所示。
(2) 26
s 10s )
10s (Ts )s (G 22+++='
① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞ ② 起始角终止角：
o o p 11o 180)90(5
1
tg )51tg 180(2=+θ-+---
解得起始角o
p 7.78±=θ o 11
o
z 180)5
1
tg 51tg
(02=+--+θ-- 解得终止角o
z 90±=θ 根轨迹如图所示。
4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增益k 的取值围及系统稳定时k 的值。
)
18s ()1s ()
1s (k )s (H )s (G 2+-+=
*
. 学习.解
① 实轴上的根轨迹： ]118[--， ② 分离点：22.4d 1-=，28.6d 2-=
③ 渐近线：5.7a -=σ，o a 90±=?
④ 与虚轴交点：j 86.1s 2,1±=，7.37k *
=
根轨迹如图所示。
6.116k d *1=处，6.117k d *2=处，18/k k *=
结论：53.6k 48.6<<时所有根为负实根，095.2k >时系统稳定。
4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T 变化时系统的根轨迹，并分析参数T 的变化对系统动态性能的影响。
解：s
20s Ts 100
)s (G 23++=
作等效开环传递函数3
2*
s )
100s 20s (T 1)s (G ++=
根轨迹绘制如下： （注意：)T /1k *
= ① 实轴上的根轨迹：]10,(--∞,[]0,10- ② 分离点：
10
d 2
d 3+=
解得30d -=。 根据幅值条件，对应的015.0T =。 ③ 虚轴交点：闭环特征方程为
0100s 20s Ts )s (D 23=+++=
把ω=j s 代入上方程，整理，令实虚部
分别为零
得：
. 学习.?????=ω-ω=ω=ω-=ω0
T 20))j (D Im(0
100))j (D Re(3
2
解得： ??
?=±=ω2
.0T 10
④ 起始角：?=θ601p
参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！)
从根轨迹图可以看出，当015.0T 0≤<时，系统阶跃响应为单调收敛过程；2.0T 015.0<<时，阶跃响应为振荡收敛过程；2.0T >时，有两支根轨迹在s 右半平面，此时系统不稳定。
若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：
100
s 20s Ts )s (G 23
++='
三条根轨迹中两条起于-10，一条起于∞-，均终止于原点
① 实轴上的根轨迹：]10,(--∞,[]0,10- ② 分离点：
10
d 2
d 3+=
解得30d -=。 其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10处为两个开环极点，原点处为3个开环零点，根轨迹方向与图中一样。
4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹(0k *
>)。
解 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。
① 实轴上的根轨迹：
[]2,-∞-,[]+∞-,1
. 学习.
② 分离点：
1
d 1
2d 3+=
+ 解得 5.0d -= ③ 起始角：根据相角条件，
∑∑==π=θ
-?n
1
j j
m 1
i i k 2
得 601p =θ， 602p -=θ， 1803p =θ。 根轨迹如图所示。
4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为)
2s (s )
s 1(k )s (G +-=*，试绘制其根轨迹，并求出
使系统产生重实根和纯虚根的*
k 值。
解 由开环传递函数的表达式知需绘制
0根轨迹。 ① 实轴上的根轨迹： [],0,2- ),1[∞+； ② 分离点：
1
d 1
2d 1d 1-=
++ 解得：732.0d 1-= , 732.2d 2= 将732.0d s 1-==, 732.2d s 2==代入幅值条件得：
54.0K 1d =*, 46.7K 2d =*
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
0)s 1(K )2s (s )s (D =-++=*
把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
?????=ω-=ω=+ω-=ω*
*
)K 2())j (D Im(0
K ))j (D Re(2
. 学习.解得： ???==ω*0K 0
???=±=ω*
2
K 41
.1 根轨迹如图所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的*K 为0.54，7.46，产生纯虚根的*K 为2。
Ok
实验五利用MATLAB绘制系统根轨迹 一、实验目的 （1）熟练掌握使用MATLAB绘制控制系统零极点图和根轨迹图的方法； （2）熟练使用根轨迹设计工具SISO； （2）学会分析控制系统根轨迹的一般规律； （3）利用根轨迹图进行系统性能分析； （4）研究闭环零、极点对系统性能的影响。 二、实验原理及内容 1、根轨迹与稳定性 当系统开环增益从变化时，若根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，那么系统对所有的K值都是稳定的；若根轨迹越过虚轴进入s右半平面，那么根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。应用根轨迹法，可以迅速确定系统在某一开环增益或某一参数下的闭环零、极点位置，从而得到相应的闭环传递函数。 2、根轨迹与系统性能的定性分析 1）稳定性。如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定性只与闭环极点的位置有关，而与闭环零点位置无关。 2）运动形式。如果闭环系统无零点，且闭环极点为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。 3）超调量。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。 4）调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值；如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。 5）实数零、极点影响。零点减小闭环系统的阻尼，从而使系统的峰值时间提前，超调量增大；极点增大闭环系统的阻尼，使系统的峰值时间滞后，超调量减小。而且这种影响将其接近坐标原点的程度而加强。 【自我实践5-1】 在实验内容（2）中控制系统的根轨迹上分区段取点，构造闭环系统传递函数，分别绘制其对应系统的阶跃响应曲线，并比较分析。 1：阻尼比=，k=
1 第四章 根轨迹法习题及答案 1系统的开环传递函数为 ) 4)(2)(1()()(* +++=s s s K s H s G 试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)()(11s H s G =++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j j ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。将1s 代入幅值条件： 14 31231131)(* 11=++-?++-?++-= j j j K s H s G ）（ 解出 ： 12* =K ， 2 3 8*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
2 解根轨如图解4-2所示： 3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求： （1）确定 ) 20 )( 10 ( ) ( ) ( 2+ + + = * s s s z s K s G产生纯虚根为1j ±的z值和* K值； （2）概略绘出 )2 3 )( 2 3 )( 5.3 )(1 ( ) ( j s j s s s s K s G - + + + + + = * 的闭环根轨迹图（要求
3 确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。 解（1）闭环特征方程 020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D 有 0)30()200()(3 2 4 =-++-=* * ωωωωωK j z K j D 令实虚部分别等于零即： ?????=-=+-**0 300 200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=* K ， 199=z 。 （2）系统有五个开环极点： 23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-== ① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1- ② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15 (21)3,,555a a j j k σπππ?π--+-++--?==-???+?==±±?? ③ 分离点： 02 312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为 0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D 把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： ?????=+-==-+=*0 5.455.43 )Im(05.795.10)Re(3 52 4ωωωωωωωj K j 解得： ???==*00K ω ，???=±=*90.7102.1K ω，???-=±=*3 .1554652.6K ω（舍去） ⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为 74..923..1461359096..751804=----=p θ 由对称性得，另一起始角为 74.92，根轨迹如图解4-6所示。
第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件： 14 3j 123j 113j 1K s H )s (G * 11=++-?++-?++-= ）（ 解出 ： 12K * = ， 2 3 8K K *== 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++= （2）) b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++= 解 (1) ) 4j 2s )(4j 2s () 4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++= '
28 s 6s 20 )s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ (2) ) 10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2 2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s ) 19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40 s 14s 4s ) 4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+= Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数) b s )(4s (s 2)s (G ++= ，试绘制参数b 从零变 化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 ) 6s (s ) 4s (b )s (G ++= ' 根轨迹如图。 2s -=时4b =， ) 8s )(2s (s 216s 10s s 2)s (2 ++=++=Φ 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= (2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++= (3) )3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++= (4) ) 1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++= 解 ⑴ ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(] 5,-∞-, []0,2-
4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++-
4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。
4.1某系统的结构如题4-1图所示，试求单位阶跃响应的调节时间t s ，若要求t s =0.1秒，系统的反馈系数应调整为多少？ 解:(1)由系统结构图可知系统闭环传递函数为: 100 ()100()1001()()1001*G s s s G s H s s a a s Φ=== +++ 在单位阶跃函数作用下系统输出为： 12100 ()()()(100)100k k C s R s s s s a s s a =Φ= =+++ 为求系统单位阶跃响应，对C(s)进行拉斯反变换： 10 21001001001001 lim ()lim 1001001 lim (100)()lim 11 ()(100)1 ()(1) s s s a s a at k sC s s a a k s a C s s a C s as a s a c t e a →→→-→--=== +=+==- =- +=- 根据定义调节时间等于响应曲线进入5%误差带，并保持在此误差带内所需要的最短时间，且根据响应系统单位阶跃响应的函数表达式可以看出系统单位阶跃响应的稳态值为 1 a ,因此: 10010011()(1)0.950.051 ln 20 1001 =0.1ln 20=0.3s 10 s s at s at s s c t e a a e t a a t --= -=?=?== 因为题中，所以 (2)若要求t s =0.1秒,则有: 1 ln 20=0.1 100=0.3s t a a = ? 即:若要求调节时间缩小为0.1秒,则需将反馈环节的反馈系数调整为0.3。
4.2已知二阶系统的阶跃响应曲线如题4.2图所示，该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。 解：根据系统阶跃响应曲线可以看出： 峰值时间=0.1s p t ，超调量 1.3-1 %= 100%30%1 σ?=； 根据课本中对典型二阶系统222 ()2n n n s s s ωζωωΦ=++暂态性能指标的推导计算可知： %p t e σ-= =结合本题已知阶跃响应曲线可知： 0.1(1)%30% (2) p t e σ-= === 由式(2)可知： 0.3ln 0.30.3832 cot =0.3832 =arccot 0.3832=69.0332=cos =0.3578 e ζ?ζ?ζ?-=?-=?= =即： 将ζ带入式(1)中可得： 0.1 p n t ω= = 回顾题意对于典型二阶系统其闭环传递函数为222 ()2n n n s s s ωζωωΦ=++，且系统为单位负反馈系统，所以系统开环传递函数和闭环传递函数之间满足如下关系： 2222 2 22 2 2211 ()()121211211131.8851 ===224.0753n n n n n n n n n G s s s s G s s G s s G G s s s s ωζωζωωωζωωωζωΦ==Φ==+++++++++，因为：所以：，
线性系统的根轨迹 一、 实验目的 1． 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2． 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3． 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4． 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、 实验容 1． 请绘制下面系统的根轨迹曲线。 ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G ) 10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G )11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++= s s s s K s G 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的围。 2． 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并 观察增加极、零点对系统的影响。 三、 实验结果及分析 1.（1） ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： num=[1];
den=[1 8 27 38 26 0]; rlocus(num,den) [r,k]=rlocfind(num,den) grid xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus') 运行结果： 选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得： selected_point = 0.0021 + 0.9627i k = 28.7425 r = -2.8199 + 2.1667i -2.8199 - 2.1667i -2.3313 -0.0145 + 0.9873i
1． 自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是____________，另一个是__________分量。 2． 函数f(t)=t e 63-的拉氏变换式是________________________________。 3． 积分环节的传递函数表达式为G （s ）=_________________________。 4． 在斜坡函数的输入作用下，___________型系统的稳态误差为零。 四、控制系统结构图如图2所示。 （1）希望系统所有特征根位于s 平面上s ＝－2的左侧区域，且ξ不小于0.5。试画出特征根在s 平面上的分布范围（用阴影线表示）。 （2）当特征根处在阴影线范围内时，试求,K T 的取值范围。 （20分） 五、已知系统的结构图如图3所示。若()21()r t t =?时，试求 （1）当0f K =时，求系统的响应()c t ，超调量%σ及调节时间s t 。 （2）当0f K ≠时，若要使超调量%σ＝20％，试求f K 应为多大？并求出此时的调节时间s t 的值。 （3）比较上述两种情况，说明内反馈f K s 的作用是什么？ （20分） 图3 六、系统结构图如图4所示。当输入信号()1()r t t =，干扰信号()1()n t t =时，求系统总 的稳态误差e ss 。 （15分） 图4 1、 根轨迹是指_____________系统特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。 2、 线性系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的极点均严格位于s______________半平面
3、在二阶系统中引入比例-微分控制会使系统的阻尼系数________________。 9、已知单位反馈系统的开环传递函数 50 ( ) (0.11)(5) G s s s s = ++ ，则在斜坡信号作用下的稳态误差为_________。 3、某控制系统的方框图如图所示，试求(16分) (1)该系统的开环传递函数) (s G k 、闭环传递函数 ) ( ) ( s R s C 和误差传递函数 ) ( ) ( s R s E 。 (2)若保证阻尼比0.7 ξ=和单位斜坡函数的稳态误差为0.25 ss e=，求系统参数K和τ。(3) 计算超调量和调节时间。 1、已知单位反馈系统的开环传递函数为 * ()() (2)(3) K G s H s s s s ，试绘制闭环系统的根轨迹，并判断使系统稳定的* K范围。 R(s)C(s) - 2 K s N(s) 1 K 5．图4 6．在二阶系统中引入测速反馈控制会使系统的开环增益________________。 7．已知单位反馈系统的开环传递函数 100 () (0.11)(5) G s s s = ++ ，则在斜坡信号作用下的稳态误差为________________。 8．闭环系统的稳定性只决定于闭环系统的________________。
《自动控制原理》课程实验报告 实验名称系统根轨迹分析 专业班级 *********** ********* 学 号 姓名** 指导教师李离 学院名称电气信息学院 2012 年 12 月 15 日
一、实验目的 1、掌握利用MATLAB 精确绘制闭环系统根轨迹的方法； 2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响； 二、实验设备 1、硬件：个人计算机 2、软件：MATLAB 仿真软件（版本6.5或以上） 三、实验内容和步骤 1．根轨迹的绘制 利用Matlab 绘制跟轨迹的步骤如下： 1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K ) () (s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。 2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。 关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。 不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。 图3.1 函数rlocus 的调用 例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。
图3.2 闭环系统一 图3.3 闭环系统一的根轨迹及其绘制程序
图 3.4 函数 rlocfind 的使用方法 注意：在这里，构成系统 s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中 s 最高次幂项的系数为1。 当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1); 当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。 对于图 3.2 所示系统， G(s)H(s)= )2()1(++s s s K *11+s =) 3)(2() 1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1) 若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 rlocfind 。然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某
第四章 根轨迹法 4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()() ()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02 +=++= 4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()() 2 411+-+= s s s K s G 的根轨迹。 4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()() ()1,42) 1(2 =+++= s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。 4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？ 4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。 ()()()()1,412 2=++= s H s s K s G 4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()() 5 284) 2(2 +++++= s s s s s s K s H s G 对应-∞ 第四章根轨迹分析法 4.1 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 4.2 思考与习题祥解 题4.1 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程0 H s G与负反馈系统的闭环特征方程 -s ) ( 1= ( ) +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统1()()0 G s H s 的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（π πk2 +）是180 根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk2 0+）是0 根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则，如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角，根轨迹出射角和入射角等等，都要变π πk2 +角度为πk2 0+。 （4）由于开环零、极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增 利用MATLAB绘制系统根轨迹 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第4章 利用MATLAB 绘制系统根轨迹 一、 利用MATLAB 绘制系统根轨迹相关知识 假设闭环系统中的开环传递函数可以表示为： ) ()())(()())(()(021********s KG p s p s p s z s z s z s K den num K a s a s a s b b s b s K s G n m n n n n m m m m k =+???+++???++==++???++++???++=---- 则闭环特征方程为： 01=+den num K 特征方程的根随参数K 的变化而变化，即为闭环根轨迹。控制系统工具箱中提供了rlocus()函数，可以用来绘制给定系统的根轨迹，它的调用格式有以下几种： rlocus(num ，den) rlocus(num ，den ，K) 或者 rlocus(G) rlocus(G ，K) 以上给定命令可以在屏幕上画出根轨迹图，其中G 为开环系统G 0(s)的对象模型,K 为用户自己选择的增益向量。如果用户不给出K 向量，则该命令函数会自动选择K 向量。如果在函数调用中需要返回参数，则调用格式将引入左端变量。如 [R ，K]=rlocus(G) 此时屏幕上不显示图形，而生成变量R 和K 。 R 为根轨迹各分支线上的点构成的复数矩阵，K 向量的每一个元素对应于R 矩阵中的一行。若需要画出根轨迹，则需要采用以下命令： plot(R ，11) plot()函数里引号内的部分用于选择所绘制曲线的类型，详细内容见表1。控制系统工具箱中还有一个rlocfind()函数，该函数允许用户求取根轨迹上指定点处的开环增益值，并将该增益下所有的闭环极点显示出来。这个函数的调用格式为： [K ，P]=rlocfind(G) 这个函数运行后，图形窗口中会出现要求用户使用鼠标定位的提示，用户可以用鼠标左键点击所关心的根轨迹上的点。这样将返回一个K 变量，该变量为所选择点对应的开环增益，同时返回的P 变量则为该增益下所有的闭环极点位置。此外，该函数还将自动地将该增益下所有的闭环极点直接在根轨迹曲线上显示出来。 例4.1 已知系统的开环传递函数模型为： )() 2)(1()(0s KG s s s K s G k =++= 利用下面的MATLAB 命令可容易地验证出系统的根轨迹如图4-1所示。 >> G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]); rlocus(G); grid title(1Root_Locus Plot of G(s)=K/[s(s+1)(s+2)]1) xlabel(1Real Axis 1) % 给图形中的横坐标命名。 自动控制原理 课程验证性实验报告实验名称用MATLAB 绘制系统根轨迹 实验时间2013年 05月04日学生姓名实验地点070312同组人员无专业班级电技1101B 1、实验目的1）熟练掌握使用MATLAB 绘制控制系统零极点图和根轨迹图的方法； 2）学会分析控制系统根轨迹的一般规律； 2、实验主要仪器设备和材料：计算机一台 matlab 软件2010a 版本 3、实验内容和原理：原理：1）根轨迹与稳定性；2）二阶系统根轨迹的一般规律：若闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K 值的增大而加大，但调节时间的变化不显著；若闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程，但是响应速度较过阻尼快；若所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。内容：1）绘制系统的零极点图，MATLAB 提供pzmap()函数来绘制系统的零极点图，其调用格式为pzmap(num,den)或[p,z]= pzmap(num,den)。 已知系统的开环传递函数，绘制系统的零极点图。()()()()2255122s s G s H s s s s s ++=+++2）绘制控制系统的根轨迹图并分析根轨迹的一般规律MATLAB 提供rlocus()函数来绘制系统的根轨迹图，其调用格式为rlocus(num,den) %直接在s 平面上绘制系统的根轨迹图，[k,r]=rlocfind(num,den) %在作好的 根轨迹图上，确定被选的闭环极点位置的增益值k 和此时的闭环极点r(向量)的值。在作出根轨迹图后，再执行该命令，命令窗口会出现提示语，“Select a point in the graphics windows”,此时将鼠标移至根轨迹图并选定位置，单击左键确定，出现“＋”标记，在MATLAB 窗口上即得到该点的根轨迹开环增益K 值和对应的所有闭环根r(列向量)。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 《自动控制原理》 实验报告 题目：根轨迹的绘制及系统分析 专业：电子信息工程 班级： ： 学号： 实验二 根轨迹的绘制及系统分析 一、实验目的 1．熟练掌握使用MATLAB 软件绘制根轨迹图形的方法； 2．进一步加深对根轨迹图的了解； 3．利用所绘制根轨迹图形分析系统性能。 二、实验容 本实验中各系统均为负反馈控制系统，系统的开环传递函数形式为： 1 1 () ()()() m i i n j j K s z G s H s s p ==-= -∏∏ （一）已知系统开环传递函数分别为如下形式： （1）()()(1)(2)K G s H s s s = ++ （2）(3) ()()(1)(2)K s G s H s s s += ++ （3）(3) ()()(1)(2)K s G s H s s s -= ++ （4）()()(1)(2)(3)K G s H s s s s = +++ （5）()()(1)(2)(3) K G s H s s s s = ++- 1、绘制各系统的根轨迹； 2、根据根轨迹判断系统稳定性；如果系统是条件稳定的（有根轨迹分支穿越虚轴），试确定稳定条件（K 值取值围）； （1）代码及截图 num=[1]; den=conv([1 1],[1 2]); rlocus(num,den) -2.5 -2-1.5-1-0.500.5 -0.8-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 Root Locus Real Axis I m a g i n a r y A x i s 根轨迹全部落在左半S 平面上，该系统稳定。 （2）代码及截图 num=[1 3]; den=conv([1 1],[1 2]); rlocus(num,den) 4.2 绘制根轨迹的基本法则 本节讨论根轨迹增益* K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。 法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。 根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=* K 和∞→时的根轨迹点。将幅值条件式（4-9）改写为 ∏∏∏∏==-==- - = --= m i i n j j m n m i i n j j s z s p s z s p s K 1 1 1 1*|1|| 1|| )(||)(| (4-11) 可见当s=j p 时，0* =K ；当s=i z 时，∞→* K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→* K 。 法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。 根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。 实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。因此根轨迹必然对称于实轴。 由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。 特征方程中的某些系数是根轨迹增益* K 的函数，* K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。 法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ?是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。由图4-5可 第4章 利用MATLAB 绘制系统根轨迹 一、 利用MATLAB 绘制系统根轨迹相关知识 假设闭环系统中的开环传递函数可以表示为： ) ()())(()())(()(021********s KG p s p s p s z s z s z s K den num K a s a s a s b b s b s K s G n m n n n n m m m m k =+???+++???++==++???++++???++=---- 则闭环特征方程为： 01=+den num K 特征方程的根随参数K 的变化而变化，即为闭环根轨迹。控制系统工具箱中提供了rlocus()函数，可以用来绘制给定系统的根轨迹，它的调用格式有以下几种： rlocus(num ，den) rlocus(num ，den ，K) 或者 rlocus(G) rlocus(G ，K) 以上给定命令可以在屏幕上画出根轨迹图，其中G 为开环系统G 0(s)的对象模型,K 为用户自己选择的增益向量。如果用户不给出K 向量，则该命令函数会自动选择K 向量。如果在函数调用中需要返回参数，则调用格式将引入左端变量。如 [R ，K]=rlocus(G) 此时屏幕上不显示图形，而生成变量R 和K 。 R 为根轨迹各分支线上的点构成的复数矩阵，K 向量的每一个元素对应于R 矩阵中的一行。若需要画出根轨迹，则需要采用以下命令： plot(R ，11) plot()函数里引号内的部分用于选择所绘制曲线的类型，详细内容见表1。控制系统工具箱中还有一个rlocfind()函数，该函数允许用户求取根轨迹上指定点处的开环增益值，并将该增益下所有的闭环极点显示出来。这个函数的调用格式为： [K ，P]=rlocfind(G) 这个函数运行后，图形窗口中会出现要求用户使用鼠标定位的提示，用户可以用鼠标左键点击所关心的根轨迹上的点。这样将返回一个K 变量，该变量为所选择点对应的开环增益，同时返回的P 变量则为该增益下所有的闭环极点位置。此外，该函数还将自动地将该增益下所有的闭环极点直接在根轨迹曲线上显示出来。 例4.1 已知系统的开环传递函数模型为： )() 2)(1()(0s KG s s s K s G k =++= 利用下面的MATLAB 命令可容易地验证出系统的根轨迹如图4-1所示。 >> G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]); rlocus(G); grid title(1Root_Locus Plot of G(s)=K/[s(s+1)(s+2)]1) xlabel(1Real Axis 1) % 给图形中的横坐标命名。 第四章 根轨迹分析法 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 思考与习题祥解 \ 题 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 | 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。 实验四 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 基础知识及MATLAB 函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 n n n n m m m m a s b s a s b s b s b s b K s KG s G ++++++++==--+-11111210)()( 系统的闭环特征方程可以写成： 0)(10=+s KG 对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 1）绘制系统的根轨迹rlocus （） MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为： rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增 益向量k 。 其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。第4章根轨迹分析法习题解答
利用MATLAB绘制系统根轨迹
【免费下载】实验 五 用MATLAB绘制系统根轨迹(1)
实验二根轨迹的绘制及系统分析
绘制根轨迹的基本法则
第4章 利用MATLAB绘制系统根轨迹
第4章根轨迹分析法习题解答
《自动控制原理》实验报告(线性系统的根轨迹)
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