轨迹方程经典例题
一、轨迹为圆的例题：
1、 必修 2 课本 P 124B 组 2：长为 2a 的线段的两个端点在
x 轴和 y 轴上移动，求线段
AB 的中点 M 的轨迹方程：
必修 2 课本 P 124B 组：已知 M 与两个定点（ 0,0 ）， A （ 3,0 ）的距离之比为 1
，求点 M 的轨迹方程 ; （一般地：必修
2 课
2
本 P 144B 组 2：已知点 M( x , y ) 与两个定点 M 1, M 2 的距离之比为一个常数 m ；讨论点 M( x , y ) 的轨迹方程（分 m =1， 与 m
1 进行讨论）
B M A
2、 必修 2 课本 P 122 例 5：线段 AB 的端点 B 的坐标是（ 4,3 ），端点 A 在圆 ( x 1) 2
y 2 1
上运动，求 AB 的中点 M 的轨迹。
（ 2013 新课标 2 卷文 20）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长
为 2 2 ，在 y 轴上截得线段长为 2
3 。
（1）求圆心的 P 的轨迹方程；
（ 2）若 P 点到直线 y x 的距离为
2
，求圆 P 的方程。
2
如图所示，已知
(4 ，0)是圆
x 2
+
y
2
=36 内的一点， 、 是圆上两动点，且满足∠
=90°，求矩
P
A B APB
形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 .
解：设 AB 的中点为 ，坐标为 ( , y ) ，则在 Rt △
中，| |=| |. 又因为 R 是弦
AB 的中点，
R
x ABP
AR PR
依垂径定理： 在 Rt △
中，| | 2 =| | 2－| | 2=36－ ( x 2+ 2) 又|
|=|
|=
( x 4) 2
y 2
所以有
OAR AR AO OR y AR PR
( x － 4) 2+ y 2 =36－ ( x 2+ 2), 即 x 2+ y
2－ 4 － 10=0 因此点 R 在一个圆上，而当
R 在此圆上运动时， Q 点即在所求的轨迹上运 y x 动 .
设 ( , y ) ， ( , y )，因为
R 是 PQ 的中点，所以
x = x 4
y 0
, 代入方程
2
2
, y 1
+
－4 －10=0, 得
Q x R x 1 1
1 2 2
y
x
(
x
4 )
2
( y ) 2
4 x
2 4
－10=0 整理得： x 2+y 2=56, 这就是所求的轨迹方程 .
2
2
在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3) ，直线 l : y
2x 4 ．设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．
（1）若圆心 C 也在直
线 y x 1上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；
（ 2）若圆 C 上存在点 M ，使 MA
2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．
（ 2013 陕西卷理20）已知动圆过定点A(4,0) ，且在y轴上截得弦MN 的长为8.
（ 1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；
（ 2）已知点B(1,0) ，设不垂直于x 轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q ，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明直线 l 过定点。
二、椭圆类型：
3、定义法：（选修2-1P50第3题）点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线x 8 的距离之比为1
，求点2
M的轨迹方程 .( 圆锥曲线第二定义)
讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于 1 是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）
M 4、圆锥曲线第一定义：（选修2-1P50第2题）一个动圆与圆
x2 y2 6x 5 0 外切，同时与圆 x 2 y 2
F 1 F2 6x 91 0 内切，求
动圆的圆心轨迹方程。
M
5、圆锥曲线第一定义：点 M( x0, y0 ) 圆F1( x 1) 2 y2 9 上的一个动点, 点 F2
（ 1,0 ）为定点。线段MF2的垂直平分线与MF1相交于点Q( x ,y),求点Q的Q
F 2
F1 轨迹方程 ;( 注意点F2（1,0 ）在圆内 )
6、其他形式：（选修 2-1P 50例 3）设点 A,B 的坐标分别是（-5,0 ），（5,0 ），直线 AM,BM相交于点M，且他们的斜率
的乘积为4
，求点 M的轨迹方程 : （是一个椭圆）
9 4
时可以得到双曲线）
（讨论当他们的斜率的乘积为
9
（ 2013 新课标 1 卷 20）已知圆M :( x 1) 2 y 2 1，圆N : ( x 1)2 y 2 9 ，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，
圆心P
的轨迹为曲线
C 1C
的方程；
2
）
l
是与圆
P
，圆
M
都相切的一条直线，
l
与曲线
C
交于 A,B 两。（）求（
点，当圆 P 的半径最长时，求AB
（ 2013 陕西卷文20）已知动点M (x, y) 到直线l : x 4 的距离是它到点N (1,0) 的距离的2倍。（1）求动点M的轨迹C的方程
（2）过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点，若A是PB的中点，求直线
m 的斜率。
三、双曲线类型：M
8、圆锥曲线第一定义：点M(
x0 , y0)圆 F1 ( x 1) 2 y2 1 上的一个动点,点
F2（1,0）为定点。线段 MF 2的垂直平分线与MF1 相交于点 Q( x , y ), 求点 Q F1 F
2
的轨迹方程 ;( 注意点F2（ 1,0 ）在圆外 )
Q
定义法：（选修 2-1P 59例 5）点 M( x , y ) 与定点 F(5 ，0) 的距离和它到定直线x 16
的距离之比为
5
，求点M的轨迹方5 4
程 .( 圆锥曲线第二定义)
四、抛物线类型：10、定义法：（选修 2-1 ）点 M( x , y ) 与定点 F(2 ， 0) 的距离和它到定直线x 2 的距离相等，
求点 M的轨迹方程。（或：点M( x , y ) 与定点 F(2， 0) 的距离比它到定直线x 3 的距离小1，求点M的轨迹
方程。）
（ 2013 陕西卷文20）已知动点M ( x, y)到直线l : x 4 的距离是它到点N (1,0) 的距离的2倍。（1）求动点M的轨迹C的方程
（ 2）过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点，若 A 是 PB 的中点，求直线m 的斜率
已知三点 O(0,0) ， A( 2,1) ， B(2,1) ，曲线C上任意一点 M (x, y) 满足
|MA MB | OM (OA OB) 2。
（ 1）求曲线C的方程；
）在直角坐标系 xOy 中，曲线 1
的点均在 2
：（ x-5 2
2
=9 外，且对 1
上任意一点 M ， M 到直线 x=﹣
2 的距离等于该
C C ） ＋ y C 点与圆 C 2 上点的距离的最小值 .
（Ⅰ）求曲线 C 1 的方程；
（湖北）设 A 是单位圆 x 2+y 2=1上的任意一点， i 是过点 A 与 x 轴垂直的直线， D 是直线 i 与 x 轴的交点，点 M 在直线 l 上，且满足丨 DM 丨 =m 丨 DA 丨（ m>0,且 m ≠ 1）。当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C 。
（ I ）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（辽宁） 如图，椭圆 C 0 x 2 y 2
1(a b 0 ， a ，b 为
常数)，动圆 ：
b 2
a 2
C 1 : x 2 y 2
t 12 ， b t 1 a 。点 A 1, A 2 分别为 C 0 的左， 右顶
点， C 1与 C 0
相
交于 A ，B ， C ， D 四点。
( Ⅰ ) 求直线 AA 1 与直线 A 2B 交点 M 的轨迹方程 ;
（四川）如图，动点
M 到两定点 A( 1,0) 、 B(2,0) 构成
MAB ，且 MBA 2 MAB ，设动点 M 的轨迹为 C 。
（Ⅰ）求轨迹 C 的方程； （Ⅱ）设直线 y
2x m 与 y 轴交于点 P ，
与轨迹 C 相交于点 Q 、R ，且 |PQ | | PR|， 求
| PR |
的取值范围。
|PQ|
1.( ★★★★ ) 已知椭圆的焦点是
F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长
F 1P 到 Q ，使得 | PQ |=| PF 2| ，那么动点 Q
的轨迹是 ( ) A.
圆
B. 椭圆
C. 双曲线的一支
D. 抛物线
2.( ★★★★ ) 设 A 、A 是椭圆 x 2 y 2 =1 的长轴两个端点， P 、P 是垂直于 A A 的弦的端点，则直线 A P 与 AP 交
1
2
9 4
1
2
1
2
1 1
2 2
点的轨迹方程为 ( )
A.
x 2
y 2 1
B. y 2 x 2 1
C. x 2 y 2 1
D. y 2
x 2 1
9
4
9
4
9
4
9
4
二、填空题
3.( ★★★★ ) △ ABC 中， A 为动点， B 、C 为定点， B ( － a
,0),
C (
a
,0) ，且满足条件 sin C － sin B = 1
sin A , 则动点 A
2
2
2
的轨迹方程为 _________.
4.( ★★★★ ) 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上， 且相距 10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为
A ( －
5， 0) 、 B (5 ， 0) ，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是
_________.
三、解答题
5.( ★★★★ ) 已知 A 、 B 、 C 是直线 l 上的三点，且 | AB |=| BC |=6 ，⊙ O ′切直线 l 于点 A ，又过 B 、C 作⊙ O ′异于
l
的两切线，设这两切线交于点 ，求点 P 的轨迹方程 .
P
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实用标准
6.( ★★★★ ) 双曲线
x 2
y 2
1 2
11 221 2
a 2
b 2 =1 的实轴为 A A ，点 P 是双曲线上的一个动点，引
AQ ⊥AP ，AQ ⊥AP ，AQ 与 AQ 的
交点为 Q ，求 Q 点的轨迹方程 .
8.( ★★★★★ ) 已知椭圆 x
2
y 2 1
2 1
2
l ，
a 2
b 2 =1( a ＞ b ＞ 0), 点 P 为其上一点， F 、F 为椭圆的焦点， ∠ F PF 的外角平分线为
点 F 关于 l 的对称点为 Q ，F Q 交 l 于点 R .
2
2
(1) 当 P 点在椭圆上运动时，求 R 形成的轨迹方程；
(2) 设点 R 形成的曲线为
C ，直线 l ：y =k ( x + 2 a ) 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点，当△ AOB 的面积取得最大值时，求 k
的值 .
一、 1. 解析：∵ |
1
|+|
2
|=2 ,|
|=|
2
|, ∴ | 1|+|
2
|=|
1
|+|
|=2 a , 即|
1
|=2 a , ∴动点
Q 到定点
1
的距离
PF
PF
a PQ PF
PF
PF
PF
PQ
F Q
F
等于定长 2a , 故动点 Q 的轨迹是圆 .
2. 解析：设交点 P ( x , y ）, A 1( － 3,0), A 2(3,0), P 1( x 0 , y 0), P 2( x 0, － y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴ y y 0
y ∵ A 2、P 2、P
x 0
x
x 3
共线，∴ y y 0
y 解得 x 0= 9 , y 0
3y , 代入得 x 02
y 02
即
x 2 y 2 1
x x 0 x 3
x
x
9
1,
9 4
4
二、3.
解 析 ： 由 sin C － sin B = 1 sin A , 得 c － b =
1
a , ∴ 应 为 双 曲 线 一 支 ， 且 实 轴 长 为 a
,
故方程为
2
2
2
16x 2 16 y 2 1(x a
) .
a
2
3a
2
4
答案： 16 x
2
16 y 2 1( x a )
a 2 3a 2 4
4. 解析：设 (
, y ），依题意有
5
3
, 化简得
P 点轨迹方程为 4
2
+4 2－ 85 x +100=0.
P x
( x 5)2
y 2
( x 5) 2
y 2
x
y
答案： 4x 2+4y 2 －85x +100=0
三、 5. 解：设过 B 、C 异于 l 的两切线分别切⊙ O ′于 D 、 E 两点，两切线交于点 P . 由切线的性质知： | BA |=| BD | ，
| PD |=| PE | ， | CA |=| CE | ，故 | PB |+| PC |=| BD |+| PD |+| PC |=| BA |+| PE |+| PC |
=| |+| |=| |+| |=6+12=18 ＞6=| | ，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以
B 、
C 为两焦点的椭圆，以 l 所在的直线
BA CE AB CA
BC
实用标准
为 x 轴，以
的中点为原点，建立坐标系，可求得动点
P
的轨迹方程为 x
2 y 2 BC
81 =1( y ≠ 0)
6. 解：设 P ( x 0, y 0） ( x ≠± a ), Q ( x , y ). 72
∵ A 1( － a ,0), A 2( a ,0).
y
y 0 1
x 0
x( x 0 a)
x
a
x 0
a
由条件 得
x
2
a 2
y
y 0
y 0
1
y
x
a x 0
a
而点 ( 0,
y 0)
在双曲线上，∴
2 0
2
－ 2
2
= 2
2
.
P x
b x
a y a b
2
a 2
即 b 2
2
2
2
2
2
( － x ) － a
( x
) =a b
y
化简得 Q 点的轨迹方程为： a 2x 2－ b 2y 2=a 4( x ≠± a ).
8. 解： (1) ∵点 F 2 关于 l 的对称点为 Q ，连接 PQ ，
∴∠ F 2PR =∠QPR ， | F 2R |=| QR | ， | PQ |=| PF 2|
又因为 l 为∠ F 1PF 2 外角的平分线，故点 F 1、 P 、 Q 在同一直线上，设存在 R ( x 0, y 0） , Q ( x 1, y 1), F 1( － c ,0), F 2( c ,0).
| 1|=| 2|+| |=| 1 |+| 2|=2 a , 则( x 2 + 2 a 2
. 1
+ ) 1
=(2 )
FQ FP PQ FP PF c y
x 1
c
x 0
又
2
y 1
y 0
2
得 x 1=2x 0－ c , y 1=2y 0.
2 2 2 ，∴ x 0 2 2 2
∴ (2 x 0) +(2 y 0) =(2 a ) +y 0 =a . 故 R 的轨迹方程为： x 2+y 2=a 2( y ≠ 0)
= a 2
(2) 如右图，∵ △AOB = 1
| |·| | · sin
sin
AOB
S
OA
OB
AOB
2
2
当∠=90°时， △AOB
最大值为 1
a 2
.
AOB
S
2
此时弦心距 | OC |= | 2ak | .
1 k 2
在 Rt △ AOC 中，∠ AOC =45°，
|OC |
| 2ak | 2 3
cos45
, k
.
| OA|
a 1 k 2
2
3
专题一：求曲线的轨迹方程
课前自主练习：
1．如图 1， ABC 中，已知 B( 2,0) ， C (2,0) ，点 A 在 x 轴上方运动，且 tan B tanC 2 ，则顶点 A
的轨迹方程是
．
2．如图 2，若圆 C ： ( x 1)2
y 2
36 上的动点 M 与点 B(1,0) 连线 BM 的垂直平分线交
CM 于点 G ， 则 G 的轨迹方程是
y ．
y
y
y
B
A G M P Q
Q
A
B
C
C
A
P B
实用标准
3．如图 3，已知点 A(3,0) ，点 P 在圆 x 2
y 2 1上运
动，
AOP 的平分线交 AP 于 Q ，则 Q 的轨迹方
程是 ．
4．与双曲线 x 2
2 y 2 2 有共同的渐近线，且经过点
(2, 2) 的双曲线方程为
．
5．如图 4，垂直于 y 轴的直线与 y 轴及抛物线 y 2
2( x 1) 分别交于点 A 、 P ，点 B 在 y 轴上，且点 A
满足 |AB |
2 |OA | ，则线段 PB 的中点 Q 的轨迹方程是
．
几种常见求轨迹方程的方法：
1．直接法： 由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用
坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨迹方程的一般步骤：
建系 —— 设点 —— 列式 —— 代换 —— 化简 —— 检验；
【例 1】（ 1）求和定圆 x 2
y 2 R 2 的圆周的距离等于
R 的动点 P 的轨迹方程；
（ 2）过点 A(a,0) 作圆 O ： x
2
y 2 R 2 (a
R 0) 的割线，求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹．
解：（ 1）设动点 P( x, y) ，则有 | OP | 2R 或 | OP |
0 ．即 x 2
y 2 4R 2 或 x 2 y 2 0 ． 故所求动点 P 的轨迹方程为 x 2
y 2 4R 2 或 x 2 y 2
0 ．
（2）设弦的中点为 M ( x, y) ，连结 OM ，则 OM
AM ．∵ k OM k AM
∴
y
y 1，化简得： ( x a )2 y
2
( a
)2 ． x x a
2
2
其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆
O 内的一段弧（不含端点） ．
【例 2】已知直角坐标平面上一点 Q(2,0) 和圆 C ： x
2
y 2 1，动点 M 到圆 1 ，
C 的切线长等于圆 C 的半 径与 | MQ | 的和．求动点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解：如图，设 MN 切圆 C 于 N ，又圆的半径 | ON | 1 ，
∴|OM |2 |NM |2 |ON |2 |NM |2
1，
y
N
M
∴|MN |
|OM |2
1，由已知 |MN | |MQ| 1．
O
Q
x
设 M ( x, y) ，则
x 2 y 2 1 ( x 2)2 y 2 1 ，
∴
2x 3
( x
2)2
y 2 ，即 3x 2
y 2 8x
5 0 ( x 3
) ．可化为 9( x 4 )2 3 y 2 1 ( x 3
) ．
2 3
2
故所求的轨迹是以点
( 4
,0) 为中心，实轴在 x 轴上的双曲线的右支，顶点为 ( 5
,0) ，如图．
3 3
【例 4】已知定圆 A 的半径为 r ，定点 B 与圆 A 的圆心 A 的距离为 m ( m 2r ) ．又一动圆 P 过定点 B ，
且与定圆 A 相切．求动圆圆心 P 的轨迹方程．
解：以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的中点为原点建立坐标系，如图．
当动圆 P 与定圆 A 外切时， | PA | |PB | r ；当动圆 P 与定圆 A 外切时， | PB | | PA| r ． 由双曲线的定义知动圆圆心 P 的轨迹应是以 A 、 B 为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左 支）．显然， c
m r
y
，又 a ，
P
2
2
故 b 2
c 2 a 2
m 2 r 2 ．
P
4
N
x
2
y
2
所以所求的点
1．
A
O
P 轨迹方程是：
m 2 r 2
B
x
r 2
4
4
M
实用标准
3．动点转移法： 若动点 P(x, y) 随已知曲线上的点
Q( x 0 , y 0 ) 的变动而变动，且 x 0 、 y 0 可用 x 、 y 表示，
则将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P 的轨迹方程．这种方法称为动点转
移法（或代换法或相关点法） ．
【例 5】已知定点 A(3,1) 、 B 为抛物线 y 2
x 1，上任意一点，点
P 在线段 AB 的中点，当 B 点在抛物
线上变动时，求点 P 的轨迹方程．
解：设点 P( x, y) ，且设点 B(x 0, y 0 ) ，则有 y 02
x 0 1．∵点 P 是线段 AB 的中点．由中点坐标公式得：
x 0 3
x
x 0 2x 3
2
，∴ ．将此式代入 2 x 0 1中，并整理得： (2 y 1) 2
2 x 2 ， y 0
1 y 0 2y 1 y 0
y
2
即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．
4．待定系数法： 当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的
参数，进而求出方程．如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
【例 7】若抛物线 y 2
4 x 和以坐标轴为对称轴、实轴在
y 轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线
y 2x
被双曲线截得的线段长等于
2 5 ，求此双曲线方程．
解：设所求双曲线方程为
y 2 x 2 1，将 y 2
4x 代入整理得： a 2x 2
4b 2 x a 2b 2 0 ．
a 2
b 2
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，
因此方程 a 2 x 2 4b 2 x a 2b 2 0 应有等根．∴ 16b 4 4a 3b 2 0 ，即 a 2 2b ． 由 y 2x 和
y 2
x 2 1 得： (4b 2 a 2 ) x 2 a 2b 2
0 ．
a 2
b 2
2 5 1 2 2
( x 1 x 2 ) 2
4 x 1 x 2
5 ( 4)( a 2b 2
由弦长公式得：
2 2)．
a 2
4b a
y 2
即 a 2b 2 4b 2
a 2 ．由 2b
得： a 2
2， b 2 1 ．∴双曲线的方程是 x 2 1 ． a 2b 2 4b 2 a 2 2
5．参数法： 当动点 P 的坐标 x 、 y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量 t ，并用 t 表示
动点 P 的坐标 x 、 y ，从而动点轨迹的参数方程 x
f (t )
消去参数 t ，便可得到动点 P 的
y g (t )
的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有
t 的范围确定出 x 、 y 的范围．
【例 8】抛物线 x 2
4 y 的焦点为 F ，过点 (0, 1) 作直线交抛物线于不同两点 A 、 B ，以 AF 、 BF 为邻
边作平行四边形
FARB ，求顶点 R 的轨迹方程．
解：设 R( x, y) ， AB ： y 1 kx ，
AB
中点为
M ( x 0 , y 0 ) ， A( x 1 , y 1 ) ， x 2
4kx 4 0 ．
16(k
2
1) 0 ， x 1 x 2
4k ， x 1 x 2 4 ． y 1 y 2 2 k( x 1 x 2) 4k 2
， y 1
y 2 4k
2
2 ．
M (2 k,2 k
2
1) ，∵ F (0,1) ， M 为 AB 中点，
∴ x
4k ， y 4k 2 3 ．消 k 得： x 2
4( y 3) ( y 1) ．
巩固练习：
B( x 2 , y 2 ) ，与 x 2
4 y 联立得：
y
B
R
F
O A
x
1．平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（ ）
（ A ）椭圆的一部分 （B ）椭圆 （ C ）双曲线的一部分
（ D ）双曲线
2．已知动点
M 与定点 F ( 2,0) 的距离比动点 M 到 y 轴的距离大 2 ，则动点 M 的轨迹（
）
（ A ）抛物线 （ B ）抛物线的一部分 （C ）抛物线和一射线
（ D ）抛物线和一直线
3．已知定直线 l 和 l 外一点 A ，过 A 与 l 相切的圆的圆心轨迹是（ ）
实用标准
（ A ）抛物线
（ B ）双曲线
（ C ）椭圆
（ D ）直线
4．一动圆与两圆 x
2
y
2
1 和 x
2 y 2 8x 12 0 都外切，则动圆圆心轨迹为（
）
（ A ）圆
（ B ）椭圆
（ C ）双曲线的一支
（D ）抛物线
5．已知椭圆的焦点是 F 1 、 F 2 、 P 是椭圆上的一个动点．如果延长 F 1P 到 Q ，使得 | PQ | | PF 2 | ，那么
动点 Q 的轨迹是（ ）
（ A ）圆
（ B ）椭圆
（ C ）双曲线的一支
（ D ）抛物线
6．已知点 A( 2,0) 、 B(3,0) ，动点 P(x, y) 满足 PA PB x 2
，则点 P 的轨迹是（
）
（ A ）圆 （ B ）椭圆 （ C ）双曲线 （ D ）抛物线
7．与圆 x 2 y 2 4x 0 外切，又与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）
（ A ） y 2 8x
（ B ） y 2 8x ( x 0) 和 y 0
（ C ） y 2 8x ( x 0)
（D ） y 2
8x ( x 0) 和 y 0 ( x 0)
8．过抛物线 y 2
2x 的焦点作直线与此抛物线相交于两点
P 、 Q ，则线段 PQ 中点的轨迹方程为（
）
（ A ） y 2 2 x 1
（ B ） y 2
2x 1
（ C ） y 2 2x 2
（ D ） y 2
2x 2 y
9．过点 P(x, y)
的直线分别与 x
轴的正半轴和 y
轴的正半轴交于
A B
两点，点 Q
与点 P
关于 轴对称，
、
O 为坐标原点，若 BP 2PA ，且 OQ AB 1，则点 P 的轨迹方程是（
）
（ A ） 3x 2 3 y 2 1 ( x 0, y 0)
（ B ） 3x 2
3 y 2
1 ( x 0, y 0)
2
2
（ C ） 3
x
2
3 y
2
1 ( x 0, y 0)
（ D ） 3
x 2
3y 2 1 ( x 0, y 0)
2
2
10．已知两点 M ( 2,0) 、 N (2,0) ，点 P 为坐标平面内的动点，满足
|MN | |MP | MN
NP
0 ，则动
点 P( x, y) 的轨迹方程为（ ）
（ A ） y 2 8x
（ B ） y 2
8x
（ C ） y 2
4x
（ D ） y 2
4x
11．与双曲线
x 2
y 2 1 有共同的渐近线，且经过点 ( 3,2 3) 的双曲线方程是（
）
9
16
（ A ） x 2 4y
2 1 （ B ） y 2
4x 2 1 （ C ） x 2
4y
2
1
（ D ）
y 2 4x 2
1
4 9
4 9 4
9
4
9
12．设 P 为双曲线
x 2
y 2
1 上一动点， O 为坐标原点， M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是
4
．
13．已知 A( 1 ,0) ， B 是圆 F ： (x
1 )
2 y 2 4 （ F 为圆心）上一动点，线段
AB 的垂直平分线交
2
2
BF 于 P ，则动点 P 的轨迹方程为
．
14．倾斜角为
45 的直线交椭圆 x 2
y 2
1于 A 、 B 两点，则线段 AB 中点的轨迹方程是
．
4
15．求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过
A( 3, 2)和 B( 2 3,1) 两点的椭圆方程
．
16．已知双曲线与椭圆 x
2
4y 2
64 共焦点，它的一条渐近线方程为
x
3 y 0 ，则双曲线的方程是
．
17．已知 Q 是椭圆
x 2
y 2 1 ( a b 0) 上的任意一点，从右焦点
F 2 作 FQF 1
2 的外角平分线的垂线，
a 2
b 2
y
垂足为 P ，求 P 点的轨迹方程．
18．如图，直线 l 1 ： y kx (k 0) 与直线 l 2 ： y kx 之间的阴影区域
（不含边界）记为
W ，其左半部分记为 W 1 ，右半部分记为 W 2 ．
（ 1）分别用不等式组表示 W 1和W 2 ；
O
x
实用标准
（ 2）若区域W中的动点P( x, y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点 P 的轨迹 C 的方程；
19．设椭圆方程为x2 y 2 1 ，过点
M (0,1) 的直线
l
交椭圆于点、，是坐标原点，点
4 A B O
y 2OP OA OB ，当
l 绕点旋转时，求动点P 的轨迹方程．
2
M A 20．过双曲线C：x2 y 1 的左焦点F作直线l与双曲线C交于P、 Q 两点，
3
以线段 OP 、OQ为邻边作平行四边形OPMQ ，求顶点M的轨迹方程．O 21．设点A和B为抛物线y2 4 px ( p 0) 上原点以外的两个动点，
已知 OA OB， OM AB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．P满足
M
x B
坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲 一、平面直角坐标系 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
方法1：求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 方法2：待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。 例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:
二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化： 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.
小学解方程（经典50题） 35 3141=+ x x 2、45 9 4=- x ）（ 3、 18 5 1=+ x x 4、8 516 5=+ x 5、15 84 3 = ÷x 6、185 1=+x x 7、2753=x 8、 14 17 2= - x x 9、 9 88 9= ÷ x 10、33 211 3=-x 11、 0.4x=0.72 12、 3212 5=-x 13、283 11(=+x ） 14、 40 )7 21(=- x 15、 365 2=- x x 16、5574=+ x x 17、 16 5 4=÷ x 18、 6 53 2= x
19、10 495 13 2= - x x 20 5)4 18 3( =- x 21、 4 92 14 3= + x x 22、8 35 4= -x x 23、 9 55 68= ÷ x 24、 16 510 9=- x x 25、3 216 34 12 1? = - x x 26、 10 95 14 1= + x x 27、 6 53 510 15 3= ? + x 28、40 7)4 13 1(= + ?x 29、 10 1489 1÷ =- x x 30、 18 59 5= x 31、5 412=x 32、 156 5=x 33、 3 28 3= ÷ x
34、9 84 3= +x 35、 5 215 4= - x 36、 20 74 3= + x x 37、3 27 6= ÷x 38、 2 74 72 3= - x 39、 8 9 44 3÷= ÷ x 40、56 1=-x x 41、 214 3=+ x x 42、 12 )3 11(=+ x 43、15 5 25 1=+ x x 44、10 )4 18 3( =+ x 45、 24)7 11(=- x 46、4 36 1= ÷x 47、 5 215 7= ? x 49、 3 17 6= ÷ x 50、25 1852= x 51、6x+4(50-x)=260 52、 8x+6(10-x)=68 53、5x+2(20-x)=82 54、 4x+2(35-x)=94
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 （C ） I （D ） 2. 设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C ： T a 2 y_ 1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 '、3，贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C ： 0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为 丄3，过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则 C 的方程为（） 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0）的一条渐近线平行于直线 I ： y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点， uu uuu OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ） x 1 (D)
参数方程典型例题分析 例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0） 分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为， ，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）． （A）（B）（C）（D） 分析将，分别代入参数方程， 得A点的横坐标致为，B点的横坐标为， 由定比分点坐标公式得P的横坐标为 ， 可知点P所对应的参数是故应选（C）． 例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线． （1）（为参数，）
（2）（为参数）； （3）（为参数）， 解：（1）∵ ∴， ∴或 故普通方程为（或），方程的曲线如图． （2）将代入得 ∵普通方程为（），方程的曲线如图．
（3）两式相除得代入得 整理得 ∵ ∴普通方程为（），方程的曲线如图． 点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价． 例4已知参数方程 ①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ 解：①当时，由（1）得，由（2）得，
∴，它表示中心在原点， 长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆． 当时，，， 它表示在轴上的一段线段． ②当（）时，由（1）得， 由（2）得．平方相减得， 即 它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为， 焦点在轴上的双曲线． 当（）时，，它表示轴； 当（）时，， ∵（时）或（时） ∴，∴方程为（）， 它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线． 点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数． 例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．
解方程测试题 请使用任意方法解下列方程，带*的必须检验。 x-104=33.5 x+118=11.9 26.4×x=40 62.2-x=70.7 x÷31=21.0 69.4+x=87.4 94.8+x=48.2 37.3x=84.1 91.1x=38.7 x÷13.3=14.5 31.4x=59.8 41.7x=69.9 105x=82.6 x×7.1=10.7 x+75.4=16 x÷63=42.2 x-8=32.8 64.2x=78 14÷x=21 59.9-x=40 9.8+x=99.3 44.2-x=86.1 x÷35.0=9.0 52.6-x=52.0 x×63.4=62.7 2.8-x=52 x÷41.0=139 9.6x=97.2 51x=42.9 x-48.8=95 x×6.8=25.4 118+x=35 56.6x=54.0 23x=145 x+50.3=28.1 54.6+x=96.2 x+89.2=59.1 45x=48 28.7x=83.5 17.3x=60.8 x+101=20.8 55.9x=75.2 59.7-x=23 x÷61.6=55.0 45.3÷x=79.5 x-48.2=85 x×43.6=62.6 5.9x=6.1 80.3x=11.7 104x=47.7 x×100.7=70 92.1x=27.3
56x=56 x÷16.8=88.3 95x=90.8 49.6x=125 2.1+x=73.4 16.7÷x=76.8 x+99=37.9 33÷x=56.6 48.5÷x=61.8 x÷3.6=96.5 68.0÷x=73 x×16.8=5.0 26.9x=88.0 45.5x=87 x×82=48.1 88.5+x=20.8 53.3x=21.3 95x=42.1 68÷x=139 x+34.7=135 x-63.1=43 19.5÷x=116 1.6x=5.7 2.3x=68.1 55.6+x=99.4 94.8÷x=28.9 100.3÷x=101 x+21.0=128 17-x=6.6 x-51=95.5 33.7×x=126 1.8x=111 48.4x=56 x×43.3=93.6 65.6x=100.9 6.8÷x=78.7 38.7-x=90.8 100x=143 64+x=31.9 x×122=28.7 x-55.1=95 17-x=92.8 x+20.8=53.1 90.9x=80.1 30.6x=58 43.9-x=37.2 6x=25.6 66.6x=113 x×21.0=65.6 x×30.6=51.1 58x=88.5 86.1x=89.5 x÷19.2=22.3 8.9×x=55 94.5+x=36.4 129x=86.3
椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为45 3 和 25 3 ，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 2 10＝1或3x 210＋y 2 5 ＝1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下： 据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 2 6 ＝1.
题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)2 1 F PF S ＝12mn sin 60°＝3 3 b 2， 【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2 ，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】 已知P 是椭圆x 225＋y 2 9＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2 ＋y 2 ＝1 4 和圆 (x －4)2＋y 2＝1 4上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值 为9. 题型三 有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率；
圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；
简易方程 【知识分析】 大家在课堂上已经学了简单的解方程，现在我们学习比较复杂的解方程。首先，我们要对方程进行观察，将能够先计算的部分先计算或合并，使其化简，然后求出X的值。 【例题解读】 例1解方程：6X+9X-13=17 【分析】方程左边的6X与9X可以合并为15X，因此，可以将原方程转化成15X-13=17，从而顺利地求出方程的解。 解：6X+9X-13=17， 15X-13=17 15X=30 X=2。 例2解方程：10X-7=4.5X+20.5 【分析】方程的两边都有X,运用等式的性质,我们先将方程的两边同时减去4.5X,然后再在两边同时加上7,最后求出X. 解:10X-7-4.5X=4.5X+20.5-4.5X, 5.5X-7=20.5 5.5X-7+7=20.5+7 5.5X=27.5, X=5. 【经典题型练习】解方程:7.5X-4.1X+1.8=12 解方程:13X+4X-19.5=40
解方程:5X+0.7X-3X=10-1.9 解方程练习课【巩固练习】 1、解方程：7（2X-6）=84 2、解方程5（X-8）=3X 3、解方程4X+8=6X-4 4、解方程7．4X-3.9=4.8X+11.7
列方程解应用题 【知识分析】 大家在三四年级的时候一定学过“年龄问题”吧！记得那时候思考这样的问题挺麻烦的，现在可好啦！我们学习了列方程解应用题，就可以轻松地解决类似于这样的应用题。 【例题解读】 例题1 今年王老师的年龄是陈强的3倍，王老师6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等，陈强和王老师今年各是多少岁？ 【分析】要求陈强和王老师两个人的年龄，我们不妨设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，然后根据“王老师在6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等”这个数量关系式，列出方程。解：设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，可列方程：3X-6=X+10，2X=16，X=8 3X=3×8=24 答：陈强今年8岁，王老师今年24岁。 例题2 今年哥哥的年龄比弟弟年龄的3倍多1岁，弟弟5年后的年龄比3年前哥哥的年龄大1岁，兄弟俩现在各多少岁？ 【分析】先表示出哥哥和弟弟今年的年龄，然后运用弟弟5年后，哥哥3年前的年龄作为等量关系。 解：设弟弟今年X，那么哥哥今年（3X+1）岁，可列方程 X+5=3X+1-3+1，X+5=3X-1，6=2X，X=3。 3X+1=3X3+1=10 答：哥哥今年10岁，弟弟今年3岁。
圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题）
参数方程 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ?? ?==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 1 y x Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程： 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）
注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0 θ θ sin cos 00b y y a x x +=+= Eg 3， 4 pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程
αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧 ②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式： bt y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当 t 得 y x Eg
列方程解应用题及解析 例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数． 分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如 果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又 根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出 方程． 解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65． 答：甲数是65，乙数是24． 例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天 思路1： 分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务 需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作 量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25 ％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因 此列出方程的等量关系是：提高后的工效x 所需的天数=剩下台数． 解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×=1600-400 100x=1200 x=12． 答：完成计划还需12天．例4 中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有380～450人参赛．比赛结果全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分．求男、女生至少各有多少人参赛 分析若把男、女生人数分别设为x人和y 人．依题意全体学生 的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分，可以确 定等量关系：男生平均分数×男生人数+女生平均分数×女生人数= （男生人数+女生人数）×总平均分数．解方程后可以确定男、女生 人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而 使问题得解． 解：设参加数学邀请赛的男生有x人，女生有y人． 79x+71y＝（x+y）×76 79x+71y＝76x+76y 3x＝5y ∴x：y=5：3 总份数：5＋3=8． 在380～450之间能被8整除的最小三位数是384，所以参加邀 请赛学生至少有384人． 男生：384×=240（人） 5 8 女生：384×=144（人） 3 8 答：男生至少有240人参加，女生至少有144人参加． 例 5 瓶子里装有浓度为15％的酒精1000克．现在又分别倒入 100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14％．已 知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A
高考数学 圆锥曲线常见习题及解析 （经典版）
椭圆 一、选择题： 1. 已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2 D. 3 2．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> 的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为12,l l ，点P 在第 一象限内且在1l 上，若2l ⊥PF 1，2l //PF 2，则双曲线的离心率是 （ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，渐近线1:b l y x a = ，2:b l y x a =-，因为点P 在第一象限内且在1l 上，所以设000(,),0P x y x >，因为2l ⊥PF 1，2l //PF 2，所以12PF PF ⊥，即121 2 OP F F c ==， 即22200x y c +=，又00b y x a =，代入得222 00()b x x c a +=，解得00,x a y b ==，即(,)P a b 。所以 1PF b k a c = +，2l 的斜率为b a -，因为2l ⊥PF1，所以()1b b a c a ?-=-+，即2222()b a a c a ac c a =+=+=-，所以2220c ac a --=，所以220e e --=，解得2e =，所以双曲线 的离心率2e =，所以选B. 3．已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线x y 342 =的焦 点重合，则该双曲线的离心率等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．2 3
高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上， 对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参 数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
【同步教育信息】 一、本周教学主要内容： 列方程解决实际问题（1） 二、本周学习目标： 1、在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。 2、在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程，进一步体会方程的思想方法及价值。 3、在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考，主动与他人合作交流，自觉检验等习惯。 三、考点分析： 经历寻找实际问题中数量之间的相等关系并列方程解决问题的过程，在过程中自主理解并掌握有关方程的解法，加深对列方程解决实际问题的体验。 四、典型例题 例1、小强的爸爸今年37岁，比他年龄的3倍还大4岁，小强今年是多少岁？ 分析与解： 这个题目包含的信息有：（1）小强爸爸的年龄（已知）37岁；（2）小强的年龄（未知）乘3再加上4岁和他爸爸年龄一样。 根据（1）（2）之间的关系，很快就可以找出下面的数量关系，小强今年多少岁不知道，可以设为x岁。 小强的年龄×3 + 4 岁 = 小强爸爸的年龄 根据上面的数量关系可以列出方程，再解答。 解：设小强今年是x岁。 3x + 4 = 37 3x + 4 - 4 = 37 – 4 ┄┄（） 3x = 33
x = 33 ÷ 3 ┄┄（） x = 11 这道题你会检验吗？ 答：小强今年11岁。 这道题你还会列其它方程解答吗？（依据不同的数量关系可以列出不同的方程） 点评：实际解答这一题时，还可以想出几种不同的数量关系式。但是，对于符合题意的数量关系式，我们在解题时一般用最容易想到的数量关系式，即顺着题目的意思所想到的数量关系式。 例2、一种墨水有两种包装规格，大瓶容量是1.5升，比小瓶容量的4倍少0.9升，小瓶容量是多少？ 分析与解： 这个题目包含的信息有：（1）大瓶容量（已知）1.5升；（2）小瓶容量（未知）乘4减去0.9升和大瓶容量一样。 根据（1）（2）之间的关系，很快就可以找出下面的数量关系，小瓶容量不知道，可以设为x升。 小瓶的容量×4 - 0.9升 = 大瓶的容量 根据上面的数量关系可以列出方程，再解答。 解：设小瓶的容量是x升。 4x – 0.9 = 1.5 4x - 0.9 + 0.9 = 1.5 + 0.9 4x = 2.4 x = 2.4 ÷ 4 x = 0.6 这道题你会检验吗？ 答：小瓶的容量是0.6升。 点评：在解形如ax±b=c的方程时，要先把ax看作一个整体，根据等式的性质在方程的两边同时加上或减去或乘一个相同的数，变形为“ax= b”的形式，最后再求出x的值。 例3、一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？ 分析与解： 根据题目可以得出这一题的等量关系式是：三角形的面积=底×高÷2
圆锥曲线经典小题 一、选择题 1．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为,25则C 的渐近线方程为( ) A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 2 1±= D ．x y ±= 2．已知,40π θ<<则双曲线1cos sin :22221=-θθy x C 与1sin cos :22 222=-θθx y C ( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 3．椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为,,21F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=||2PF ( ) A ．23 B ．3 C ．2 7 D ．4 4．已知双曲线1422 2=-b y x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A ．5 B ．24 C ．3 D ．5 5．设1F 和2F 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两个焦点，若)2,0(,,21b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A ．23 B ．2 C ．2 5 D ．3 6．已知双曲线12 2 2=-y x 的焦点为,,21F F 点M 在双曲线上，且,021=?MF MF 则点M 到x 轴的距离为( ) A ．3 4 B ．3 5 C ．332 D ．3 7．设双曲线的左焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，右顶点为A ，如果直线FB 与BA 垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ． 213+ D ．215+ 8．已知双曲线,122=-y x 点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若,21PF PF ⊥ 则||1PF ||2PF +的值为( )